【文档说明】四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高二6月月考（期中考试）数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(20)页，1.431 MB，由小赞的店铺上传

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仁寿一中北校区高二数学半期试卷（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知复数12zi=−，则z=()A.5B.1+2iC.1255i+D.1255i−【答案】B【解析】【分析】

根据共轭复数的定义易得.【详解】解：复数12zi=−，则12zi=+.故选：B.【点睛】考查共轭复数的定义，基础题.2.某同学为了调查支付宝中的75名好友的蚂蚁森林种树情况，对75名好友进行编号，分别为1，2，…，75，

采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知11号，26号，56号，71号好友在样本中，则样本中还有一名好友的编号是（）A.40B.41C.42D.39【答案】B【解析】【分析】根据系统抽样等距性即可确定结果.【详解】根据系统抽样等距性得：11号，26号，56号，71号以及还有一名好友的编号

应该按大小排列后成等差数列，261115,562630,715615−=−=−=Q样本中还有一名好友的编号为26号与56号的等差中项，即41号，故选：B【点睛】本题考查系统抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.3.如图所示，程序框图(算

法流程图)的输出结果是()A.16B.2524C.34D.1112【答案】D【解析】【分析】模拟程序图框的运行过程，得出当n8=时，不再运行循环体，直接输出S值．【详解】模拟程序图框的运行过程，得S=0,n=2,n<8满足条件，进入循环：S=1,4,2n=满足条件，进入循环：11,6,24

sn=+=进入循环：111,8,246sn=++=不满足判断框的条件，进而输出s值，该程序运行后输出的是计算：11111S24612=++=．故选D．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．根据程序框图（或伪代码）写

程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型

，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．4.甲同学在“眉山好声音”歌唱选拔赛中，5位评委评分情况分别为76，77，88，90，94，则甲同学得分的方差为（）A.52B.50C.51D.53【答案】A【解析】【分析】由题意先计算

出x，再由方差的计算公式即可得解.【详解】由题意76，77，88，90，94的平均数为7677889094855x++++==，故所求方差()()()()()22222276857785888590859485525s−+−+−+−+−==.故选：A.

【点睛】本题考查了一组数据方差的计算，熟记方差的计算公式是解题关键，属于基础题.5.命题“若22x，则2x”的否命题为（）A.若22x=，则2x且2x−B.若22x，则2x=且2x=−C.若22x=，则2x=或2x=−D.若22x，则2x或2x−【答案】C【解

析】【分析】根据否命题的定义即可得解．【详解】“若22x，则2x”的否命题是：“若22x=，则2x=或2x=−”，故选：C．【点睛】本题考查命题的否定形式是将条件、结论同时否定，注意与命题的否定的区别，属于基础题．6.某小组有2名男生和3名女生，从中任选2

名同学参加演讲比赛，那么至多一名女生参加的概率为（）A.710B.310C.110D.910【答案】A【解析】【分析】由题意列出所有的基本事件和符合要求的基本事件，利用古典概型概率公式即可得解.【详解】设两

名男生为A、B，三名女生为C、D、E，则从5人中任选2名同学参加演讲比赛的基本事件为：,AB、,AC、,AD、,AE、,BC、,BD、,BE、,CD、,CE、,DE，共10种；至多一名女生参加的基

本事件为：,AB、,AC、,AD、,AE、,BC、,BD、,BE，共7种；故所求概率710P=.故选：A.【点睛】本题考查了列举法解决古典概型概率问题，关键是准确列出所有基本事件

，属于基础题.7.()()25270127121xxaaxaxax+−=++++，则1234567aaaaaaa−+−+−+等于（）A.32B.-32C.-33D.-31【答案】D【解析】【分析】先令x=0得1=0a.再令x=-1即得解.【详解】令x=0得1=0a.令x=-1得32=01

2345671234567=1aaaaaaaaaaaaaaa−−+−−−−+++−−++,所以1234567=31aaaaaaa−+−+−+−.故选D【点睛】本题主要考查二项式定理求系数和差的值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若f（x）321132xx=−++2ax在

（1，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是()A.（﹣∞，0]B.（﹣∞，0）C.[0，+∞）D.（0，+∞）【答案】D【解析】【分析】f(x)在(1,+∞)上存在单调递增区间,等价于()fx>0在(1,+∞)上有解.因此结合()

fx的单调性求出其在(1,+∞)上的最值,即可得出结论.【详解】f(x)321132xx=−++2ax在(1,+∞)上存在单调递增区间,只需()fx>0在(1,+∞)上有解即可.由已知得2()2fxxxa=−++,该函数开口向下,对称轴为12x=,故()fx在(1,+∞)上递减,所以(

1)f=2a>0,解得a>0.故选:D.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.9.甲、乙两人约定某天晚上6：00～7：00之间在某处会面，并约定甲早到应等乙半小时，而乙早到无需等待即可离去，那么两人能会面的概率是（）A.58B.13C.18D.38【答案】D【解析】【分析】

由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是{(,)|01xyx=剟，01}y剟，写出满足条件的事件是{(,)|01Axyx=剟，01y剟，12yx−，}xy，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．【详解】解：由题意知本题是

一个几何概型，设甲到的时间为x，乙到的时间为y，则试验包含的所有事件是{(,)|01xyx=剟，01}y剟，事件对应的集合表示的面积是1S=，满足条件的事件是{(,)|01Axyx=剟，01y剟，12yx−

，}xy，则()1,1B，1,12C，10,2D，则事件A对应的集合表示的面积是111131122228−=，根据几何概型概率公式得到33818P==；所以甲、乙两人能见面的概率38P=．故选：D．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，要解决此问题，一

般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果．10.从0、1、2、3、4、5中选出四个数，组成没有重复数字的四位数，其中偶数有（）A.156B.108C.360D.180【答案】A【解析】【分析】对个位数是否为0

进行分类讨论，利用分类加法计数原理可求得结果.【详解】若个位数为0，则其余三个数位上的数没有限制，此时，符合条件的四位数的偶数个数为3560A=；若个位数不是0，则个位数为2或4，首位不能排0，此时，符合条件的四位数的偶数个数为

242496A=.综上所述，符合条件的四位数的偶数个数为6096156+=.故选：A.【点睛】本题考查数字的排列问题，解题时要对个位数字是否为零进行分类讨论，考查分类加法计数原理的应用，考查计算能力，

属于中等题.11.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程2xx+=

确定出来x＝2，类似地不难得到11111+++＝（）A.512−−B.512−C.512+D.152−【答案】C【解析】【分析】根据已知求222+++的例子，令11(0)111xx+=++，即11xx+=，解方程即可得到x的值.【详解】令11(0)1

11xx+=++，即11xx+=，即210xx−−=，解得152x+=(152x−=舍)，故11511211++=++故选：C【点睛】本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关

键，属于基础题.12.已知函数()fx的导数()fx满足()(1)()0fxxfx++对xR恒成立，且实数x，y满足(1)()(1)()0xfxyfy+−+，则下列关系式恒成立的是（）A.331111xy++B.xyeeC.xyxyeeD.si

nsinxyxy−−【答案】D【解析】【分析】令()(1)()gxxfx=+，求导后结合题意可得函数()gx单调递增，进而可得xy；举出反例可判断A、C；由指数函数的单调性可判断B；令()sinhxxx=−，求导后由函数单调性可判断D；即可得解

.【详解】令()(1)()gxxfx=+，则()()(1)()0gxfxxfx=++，所以函数()gx单调递增，又(1)()(1)()0xfxyfy+−+，所以(1)()(1)()xfxyfy++，所以xy，对于A，当2x=，2y=−时，31119x=+，31117y=−+，

此时331111xy++，故A错误；对于B，由指数函数的单调性可得xyee，故B错误；对于C，当0x=，1y=−时，0xxe=，11yyeee−−==−，此时xyxyee，故C错误；对于D，令()sinhxxx=−，则()1cos0hxx=

−，所以函数()hx单调递增，所以sinsinxxyy−−即sinsinxyxy−−，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与构造新函数的能力，合理构造新函数是解题关键，属于中档题.二

、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1313izi+=−（i为虚数单位）的虚部是__________.【答案】32【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则可得1322zi=−+，再由复数虚部的概念即可得解

.【详解】由题意()()()2131322313422131313iiiziiii++−+====−+−−+.所以z的虚部是32.故答案为：32.【点睛】本题考查了复数的运算及复数虚部的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.14.已知[

1,2]x−，则函数()xfxxe=−的值域是__________.【答案】22,1e−−【解析】【分析】对函数()fx求导后，根据()0fx、()0fx的解集，确定函数()fx的单调区间，进而可得函数()fx的最值，即可得解.【详解】对函数()fx求导得()1xf

xe=−，所以当1,0x−时，()0fx，函数()fx单调递增；当0,2x时，()0fx，函数()fx单调递减；又1(1)1fe−−=−−，0(0)01fe=−=−，()2(2)21fef=−−，所以函数()xf

xxe=−的值域是22,1e−−.故答案为：22,1e−−.【点睛】本题考查了利用导数求函数的值域，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题.15.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物

四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为_________.【答案】96【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，①选出的4人没有甲；②选出的4人有甲；分别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案【详解】根据题意，从5名学生中选出4

人分别参加竞赛，分2种情况讨论：①选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有4424A=种情况；②选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有3424A=，则此时共有324=7

2种选法；综上，总共有24+72=96种不同的参赛方案；答案选D【点睛】本题考查分类计数原理，属于基础题16.已知函数()211020xexxxefxlnxxx−−+=，，＞，若方程f（x）﹣m=0恰有两个实根，则实数m的取值

范围是_____.【答案】(10e−，【解析】【分析】通过求导，得出分段函数各段上的单调性，从而画出图像.若要方程f（x）﹣m=0恰有两个实根，只需y=m与y=f（x）恰有两个交点即可，从

而得出m的取值范围.【详解】（1）x≤0时，f′（x）=ex﹣x﹣1，易知f′（0）=0，而f″（x）=ex﹣1＜0，所以f′（x）在（﹣∞，0]上递减，故f′（x）≥f′（0）=0，故f（x）在（﹣∞，0]上递增，且f（x）

≤f（0）11e=+，当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞.（2）x＞0时，()21'lnxfxx−=，令f′（x）＞0，得0＜x＜e；f′（x）＜0得x＞e；故f（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）递减，故x＞0时，()1()maxfxfee==；x→0时，f（x）→﹣∞；x→+∞时，f（

x）→0.由题意，若方程f（x）﹣m=0恰有两个实根，只需y=m与y=f（x）恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：如图所示，当直线y=m在图示①，②位置时，与y=f（x）有两个交点，所以m的范围是：(10e−，.故答案为：(10e

−，.【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18—22题，每小题12分17.已知二项式122nxx

+；（1）若展开式中第5项为常数项，求其常数项.（2）若展开式中第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.【答案】（1）60；（2）524352Tx−=，575

Tx=【解析】【分析】（1）首先写出二项式展开式的通项，由第5项为常数项，求出n，从而计算可得；（2）依题意可得1Cn，2Cn，3Cn成等差数列，即可得到方程求出n，即可求解；【详解】解：（1）()11C22nkkkknTxk

−+=212C2nkkkkknnxx−−=32212C2nkknkknx−−=.∵展开式中第5项为常数项，∴41224424112C2nnnTx−−+=，12221nx−=，6n=∴常

数项为60.（2）由题意得：第2项二项式系数：1Cn，第3项二项式系数：2Cn，第4项二项式系数：3Cn，132CC2Cnnn+=，∴7n=，∴二项式系数最大的项为第4项，第5项，73553322471352C22Tx

x−−−==，74441571752C2Txx−−==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，特定项系数的求法，考查计算能力，属于中档题．18.已知命题p：xR，240mxxm++．()1若p为真命题，求实数m的取值范围；()2若有命题q：

2,8x，2log10mx+，当pq为真命题且pq为假命题时，求实数m的取值范围．【答案】（1）14m−（2）1m−或14m−.【解析】【分析】（Ⅰ）由题得0m且21160m=−，解不等式即得m的取值范围.（Ⅱ）先转化为2,8x，21logm

x−，再求21logx−的最大值得m的范围，因为pq为真命题且pq为假命题时，所以p真q假或p假q真，从而得到关于m的不等式组，解不等式组即得解.【详解】（Ⅰ）∵xR，240mxxm++，∴0m

且21160m=−，解得01144mmm−或∴p为真命题时，14m−.（Ⅱ）2,8x，2log102,8mxx+，21logmx−.又2,8x时，2111,log3x−−−，∴1

m−.∵pq为真命题且pq为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有114mm−−，解得14m−；当p真q假，有114mm−−，解得1m−；∴pq为真命题且pq为假命题时，1m−或14m−【点睛】(

1)本题主要考查不等式的恒成立问题，考查不等式的存在性问题，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.19.某校在高二数学竞赛初赛后，对90分及以上的成绩进行统计，其频

率分布直方图如图所示，若130,140分数段的参赛学生人数为2.（1）求该校成绩在100,120分数段的参赛学生人数；（2）估计90分及以上的学生成绩的众数、中位数和平均数（结果保留整数）【答案】（1）28人；（2）众数为115，中位数约为113，平均数约为113【解析】【分析】（

1）首先求分数在130,140分数段的参赛学生的频率，再求样本容量，再求成绩在100,120的频率，最后求人数；（2）众数是频率分布直方图最高的矩形所在成绩区间的中点，中位数的左右两侧的频率分别都是0.5，平均数是每一组的

中间值乘以本组的频率的和，根据定义分别计算.【详解】解：（1）由题可知：130,140分数段的参赛学生频率为：0.005100.05=，∴2==400.05N总（人）.∵成绩在)100,120分数段的参赛学生

频率为：()0.0450.02510=0.7+，∴该校成绩在)100,120分数段的参赛学生人数为：400.7=28（人）.（2）由图可知：90分及以上的学生成绩的众数为110120=1152+（分）.设90分及以上的学生成绩的中位数为x.∵0.01100.02510=0.35

0.5+，∴()1100.0450.350.5113xx−+=，∴90分及以上的学生成绩的中位数为113分.90分及以上的学生成绩的平均数为：0.0110950.025101050.045101150.015101250.00510135+++

+112.7113=∴90分及以上的学生成绩的众数为115，中位数约为113，平均数约为113.【点睛】本题考查频率分布直方图的简单应用，重点考查样本容量，频率，频数，中位数，众数，平均数，属于基础题型.20.某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计

数据如下表：月份x12345销量y（百台）0.60.81.21.61.8（1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量y（百件）与月份x之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程ˆˆˆybxa=+，并预测6月份该商场空调的销售

量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：有购买意愿对应的月份789101112频数60801201308030现采

用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.参考公式与数据：线性回归方程ˆˆˆybxa=+，其中1221ˆniiiniixynxybx

nx==−=−，5121.2iiixy==.【答案】（1）ˆ0.320.24yx=+；2.16（百台）；（2）15P=【解析】【分析】（1）由题意计算平均数与回归系数，写出线性回归方程，再利用回归方程

计算对应的函数值；（2）利用分层抽样法求得抽取的对应人数，用列举法求得基本事件数，再计算所求的概率值．【详解】（1）因为()11234535x=++++=，()10.60.81.21.61.81.25y=+

+++=所以221.2531.2ˆ0.325553b−==−，则ˆ1.20.3230.24a=−=，于是y关于x的回归直线方程为ˆ0.320.24yx=+.当6x=时，ˆ0.3260.242.16y=+=（百台）.（2）现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名

顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为a，b，c，d，购买意愿为12月份的抽2人记为A，B，从这6人中随机抽取3人的所有情况为(),,abc、(),,abd、(),,abA、(),,abB、(),,acd、(),,acA、(),,acB、(),,adA、(),,adB、()

,,aAB、(),,bcd、(),,bcA、(),,bcB、(),,bdA、(),,bdB、(),,bAB、(),,cdA、(),,cdB、(),,cAB、(),,dAB，共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有(),,aAB、(),,bAB、

(),,cAB、(),,dAB，共4种，故所求概率为41205P==.【点睛】本题考查了线性回归方程与列举法求古典概型的概率问题，是中档题．21.已知函数()()21ln12fxaxaxx=−++−，其中xR.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当0a时，若()212fxxaxb−++

恒成立，求实数b的范围.【答案】（1）见解析；（2）lnbaaa−+【解析】【分析】（1）由函数求导得到()()()1xaxfxx−+−=，0x，分0a，01a，1a=，1a四种情况讨论求解.（2）将()212fxxaxb−++恒成立，转化为lnbaxx

−+恒成立，令()ln,0gxaxxx=−+，用导数法求其最小值即可.【详解】（1）∵()()()21ln12fxaxaxxa=−++−R，定义域为()0,+.∴()()()11xaxafxaxxx−+−=−++−=，0x.令()0fx=，则1xa=，21x=.①当

0a时，令()0fx，则01x；令()0fx，则1x.∴()fx在()0,1上单调递增；在()1,+上单调递减.②当01a时，令()0fx，则1ax；令()0fx，则0xa或1x.∴()fx在()0,a，()1,+上单

调递减；在(),1a上单调递增.③当1a=时，令()0fx，则()fx在()0,+上单调递减.④当1a时，令()0fx，则1xa；令()0fx，则01x或xa.∴()fx在()0,1，(),a+上单调递减；在()1,a上单调递增.综上所述，①当0a时，

()fx在()0,1上单调递增；在()1,+上单调递减.②当01a时，()fx在()0,a，()1,+上单调递减；在(),1a上单调递增.③当1a=时，()fx在()0,+上单调递减.④当1a时

，()fx在()0,1，(),a+上单调递减；在()1,a上单调递增.（2）∵()()21ln12fxaxaxx=−++−，且当0a时，()212fxxaxb−++恒成立.∴lnbaxx−+恒成立.令()ln,0gxaxxx=−+，即()minbgx.∵()()1

0axagxaxx−=−=，∴()gx在()0,a上单调递减；在(),a+上单调递增，∴()()minlngxgaaaa==−+.∴lnbaaa−+.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立问题，还考查了分类讨论和转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22

.已知函数()()lnfxaxxaR=−.（1）讨论()fx的极值；（2）若()fx有两个零点1x，2x，证明：12112lnlnxx+.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，

通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可得到极值；（2）根据零点的概念得到2121lnlnxxaxx−=−，利用分析法只需证：2211121ln2xxxxxx−，令211xtx=，即证11ln2ttt−，设

11()ln2tttt=−−，根据函数的单调性证明即可.【详解】（1）()()110axfxaxxx−=−=，①当0a时，由于0x，故10ax-<，()0fx，所以()fx在()0,+内单调递减，无极值；②

当0a时，由()0fx=，得1xa=，在10,a上，()0fx，在1,a+上，()0fx，所以函数()fx的单调递减区间为10,a，单调递增区间为1,a+，函数()fx有极小值11lnfaa=+，无极大值，综上：

当0a时，()fx无极值；当0a时，()fx有极小值1lna+，无极大值.（2）函数()fx有两个零点1x，2x，不妨设12xx，由（1）得，0a且111ln0,0faaae=+，则11ln0xax−=，22ln0xax−=，()2121lnlnxxaxx−=−，即21

21lnlnxxaxx−=−，要证：121112,0lnlnaxxe+，需证：12112axx+，只需证：12122xxaxx+，只需证：12211221lnln2xxxxxxxx+−−，只需证：22212121ln2xxxxxx−

，只需证：2211121ln2xxxxxx−，令211xtx=，即证11ln2ttt−，设11()ln2tttt=−−，则2221()02tttt−−=，即函数()t在()1,+单调递减，则()()10t=

，即得12112lnlnxx+.【点睛】本题主要考查了函数的单调性和极值与导数的关系，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，属于综合题.