【文档说明】福建省宁德市2022-2023学年高二上学期区域性学业质量检测（期末）数学试题 含解析.docx，共(22)页，2.396 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年第一学期期末高二区域性学业质量检测数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.若直线l经过点()()1,3,2,23AB−−，则直线l的倾斜角为（）A.3

0B.60C.120D.150【答案】C【解析】【分析】利用直线斜率等于其倾斜角的正切值求解即可.【详解】设直线l的倾斜角为，则()233tan321−==−−−−，因为直线倾斜角的范围为[)0,p，所以21203==故选：C2

.双曲线2214yx−=的渐近线方程为（）A.12yx=B.2yx=C.2yx=D.22yx=【答案】B【解析】【分析】由双曲线方程可判断双曲线的焦点位置并同时求出a，b，由此可求其渐近线方程.【详解

】由双曲线2214yx−=得12ab==，，所以渐近线方程为2yx=，故选：B3.圆221:(1)1Oxy++=与圆222:2310Oxyy+−−=的位置关系为（）A.内切B.相交C.外切D.外离【答案】B【解析】【分析】求

出圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，由圆心距与半径之间的关系即可判断【详解】由题意，()221:11Oxy++=，圆心为()11,0O−，半径11r=，()222:34Oxy+−=，圆心为()20,3O，半径22r=，由()()221210032OO=−−+−=，12122113OrOrrr

=−+=可知，两圆的位置关系为相交.故选：B.4.已知数列na的前n项和22nSnn=+，求6a等于（）A.11B.12C.13D.14【答案】C【解析】【分析】利用数列的项与前n项和的关系求解即可.【详解】由题可知()2266562652513aSS=−=+−+=故选

：C5.已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A.y2＝12xB.y2＝－12xC.x2＝12yD.x2＝－12y【答案】A【解析】【分析】设出点M的坐标

，由题意可知|MA|＝|MN|，进而根据抛物线的定义即可得到答案.【详解】设动点M(x，y)，圆M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等.∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3

，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.故选：A.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的

分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿

者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240

C=种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7.如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使杯底与水平桌面成30，此时

杯内水面成椭圆形，此椭圆的离心率为（）A.32B.34C.12D.14【答案】C【解析】【分析】根据题干条件作出辅助线，求出cos303DEACABa===，即23ba=，进而求出离心率.【详解】如图，由题意得：∠BAC=30°，2ABa=，2DEb=，且AC=DE

，则在直角三角形ABC中，cos303ACABa==，所以23ba=，所以此椭圆的离心率22112cbeaa==−=.故选：C8.中国自古就有“桥的国度”之称，福建省宁德市保留着50多座存世几十年甚至数百年

的木拱廊桥，堪称木拱廊桥的宝库.如图是某木拱廊桥的剖面图1111,,,AABBCCDD是拱骨，1111,,,ODDCCBBA是相等的步，相邻的拱步之比分别为111112311111,,,DDCCBBAAkkk

ODDCCBBA====，若123,,kkk是公差为0.1−的等差数列，且直线OA的斜率为0.565，则3k=（）A.0.22B.0.32C.0.42D.0.52【答案】B【解析】【分析】利用题中关系建立等式求解即可.【详解】由题可知11111111OAAABBCCDDkODDCCBBA+++

=+++因为1111ODDCCBBA===所以()111112311111110.56544OADDCCBBAAkkkkODDCCBBA=+++=+++=，又123,,kkk是公差为0.1−的等差数列，所以2230.565411.26,0.42kk=−==，所以，30.420

.10.32k=−=故选:B二、多项选择题（本题每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知直线1:10lmxy++=，直线2:10++=lxmy，则下列命题正确的有（）A.直线1l恒过点()0,1B

.直线2l的方向向量为()1,1，则1m=−C.若12//ll，则1m=D.若12ll⊥，则0m=【答案】BD【解析】【分析】根据已知直线方程，逐个验证直线过的定点、方向向量和垂直平行所需的条件.【

详解】把()0,1代入直线1l的方程，等式不成立，A选项错误；直线2:10++=lxmy的方向向量为()1,1，则直线斜率11km−==，得1m=−，B选项正确；直线1l方向向量为()1,m−，直线2l的方向向量为(),1m−，若12//ll，则有2

10m−=，解得1m=，当1m=时，1l与2l重合，C选项错误；若12ll⊥，则有0mm+=，即0m=，D选项正确.故选：BD10.在62xx+的展开式中，下列说法正确的是（）A.常数项为160B.第3项二项式系数最大C.所有项的二项式系数和为6

2D.所有项的系数和为63【答案】ACD【解析】【分析】先求62xx+的通项公式可得选项A的正误，利用n的值可得选项B、C的正误，所有项的系数和可以利用赋值法求解【详解】62xx+展开式的通项为6626

1662C2CrrrrrrrTxxx−−−+==，由260r−=，得3r=，所以常数项为3362C160=，A正确；二项式展开式中共有7项，所以第4项二项式系数最大，B错误；由6n=及二项

式系数和的性质知，所有项的二项式系数和为62，C正确；令1x=，得()660126213aaaa++++=+=，所有项的系数和为63，D正确；故选：ACD.11.为了考察冰川融化状况，一支考察队在某冰川划定一考察区域，考察区域的边界曲线C由曲线1C和曲线2C组合而成，其方程

为：()22136:(4)25Cxyx−+=和222:1(2)204xyCx+=.则下列结论正确的是（）A.曲线C关于x轴成轴对称图形B.曲线C关于原点成中心对称图形C.曲线C上两点之间的距离的最大值为16545+D.直线:3140lxy−+=到曲

线C的最短距离为3【答案】ACD【解析】【分析】画图即可验证选项A,B选项，通过图像可知曲线C上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的距离即可求解选项C，选项D利用平行与l的直线相切与曲线C时切点到直线l的距离最短即可求解.【详解】如图所示可知，曲线C

关于x轴对称，故A正确，B错误.由图像可知曲线C上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的距离，在()22136:(4)25Cxyx−+=中，令650,45yx==+，在222:1(2)204xyCx+=中，令0

,25yx==−，所以曲线C上两点之间的距离的最大值为左右两个端点的距离为：()46542651555d=+−−+=，故C正确，因为直线:3140lxy−+=过点()1430,14,,03−，

当平行与直线l的直线与曲线C的2C部分相切时，切点到直线l的距离最小，设此时直线方程为1:30lxym−+=，联立22301(2)204xymxyx−+=+=，化简得：22161035200xmx

m++−=，由()()221034165200mm=−−=解得：8m=，当8m=时，183:380,0,3lxyyx−+===−，当8m=−时，183:380,0,23lxyyx−−===，不满足题意，故1:380lxy−+=，联立223801(2)204xyxyx−+=+=

解得切点为：531,22−所以直线:3140lxy−+=到曲线C的最短距离为点531,22−到:3140lxy−+=的距离：即()()2253113231423d−−==+−+，故D正确，故选：ACD.12.已知等比数列na

的公比13q=−，等差数列nb的首项19b=，若77ab且88ab，则以下结论正确的有（）A.80aB.80bC.78aaD.78bb【答案】BD【解析】【分析】根据给定条件，确定数列n

a相邻两项的特性判断AC；再判断等差数列nb单调性判断BD作答.【详解】因为等比数列na的公比13q=−，则71613aa=，81713aa=−，而1a的正负不确定，因此不能确定7a和8a的正负及大小关系，

AC错误；显然7a和8a异号，又77ab且88ab，则78,bb中至少有一个是负数，而190b=，于是等差数列nb的公差0d，即数列nb单调递减，因此78bb，且80b，BD正确.故选：BD三、填空题（本大题共4小题

，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.已知12:3430,:68140lxylxy−−=−+=，则两平行线1l与2l间的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】两平行线1l与

2l间的距离，转化为1l上一点到2l的距离，利用点到直线距离公式计算.【详解】12//ll，1l过点()1,0，点()1,0到2l的距离为()22614268d+==+−，所以两平行线1l与2l间的距离为2.故答

案为：214.某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晩会.晩会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则有__________种

不同排法.（用数字作答）【答案】42【解析】【分析】分两种情况讨论：2个教师节目相邻与不相邻，分别算出相加即可.【详解】①当2个教师节目相邻时利用插空法则有：226A12=种情况，②当2个教师节目不相邻时有：26A30=种情况，所以共有123042+=种情况，故答案为：4

2.15.数列na满足()1111,1nnaaann+==++，则na=________.【答案】21nn−【解析】【分析】将11(1)nnaann+=++变形得到111=1+−−+nnaann，然后逐项列

举，累加可得到111naan−=−，又11a=，代入即可得出结果【详解】由题意可得1111==(1)1+−−++nnaannnn，所以211=12−−aa，3211=23−−aa，L111=1−−−−nnaann，上式累加可得

()()()121321−−=−+−++−nnnaaaaaaaa111111112231=−+−++−=−−nnn，又11a=，所以1212nnann−=−=.故答案：21nn−16.反比例函数1yx=的图象是双曲线（其渐近线分别为x轴和y轴）；同样的，“对勾函数”(0,0)nymxmn

x=+的图象也是双曲线.设33,34mn==，则此“对勾函数”所对应的双曲线的焦距为为__________.【答案】22【解析】【分析】求得双曲线为3334yxx=+可得的渐近线方程，运用对称性可得实轴所在的直线方程，与函数联立，求得交点坐标，由两点的距离公式，

可得a的值，从而可得,bc值，即可得双曲线的焦距．【详解】由题可得双曲线为3334yxx=+，所以渐近线为0x=及33yx=，渐近线夹角为60,则33ba=所以，焦点所在的直线方程为3yx=，由33334yxyxx==+,得33334xxx=

+解得64324xy==或64324xy=−=−此时226326442a=+=，则22b=所以222cab=+=，则焦距为22.故答案为：22.四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说

明，证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列na，12a=，3516aa+=.（1）求数列na的通项公式；（2）设21nanb=+，求数列nb的前n项和nS.【答案】（1）2nan=（2）1443nnSn+−=+【解析】【分析】

（1）设数列na公差为d，依题意得到关于d的方程，解得d，即可求出数列的通项公式；（2）由（1）41nnb=+，利用分组求和法及等比数列求和公式计算可得.【小问1详解】方法1:设数列na公差为d，由135216aaa=+=得11122416aadad=

+++=，所以122ad==，所以()112222naandnn=+−=+−=；方法2：设数列na公差为d，由135216aaa=+=得1353318aaaa++==，解得36a=，所以31231aad−==

−，所以()112222naandnn=+−=+−=；小问2详解】解：由（1）22141nnnb=+=+，所以1212444nnnSbbbn=+++=+++()141444143nnnn+−−=+=+−18.如图，

在平面直角坐标系xOy中，点()2,0A−，120OABABC==，2AB=.（1）求直线BC的方程；（2）记OAB的外接圆为圆M，求直线BC被圆M截得的弦长.【答案】（1）343yx=+（2）2【解析】【分析】（

1）直线BC交x轴于D点，由题意可得ABD△为等边三角形，故()4,0,3BCDk−=，可求【.直线BC的方程；（2）由()()()3,3,2,0,0,0BAO−−可求OAB的外接圆方程，几何法求直线BC被圆M截得的弦长.【小问1详解】（如图）直线BC交x轴于D点，ABD△中，60BAD

ABD==，所以60BDA=，故()4,0,3BCDk−=，()34343yxx=+=+所以直线BC的方程为343yx=+【小问2详解】设圆M的方程为220xyDxEyF++++=，由（1）知()()()3,3,2,0,0,0BAO−−，满足圆M

的方程，则()2220(2)20(3)(3)330FDFDEF=−+−+=−+−++=，解得2023DFE===−，圆M的方程为222230xyxy++−=，即()()22134xy++−=所以圆心()1,3,M−半径2r=圆心()1,3M−到直线B

C的距离3343331d−−+==+，所以直线BC被圆M截得的弦长2222rd=−=.注：方法二（2）设圆M的方程为222()()xaybr−+−=，由（1）知()()()3,3,2,0,0,0BAO−−，满足圆M的方程，则222222222(2)(0)(3)(3)abrabr

abr+=−−+−=−−+−=，解得132abr=−==，圆M的方程为22(1)(3)4xy++−=，可得()1,3,2Mr−=，圆心()1,3M−到直线BC的距离3343331d−−+==

+，所以直线BC被圆M截得的弦长2222rd=−=.注：方法三（2）因为()()()3,3,2,0,0,0BAO−−，3ABk=−，AB的中点为53,22−所以AB的垂直平分线方程为：353322yx=++

①，所以OA的垂直平分线方程为：=1x−②，由①②得，圆心为()1,3,2Mr−=，圆心()1,3M−到直线BC的距离3343331d−−+==+，所以直线BC被圆M截得的弦长2222rd=−=.19.定义：()()11C!m

xxxxmm−−+=为广义组合数，其中,xmR是正整数，且0C1x=.这是组合数C(,mnnm是正整数，且)mn的一种推广.（1）计算：37C−与3288CC−−+；（2）猜想并证明：1CCmmxx−+=_

_________（用Cmx的形式表示，其中,xmR是正整数）.【答案】（1）37C84−=−，3288CC84−−+=−（2）11CCCmmmxxx−++=，证明见解析【解析】【分析】（1）根据广义组合数公式

，计算即可求解．（2）结合(1)中的结果，根据广义组合数公式，化简等号左边的算式，即可得到结果.【小问1详解】()()3777172C843!−−−−−−==−()()38881828910C1203!321−

−−−−−==−=−()2888189C362!21−−−−===所以3288CC84−−+=−【小问2详解】猜想：11CCCmmmxxx−++=1m=时，1011CC1Cxxxx++=+=，猜想成立.2m时，由()()(

)121C!mxxxxmxmm−−+−+=得()()()112C1!mxxxxmm−−−+=−()()()()()112112CC!!mmxxxxxmxmxxxmmmm−−−+−+−−++=+()()()()()()()1211221!!xxxmxxxxmxmxmmmm−−++−

−+−+=−++=又()()()()11122C!mxxxxxmxmm++−−+−+=所以11CCCmmmxxx−++=.综上，11CCCmmmxxx−++=.20.在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴

上椭圆C过点31,2，离心率32e=.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线yxm=+与椭圆C相交于,AB两点，求AOB的面积最大值.的【答案】（1）2214xy+=（2）1【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率及

椭圆过一点，列方程求解22,ab，即可得椭圆C的方程；（2）设()()1122,,,AxyBxy，联立直线与椭圆求解交点坐标关系，即可得相交弦长AB，再利用点到直线的距离求得点O到直线yxm=+的距离，即可得AOB的表达式，利用函数性质求最值

即可.【小问1详解】设椭圆方程为22221,0xyabab+=，由椭圆C过点31,2，离心率32cea==所以22222131432abbacca+==−=，解得224,1ab==，所以椭圆C的方程为：22

14xy+=【小问2详解】设()()1122,,,AxyBxy，则2214yxmxy=++=，得2258440xmxm++−=，()()22845440mm=−−，得25m，所以1221285445mxxmxx+=−−=，所以

()22212121242511245mABxxxxxx−=+−=+−=，点O到直线yxm=+的距离2md=所以AOB的面积2114252252AOBmmSABdAB−===24255mm=−222255522m=−−+

225152=当252m=时，AOB的面积取到最大值1.21.已知数列na前n项和为21,2,1nnnSaSa+==−.（1）求数列na通项公式；（2）若()23nnbna=−，求

数列nb的前n项和nT；（3）*5N,4nnTn−恒成立，求实数的范围.【答案】（1）()1*2Nnnan−=（2）()2525nnTn=−+（3）316【解析】【分析】（1）根据数列na与nS的关系，利用相减法得()122nna

an+=，检验首项后可得数列na是等比数列，即可求得数列na的通项公式；（2）直接根据错位相减法求解数列nb的前n项和nT即可；（3）利用数列单调性判断方法确定最值，即可得实数的范围.【小问1详解】212,1nnaSa+==−1n=时，有11211aSa=

=−=，2n时有11nnSa−=−，11nnnnSSaa−+−=−1nnnaaa+=−()122nnaan+=又212aa=，也符合上式，故数列na是首项为1，公比为2的等比数列，的()

1*2Nnnan−=.【小问2详解】由（1）知()()123232nnnbnan−=−=−，()()0121121232232nnTn−=−++++−，①()()1232121232232nnTn=−++++−，②由①-②有：()()()()1121212122222

321223212nnnnnTnn−−−−=−++++−−=−+−−−()5252nn=−−−()2525nnTn=−+【小问3详解】()*25225N,42nnnnnn−−记252nnnc

−=则()1112152572222nnnnnnnncc++++−−−−=−=所以当3n时，1nncc+，即1234cccc，当4n时，1nncc+，即456ccc所以当4n=时，252nnnc−=有最大值4316c=故实数的范围为31622.双曲

线2222:1(0,0)xyEabab−=，恰好过()()()()123423,2,3,0,23,1,23,1PPPP−−中的三点.（1）求双曲线E的方程；（2）记双曲线E上不同的三点,,ABC，其中A为双曲线的右顶点，若直线,ABAC的斜率之积为1，证明：直线BC过定点.【答案】（1）22

193xy−=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线的对称性知，双曲线E过()()()2343,0,23,1,23,1PPP−，代入双曲线方程即可求出,ab；（2）法一：设直线AC的方程为3xty=+，联立直线与双曲线的方程，由韦达定理结合题意即可表示出,BC两点的坐标，即可表示出直

线BC的方程，求出直线BC过的定点；法二：设直线BC方程为：()()1122,,,,ykxmBxyCxy=+，联立直线与双曲线的方程，由韦达定理结合题意即可表示出,BC两点的坐标，即可表示出直线BC的方程，求出直线BC过的定点；法三：依据对称性可知，直线BC必过(),0Qm设直线BC方程为：()

()1122,,,,xtymBxyCxy=+，由1ABACkk=结合韦达定理化简可得()()2330mkmk++=，即可求出直线BC过的定点；法四：以()3,0A为原点，构建新的直角坐标系，则()0,0A

，双曲线方程22(3):193xyE+−=，设直线BC方程为：1mxny+=，联立直线与双曲线的方程可得()236610yynmxx−−+=，由12126113yymxx+=−=可求出m的值，即可得出答案.【小问1详解】由双曲线的对

称性知，双曲线E过()()()2343,0,23,1,23,1PPP−所以3a=，因为()323,1P满足22219xyb−=，解得23b=所以双曲线E的方程为：22193xy−=【小问2详解】法一：设直线AC的方程为3xty=+，联合方程22339xtyxy=

+−=，得()22360tyty−+=，所以263ctyt−=−所以222639333cttxttt−−−=+=−−，所以222396,33ttCtt−−−−−，因为1ABACkk=，所以t用1t代替，得222936,31

31ttBtt+−−.直线BC的斜率()22222226643t1t3933931313BCBCBCttyytkttxxttt−−−−−===+−−−+−−−，所以直线BC方程为()22224936313t131tttyxtt

+=−+−−+化简得()243231tyxt=−+，所以直线BC过定点3,02.法二：设直线BC方程为：()()()1122,,,,,3,0ykxmBxyCxyA=+由22193xyykxm−==+得223()9xkxm−+=即()222136390k

xkmxm−−−−=2121222639,1313kmmxxxxkk−−+==−−又1ABACkk=，所以1212133yyxx=−−，其中1122,kxmykxmy=+=+所以()()()()121233kxmkxmxx++=−−即()()(

)2212121390kxxmkxxm−++++−=所以()()2222263913901313kmmkmkmkk−−−+++−=−−化简222990mmkk++=即()()2330mkmk++=得32km=−或3mk=−所以当32km=−时，直线BC方程332

2kykxkx=−=−，直线过3,02当3mk=−时，直线BC方程()33ykxkkx=−=−，直线过()3,0不满足条件，舍去.综上直线BC过定点3,02法三：依据对称性可知，直线BC必过(),0Qm设直线BC方

程为：()()()1122,,,,,3,0xtymBxyCxyA=+由22193xyxtym−==+得()2223290tymtym−++−=212122229,33mtmyyyytt−−+==−−又1ABACkk=，所以1212133yyxx=−−，其中1122,

xtymxtym=+=+所以()()121233yytymtym=+−+−即()()()22121213(3)0tyymtyym−+−++−=所以()()222229213(3)033mmttmtmtt−−−+−+−=−−化简()3302mm−−=

得32m=或3m=所以当32m=时，直线BC方程32xty=+，直线过3,02当3m=时，直线BC方程3xty=+，直线过()3,0不满足条件，舍去.综上直线BC过定点3,02法四：以()3

,0A为原点，构建新的直角坐标系，则()0,0A，双曲线方程22(3):193xyE+−=设直线BC方程为：1mxny+=，由22(3)931xymxny+−+=得22360xyx−+=即()22360xyxmxny−++=所以()2

216360mxynxy+−+=即()236610yynmxx−−+=12126113yymxx+=−=解得23m=−所以直线BC方程为：213xny−+=，当0y=时32x=−，此时定点为3,02Q−，所以原直线BC过定点3,02Q获得更多资源请扫

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