【文档说明】福建省宁德市2022-2023学年高二上学期区域性学业质量监测（期中）数学试题（A卷） 含解析.docx，共(17)页，866.079 KB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年第一学期高二区域性学业质量监测数学试题（A卷）本试卷有第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生

本人准考证号、姓名是否一致.2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第II卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.第I卷（选择题共60分）一

、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知直线过(2,3)A，()1,Bm两点，且倾斜角为45，则m=（）A.0B.3C.2D.5【答案】C【

解析】【分析】由斜率公式直接列方程求解即可.【详解】因为直线过(2,3)A，()1,Bm两点，且倾斜角为45，所以3tan45121m−==−，解得2m=，故选：C.2.已知na为正项等比数列，且154aa=，46a=，则5a=（）A.8B.9C.12

D.18【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．【详解】解：已知154aa=，则234a=，解得32a=或32a=−（舍去），故345236aaa==，解得518a=．故选：D．3.在等差数列na中，13524645,39,aaaaaa++=++

=以nS表示na的前n项和，则使nS达到最大值的n是（）A.11B.10C.9D.8【答案】B【解析】【分析】利用等差数列性质求出数列na公差d，再求出其通项公式，并探讨数列na的单调性即可得解.【详解】在等差数列na中，3135345

aaaa=++=，4246339aaaa=++=，即315a=，413a=，从而得等差数列na公差2d=−，119a=，于是得na的通项公式为1(1)221=+−=−+naandn，则na是单调递减等差数列，其前10项均为正，从第11项起的

以后各项均为负，因此，数列na的前10项和最大，所以，使nS达到最大值的n是10.故选：B.4.圆()22(2)21xy−+−=与圆()()221225xy+++=的位置关系是（）A相切B.相交C.内含D.外离【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，

求出两圆的圆心和半径，并计算两圆的圆心距即可判断作答.【详解】圆()22(2)21xy−+−=的圆心1(2,2)C，半径11r=，圆()()221225xy+++=的圆心2(1,2)C−−，半径25r=，于是22122121||(12)(22)5(,)CCrrrr=−−+−−=−+，所

以两圆相交.故选：B5.《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有九十二问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善.织，

日增等尺，初日织五尺，三十日共织四百二十尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（）A.47尺B.1631尺C.1829尺D.1629尺【答案】C【解析】【分析】将问题转化为等差数列问题，通过13a=，30420S=，由等差数列前n项和公式解出公差，从而得到结果.【详解】设每

天所织布的尺数为na，则数列na为等差数列,设公差为d，由题意可知：15a=，30420S=，则3013029301504354202Sadd=+=+=，解得：1829d=.那么此女子每日织布增长1829尺.故选：C.6.已知等比数列na中，各项都是

正数，且1a，358a，22a成等差数列，则91078aaaa+=+（）A.4B.2C.12−D.322−【答案】A【解析】【分析】设等比数列na的公比为q，根据题中条件可求得q的值，进而可求得291078aaqaa+=+，即可得解

.【详解】设等比数列na的公比为q，则0q，由于1a，358a，22a成等差数列，则1235228aaa+=，即2111524aaqaq+=，因为10a，整理得25840qq−−=，即()()5220qq+−=，0q，解得2q=，因此，()()88

9129101167678111141aqqaaaqaqqaaaqaqaqq+++====+++.故选：A.7.已知(2,2)P，圆221:(1)5Cxy−+=，圆222:(3)(1)9Cxy−++=，若直线l过点P且与圆1C相切，则直

线l被圆2C所截得的弦长为（）A.4B.25C.6D.8【答案】A【解析】【分析】由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解即可.【详解】设直线l的方程为()22ykx−=−，由直线与圆1C相切，

则2251kk−=+，解得24410kk++=，即12k=−，即直线l的方程为260xy+−=，又圆2C的圆心坐标为()3,1−，半径为3，圆2C圆心到直线距离为32655−−=，则直线l被圆2C所截弦长为()222354−=.故选：A8.已

知数列na的首项为1，其余各项为1或2，且在第k个1和第1k+个1之间有21k−个2，即数列na为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．记数列na的前n项和为nS，则2022S

=（）A.3916B.3917C.3997D.3999【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合题设中数列的规律，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】将数列第k个1和第1k+个1之间有21k−个2，记作第k组，

即(1,2)为第1组，共有112+=项，(1,2,2,2)为第2组，共有134+=项，，(1,2,2,2,2,)为第k组，共有1212kk+−=项，所以前k组共有的项数为242(1)kkk+++=+项，又由44451980,45462070==，其中2022198042−

=，所以第2022项在第45组中的第42个数，故20222a=，又由第2022项中共有45项为1，其余2022451977−=项都为2，所以2022451197723999S=+=.故选：D.二、多项选择题（本题每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知数列2,2,6,22,，则下列说法正确的是（）A.此数列的通项公式是2nB.8是它的第32项C.此数列的通项公式是1n+D.8是它的第4项【答案】AB【解析】【分

析】根据已知条件，结合数列中数字的规律，求出通项公式，即可依次求解.【详解】数列2,2,6,22,，即2,4,6,8,，则此数列的通项公式为2n，A正确，C错，令28n=，解得32n=，故B正确，D错.故选：AB10.已知直线l的倾斜角等于30，且l经过点(0,1)，则下列结论中正确的是（）A

.l的一个方向向量为(3,1)n=B.l的一个法向量为(1,3)m=C.l与直线3320xy−+=平行D.l与直线320xy++=垂直【答案】ACD【解析】【分析】根据已知条件，结合方向向量，法向量的

定义，以及直线平行、垂直的性质，即可求解.【详解】直线l的倾斜角等于30，则直线l的斜率为3tan303=，对于A，因为直线l的斜率为33，则l的一个方向向量为(3,1)n=，A正确；对于B，330mn=+，法向量(1,3)m=与

直线l不垂直，B错；对于C，直线3320xy−+=的斜率为33，且不过(0,1)，C正确；对于D，直线320xy++=的斜率为3−，则斜率之积1−，故两直线垂直，D正确.故选：ACD11.已知点P在圆22:230Cxyx+−−=上，点,AB分别为直线:34120lxy−+=与x轴，y轴的交

点，则下列结论正确的是（）A.直线=1x−与圆C相切B.圆C截y轴所得的弦长为4C.AP的最大值为7D.ABP的面积的最小值为52【答案】ACD【解析】【分析】求得圆C的圆心(1,0)C，半径2r=，以及(4,0),(0,3)AB−，根据2dr==，可判定A正确；由

圆的弦长公式，可判定B不正确；求得5AC=，得到AP的最大值为ACr+，可判定C正确；求得圆心C到直线l的距离为3d=，求得最小距离，结合面积公式，可判定D正确.【详解】由圆22:230Cxyx+−−=，可得22(1)4xy−+=，可得圆心(

1,0)C，半径为2r=，因为点,AB分别为直线:34120lxy−+=与x轴、y轴的交点，可得(4,0),(0,3)AB−，对于A中，因为圆心(1,0)C到直线=1x−的距离为2dr==，所以A正确；对于B中，由圆C截

y轴的弦长为2222123−=，所以B不正确；对于C中，点P在圆C上，且(4,0)A−，其中5AC=，所以AP的最大值为27AC+=，所以C正为确；对于D中，因为圆心(1,0)C到直线34120xy−+=的距离为2231233(

4)d+==+−，则圆C上点P到直线AB的最小距离为321dr−=−=，因为5AB=，所以ABP的面积的最小值为155122=，所以D正确.故选：ACD.12.已知等比数列na前n项和为nS，且214Sa=，2a是11a+与312a的等差中项，数列nb满足nnnbaS=，数列nb

的前n项和为nT，则下列结论正确的是（）A.数列na的通项公式为123nna−=B.31nnS=−C.数列nb是等比数列D.112nnTS+【答案】ABD【解析】【分析】对于AD，利用等比数列的基本量法求得公比q和1a，从而求得,nnaS，由此得以判断；对于C，利用

等比数列的定义判断即可；对于D，利用分组求和法求得nT，再利用作差法即可判断．【详解】由于等比数列na前n项和为nS，且214Sa=，所以1214aaa+=，整理得213aa=，所以数列na的公比3q=；由

于2a是11a+与312a的等差中项，故2131212aaa=++，整理得1119612aaa=++，解得12a=.故123nna−=，故A正确；所以()2313131nnnS−==−−，故B正确；由于数列nb满足()121123312323nnnnnnnbaS−−

−==−=−，所以当2n时，()211232113312323232331nnnnnnnnbb−−−−−−−−==−−不为常数，所以数列nb不是等比数列，故C错误；()()352123123333213333nnnT−−=++++−+++++()()31911

3312293191344nnnn−−=−=−+−−，又()1112113313222nnnS++=−=−，所以()21131335933332442424213nnnnnnnTS+−=−+−=−++2235435433043

3433n=−−−−=，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题选项D的解决关键是利用分组求和法求得nT，再利用作差法，结合二次函数的性质证得112nnTS+，计算量大，需要多加练习熟悉.第II卷（非选择题共90分）三、填空题（本

大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.1和4的等比中项是__________.【答案】2【解析】【详解】试题分析：设1和4的等比中项是a，则2144,2aa===.考点：等比中项的性质.14.数列na的前n

项和21nSnn=++，则na的通项公式na=___________.【答案】3,12,2nnn=【解析】【分析】根据21nSnn=++求得13a=，当2n时，利用1nnnaSS−=−求得na的表达式，验

证首项是否适合，即可得答案.【详解】由题意数列na的前n项和21nSnn=++，则113aS==，当2n时，2211(1)(1)12nnnaSSnnnnn−=−=++−−−−−=，13a=不适合上式，故na的通项

公式3,12,2nnann==，故答案为：3,12,2nnn=15.若两条平行直线()1:200lxymm−+=与2:260lxny+−=之间的距离是25，则mn+=__________．【答案】3

【解析】【分析】由两直线平行列方程求出n，再由两平行线间的距离公式列方程可求出m的值，从而可求出结果.【详解】因为直线()1:200lxymm−+=与2:260lxny+−=平行，所以2612nm−=−，解得n=

−4且3m−，所以直线2l为2460xy−−=，直线()1:200lxymm−+=化为()24200xymm−+=，因为两平行线间的距离为25，所以222(6)252(4)m−−=+−，得2620m+=，因为0m所以2620m

+=，得7m=，所以743mn+=-=，故答案为：316.设动圆C：22()(21)1xkyk−+−+=，则圆心C的轨迹方程为___________﹔若直线l：10xty−−=被C所截得的弦长为定值，则t=___________.【

答案】①.21yx=−②.12【解析】【分析】利用消参法可得圆C的圆心轨迹方程；转化为直线10xty−−=与直线210xy−−=平行，可求得结果．【详解】设(,)Cxy，则21xkyk==−，消去k得210xy−−=所以圆C的圆心轨迹方程是210xy

−−=；因为圆C的半径为定值，且直线10xty−−=被圆C所截得的弦长为定值，由弦长222ABRd=−为定值，所以圆心C到直线10xty−−=的距离d为定值，因为圆心C的轨迹为直线210xy−−=，所以直线10xty−−=与直线210xy−−=平行，所以12t=，所以12t=故答案

为：21yx=−，12．【点睛】关键点点睛：转化为直线10xty−−=与直线210xy−−=平行求解是解题关键．四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知ABC的顶点(51)A，，AB边

上的中线CM所在直线方程为250xy−−=，AC边上的高BH所在直线方程为250xy−−=．（1）求直线AC的方程；（2）求顶点C的坐标.【答案】（1）2110xy+−=（2）(4,3).【解析】【分析】（1）方法一：由题意求出12BHk=，则2ACk=

−，再利用点斜率可求出直线AC的方程；方法二：由题意设直线AC的方程为20xyc++=，再将点A的坐标代入可求出c，从而可求出直线AC的方程；（2）联立直线AC与直线CM的方程可求出顶点C的坐标.【小问1详解】方法一：由AC边上的高BH所在直线方程为250xy−−=

得：12BHk=.所以2ACk=−，又(51)A，，所以AC边所在直线方程为12(5)yx−=−−，即2110xy+−=，方法二：由AC边上的高BH所在直线方程为250xy−−=得：故可设直线AC的一般式方程为：20xyc++=，把(5

1)A，的坐标代入上述方程，得：11c=−，所以AC边所在直线方程为:2110xy+−=，【小问2详解】联立直线AC与直线CM的方程得，2110250xyxy+−=−−=，解得43xy==所以顶点C的坐标为(4,3).18.国家汽车产业振兴规划的政策极大地刺激了小排量汽车的销售，据分

析预测，某地今年小排量Q型车每月的销量将以10%的增长率增长，小排量R型车的销量每月递增20辆．已知该地今年1月份销售Q型车和R型车均为60辆，据此推测，该地今年底这两款车的销售总量能否超过3000辆？（参考数据：111.12.9，121.13

.1，131.13.5）【答案】推测该地区今年这两款车的总销量能超过3000辆．【解析】【分析】设该地今年第n月Q型车和R型车的销量分别为na辆和nb辆，由题意可得na是首项160,a=，公比1.1q=的等比数列，nb是首项160,b=，公差

20d=的等差数列，利用等差数列和等比数列的前n项和求解即可.【详解】解：设该地今年第n月Q型车和R型车的销量分别为na辆和nb辆，依题意，得na是首项160,a=，公比110%1.1q=+=的等比数列

，nb是首项160,b=，公差20d=的等差数列．设na的前n项和为nS，则()()121212601.116001.1112601.11S−==−−，设nb的前n项和为nT，则()1220601212121

720132020402T=+−=+=所以1212126020403300ST++=，可推测该地区今年这两款车的总销量能超过3000辆．19.设等比数列na满足124aa+=，318aa−=．（1）求数列na的通项公式；（2）令31lognnba

+=，记nS为数列nb的前n项和，求1nS前n项的和nT.【答案】（1）13nna−=（2）21nnTn=+【解析】【分析】（1）设等比数列na的公比为q，根据题意有1121148aaqaqa+=−=，解方程求出1,aq，即

可求数列na的通项公式；（2）求出nb，可得数列nb是首项为1，公差为1的等差数列，再由等差数列的前n项和求出nS，继而求出1nS，再由裂项相消法求1nS前n项的和nT．【小问1详解】设等比数列na的

公比为q，根据题意有1121148aaqaqa+=−=，消去1a得：2230qq−−=.解得：()31qq==−或舍去解得:113aq==，所以1113nnnaaq−−==.【小问2详解】313loglog

3nnnban+===，于是数列nb是首项为1，公差为1的等差数列.所以(1)123...2nnnSn+=++++=12112()(1)1nSnnnn==−++.111111221...21223111nnTnnnn=−+−++−=−=

+++（）.20.已知圆C过点()7,3A，且与直线30xy−=相切于点()1,3B．（1）求圆C标准方程；（2）若()()2,0,2,0MN−，点P在圆C上运动，证明：PMPN为定值．【答案】（1）22(4)12xy−+=（2）证明

过程见详解【解析】【分析】（1）设圆心(),Cab，半径为r，根据题意列出方程，求出圆心和半径，进而求出圆的方程；（2）先将圆的标准方程化为一般方程，设点(),Pxy，再根据题意分别求出PM，PN，进而

即可证明结论．【小问1详解】设圆心(),Cab，半径为r，因为点()7,3A，()1,3B，所以直线AB的中垂线方程是4x=，过点()1,3B且与直线30xy−=垂直的直线方程是340xy+−=，由4340xxy=+−=，解得40xy=

=，圆心()4,0C，23rAC==，圆C的标准方程是22(4)12xy−+=．【小问2详解】证明：由（1）知圆的标准方程为22(4)12xy−+=，则其一般方程为22840xyx+−+=，即2284xyx

+=−，设点(),Pxy，且点P在圆C上运动，则2222(2)4412PMxyxyxx=++=+++=，2222(2)444PNxyxyxx=−+=+−+=，于是1234PMxPNx==，的PMPN定值．21.已知数列{}na中，11a=，13nnnaaa+=+.

（1）求证：11{}2na+是等比数列，并求{}na的通项公式；（2）若不等式()()122531nnnna+−−对于*nN恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）证明见解析，231nna=−（2）316【解析】【

分析】（1）由条件可得出11111322nnaa++=+从而可证，从而可得出na的通项公式.（2）将（1）中na代入不等式，即得()()131225312nnnn+−−−对于*nN恒成立，设()252nnf

n−=，分析出其单调性，得出其最大项，即可得出答案.【小问1详解】由13nnnaaa+=+，11a=可知，0na，所以可得13131nnnnaaaa++==+，即11111322nnaa++=+，而1102na+，所以112na+是以

111322a+=为首项，3为公比的等比数列，所以111333222nnna−+==，所以231nna=−.【小问2详解】不等式()()122531nnnna+−−对于*nN恒成立，即()()131225312nnnn+−−−对于*n

N恒成立，即252nn−对于*nN恒成立.为设()252nnfn−=，由()()112325721222nnnnnnfnfn++−−−+−=−=，当3n时，()()10fnfn+−，即()()1fn

fn+，即()()()()1234ffff，当4n时，()()10fnfn+−，即()()1fnfn+，即()()()456fffL，所以()4f最大，()()3416fnf=，所以316，故的最小值为316.22.

已知直线l：()22ykx=+与圆O：224xy+=相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．（1）求k的取值范围；（2）ABO的面积为S，求S的最大值，并求取得最大值时k的值．【答案】（1）()()1,00,1−U（2）S的最大值为2

，取得最大值时33k=【解析】【分析】（1）解法一：通过圆心到直线距离小于半径且0k列出不等式求解即可；解法二：联立方程，令0＞得到不等式求解，结合0k即可得到答案；（2）先求出高和弦长，通过三角形面积公式直接代入求解面积，通过换元，结合二次函数性质即可

得到答案.【小问1详解】解法一：的由题意知：圆心到直线的距离2221kdk=+，因为直线l与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，O三点构成三角形，所以222021kk+＜＜，得210kk＜，解得11k-＜＜且0k，所以k的取值范围为

()()1,00,1−U.解法二：联立()22224ykxxy=++=，化简得：()2222142840kxkxk+++−=()()422232418416160kkkk=−+−=−，得11k-＜＜，因为A，B，O三点

构成三角形，所以0k所以k的取值范围为()()1,00,1−U.【小问2详解】直线l：(22)ykx=+，即220kxyk−+=，点O到直线l距离：2221kdk=+，所以2222222212224411kkABdkk−=−=

−=++（）所以()22222242122111422111kkkkSABdkkk−−===+++，（11k-＜＜且0k）设()211ktt+=，则21kt=−，所以22223232131424242248t

tttSttt−+−−+−===−−+所以当134t=，即43t=，即33k=时，max2S=所以S的最大值为2，取得最大值时33k=.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com