【文档说明】《数学人教A版必修4教学教案》3.1.1 两角差的余弦公式 （4）含答案【高考】.doc，共(8)页，159.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-《两角差的余弦公式》教学设计（人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修4第三章第3.1.1节）一、教学分析1.教材分析本节内容是三角函数线和诱导公式等知识的延伸，是两角和与差的正弦、余弦、正切，以

及二倍角公式等知识的基础。对三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等问题的解决，有重要的支撑作用。因而在本模块中，它起着承上启下的作用。它既有助于必修四第一章三角函数的拓广与应用，也有助于必修五中解三角形等问题的处理，因而是高中数学知识螺旋式上升过程中重要的一步。2.学情分析学生已经

学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，这为他们探究公式建立了良好的基础。但学生的逻辑推理能力毕竟有限，要发现并证明公式)(−C有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，探索两角差的余弦公式，完成本课的学习目标。二、教学目标1.经历用单位

圆中的三角函数线和向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。2.初步理解公式的结构及功能，并为建立其他和（差）角公式打好基础。3.切身感受数学与实际生活的密切联系；体会由特殊到一般、

数形结合、分类讨论、转化等数学思想方法。三、教学重点、难点教学重点是：两角差的余弦公式的推导及简单应用。教学难点是：两角差的余弦公式的探索及探索过程的组织和引导。四、教法学法本节课采用“启发——引导——探究”的教学模式，

具体体现在：1.教法方面：（1）将课本引例由求两角和的正切改编为求015角的余弦，这样更利于本节内容的引入和学习。并结合实际背景，为公式学习创设情境，激发学生的求知欲。（2）结合动画课件，突破本节课的难点，精心设计了问题串，目的是引导学生探究公

式，鼓励学生合作交流。（3）为使学生对本节内容有一个整体的认识，教学时将重要内容进行板书，设计如下：-2-2.学法方面：（1）为遵循学生的认知规律，我设计了有梯度的例题、练习和作业，以达到逐步提高学生理解和掌握程度的目的。（2）为给学生提供学习材料，我精心编排了学案，希望达到提

高学生学习效率的目的。五、教学基本流程引入问题，提出探究明确途径，组织和引导学生自主探索例题、练习讲解，深化公式的理解与运用小结作业六、教学过程（一）创设情境，导入新课1.情景引入，揭示课题鉴于课本章头实际问题是针对全章内容的引例，是和角的正切，并不是很适合本节课

，因而我编写了如下问题作为本节课的引例。实际问题：如图，已知某海域内有三个岛，B岛在A岛的正北方向，C岛在A岛的正西方向。现有一艘海轮从B岛出发，以20海里每小时的速度匀速直线航行，经过两小时后到达C岛，

测得∠ACB=15°，求A、C两岛间的距离。【设计意图】设计这个问题更有利于本节内容的引入和学习，可以让学生体会学习两角差的余弦公式的必要性和实用性。°15A岛B岛C岛北°15A岛B岛C岛°15A岛B岛°1

5°15°15A岛B岛A岛B岛C岛北两角差的余弦公式1、引例思考：解决引例：……………………………………………………………2、两角差的余弦公式的探索：例：方法一：三角函数线……………………………………………………………练习1：方法二：向量数量积……………………………………………………………练习2

：3、两角差的余弦公式的结构…………………………...............................................…………………………-3-学生经过分析后不难得出，15cos4015cos220==AC此时学生可能会想到，只要利用计算器或三角函数值表求出

cos15°，问题就迎刃而解了。这时教师给出思考1：如果我们不仅想提高数学应用能力，还想进一步提高数学推理运算能力，那么，不用计算器不查表，该如何计算cos15°？接着教师引导学生回顾，一般我们解决一个新问题，都是转化成我们已经学过或熟悉的问题。而这里的15°角是一个非特殊

角，在第一章学习了三角函数以后，我们能够熟练地求一些特殊角的三角函数值。那么教师给出思考2：我们能否将15°转化成两个特殊角的差，进而利用这两个特殊角的三角函数值求出cos15°呢？这样学生不难得出：cos15°=cos(45°

-30°)=？或cos15°=cos(60°-45°)=？【设计意图】这样设计可以让学生感受探究两角差的余弦公式的必要性，从而揭示本节课题—两角差的余弦公式（并板书课题）。2.特例验证，引发思考教师鼓励学生大胆猜想:一般地，两角差的余弦cos(α-β)与谁有关？可

能会等于什么？学生可能会猜想:cos(α-β)=cosα-cosβ。教师先对学生的勇气和想法给以表扬，再鼓励学生用已学知识验证猜想。学生举特例（如α=β=0°）容易得出，猜想是错误的。教师鼓励学生不要灰心，虽然猜想错了，但结果肯定与角α，β以及

它们的余弦有关，然而仅有余弦还不够，所以我们再联系α，β的正弦。教师给出思考3:如何用α，β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢？【设计意图】这样引导学生猜想并利用特殊角检验，产生认知冲突，从而激发学生探究两角差的余弦公式的兴趣。（二）引导探索，发现公式我们研究三角函数问题，常用的一种

方法就是利用单位圆。在单位圆中，角的正弦、余弦值可以用三角函数线来表示。比如前边我们推导同角三角函数的基本关系及诱导公式时，都是结合单位圆，用数形结合的方法。那么，教师通过上述引导后，可以给出-4-探究1：现在我们尝试一下能否用同样的方法，即利用单位圆中的三角函数线来探究两角差的余弦公式。因为

考虑这里让学生自己作图是很困难的，所以此处以教师引导为主。为方便学生观察、分析、参与探究讨论，教师制作了动画。在演示动画的过程中提出以下思考问题引导学生逐步探究。如图，设角α、β为锐角，且α>β。①怎样作出角α－β的余弦线？②怎样构造直角三角形，能将角

β的正弦、余弦值用线段表示出来？③怎样作辅助线，能将角α的正弦、余弦值放在与刚才所作结果有关的直角三角形中？④此时余弦线OM等于哪些线段的和？⑤这些线段用角α、β的正弦值、余弦值如何表示？（超链接动画）【设计意图】这样教师通过引导学生思考观察，利用几何直观寻求余弦线的表示，学生通过合作、交流、

讨论得出公式sinsincoscos)cos(+=−.教师给出说明：当α、β取任意角的时候，公式仍然成立。但用三角函数线法将公式推广到一般比较繁琐，有兴趣的同学下去可以试一试。教师引导学生仔细观察公式的

结构特征，并给出探究2：，我们还有更简单更一般的方法推导两角差的余弦公式。方法2学生容易理解操作，但不易想到。教师应给出一些有引导作用的思考问题，之后再组织学生合作探究，相互讨论，并请学生分享他们的成果。教师巡视并指导，对有

困难的学生给予鼓励学和指点，对表现好的学生给予肯定和表扬。为了便于引导学生，教师提前制作了动画，并在演示动画的过程中，提出问题串引导学生逐步思考探究：①设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则A、B的坐标？②若取向量OA，OB，那么，它

们的的坐标是什么？模长是几？③设OA，OB的夹角为，用向量数量积的定义计算?=•OBOA④用向量的坐标运算计算?=•OBOAy-1-111B)sin,(cos)sin,(cosAAx0-5-⑤夹角与α-β的关系如何？与角α、

β终边位置有关吗？(超链接动画)学生可能出现的问题有：认为;−=或分和两种情况讨论。此时为避免学生占用过多时间从而冲淡本节课的重点，教师用课件给出图示，正面引导学生分析OA，OB的夹角

与角α-β的关系。【设计意图】这样学生在教师的适当引导和组织下，通过合作探究、相互交流，用三角函数线、向量知识、诱导公式及由特殊到一般、数形结合、分类讨论等数学思想方法将问题层层深入，最后达到推导的完备。从而让学生体验探究的过程，感受成功的喜悦，提高学习数学的兴

趣，锻炼学生的思维品质。3.观察公式，深化理解思考：⑴.细心观察公式的结构，它有哪些特征？⑵.公式中角α，β的取值范围如何？学生观察与思考，教师点评补充后得出：①公式中两边的符号正好相反（一负一正）；②公式可简记为)(−C,CC+SS或

同名积符号反；③公式中α、β是任意角，公式的逆用也要注意。（三）两角差的余弦公式的初步应用1.解决引例，熟悉公式思考1：现在能求出引例中AC的长度了吗？yBAxo-111-1终边终边yBAxo-111-1终边终边yBAxo-

111-1终边终边BAxo-111-1终边终边BAxo-111-1终边终边yABxo-111-1终边终边yABxo-111-1终边终边yABxo-111-1终边终边ABxo-111-1终边终边ABxo-111-1终边终边+=−++

=kZkk2)(21可知：由图−=−−+=kZkk2)(22可知由图又用向量法得证。式从而，两角差的余弦公都有，对任意角sinsincoscos)cos(.cos)cos(,2+=−=−=−Zkk-6-解法一：解法二：【设计意图】此题可

由学生独立完成，教师点评说明。既与前边引例前后呼应，又能初步应用公式解决问题。由于前边已经讨论过，15°角可以以两种不同形式，拆成两个特殊角的差，所以此处学生至少会有两种不同的解法。这正好可以让学生体会角的变

换的多样性和重要性，为公式的灵活运用奠定基础。思考2：填空sin75=？【设计意图】此题学生可能会直接用诱导公式得出，也可能会有一些其他的想法。这正好体现出三角恒等变换的关键，即把非特殊角转化为特殊角；把未知角转化为已知角。而且也可以为下一

节两角和与差的正弦公式的学习做铺垫。2.例题讲解，示范引领为使学生进一步掌握两角差的余弦公式，能够结合已学知识正确的解决问题，并能规范地书写解题过程，我设计了如下例题。解：所以【设计意图】为避免学生照

着课本读答案，我将课本例题中的个别数据进行了改动。此题也是运用公式求值的题型，但使用公式前必须先求出相应角的正、余弦值。可由学生分析教师板书，既起到例题的示范引领作用，也可培养学生思维的有序性和表述的条理性。教师需强调运用同角三角函

数的平方关系求值时，一定要根据角的范围，准确判断三角函数值的符号。若符号不确定，如题中删除).)cos(,1312cos,,2(,53sin的值求是第三象限角，例：已知−−==))(26(1042640

)30sin45sin30cos45(cos40)3045cos(4015cos40海里+=+=+=−==AC))(26(1042640)45sin60sin45cos60(cos40)4560cos(4015cos40海里+=+=+=−==AC.653

3)135(53)1312()54(sinsincoscos)cos(135)1312(1cos1sin,1312cos54)53(1sin1cos),2(,53sin2222=−+−−=+=−−=−−−=−−=−=−=−−=−−==

得是第象限角，又由，得由-7-条件),2(，则需分类讨论，从而让学生养成良好的学习习惯。3.变式演练，深化认识练习1：课本127页练习第2题和第3题.练习2：课本127页练习第4题.练习3：化简求值.【设计意图】练习1

和练习2是为了进一步巩固公式的简单应用，落实教学目标。练习3是公式的逆用，按照整个教材的编排体系，公式逆用在下一节，我想提前尝试一下，目的是锻炼学生的思维，也可作机动处理。（四）总结整理,提高认识请学生叙述：（1）本节课你学会了什么公式？（

2）在推导公式的过程中用到了哪些数学思想方法？（3）在用公式解决问题时应注意什么？学生发言，互相补充，教师点评。本环节侧重以下三点：（1）本节课所学的公式是sinsincoscos)cos(+=−，其结构特点为：CC+SS或同名积、符号反，功能为：求

两角差的余弦；（2）公式的探索用了两种方法（三角函数线法和向量法），其中蕴含着从特殊到一般、数形结合、分类讨论、转化等数学思想方法；（3）强调在运用两角差的余弦公式时应注意：①把非特殊角转化为特殊角、把未知角转化为已知角。②根据角的范围，先确定已知角的正、余弦值的正、负．③适当逆用

公式，可达到化简计算的目的．【设计意图】培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构。（五）布置作业,自主探究1.课本137页习题3.1A组2、3、42.探究：？两角差的正弦公式=−)sin(【设计意图】课本第2、3、4题是为了

让学生进一步掌握和巩固本节课的重点内容。探究题的设计有助于培养学生的发散思维，为学有余力的学生安排。这样使不同程度的学生都学有所获，既巩固新知识又培养学生的创新思维能力。探究题的设计还为下节课公式的学习和灵活运用埋下伏笔。七、设计感想+20sin

80sin20cos80cos1）（sin)sin(cos)cos(2+++）（-8-1.本节课是典型的公式教学模式,因此本节课的设计流程为“实际问题→猜想→探索推导→记忆→应用”.它充分展示了公式教学中以学生为主体,进行主动探索数

学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导、证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题,从而培养学生独立探索数学知识的能力,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性.2.纵观本教案的设计,学生发现推导出公式C(α

-β)后就是应用,同时如何训练公式的正用、逆用、变形用也是本节的重点难点.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律,又发现了怎样逆用公式及活用公式,那才是深层的,那才是我们中学数学教育的最终目的.3.教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,根据高中三角函数的

推理特点,本节主要是教给学生“研究问题、猜想探索公式、验证特殊情形、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增强了学生的参与意识,教给了学生发现规律、探索推导,获取新知的途径,让学生真正尝到探索的喜悦,真正成为教学的主体.学生体会到数学的美,产生一种成功感,从而提高了学习数学的兴趣.