【文档说明】高二数学北师大版必修5教学教案：3.2.2 一元二次不等式的应用 （1）含解析【高考】.doc，共(3)页，579.500 KB，由小赞的店铺上传

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1一元二次不等式的应用整体设计教学分析一元二次不等式的应用非常广泛，它贯穿于整个高中数学的始终，诸如集合问题，方程解的讨论，函数定义域、值域的确定等，都与不等式有着密切的关系．一元二次不等式在生产生活中也有广泛的应用．本节课主要探究一元二次不等式在解分式不等式与简单高次不等式的应用．这两个例题均

体现了一种形式之间的转化．由此向学生点明，在解数学题时转化的必要性，让学生体会转化的数学思想方法．让学生体会，如何将前面解一元二次不等式的数形结合的思想方法，用在解决一个没有见过的新的较复杂的不等式的求解中．既

是一种思维上的创新，同时也是一种挑战．教学时要注重分析过程，从分析所显示的函数的各种信息中，想象出函数图像的轮廓，从而得出不等式的解．整个解题过程体现了一种方法的类比与转化，但在教学中应控制难度，只限于a≠0时形如a(x－x1)(x－x2)(x－x3)＞

0(＜0)的不等式．三维目标1．围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合思想．2．根据实数运算的符号法则，会将分式不等式与简单的高次不等式转化为与其等价的两个或多个不等式，同时注意分式不等式的同解变形．3．通过一元二次不等式的应用的学习，体会转化与归

纳、数形结合思想的运用，体验数学的奥妙与数学美，激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：分式不等式与简单的高次不等式．教学难点：一元二次不等式的实际应用．课时安排1课时教学过程（一）复习回顾上一小节中，我们讨论了一元二次不等式的解法一元二次不等式解法的一般步骤

:若二次项系数a>01.求相应方程根的情况;2.根据根的情况画相应的函数图像简图;3.根据简图写出原一元二次不等式的解集.若二次项系数a<0先在不等式两边乘以-1,将二次项系数变成正数.注意:此时不等式的不等号方向改变本节课我们一

起探究一元二次不等式在分式不等式、简单的高次不等式以及在实际问题中的应用．（二）新知探究活动一：小组合作共同探究问题1解分式不等式：x＋1x－3≥0引导：如何把它转化成整式不等式求解．从而使问题化繁为简，化难为易．解法一分类讨论①当03−x，即3x时，01

+x，故有1−x。从而3x。②当03−x，即3x时，01+x，故有1−x。从而1−x。综上所述原不等式的解集为{x|x≤－1或x＞3}．2解法二按商的符号法则不等式x＋1x－3≥0可转化成不等式(x＋1)(x－3)≥0，但x≠3.解这个不等

式，可得x≤－1或x＞3，即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x＞3}．思考交流如何根据实数运算的符号法则转化分式不等式？解分式不等式的关键是转化，根据实数运算的符号法则，分式不等式的同解变形有如下几种：(1)f(x)g(x)＞0f(x)·g(x)＞0；(2)f(

x)g(x)＜0f(x)·g(x)＜0；(3)f(x)g(x)≥0f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0；(4)f(x)g(x)≤0f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0.应用示例解分式不等式：5x＋1x＋1＜3.解不等式5x＋1x＋1＜3可

改写为5x＋1x＋1－3＜0(不等式的右边为0)，即2(x－1)x＋1＜0.同解于2(x－1)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜1.故原不等式的解集为()1,1−点评：教师引导学生认真反思本例的思想方法，领悟这种转化的应用，但要注意转化的等价性．同时提醒

学生注意最后结果要写成集合或区间的形式.变式训练1求下列不等式的解集．.1132)2(;0432)1(−+++xxxx活动二：小组合作共同探究问题2解不等式(x－1)(x－2)(x－3)＞0.引导：①是否可以通过分类讨论转化为二次不等式问题；②是否可以利用解一

元二次不等式的数形结合的思想方法．本例我们虽然没有见过，但可利用对函数图像的分析来解决这个问题．让学生探究函数图像的大致形状，由此写出不等式的解集．解法一分类讨论①当1x时，()()032−−xx，该不等式的解集为()()+

−,32,，故()()+,32,1。②当1x时，()()032−−xx，该不等式的解集为()3,2，交集为。综上所述原不等式的解集为()()+,32,1。3解法二数形结合设f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(1)显然，y＝f(x)的图像

与x轴的交点有三个，它们的坐标依次是(1,0)，(2,0)，(3,0)；(2)函数y＝f(x)的图像把x轴分成了四个不相交的区间，它们依次为(－∞，1)，(1,2)，(2,3)，(3，＋∞)；(3)当x＞3时，f(x)＞0.又函数y＝f(x)的图像是一条不间断的曲线，并且f(x)的符号

每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化，由此知道y＝f(x)的函数值的符号如图1所示．图1变化规律很明显，从右到左在每个区间符号正负相间．通过分析，知道不等式(x－1)(x－2)(x－3)＞0的解集为(1,2)∪(3，＋∞)．点评：如果把函数f(x)图

像与x轴的交点(1,0)，(2,0)，(3,0)形象地看成“针眼”，函数f(x)的图像看成“线”，那么上述这种求解不等式(x－1)(x－2)(x－3)＞0的方法，我们形象地把它称为穿针引线法．抽象概括：简单高次不等式，可利用对函数图像的分析来解决这个问题．探究函数图像的大致

形状。先在数轴上标出相应方程的所有根，当最高次项系数大于0时，从右上方用一条曲线从大到小依次穿过这些根。根据数轴上方表示大于0，下方表示小于0写出不等式的解集．变式训练2求下列不等式的解集()()()()()()

()()().02153)3(;01313)2(;0531)1(−−+++−−−+xxxxxxxxx课堂小结：分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时，每一步变形，都应是不等式的等价变形．在等价变形时，要注意什么时候取交集，什么时候取并集．在取交集、并集时，可以借助

数轴的直观效果，这样可避免出错．带等号的分式不等式，要注意分母不能为零．作业:课本87页第8题