【文档说明】宁夏银川市17校联考2021届高三下学期5月普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）试题含答案.doc，共(12)页，1.652 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷(银川17校联考)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷

和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2|20AxNxx=−，1012B=−，，，，则AB=A．{0，1，2}B．{1，2}C．{-1,0，

1，2}D．{﹣1，0，1}2．欧拉公式cossiniei=+（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在

复变函数论里占有非常重要的地位，当=时，就有10ie+=，根据上述背景知识试判断ie3−表示的复数在复平面对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正

方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部

分的概率为A．1132B．1332C．516D．7164．已知等比数列na的各项均为正数，且4233,,5aaa成等差数列，则数列na的公比是A．12B．2C．13D．13或2−5．已知圆222:(4)(2)Cxyr−+−=截y轴所得的弦长为22，过点(0,4)且斜率为k的直线l与

圆C交于,AB两点，若||22AB=，则k的值为A．14−B．14C．34−D．346．下列正确命题的序号有①若随机变量()100,XBp，且()20EX=，则1152DX+=．②在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与BCD是

互斥事件，也是对立事件．③一只袋内装有m个白球，nm−个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，AAnmmnP32)()2(−==.④由一组样本数据()11,xy，()22,xy，(),nnxy得到回归直线方程ybxa=+，那么直线ybxa

=+至少经过()11,xy，()22,xy，(),nnxy中的一个点．A．②③B．①②C．③④D．①④7．已知实数x，y满足13xy−+，429xy−，则A．31xB．21y−C．2415xy+D．12333xy

−8．已知()yfx=为R上的的奇函数，(1)yfx=+为偶函数，若当[0,1]x，)(log)(2axxf+=，则(2021)f=A．2−B．1−C．1D．29．将函数()2sin23fxx=−的图象向左平移(0

2)个单位后得到的图象关于直线12x=对称，则的最大值为A．116B．53πC．2312D．4310．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为A．60B．61C．62D．631

1．设双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为12,FF，过2F的直线与双曲线的右支交于两点,AB，若1:3:4AFAB=，且2F是AB的一个四等分点，则双曲线C的离心率是A．102B．52C．52D．512．平

行于x轴的直线与函数()ln,0,e,0,xxfxxx=−的图像交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为A．ee1-B．ee1+C．eD．2e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知()()511axx++的展开式中2x的系数为5

，则a=________.14．若O为ABC所在平面内任意一点，且满足()20BCOBOCOA+−=，则ABC的形状为__________.（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）15．已知数列na满足2*12()222n

naaannN+++=，数列2211nnlogaloga+的前n项和为nS，则10S=__________.16．如图，在33的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行移动，其他行或列不变化．例如

：若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动次_________.221213331三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分)17．(12分)某地

开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP，PQ，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使

得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，PQ所对的圆心角为6.记∠PCA＝2（道路宽度均忽略不计）.（1）若512=，求QN的长度；（2）求新路总长度的最小值.18．（12分）2021年3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应

求.某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品.质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了50个零件进行测量，根据所测量的零件质量（单位：克），得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这50个零件质量的中位数（结果精确到0.01)；（2）若从这5

0个零件中质量位于)70.5,72.5之外的零件中随机抽取2个，求这两个零件中恰好有1个是质量在72.5,73上的概率；（3）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知这批

零件有10000个，某采购商提出两种收购方案：A．所有零件均以50元/百克收购；B．质量位于)71.0,72的零件以40元/个收购，其他零件以30元/个收购.请你通过计算为该厂选择收益最好的方案.19

．(12分)如图1，在直角梯形ABCD中，//ADBC，ABBC⊥，BDCD⊥，24BCAD==.将ABD△沿BD折起，折起后点A的位置为点P，得到三棱锥PBCD−如图2所示，平面PBD⊥平面BCD，直线PC与平面PBD所成角的

正切值为2.（1）求线段PB的长度；（2）试判断在线段BD上是否存在点E，使二面角DPCE−−的平面角的余弦值为427？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由.20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的焦距为4，且过点

(2,2)．（1）求椭圆C的方程（2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M、N两点，问是否存在直线l，使得F为BMN的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．(12分)已知函数2()1()fxaxlnxxaxaR=−−+在定义域内有两

个不同的极值点．（1）求a的取值范围；（2）设两个极值点分别为1x，2x（1x<2x），证明：221212()()2fxfxxx+−+．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．

[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2244(42xtttytt=+−=−为参数，且0)t，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标

方程为cos3sin10−−=．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与x轴交点记为M，与曲线C交于P，Q两点，求11PMQM+．23．[选修4-5：不等式选讲]已知cba,,是正实数，且12=++cba．（1）求cba1

11++的最小值；（2）求证：61222++cba．2021年银川多校联考数学(理科)参考答案一、选择题123456789101112CDDCDACCABAD二、填空题：15.13.-114.等腰三角形15.101116.317.【答案】（1

）QN的长度为1千米（2）23+6【分析】（1）连接,,CBCNCM，通过切线的几何性质，证得四边形BCQN是正方形，由此求得QN的长度.（2）用表示出线段MP，PQ，线段QN的长，由此求得新路总长度的表达式，利用基本不等式求得新路总长度的最小值.【详解】（1）连接CB，CN，CM

，OM⊥ON，OM，ON，PM，QN均与圆C相切∴CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，∴CB⊥CA∵∠PCA＝256=，∠PCQ＝6，∴∠QCB＝526622−−−=，此时四边形BCQN是正方形，∴QN＝CQ＝1，答：QN的

长度为1千米；（2）∵∠PCA＝2，可得∠MCP＝，∠NCQ＝23−，则MP＝tan，PQ6=，NQ＝2tantan2tan33tan()233tan11tantan3−+−==−+设新路长为()f，其

中(6，2)，即3tan3∴tan33423()tantan63363tan13tan3f+=++=−+++−−，34232tan23+33663tan3−++=

−，当tan3=时取“＝”，18.【答案】（1）中位数为71.47；（2）35；（3）该厂选择方案B；答案见解析.【详解】（1）零件质量位于)70.0,71.0的频率为()0.080.20.50.14+=，零

件质量位于)70.0,71.5的频率为()0.080.20.760.50.52++=，......2分0.140.50.52，这50个零件质量的中位数位于区间)71.0,71.5，设为x，则()0.14710.760.5x+−=，解得71.47x，故这50个零件质量的中位数为71

.47.......4分（2）质量位于)70.0,70.5的零件个数为500.080.52=个，质量位于72.5,73.0的零件个数为500.120.53=个，......6分故这两个零件中恰好有1个是质量在72.5,73上的概率为11232535CC

C=.......8分（3）这组数据的平均数为()0.0870.250.270.750.7671.250.6871.750.1672.250.1272.750.571.5+++++=，....9分方案A：收益为21000071.55

010357500−=元；......10分质量位于)71.0,72的零件个数为()100000.760.680.57200+=个，质量位于)71.0,72之外的零件个数为1000072002800−=个，方案B

：收益为720040280030372000+=元.......11分357500372000，该厂选择方案B.......12分19.【答案】（1）2；（2）存在；E为DB的四等分点，且14DEDB=.【详解】（1）因为平面PBD⊥平面BCD，平面P

BD平面BCDBD=又CD面BCD，CDBD⊥所以CD⊥面PBD，所以CP与面PBD所成角为CPD，又tan2CDCPDPD==所以22CD=，因为在直角梯形ABCD中，90BADBDC==，

ABDBCD=所以ABDDCB△∽△所以ABADCDBD=，令ABa=那么22224aa=+，所以2a=所以2AB=，即2PB=（2）以BD的中点O为坐标原点，OB为x轴，过点O平行于CD的直线为y轴，OP为z轴，建立如图空间直角坐标系，()2,0,0B，()2,22,0C−，(

)2,0,0D−，()0,0,2P，设()(),0,022Emm−()2,0,2PB=−，(),0,2PEm=−，()2,22,2PC=−−.设二面角DPCE−−的平面角为设平面PCE的一个法向量为(),,nxyz=.则00nPEnPC==，即2

022220mxzxyz−=−+−=取22x=−，得()22,2,2nmm=−+−.取面PCD的一个法向量()2,0,2PB=−则222|||cos||cos,|||||5222mPBnPBnPBnmm−===++，所以222422275222mmm−=

++化简整理得：22m=−或22m=−（舍去）当22m=−时，14DEDB=所以E为DB的四等分点，且14DEDB=20.【解析】（1）由已知可得，2222224421cababc=+==

+......................................2分解得28a=，24b=，2c=所以椭圆C的方程为22184xy+=．...............................................................4分（2）由已知可

得，(0,2)B，(2,0)F，1BFk=−，BFl⊥，可设直线l的方程为yxm=+，代入椭圆方程整理，得2234280xmxm++−=．...............................................6分设1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，则1243mxx+

=−，212283mxx−=，BNMF⊥，1212212yyxx−=−−，即121211220yyxxyx+−−=．...............................................8分11yxm=+，22yxm=+，

121212()()2()20xmxmxxxmx+++−+−=，即212122(2)()20xxmxxmm+−++−=．232160mm+−=，83m=−或2m=．......................................

.........10分由△222(4)12(28)9680mmm=−−=−，得212m．又2m=时，直线l过B点，不合要求，83m=−，故存在直线8:3lyx=−满足题设条件．.............................

..................12分21．解：（1）由题意得，()fx的定义域是(0,)+，()2fxalnxx=−，令()2gxalnxx=−，函数()fx在定义域内有两个不同的极值点等价于()gx在(0,)+上2个零点，2()2aa

xgxxx−=−=，当0a„时，在(0,)+上，()0gx，()gx递减，不满足题意，当0a时，在(0,)2a上，()0gx，()gx递增，在(2a，)+上，()0gx，()gx递减，要使()gx在(0,)+上2个零点，只需()02ag，即02aalna−

，解得：2ae，故a的范围是(2,)e+；（2）由（1）可知，112alnxx=，222alnxx=，两式相减可得21212()xxaxlnx−=①，12()()fxfx+221212()2xxaxx=+−++，要证明2212

12()()2fxfxxx+−+，只需证明2222121212()22xxaxxxx+−++−+，即证明21122()xaxx+，②，把①代入②整理得：22222122111()1xxxxlnxxx−=−，令211xtx=，即证明21lnt

t−，令2()1htlntt=−+，则212()thtt−=，当1t时，()0ht，函数()ht在(1,)+递减，故()hth（1）0=，故21lntt−，命题得证．22．解：（1）曲线C的参数方程为2244(42xtttyt

t=+−=−为参数，且0)t，转换为直角坐标方程为24yx=．................3分直线l的极坐标方程为cos3sin10−−=，转换为直角坐标方程为310−−=xy．................5分（2）直线l与x轴交点记为M，即(1,0

)，转换为参数方程为3110(110xttyt=+=为参数）与曲线C交于P，Q两点，................7分把直线的参数方程代入方程24yx=．得到212401010tt−−=，所以121210tt+=，1240tt

=−，................9分则：21212(1210)16011140ttPMQMtt−++===．...........10分23.【解析】（1）∵a，b，c是正实数，且a+b+2c=1．所以（）（a+b+2c）..

.......2分，当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值为．...............5分（2）由柯西不等式可得（12+12+22）（a2+b2+c2）≥（a+b+2c）2=1，.............7分即，当且仅当，即，时等号成立，............9分∴a2+b2+c2

成立．...........10分