【文档说明】江苏省盐城市盐城一中、大丰中学2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.343 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年度高二年级第一学期学情调研联考数学试题本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线133xy+=的倾斜角为（）A.6B.3

C.23D.56【答案】D【解析】【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．【详解】直线133xy+=的斜率为33k=−，所以倾斜角56．故选：D．2.双曲线()221Rxmym−=的右焦点坐标为()2,0，则该双曲线的渐

近线方程为（）A.13yx=B.3yx=C.3yx=D.33yx=【答案】C【解析】【分析】首先将双曲线方程化为标准式，再根据2c=求出m，即可得到双曲线方程，从而求出渐近线方程；【详解】解：双曲线221(R)xmym−=，

即2211yxm−=的右焦点坐标为()2,0，所以2112m+=，解得13m=，所以双曲线方程为2213yx−=，则双曲线的渐近线为3yx=；故选：C3.图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AABBCCDD是桁，相邻桁的水平距离

称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中1111,,,DDCCBBAA是举，1111,,,ODDCCBBA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.3,,DDCCBBAAkkkODDCCB

BA====.已知2132kkkk−=−，且直线OA的斜率为0.9，则2k=（）A.1.1B.1.0C.0.9D.0.8【答案】A【解析】【分析】不妨设11111ODDCCBBA====，根据12323kkkk++=以及斜率公式，建立方程，可得答案.【详解】因为

2132kkkk−=−，所以12323kkkk++=，不妨设11111ODDCCBBA====，则1110.3,,DDCCk==1213,BBkAAk==．由题意，知111111110.9DDCCBBAAODDCCBBA+++=+++，即1230.30.94kkk+++=．解

得21.1k=．故选：A．4.如果圆()()2231xaya−+−+=上存在两个不同的点P，Q，使得2OPOQ==（O为坐标原点），则a的取值范围（）A.0<<3aB.03aC.1a−或4aD.1a−或4a【答案】A【解析】【分析】由2OPOQ==可得P，

Q两点在圆224xy+=上，然后条件可转化为圆()()2231xaya−+−+=与圆224xy+=有两个交点，然后建立不等式求解即可.【详解】因为2OPOQ==（O为坐标原点）所以P，Q两点在圆224xy+=上所以条件可转化为圆()()

2231xaya−+−+=与圆224xy+=有两个交点因为圆()()2231xaya−+−+=的圆心为(),3aa−，半径为1所以()22133aa+−，解得0<<3a故选：A【点睛】本题考查的是圆的定义、圆与圆的位置关系，解答的关键是将条件转化为两圆的位置关系，属于基础题.

.5.已知过抛物线2:2Cyx=的焦点F且倾斜角为60的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则PFPQ+的最小值为（）A.83B.43C.53D.23【答案】B【解析】【分析】根据联立直线与抛物线方程得韦达定理，进而根据中点坐标求出

点Q的横坐标，再借助抛物线的定义以及共线求解作答．【详解】抛物线2:2Cyx=的焦点1(,0)2F，准线12x=−，直线1:3()2AByx=−，由213()22yxyx=−=，消去y并整理得：2122030xx−+=，设1(Ax,1)y

，2(Bx,2)y，则1253xx+=，线段AB的中点Q的横坐标12526Qxxx+==，过Q作准线12x=−的垂线于点D,交抛物线于点P,于是514||||||||||623PFPQPDPQQD+=+==+=，在抛物线C上任取点P，过P作准线12x=−

的垂线，垂足为D，连PF，PQ，DQ，则有PFPQPDPQDQQD+=+，当且仅当点P与点P重合时取等号，所以||||PFPQ+的最小值为43．故选：B．6.设椭圆22221(0)xyabab+=的离心率为12e=，右焦点为(),0Fc，方程20axbxc＋－＝的两

个实根分别为1x和2x，则点()12,Pxx()A.必在圆222xy＋＝内B.必在圆222xy＋＝上C.必在圆222xy＋＝外D.以上三种情形都有可能【答案】A【解析】【分析】由椭圆22221xyab+=的离心率为12e=可得,,abc的关系，根

据一元二次方程根与系数的关系可得12xx+，12xx，由此可求2212xx+，再判断点()12,Pxx与圆222xy＋＝的位置关系.【详解】因为椭圆22221xyab+=离心率为12e=，所以12ca=，又222abc=+，所以2ac=，3bc=，所以

方程20axbxc＋－＝可化为2230cxcxc＋－＝，又0c，所以2230xx＋－1＝，由已知方程2230xx＋－1＝的两个实根分别为1x和2x，所以1232xx+=−，1212xx=−，所以()2221212127224xxxxxx+=+-=<，所以点()12,Pxx必在圆222xy＋＝

内，故选：A.7.设12,FF是椭圆221112211:1(0)xyCabab+=与双曲线222222222:1(0,0)xyCabab−=公共焦点，曲线12,CC在第一象限内交于点1260MFMF=，，

若椭圆的离心率13,13e，则双曲线的离心率2e的取值范围是（）A.(1,2B.(1,3C.)3,+D.)2,+【答案】B【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义求出1

MF、2MF，由勾股定理即可得到1e、2e的关系，从而解出2e．【详解】由椭圆及双曲线定义得12112222MFMFaMFMFa+=−=，所以112212MFaaMFaa=+=−，因为1260FMF=，由余弦定理得()()()()2222212121212124

co62s03caaaaaaaaaa+=+−+−=+−，同时除以2c得2221314ee+=，因为13,13e，211,13e，(2111,3e，所以)222114

1,33ee=−，则(21,3e，故选：B.8.已知直线l与圆22:9Oxy+=交于A，B两点，点()4,0P满足PAPB⊥，则AB最大值为（）A.322+B.22+C.42+D.222+【答案】C【解析】【分析】设1122(,),(

,)AxyBxy，AB中点(,)Mxy，则122xxx+=，122yyy+=，由点在圆上可得221221229xyyxxy−=++，再由向量垂直的坐标表示可得1212816xxxyy−=+，进而可得M的轨迹为圆，的的即可求OM的最小值，进而可求出A

B的最大值.【详解】设1122(,),(,)AxyBxy，AB中点(,)Mxy，则122xxx+=，122yyy+=，又22119xy+=，22229xy+=，则222212121212112222(()2)182xyxyxxxxyyyy

+−−++=+=++，所以221221229xyyxxy−=++，又PAPB⊥，则0PAPB=，而11(4,)PAxy=−，22(4,)=−PBxy，所以1212124()160xxxxyy−++=+，即1212816xxxyy−=+，综上，22228169xy

x−−=+，整理得22(2)12xy+−=，即为M的轨迹方程，所以M在圆心为(2,0)，半径为22的圆上，又222(02)041−+=，所以点O在圆22(2)12xy+−=外，则22min(20)(2200222)OM=−=−−+−，所以2max2292422AB=−−=+

故选：C.【点睛】关键点点睛：由点圆位置、中点坐标公式及向量垂直的坐标表示得到关于AB中点(,)Mxy的轨迹方程.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线1:10lax

y−+=,2:10lxay++=，aR，以下结论正确的是（）A.无论a为何值，1l与2l都互相垂直B.当a变化时，1l表示过定点()0,1的所有直线C.无论a为何值，1l与2l都关于直线0xy+=对称D.若1l与2l交于点M，则M

O（O为坐标原点）的最大值是2【答案】AD【解析】【分析】对A：讨论0a=与0a时对应直线的位置关系即可；对B：讨论斜率不存在时的情况，即可判断；对C：讨论1l与0xy+=平行的状态，即可判断；对D：点M的轨迹为圆，数形结合即可求OM的最大值.【详解】对A：当0a=时，1l方程为：1y=，

2l方程为：1x=−，两直线垂直；当0a时，直线1l的斜率1ka=，直线2l的斜率21ka=−，满足121kk=−，两直线垂直；故无论a为何值，1l与2l都互相垂直，A正确；对B：1:10laxy−+=，也即1yax−=，其表示过点()0,1，斜率为a的直线；若直线过点()0,1

且斜率不存在时，该方程无法表示，B错误；对C：当1a=−时，直线1:10laxy−+=,2:10lxay++=的方程分别为：1:1lyx=−+，2:1lyx=+，此时1l与yx=−平行，1l关于yx=−的对称直线为1yx=−−，不是1yx=+，故C错误；对D：由A

可得：直线12,ll垂直，且直线1l恒过定点()0,1A，直线2l恒过定点()1,0B−，故点M的轨迹是以AB为直径的圆，此时恰有点O也在该圆上，故OM的最大值为圆的直径2AB=，故D正确.故选：AD.10.定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线的距离等于1，那么这条直线

叫做这个圆的“相关直线”.则下列直线是圆()()22:124Cxy++−=的“相关直线”的为（）A.1y=B.34120xy−+=C.20xy+=D.125170xy−−=【答案】BC【解析】【分析】分析可知，

圆心C到“相关直线”的距离d满足1d，然后计算出圆心到每个选项中直线的距离，即可得出合适的选项.【详解】由题意可知，圆C的圆心为()1,2C−，半径为2r=.设圆心C到“相关直线”的距离为d，由图可知12d+，可得1d.对于A选项，121d=−=，不合乎题意；对于B选项，()(

)223142121534d−−+==+−，合乎题意；对于C选项，0d=，合乎题意；对于D选项，()221252173125d−−−==+−，不合乎题意.故选：BC.11.已知抛物线C：()220xpyp=的准线为l：1y=−，焦点

为F，过点F的直线与抛物线交于()11,Pxy，()22,Qxy两点，则下列结论正确的是（）A.若125yy+=，则7PQ=B.以PF为直径的圆与x轴相交C.4PFQF+最小值为9D.过点(1,0)M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条【答案】AC

D【解析】【分析】根据焦点弦公式即可判断A；求出线段的中点坐标及圆的半径，从而可判断B；根据抛物线的定义可得12445PFQFyy+=++，再结合121yy=，利用基本不等式即可判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D.【详解】由题意，抛物线()

220xpyp=的准线为:1ly=−，2p=，所以抛物线方程为24xy=，焦点()0,1F，过点P作PDl⊥于D，作QCl⊥于C，由抛物线定义，121252722ppPQPFQFPDQCyyyyp=+=+=+++=++=+=，故A正确；1112pPFyy=+=+，所以以PF

为直径的圆的半径112yr+=，线段PF的中点坐标为111,22xy+，线段PF的中点到x轴的距离是112yr+=，所以以PF为直径的圆与x轴相切，故B错误；设直线PQ的方程为2pykx=+，代入抛物线()220xpyp=，可得2220xpkxp−−=，212xxp=−，又2

p=，22222121212212244xxxxpyyppp====，12124452452459PFQFyyyy+=+++=+=，当且仅当124yy=时等号成立，故C正确；当直线的斜率不存在时，直线方程为1x=，与抛物线只有一个公共点，当直线的斜率存在时，设直线方程

为()1ykx=−，联立()214ykxxy=−=，消去y得2440xkxk−+=，因为直线与抛物线C有且只有一个公共点，所以Δ0=即216160kk−=，解得0k=或1，综上，过点()0,1M与抛物线C

有且只有一个公共点的直线共有3条，故D正确.故选：ACD.12.双曲线222210)xybaab−=（的左、右焦点分别12,FF，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，双曲线和椭圆的离心率

分别为1212,,eePFF△的内切圆的圆心为I，过2F作直线PI的垂线，垂足为D，则（）A.I到y轴的距离为aB.点D的轨迹是双曲线C.若121213IPFIPFIFFSSS−△△△，则113eD.若1OPOF=，则2212112ee+=【

答案】ACD【解析】【分析】作出基本图形，结合内切圆性质和切线长定理，双曲线第一定义可证OCa=，判断A项；结合内切圆性质和垂线性质可判断D为2EF中点，2PEDPFD△≌△，连接OD，易得112ODFE=，由

双曲线第一定义可证ODa=，判断B项；由内切圆性质易得121213PFPFFF−，判断C项；由1OPOF=，易得12PFF△为直角三角形，结合双曲线第一定义，椭圆第一定义，勾股定理可判断D项.【详解

】设圆I与12PFF△三边1212,,PFPFFF的切点为,,ABC，则()1111122FCFAPFAPPFBPPFPFBF==−=−=−−12222PFPFBFaCF=−+=+，即122FCFCa−=①又122FCFC

c+=②联立①②式得1FCac=+，故OCa=，显然,CI横坐标相等，故I到y轴的距离为a，选项A正确；过2F作直线PI的垂线，垂足为D，延长2FI交1PF于点E，由内切圆及垂线性质可知，2PEDPFD△≌△，则D为2EF中点且2PFPE=，连接OD由中位线定理可知11

2ODFE=()()1121122PFPEPFPFa=−=−=，故点D的轨迹在以O为圆心，半径为a的圆上，故B项错误；若121213IPFIPFIFFSSS−△△△，则等价于121213PFPFFF−，即223ac，解得

113e，故C项正确；若1OPOF=，设椭圆的长半轴为1a，由12OPOFOF==可知，12PFF△为直角三角形，1290FPF=，由双曲线性质可知122PFPFa−=③，由椭圆性质可知1212+=PFPFa④，由勾股定理可得222124PFPFc+=⑤，③④⑤式联立可解得22212a

ac+=，即2212112ee+=，故D选项正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题难度较大，作图，设切点，连接OD是关键，重点考查了双曲线第一定义，椭圆第一定义，内切圆的性质，切线长性质，主要应用了转化与划归的数

学思想，解决此类题目，多角度，全方位的看待问题至关重要.可总结如下：1、圆锥曲线相关的几何问题，第一定义，关系式需优先考虑；2、双曲线上一点到两焦点组成三角形的内切圆圆心的横坐标的绝对值为a.三､填空题：本题

共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线1210:lmxy−+=，直线()21:10lxmy−−−=，若12ll∥，则m=_________.【答案】2【解析】【分析】根据直线的平行可得出关于m的方程，求得m的值，检验后即得答案.【详解】由题意直线1

210:lmxy−+=，直线()21:10lxmy−−−=，若12ll∥，则有[(1)](2)10mm−−−−=，即220mm−−=，解得1m=−或2m=，当1m=−时，1:210lxy+−=，直线2:210lxy+−=，两直线重合，不合题意，当2m=时，1:2210l

xy−+=，直线2:10lxy−−=，则12ll∥，故2m=故答案为：214.记双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的离心率为e，写出满足条件“直线3yx=与C无公共点”的e的一个值为_________.【答案】2（注：区间(1,2内任何一个值）【解析】【分析】利

用双曲线的性质计算即可.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为byxa=，离心率1e，若满足直线3yx=与C无公共点，则需2222331312bcaeeaa−−，故答案为：215.已知圆()22:11Cxy−+=，直线:(1)lykx=+，若直线与x轴

交于点A，过直线l上一点P作圆C的切线，切点为T，且2PAPT=，则k的取值范围是_________.【答案】1515,33−【解析】【分析】根据直线l与x轴的交点为A得到()1,0A−，

设()00,Pxy，根据2PAPT=得到点P的轨迹方程()22310xy−+=，然后将存在2PAPT=转化为直线l与()22310xy−+=存在交点，最后列不等式求解即可.【详解】由题意得()1,0A−，设()00,Pxy，

圆C：()2211xy−+=得圆心()1,0C，半径1r=，则()22222200000112PTPCrxyxxy=−=−+−=−+，()22001PAxy=++，因2PAPT=，所以()222200000122xyxxy++=−+，整理得22000610xxy−+−=，则点P的轨迹方程为2

2610xxy−+−=，即()22310xy−+=，圆心为()3,0，半径为10，所以存在2PAPT=即直线l与()22310xy−+=存在交点，所以()231101kk++，整理得253k，解得151533k−

.故答案为：1515,33−.16.已知椭圆22:11612xyC+=，1F、2F分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得PD平分12FPF.过点D作1PF、2PF的垂线，垂足分别为A、B.则12122PF

FDABPFFDABSSSS+△△△△的最小值是_________.【答案】52148【解析】【分析】利用椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆的焦点三角形的面积公式和二倍角公式解决即可.【详解】如图，为由椭圆的性质可知，点P位于短轴的端点

时，12FPF最大，由4,23ab==可知12FPF最大值为π3.设12π=206FPF，因为PD平分12FPF，所以DADB=，设==DADBm，已知椭圆22:11612x

yC+=，所以=4,=23,2=abc.从而122tan12tan==PFFSb，()121212111+=+=4222==PFFSmPFmPFmPFPFmam，所以12tan4=m，解得=3tanm.()2211sinsinπ222==−DABSmADBm32219si

nsin2=9tansincos2cos==m,所以12329sin3cossin12tan4==DABPFFSS,所以121222238sin43sin+=+PFFDABPFFDABSSSS

，因为π06，所以1sin0,2，设21sin0,4=t，所以121223843+=+PFFDABPFFDABSStSSt在10,4上单调递减，所以1212min2318452144348+

=+=PFFDABPFFDABSSSS.故答案为：52148四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知直线l经过两条直线2380xy++=和10xy−−=的交点，且__

______，若直线m与直线l关于点()1,0对称，求直线m的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线3280xy++=垂直；②在y轴上的截距为12．【答案】选①，230xy−=；选②，52110xy−−=.

【解析】【分析】选①可设直线l的方程230xyc−+=，求出交点并代入即可求出直线l的方程，在直线上取两点，再利用点的对称即可求解；选②，由点斜式即可求出直线l的方程，在直线上取两点，再利用点的对称即可求解.【详解】因为方程组238010xyxy++=

−−=的解为12xy=−=−，所以两条直线2380xy++=和10xy−−=的交点坐标为()1,2−−．若选①，可设直线l的方程为230xyc−+=，点()1,2−−代入方程230xyc−+=可得4c=−，即l：2340xy−−=．在直线l上

取两点()1,2−−和()2,0，点()1,2−−关于点()1,0对称的点的坐标为()3,2，点()2,0关于点()1,0对称的点的坐标为（0，0），所以直线m的方程为230xy−=．若选②，可得直线l的斜率()()1252012k−−==−−，所以直线l的

方程为5122yx=+．在直线l上取两点()1,3和()1,2−−，点()1,2−−关于点()1,0对称的点的坐标为()3,2，点()1,3关于点()1,0对称的点的坐标为()1,3−，所以直线m的方程为()232331yx+−=−−

，即52110xy−−=．18.在平面直角坐标系中，若圆C与x轴相切，且过点655,2P，圆心C在射线20(1)xyx=−上.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线yx=与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积.【答案】（1）()()

22211xy−+−=（2）12【解析】【分析】（1）可设圆心为()2,bb，由圆C与x轴相切，且过点655,2P，结合半径相等解得b，进而求得圆C的标准方程；（2）由几何法求出圆心到直线yx=的距离，再结合勾股定理求得半弦长，联立三

角形面积公式可求△ABC的面积.【小问1详解】因为圆C与x轴相切，且过点655,2P，圆心C在射线20(1)xyx=−上，可设圆心为()12,2Cbbb，由圆的几何性质可得2262255rbbb==

−+−，化简得25720bb−+=，解得1b=或25b=（舍去），故圆C的标准方程为()()22211xy−+−=；【小问2详解】由（1）知，圆C的圆心为()2,1，半径为1，则圆心到直线yx=的距离为21222d−==，则直线与圆所交的半弦长2

2121222lrd=−=−=，故弦长2AB=，则1121222222ABCSld===△.19.已知圆22=1Oxy+：，直线:40lxy++=.（1）若点P在直线l上运动，过点P作圆O的两条切线,PAPB，切点分别为,A

B，求证：过点,,OAP的圆过定点，并求出所有定点的坐标；（2）若点P在直线l上运动，过点P作圆O两条切线,PAPB，切点分别为,AB,求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）证明见解析；()0,0和()2,2−−（2）证明见解析；11,44

−−【解析】【分析】（1）利用几何关系得到点A在以PO为直径的圆上，然后求出圆的方程即可；（2）利用两个圆的方程，求出公共弦AB的方程，即可求出定点.【小问1详解】PA是圆O的切线,PA切点为,A所以PAOA⊥.所以点A在以PO为直径的圆上，点P在直线l上运动，

所以设点(),4Paa−−，则以PO为直径的圆方程为：()()40xxayya−+++=，即：()2240xyyaxy+++−+=，令22400xyyxy++=−+=，解得=0=0xy或=2=2xy−−所以圆过定点()0,0和()2,2−−【小问

2详解】由（1）知，过,,,OABP的圆方程为：()2240xyyaxy+++−+=，同时点,AB在圆22=1Oxy+：上，所以直线AB即两个圆的公共弦方程所在的直线方程，两个圆的方程相减得：()410yaxy++−+=，即两个圆的公共弦方程所在的直线方程；令41=0=0yxy+−+

，解得1414xy=−=−的.故直线AB过定点11,44−−20.如图，抛物线()220ypxp=的准线与x轴交于点M，过点M的直线l与抛物线交第一象限于A，B两点，设点()11,Axy到焦点的距离为d.（1）若13yd==，求抛物线的标准方程；（2）若点A

是MB的中点，求直线l的斜率.【答案】（1）26yx=（2）223【解析】【分析】（1）由13yd==，可得AFx⊥轴，从而求出p的值，进而可得抛物线的标准方程；（2）设出直线l的方程，通过MAAB=，求出1

212pxxx+=−，联立直线与抛物线方程可得22222(2)04kpkxpkx+−+=，把方程的根代入求解即可.【小问1详解】抛物线()220ypxp=的焦点(,0)2pF，准线方程为2px=−，则=AFd，由13yd==，可得AFx⊥轴，则12px=，即有322ppd=+=，即3p=

，所以抛物线方程为26yx=；【小问2详解】设22(,)Bxy，:()2plykx=+，代入抛物线的方程，可得22222(2)04kpkxpkx+−+=，22242(2)0pkkp=−−，即21k且0k

，2212(2)212pkpkxk−−−−=，2222(2)212pkpkxk−−+−=，因为点A是MB的中点，所以MAAB=，由(,0)2pM−可得1212pxxx+=−，即有22212(2)6124pkpkpxxk−+−=−=，解得223k=，因为点,AB位于第一象限，所以223k=，

所以所求直线l的斜率为223.21.已知()()127,,700,FF−，M为平面上一动点，且满足21||||4MFMF−=，记动点M的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）若(2,0),(2,0)AB−，过点(1,0)的动直线l交曲线E于

P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为APk，BQk，求证：APBQkk为定值，并求出定值.【答案】（1）()221243xyx−=（2）证明见解析；13【解析】【分析】（1）利用圆锥曲线的定义即可

得曲线方程，但要注意只有双曲线右支；（2）设直线方程，联立方程组，根据韦达定理进行运算可证APBQkk为定值，之后求出定值即可.【小问1详解】由题可知21||||427MFMF−=，则M的轨迹是实轴长为24a=，焦点为()()127,,700,FF−即7c

=的双曲线的右支，则3b=，所以曲线E的方程为：221(2)43xyx−=(或0x).【小问2详解】由题可知过点(1,0)的动直线l斜率存在且不为0，则设斜率为k，所以直线l的方程为：(1)(0)ykxk=−，设11(,)Pxy，22(,)Qxy，联立2214

3(1)xyykx−==−，可得2222(43)84120kxkxk−−++=，则221222122430Δ08043412043kkxxkkxxk−+=−+=−，可得2314k，即312k−−或312k，则12121212

12122(1)(2)(1)(2)2(2)(1)(2)(1)APBQkyxkxxxxkxyxkxxx−−−−−===++−+−2211221212221212112241282()22243434128222()24343kkxxxxxxkkkkxxxx

xxkk+−−−+−−+−−==+−+−−+−−−−221122221122464614343121846333()4343kkxxkkkkxxkk++−+−+−−===++−+−+−−，所以APBQkk为定值，定值为13.22.已知抛物线1C：()220ypxp

=的焦点F到其准线的距离为4，椭圆2C：()222210xyabab+=经过抛物线1C的焦点F.（1）椭圆2C的离心率13,22e，求椭圆短轴的取值范围；（2）已知O为坐标原点，过点(1,1)M的直线l与椭圆2C相交于A，B两点.若=AMm

MB，点N满足=−ANmNB，且ON的最小值为455，求椭圆2C的离心率.【答案】（1）2,23（2）22【解析】【分析】（1）由题意利用抛物线标准方程、焦点坐标和准线方程运算求得p的值，可得抛物线标准方程和焦点坐标，将焦点坐标带入椭圆方程求得a的值，利用椭圆离心率公式、根

据题中离心率的范围运算即可得解.（2）分类讨论，当直线l的斜率存在时，将直线方程和椭圆方程联立，结合向量的运算与相等分析运算可得点N的轨迹方程，当直线l的斜率不存在时求得的点N的坐标也满足该方程，然后将ON的最小值转化为点O到直线22440+−=bxyb的距离运算即

可得解.【小问1详解】解：由抛物线1C的标准方程()220ypxp=知，焦点为,02pF，准线为2px=−，则由题意得：422ppp−−==，∴抛物线1C的标准方程为28yx=，

焦点为()2,0F，∵如上图，椭圆2C：()222210xyabab+=经过抛物线1C的焦点()2,0F，∴2222201ab+=，且0a，解得：2a=.此时椭圆2C方程为()2221204xybb+=.∵椭圆2C的离心率13,22e

，且222241142−==−=−=cbbbeaa，∴2143222b−，又∵0b，∴解得：13b，即有2223b，∴椭圆短轴的取值范围为2,23.【小问2详解】解：由（1）知椭圆2C的方程为22214xyb+=，由题意，过点(1,1)M的直线l与椭圆2C相交

于A，B两点，设()11,Axy，()22,Bxy，()00,Nxy，则()111,1AMxy=−−，()221,1MBxy=−−，()0101,ANxxyy=−−，()2020,NBxxyy=−−，（i）如上图，当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则方

程为()11ykx−=−，即1ykxk=−+，由222114ykxkxyb=−++=得()()()222224814140bkxkkxkb++−+−−=，∵直线l与椭圆2C相交于A，B两点，∴()()()()22222222814441443210kkbkkbbkkb

=−−+−−=+−+，()1222814−+=−+kkxxbk，()2212224144kbxxbk−−=+，∵=AMmMB，=−ANmNB，∴()()12012011xmxxxmxx−=−−=

−−，即10122011−−=−−−xxxxxx，解得：()212120212244424−++−==+−+xxxxkbxxxkb，∴()22004144−+=−kxbxb，又∵()0011−=−ykx，∴()22004

144−+=−ybxb，即2200440+−=bxyb，∴点N轨迹方程为22440+−=bxyb.（ii）如上图，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为1x=，由222114xxyb=+=解得：132xyb==或132xyb==−，∴21,3bA，2

1,3−bB，()01,Ny，则320,1=−bAM，032,1=−−MBb，0302,=−AbNy，03,20=−−bNBy，∵=AMmMB，=−ANmNB，∴

003311223322bmbybmby−=−−−=−−−，解得：2034=yb，所以231,4bN，经检验点231,4bN在直线2

2440+−=bxyb上.∴点N轨迹方程为22440+−=bxyb.ON的最小值即为点O到直线22440+−=bxyb的距离，∴由距离公式得24445516bb−=+，解得：22b=.此时，()283210=++kk，符合题意.∴椭圆2C的离心率

为22221142cbeaa==−=−=.【点睛】1.研究直线与椭圆位置关系的方法：（1）研究直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数问题.（2）对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定交点情况.2.研究直线与椭圆位置关系综合问

题时要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com