【文档说明】下关一中教育集团2024～2025学年高二年级上学期段考（一）数学答案.pdf，共(18)页，668.826 KB，由小赞的店铺上传

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第1页/共18页学科网（北京）股份有限公司下关一中教育集团2024~2025学年高二年级上学期段考（一）数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并

交回．满分150分，考试用时120分钟．第I卷（选择题，共58分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答

无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{20},{10}MxxNxx=+³=-<∣∣，则MN=I（）A.{21}xx-£<∣B.{21}xx-<

£∣C.{2}xx³-∣D.{1}xx<∣【答案】A【解析】【分析】先化简集合,MN，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}Mxxxx=+³=³-∣，{10}{|1}Nxxxx=-<=<∣，根据交集的运算可知，{|

21}MNxx=-£<I.故选：A2.351i2i2i+=+-（）A.1-B.1C.1i-D.1i+【答案】C第2页/共18页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可

.【详解】351i51i1i(2i)(2i)5+-==-+-故选：C.3.过直线10xy++=和240xy-+=的交点，且与直线230xy+-=垂直的直线方程是（）．A.230xy-+=B.250xy-+=C.240x

y+-=D.230xy--=【答案】B【解析】【分析】先求出交点坐标，再根据与直线230xy+-=的位置关系求出斜率，运用点斜式方程求解.【详解】联立方程10240xyxy++=ìí-+=î，解得21xy=-ìí=î，所以交点坐标为2,1-；直线230xy+-=的斜率为12-，

所以所求直线方程的斜率为1212-=-，由点斜式直线方程得：所求直线方程为122yx-=+，即250xy-+=；故选：B.4.已知向量2,1a=-r，,2bm=r，abab+=-rrrr，则实数m的值

为（）．A.1-B.12-C.12D.1【答案】D【解析】【分析】先求得,abab+-rrrr的坐标，再由abab+=-rrrr求解.【详解】解：因为向量2,1a=-r，,2bm=r，所以2,3,2,1abmabm+=-+-=---rrrr，又因为abab+=-rr

rr，第3页/共18页学科网（北京）股份有限公司所以22222321mm-++=--+-，解得1m=，故选：D5.已知π()0,aÎ，且3cos28cos5aa-=，则sina=（）A53B.23C.13D.59【答案】A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方

程转化为关于cosa的一元二次方程，求解得出cosa，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos5aa-=，得26cos8cos80aa--=，即23cos4cos40aa--=，解得2cos3a=-或c

os2a=（舍去），又25(0,),sin1cos3apaaÎ\=-=Q.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.6.若圆C经过点2,5A，4,3B，且圆心在直线l：330xy--=上，则圆C的方程为（）A.

22234xy-+-=B.22238xy-+-=C.22362xy-+-=D.223610xy-+-=【答案】A【解析】【分析】求解AB的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆C经过点2,5A，4,3B，

可得线段AB的中点为3,4，又53124ABk-==--，.第4页/共18页学科网（北京）股份有限公司所以线段AB的中垂线的方程为43yx-=-，即10xy-+=，由10330xyxy-+=ìí--=î，解得

23xy=ìí=î，即2,3C，圆C的半径2222532r=-+-=，所以圆C的方程为22234xy-+-=.故选：A.7.已知两点2,3A-，3,2-B，直线l过点1,

1P且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.144k-££-B.4k£-或14k³-C.344k-££D.344k-££【答案】B【解析】【分析】数形结合法，讨论直线l过A、B时对应的斜率，进而判断率k的范围.【详解】如下图示，当直线

l过A时，31421k--==--，当直线l过B时，211314k-==---，由图知：4k£-或14k³-.故选：B8.在三棱锥PABC-中，90BACÐ=°，22AB=，,EF分别为,BCPB的中点，异面直线EF与第5页/

共18页学科网（北京）股份有限公司AC成角为30°，EFAB^，23PB=，PACÐ为钝角，则三棱锥PABC-的外接球的表面积为（）A.32πB.28πC.24πD.20π【答案】C【解析】【分析】由已知得30Ð=°PCA，可通过构造直棱柱或构造直角三角形，求出外接球半径计算表面积.【详

解】因为,EF分别为,BCPB的中点，所以//EFPC，所以异面直线EF与AC成角为PCAÐ或其补角，由PACÐ为钝角可知，30Ð=°PCA，因为EFAB^，则ABPC^，又ABAC^，ACPCC=I，,ACPC

Ì平面PAC，所以AB^平面PAC，由PAÌ平面PAC，则ABPA^，因为22AB=，23PB=，所以1282PA=-=，由正弦定理可知，△PAC外接圆的半径为122sin30PAr=´=°，方法一：以PAC为底面，AB为侧棱构造

直三棱柱，设三棱锥PABC-的外接球的半径为R，球心到平面PAC的距离为d，则222Rrd=+，因为22ABd==，所以2426R=+=，所以三棱锥PABC-的外接球的表面积为24π24πSR==．方法二：设△PAC的外接圆的圆心为M，三棱锥PABC-的外接球的球心为

O，第6页/共18页学科网（北京）股份有限公司在RtABC△中，其外接圆的圆心为E，取AC的中点D，连接,,,OMOEDEDM，由球的性质可知，OM^平面PAC，OE^平面ABC，因为//DEAB，所以DE^平面PAC，则//DEOM，则四边形OMDE为矩形，12

2OMDEAB===，由球的性质可知，226OAAMOM=+=，则三棱锥PABC-的外接球的半径为6，所以三棱锥PABC-的外接球的表面积为24π24πSR==.故选：C．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数ππsin()0,0,22fAxAxwjwjæö=+>>-<<ç÷èø的部分图象如图所示，则（）A.fx的最小正周期为πB.当ππ,44xéùÎ-êúëû时，fx的值域为33,22é

ù-êúëûC.将函数fx的图象向右平移π12个单位长度可得函数()sin2gxx=的图象D.将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06æöç÷èø对称【答案】ACD【解析】【分析】先根据si

n()yAxwj=+中A，w，j的几何意义，求得()fx的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可．第7页/共18页学科网（北京）股份有限公司【详解】由图可知，1A=，函数fx的最小正周期5ππ4π126Tæö=´-=ç÷èø，故A正确；由2π

,0Tww=>，知2π2π2πTw===，因为π16fæö=ç÷èø，所以πsin216jæö´+=ç÷èø，所以ππ2π32kj+=+，ZkÎ，即π2π6kj=+，ZkÎ，又ππ22j-<<，所以π6j=，所以π()sin26fxxæö=+ç÷èø，对于B，当ππ,44xéù

Î-êúëû时，ππ2π2,633éù+Î-êúëûx，所以π3sin2,162xéùæö+Î-êúç÷èøëû，所以fx的值域为3,12éù-êúëû，故B错误；对于C，将函数()fx的图象向右平移π12个单位

长度，得到ππ()sin2sin2126gxxxéùæö=-+=ç÷êúèøëû的图象，故C正确；对于D，将函数()fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到πsin6yxæö=+ç÷èø的图象，因为当5π6x=时，5ππsinsinπ066

yæö=+==ç÷èø，所以得到的函数图象关于点5π,06æöç÷èø对称，故D正确．故选：ACD．10.一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件A=“两次取出球的标号为1和4”

，事件B=“第二次取出球的标号为4”，事件C=“两次取出球的标号之和为5”，则（）A.112=PAB.112PAB=C.事件A与C不互斥D.事件B与C相互独立【答案】BCD【解析】【分析】先利用古典概率公

式分别计算PA，PB，PC，PAB，PBC，再利用互斥事件的定义和相互独立事件的概率公式逐一判断四个选项即可得正确选项.第8页/共18页学科网（北京）股份有限公司【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次取出一个球，全部的基本事件有：1,2，1,3，(1,4

)，(2,1)，(2,3)，2,4，3,1，3,2，3,4，4,1，4,2，4,3共12个，事件A发生包含的基本事件有：(1,4)，4,1有2个，事件B发生包含的基本事件有：(1,4)，2,4，3,4有3个，所以2131,12

6124PAPB====，故A错误；事件C发生包含的基本事件：(1,4)，(2,3)，3,2，4,1有4个，41123PC==，事件AB发生包含的基本事件：(1,4)有1个，112PAB=，故B正确；事件AC发生包含的基本事件：(1,4)，4,1有2个，故事件A与C不互斥

，故C正确；事件BC发生包含的基本事件：(1,4)有1个，112PBC=，因为1113412PBPCPBC=´==，所以B与C相互独立，故选项D正确；故选：BCD.11.（多选）已知定义域为R的函数()fx在(1,0]-上单调递增，(1)(1)f

xfx+=-，且图象关于点(2,0)对称，则下列结论正确的是（）A.(0)(2)ff=B.()fx的最小正周期2T=C.()fx在(1,2]上单调递减D.(2021)(2022)(2023)fff>>【答案】AC【解析】【分析】对于A,由(1)(1)fxfx+=-知，

()fx图象的对称轴为直线1x=，进而可以判断A选项；对于B,由条件(1)(1)fxfx+=-及()fx关于点(2,0)对称，经过变形可以推导出()fx的周期，再由单调性可知最小正周期；对于C,由条件()fx在(1,0]-上单调递增，()fx关于点(2,0)对

称及()fx的周期可以推导出()fx在(1,2]上的单调性；对于D,根据周期化简得(2021)(1),(2022)(2),(2023)(1)ffffff===-，再根据对称性，单调性即可判断.第9页/共18页学科网（北京）股份

有限公司【详解】对于A，由(1)(1)fxfx+=-知，()fx图象的对称轴为直线1x=，则(0)(2)ff=，A正确；对于B，由(1)(1)fxfx+=-知，(2)()fxfx+=-，由()fx图象关于点(2,0)对称，即(2)(2)fxfx+=--，故(4)()fxfx+=--，所以(2)(

4)fxfx-+=+，即()(2)fxfx-=+，所以()(4)fxfx=+，因为()fx图象的对称轴为直线1x=，所以图象关于点(0,0)对称，所以()fx为奇函数，因为()fx的定义域为R,所以(0

)0f=，因为()fx在(1,0]-上单调递增，所以()fx在(1,1)-上单调递增，()fx在(1,3)上单调递减，所以()fx的最小正周期为4，B错误；对于C，由选项B知，()fx在(1,2]上单调递

减，C正确；对于D，根据()fx的周期为4，可得(2021)(1),(2022)(2),(2023)(1)ffffff===-，而(2)(0)ff=，由选项B知，函数()fx在(1,1)-上单调递增，而1±不在单调区间内，若(1)(1)0ff-==，则(2021)(2022)(202

3)fff>>不成立，D错误．故选：AC第Ⅱ卷（非选择题，共92分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知直线1:210lxmy

++=与2:310lxy--=平行，则m的值为__________．【答案】23-【解析】【分析】根据两直线平行的判定方法求解即得.【详解】因为直线1:210lxmy++=与2:310lxy--=平行，则32,m=

-且1m-¹-，解得23m=-．故答案为：23-.第10页/共18页学科网（北京）股份有限公司13.若*,mnÎR，且242mn×=，则21mn+的最小值为______.【答案】8【解析】【分析】由242mn×

=可得21mn+=，*,mnÎR，再与21mn+相乘构建积定式,继而可用基本不等式求最小值.【详解】Q242mn×=\222mn+=可得21mn+=，*,mnÎR，212144222248nmnmmnmnmnmnmnæö\+=++=+++³´+=ç÷èø（当且仅当14,,212

14nmmmnmnnìì=ïï=ïïÞííïï+==ïïîî时取等号）故答案为：8.14.胡夫金字塔是埃及人智慧的结晶，其形状近似一个正四棱锥，古希腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积等于金字塔高的平方，则正四棱锥侧面底边上的高

与底面边长一半的比值为________．【答案】152+【解析】【分析】根据题意，正四棱锥的结构特征，以及平面几何知识即可求出．详解】如图所示：正四棱锥SABCD-中，O为S在底面上的投影，设CD的中点为E，正四棱锥的底面边长

为2a，SOh=，1SEh=，则由题意21ahh=①，在RtSOEV中，由勾股定理得2221ahh+=②；由①，②消去.【第11页/共18页学科网（北京）股份有限公司h联立得2211aahh+=，同除2a，得21121hhaa+=，

设1hta=，则210tt--=，解得1152t+=，2152t=-（舍去），所以正四棱锥侧面底边上的高与底面边长的一半的比值为152+．故答案为：152+．四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.圆

C的圆心为2,0C，且过点33,22Aæöç÷ç÷èø.（1）求圆C的标准方程；（2）直线:10lkxy++=与圆C交,MN两点，且2MN=，求k.【答案】（1）2221xy-+=（2）1k=-或17-【解析】【分析】（1）利用两点间距离公式求出圆的半

径，写出圆的标准方程；（2）求出圆心2,0C到直线:10lkxy++=的距离，利用垂径定领列出方程，求出k.【小问1详解】设圆的半径为r，则223320122ræöæö=-+-=ç÷ç÷ç÷èøèø，故圆的标准方程为：2221xy-+=；【小问2详解】设圆心

2,0C到直线:10lkxy++=的距离为d，则2211kdk+=+，由垂径定理得：2222MNdræö+ç÷=èø，第12页/共18页学科网（北京）股份有限公司即222212121kkæöæö++=ç÷ç÷ç÷+è

øèø，解得：1k=-或17-.16.在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，222acbac+-=；（1）求角B的大小；（2）设BC中点为D，且3AD=；求2ac+的最大值及此时ABCV的面积.【

答案】（1）3p；（2）2ac+的最大值为43，面积为：332.【解析】【分析】（1）根据余弦定理求角B的大小；（2）设BADqÐ=，ABD△中，利用正弦定理表示,ABBD，并利用三角函数表示2ac+，并利用三角函数求最大值，求得q，以及,ac，并表示三角形的面积.【详解】（1）因为222acba

c+-=，由余弦定理可知2221cos222acbacBacac+-===，因为(0,)BpÎ，所以3Bp=.（2）设BADqÐ=，则在BADV中，由3Bp=可知2(0,)3pqÎ，由正弦定理及3AD=有22sinsin()sin33BDABAD

ppqq===-，所以22sin,2sin()3cossin3BDABpqqqq==-=+，所以24sin,3cossinaBDcABqqq====+，从而223cos6sin43sin()6acpqqq+=+=+，由2(0,)3pqÎ可知5(,)666pppq+Î，所以当62ppq+=

，即3pq=时，2ac+的最大值为43，此时233ac==,，所以133·sin22SacB==.【点睛】关键点点睛：本题考查正余弦定理，三角函数恒等变换和三角函数的性质，第二问的关键是利用正弦定理，利用角表示边长，转化为三角函数求最值.第13页/共18页学科网（北京）股份有限公司17

.如图，已知在四棱锥PABCD-中，PA^平面ABCD，点Q在棱PA上，且33AQQP==，底面为直角梯形，90CDABADÐ=Ð=°，2AB=，1CD=，2AD=，M，N分别是PD，PB的中点．（1）求证：//MQ平面PCB；（2）求直线BC与平面MCN所成角

的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）36【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，证出MQ与平面PCB的法向量垂直即可；（2）先求出直线BC与平面MCN法向量夹角的余弦值，从而得出直线BC与平面MCN所成角的正弦值.【小问1详解】证明：如图，以A为原点，以AD，AB，AP所

在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz-，由题意可得：(0,0,0)A，(0,2,0)B，2,1,0C，2,0,0D，(0,0,4)P，(0,0,3)Q，2,0,22Mæöç÷ç÷èø，(0,1,2)N，2,1,0BC\=-uuur，(0,2

,4)PB=-uuur，2,0,12MQæö=-ç÷ç÷èøuuuur，设0111,,nxyz=uur为平面PBC的法向量，则有：0000nBCnPBì×=ïí×=ïîuuruuuruuruuur，即111120240xyyzì-=ïí-=ïî，令11z=，则

平面PBC的法向量02,2,1n=uur，02,0,12,2,102MQnæö\×=-×=ç÷ç÷èøuuuuruur，第14页/共18页学科网（北京）股份有限公司又MQÌ/平面PCB，//MQ\平面PCB．【小问2详解】解：设(,,)n

xyz=r为平面MCN的法向量，又2,1,22CMæö=--ç÷ç÷èøuuuur，2,0,2CN=-uuur，则有：00nCMnCNì×=ïí×=ïîuuuurruuurr，即2202220xyzx

zì--+=ïíï-+=î，令1z=，则平面MCN的法向量2,1,1n=r，又2,1,0BC=-uuur，设直线BC与平面MCN所成角q，13sincos,623nBCnBCnBCq×\====´×uuurruuurruuurr，\直线BC

与平面MCN所成的角的正弦值为36．18.某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电进行了调查，通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[50

0，600），[600，700），[700，800），[800，900]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.为第15页/共18页学科网（北京）股份有限公司（1）求直方图中m的值并估计居民月均用电量的中位数；（2）现从第8组和第

9组的居民中任选取2户居民进行访问，则两组中各有一户被选中的概率.【答案】（1）0.0015m=，中位数为408度；（2）815.【解析】【分析】（1）由小矩形的面积之和等于1列方程可得m的值，根据中位数左右两边小矩形面积都为0.5可得中位数；（2）求出

第8组和第9组的居民的户数，求出从中任选取2户基本事件的总数以及两组中各有一户包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.【详解】（1）0.00040.00080.00210.00250.00060.0004

0.00021001mm++++++++´=，解得：0.0015m=，设中位数是x度，前5组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5++++=>，而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<，所

以中位数位于第5组，由0.50.484001000.25x--=´，解得：408x=，即居民月均用电量的中位数为408度.（2）第8组的户数为0.00041001004´´=，分别设为1,2,3,4，第9组的户数为0.00021001002´´=，分别设为,ab，则从中任选

出2户的基本事件为：1,2，1,3，1,4，1,a，1,b，2,3，2,4，2,a，2,b，3,4，3,a，3,b，4,a，4,b，,ab共15个，其中两组中各有一户被选中的基本事件为：第16页/共18页学科网（北京）股份有限公司

1,a，1,b，2,a，2,b，3,a，3,b，4,a，4,b共有8个，所以第8，9组各有一户被选中的概率815P=.19.对于函数1fx、2fx、hx，如果存在实数a、

b使得12hxafxbfx=+，那么称hx为1fx、2fx的生成函数.（1）若1sinfxx=，2cosfxx=，sin3hxxpæö=+ç÷èø，则hx是否分别为1fx、2fx生成函

数？并说明理由；（2）设12logfxx=，212logfxx=，2a=，1b=，生成函数hx，若不等式420hxthx+<在2,4xÎ上有解，求实数t的取值范围；（3）设10fxxx=>，210fxxx=>取0a>，0b>

，生成函数hx图象的最低点坐标为2,8，若对于任意正实数1x、2x且121xx=+，试问是否存在最大的常数m，使12hxhxm³恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）是；理由见解析；（2）4,3æö-¥-ç÷èø；（3）存在，且289

m=.【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式将函数sin3hxxpæö=+ç÷èø的解析式展开，利用题中的定义可判断出yhx=是1yfx=、2yfx=的生成函数；（2）先得出函数2loghxx=，根据题意得出22log4l

og20xtx+<在2,4xÎ上有解，设2log1,2mx=Î，利用参变量分离法得出21mtm+<-+，可得出max21mtm+æö<-ç÷+èø，求出函数21mym+=-+在1,2mÎ上的最大值，即可得出实数t的取值范围；（3）先得出函数

bhxaxx=+，利用题意以及基本不等式得出2a=，8b=，然后利用基本不等式求出12hxhx在条件121210,0xxxx+=ìí>>î下的最小值，即可得出m的取值范围，即可求出m的最大值.【详解

】（1）13sinsincoscossinsincos33322hxxxxxxpppæö=+=+=+ç÷èøQ的第17页/共18页学科网（北京）股份有限公司121322fxfx=+，因此，yhx=是分别为1yfx=、2yfx=的生成函数；（2）由题意可得

2122222loglog2loglogloghxxxxxx=+=-=，由于不等式420hxthx+<在2,4xÎ上有解，即22log4log20xtx+<，化简得222log1log0xtx+++<，令

2log1,2mx=Î，则有210mtm+++<，得21111mtmm+<-=--++，由题意可得max21mtm+æö<-ç÷+èø，由于函数111ym=--+在1,2mÎ上单调递增，所以，max141213y=--=-+，43t\<-.因此，实数t的取值范围

是4,3æö-¥-ç÷èø；（3）由题意可得0,0,0bhxaxabxx=+>>>，Q函数yhx=图象的最低点坐标为2,8，由基本不等式得22bbhxaxaxabxx=+³×=，当且仅当baxx=时，即当bxa=时，等号成立

，则228baabì=ïíï=î，解得28ab=ìí=î，82hxxx\=+.2112121212121216168864224xxhxhxxxxxxxxxxxæöæö=++=+++ç÷ç÷èøèø2221212121212121212121212264648041

6416432xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+-+=++×=++×=+-.令120txx=>，由基本不等式得1212124xxtxx+æö=£=ç÷èø，由双勾函数的单调性知，函数80432ytt=+-在10,4tæùÎçúèû上单调递减，则min14804322894y=

´+´-=，289m\£.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司因此，存在最大值的常数289m=.【点睛】本题考查的知识点“生成函数”定义，同时也考查了利用不等式成立求参数的取值范围，以及利用基本不等式以及双勾函数的单调性求解

有关参数的问题，考查函数方程思想的应用，属于中等题.