【文档说明】浙江省金华市江南中学等两校2022-2023学年高二上学期12月阶段测试数学参考答案.docx，共(20)页，188.603 KB，由管理员店铺上传

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2022学年第一学期12月阶段测试高二数学参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知空间向量𝑎⃗⃗=(1,−1,0)，𝑏⃗=(3,−2,1)，则|𝑎⃗⃗+𝑏⃗|=()A.√5B.√6C.5D.√26【答案】D【解析】【分析

】本题考查空间向量模的坐标运算，掌握空间向量模的坐标运算公式是解题基础．先求𝑎+𝑏⃗，再求模．【解答】解：∵𝑎⃗⃗=(1,−1,0)，𝑏⃗=(3,−2,1)，∴𝑎⃗⃗+𝑏⃗=(4,−3,1)，∴|𝑎⃗⃗+𝑏⃗|=√42+(−3)2+12=√26．故选：𝐷．2.《张邱建算

经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布()A.180尺B.110尺C.90尺D.60尺【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的前𝑛项和求解．本题考查等差数列的前𝑛项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数列知识在生产生活中

的合理运用．【解答】解：由题意知每日织布量构成等差数列{𝑎𝑛}，𝑎1=5，𝑎30=1，∴𝑆30=302(5+1)=90(尺)．3.方程𝑥2+𝑦2+2𝑥−𝑚=0表示一个圆，则𝑚的取值范围是()A.(−1,+

∞)B.(−∞,−1)C.[−1,+∞)D.(−∞,−1]【答案】A【解析】【分析】本题主要考查求圆的标准方程，二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．由二元二次方程表示圆的条件得到𝑚的不等式，解不等式即可得到结果．

【解答】解：方程𝑥2+𝑦2+2𝑥−𝑚=0，即(𝑥+1)2+𝑦2=1+𝑚，此方程表示圆时，应有1+𝑚>0，解得𝑚>−1，故选A．4.直线𝑙:𝑚𝑥−3𝑚+𝑦−1=0(𝑚∈𝑅)过定点𝐴，则点𝐴的坐标为()A.(−3,1)

B.(−3,−1)C.(3,−1)D.(3,1)【答案】D【解析】【分析】本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．在直线方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得𝑥、𝑦的值，可得直线恒过定点的坐标．【解答】解：直线𝑙:𝑚𝑥−3𝑚+𝑦−1=0(�

�∈𝑅)可化简为𝑚(𝑥−3)+𝑦−1=0，故可得{𝑥−3=0𝑦−1=0，可得𝑥=3，𝑦=1，故可得直线𝑙:𝑚𝑥−3𝑚+𝑦−1=0(𝑚∈𝑅)过定点𝐴(3,1)．故选D．5.已知直线𝑙1：𝑎𝑥+(𝑎+2)𝑦+

2=0与𝑙2：𝑥+𝑎𝑦+1=0平行，则实数𝑎的值为()A.−1或2B.0或2C.2D.−1【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用两条直线平行求参数的值，考查了推理能力与计算能力，要注意重合的特殊情况，属于基础题．由题意知

𝑎·𝑎−(𝑎+2)=0，即𝑎2−𝑎−2=0，解得𝑎，经过验证即可得出．【解答】解：由题意知𝑎·𝑎−(𝑎+2)=0，即𝑎2−𝑎−2=0，解得𝑎=2或−1．经过验证可得：𝑎=2时两条

直线重合，舍去．∴𝑎=−1．故选：𝐷．6.已知𝑀(1,2)，𝑁(4,5)，直线𝑙过点𝑃(2,−1)且与线段𝑀𝑁相交，那么直线𝑙的斜率𝑘的取值范围是()A.(−∞,−13]∪[13,+∞)B.[−3,3]C.[−13,13]D.(−∞,−3]∪[3,+∞)【答案】D【解析】【分析

】本题考查了直线的倾斜角与斜率，属于基础题．根据直线的斜率与倾斜角的变化关系求解即可．【解答】解：∵𝑘𝑃𝑁=5−(−1)4−2=3，𝑘𝑃𝑀=2−(−1)1−2=−3，且直线𝑙与线段𝑀𝑁相交，∴𝑘𝑙⩽−3或𝑘𝑙⩾3

，故选D．7.若三条直线𝑦=2𝑥，𝑥+𝑦=3，𝑚𝑥+𝑛𝑦+5=0相交于同一点，则点(𝑚，𝑛)到原点的距离𝑑的最小值是()A.√5B.√6C.2√3D.2√5【答案】A【解析】【分析】本题考查直线的交点坐标以及两点间的距离公式，以及利用配方法求一元二次函数的最小值，属于中档

题．应先根据𝑦=2𝑥和𝑥+𝑦=3求得交点，代入𝑚𝑥+𝑛𝑦+5=0可得𝑚+2𝑛+5=0，利用两点距离公式表示出点到原点的距离，将𝑚用𝑛表示代入后，利用配方法求得最小值．【解答】解：联立{𝑦=2𝑥𝑥+𝑦=3，解得{𝑥=1𝑦=2，把(1,2)代入𝑚𝑥+𝑛

𝑦+5=0，得𝑚+2𝑛+5=0，∴𝑚=−5−2𝑛，∴点(𝑚,𝑛)到原点的距离𝑑=√𝑚2+𝑛2=√(5+2𝑛)2+𝑛2=√5(𝑛+2)2+5≥√5，当且仅当𝑛=−2，𝑚=−1时取等号．∴点(𝑚,𝑛)到原点的距离的最小值为√5．故选A．8.已知𝐹

是椭圆𝐸:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左焦点，经过原点𝑂的直线𝑙与椭圆𝐸交于𝑃，𝑄两点，若|𝑃𝐹|=3|𝑄𝐹|，且∠𝑃𝐹𝑄=120∘，则椭圆𝐸的离心率为()A.√76B.13C.√74D

.√215【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆几何性质的运用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．【解答】设椭圆右焦点为𝐹′，连接𝑃𝐹′，𝑄𝐹′，根据椭圆对称性可知四边形𝑃𝐹𝐹′𝑄为平行四边形，则|𝑄𝐹|=|𝑃𝐹′|，因为∠𝑃𝐹𝑄=12

0∘，可得∠𝐹𝑃𝐹′=60∘，所以|𝑃𝐹|+|𝑃𝐹′|=4|𝑃𝐹′|=2𝑎，则|𝑃𝐹′|=12𝑎，|𝑃𝐹|=32𝑎，由余弦定理可得(2𝑐)2=|𝑃𝐹|2+|𝑃𝐹′|2−2|𝑃𝐹||𝑃𝐹′|

cos60∘=(|𝑃𝐹|+|𝑃𝐹′|)2−3|𝑃𝐹||𝑃𝐹′|，即4𝑐2=4𝑎2−94𝑎2=74𝑎2，即𝑐2𝑎2=716．故椭圆离心率𝑒=√𝑐2𝑎2=√716=√74．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9

.已知𝑒为直线𝑙的方向向量，𝑛1⃗⃗⃗⃗,𝑛2⃗⃗⃗⃗分别为平面𝛼,𝛽的法向量(𝛼,𝛽不重合)，那么下列说法中正确的有()A.𝑒⃗⊥𝑛1⃗⃗⃗⃗⇔𝑙//𝛼B.𝑛1⃗⃗⃗⃗⊥𝑛2⃗⃗⃗⃗⇔𝛼⊥𝛽C.𝑛1⃗⃗⃗⃗//𝑛2⃗⃗

⃗⃗⇔𝛼//𝛽D.𝑒⃗⊥𝑛1⃗⃗⃗⃗⇔𝑙⊥𝛼【答案】BC【解析】【分析】本题考查直线的方向向量与平面的法向量，以及利用直线的方向向量与平面的法向量判断空间的平行、垂直关系，属于基础题．根据直

线的方向向量与平面的法向量的定义以及空间线面、面面的平行和垂直关系的判断方法，逐项判断，即可得到答案．【解答】解：因为𝑒为直线𝑙的方向向量，𝑛1⃗⃗⃗⃗,𝑛2⃗⃗⃗⃗分别为平面𝛼,𝛽的法向量(𝛼,𝛽不重合)，A.𝑒→⊥𝑛1→⇒𝑙//�

�或𝑙⊂𝛼，故错误；B.𝑛1→⊥𝑛2→⇔𝛼⊥𝛽正确；C.𝑛1⃗⃗⃗⃗//𝑛2⃗⃗⃗⃗⇔𝛼//𝛽正确；D.𝑒→⊥𝑛1→⇒𝑙//𝛼或𝑙⊂𝛼，故错误，故选BC．10.关于𝑥，𝑦的方程𝑥2𝑚2+2+𝑦23𝑚2−2=1(其中𝑚2≠23)对应

的曲线可能是()A.焦点在𝑥轴上的椭圆B.焦点在𝑦轴上的椭圆C.焦点在𝑥轴上的双曲线D.焦点在𝑦轴上的双曲线【答案】ABC【解析】解：当3𝑚2−2>0且𝑚2+2=3𝑚2−2，即𝑚2>23且𝑚2=2时，曲线为𝑥24+𝑦24=1，即𝑥2+𝑦2

=4，为以(0,0)为圆心，2为半径的圆；当3𝑚2−2>0且𝑚2+2>3𝑚2−2，即23<𝑚2<2时，曲线表示焦点在𝑥轴上的椭圆，当3𝑚2−2>0且𝑚2+2<3𝑚2−2，即𝑚2>2时，曲线表示焦点在𝑦轴

上的椭圆，当3𝑚2−2<0，即𝑚2<23时，曲线表示焦点在𝑥轴上的双曲线，故选：𝐴𝐵𝐶．分情况讨论3𝑚2−2的正负及𝑚2+2与3𝑚2−2大小关系，即可得出答案．本题考查曲线与方程，解题中注意分类讨论思想的应用，

属于中档题．11.若圆𝑥2+𝑦2=𝑟2(𝑟>0)上恒有4个点到直线𝑥−𝑦−2=0的距离为1，则实数𝑟的可能取值是()A.√2B.√3+1C.3D.√2+1【答案】BC【解析】解：作出到直线𝑥−𝑦−2=0的距离为1的点的轨迹，得到

与直线𝑥−𝑦−2=0平行，且到直线𝑥−𝑦−2=0的距离等于1的两条直线，∵圆𝑥2+𝑦2=𝑟2的圆心为原点，原点到直线𝑥−𝑦−2=0的距离为𝑑=|0−0−2|√2=√2，∴两条平行线中与圆心𝑂距离较远的一条到原点的距离为𝑑′=√2+1，

又∵圆𝑥2+𝑦2=𝑟2(𝑟>0)上有4个点到直线𝑥−𝑦−2=0的距离为1，∴两条平行线与圆𝑥2+𝑦2=𝑟2有4个公共点，即它们都与圆𝑥2+𝑦2=𝑟2相交．由此可得圆的半径𝑟>𝑑′，即𝑟>√2+1，实数𝑟的取值范围是(√2+1,+∞)．故选：𝐵𝐶．

到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与𝑥2+𝑦2=𝑟2有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得𝑟的取值范围，从而可得结论．本题给出已知圆上有四个点到直线的距离等于半

径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属中档题．12.设𝐹1、𝐹2分别是双曲线𝐶：𝑥2𝑚+𝑛−𝑦2𝑚−𝑛=1的左、右焦点，且|𝐹1𝐹2|=4，则下列结论正确的有

()A.𝑚=2B.当𝑛=0时，𝐶的离心率是2C.当0≤𝑛<2时，𝐹1到渐近线的距离随着𝑛的增大而减小D.当𝑛=1时，𝐶的实轴长是虚轴长的两倍【答案】AC【解析】【分析】本题考查双曲线简单的几何性质，点到直线的距离公式，属于中档题．根据题

意，得出𝑎，𝑏，𝑐关于𝑚，𝑛的代数式，再逐一分析各选项即可．【解答】解：因为𝐹1、𝐹2分别是双曲线𝐶：𝑥2𝑚+𝑛−𝑦2𝑚−𝑛=1的左、右焦点，且|𝐹1𝐹2|=4，所以{𝑎2=𝑚

+𝑛𝑏2=𝑚−𝑛𝑐2=𝑎2+𝑏2=2𝑚=(|𝐹1𝐹2|2)2=4，可得{𝑐=𝑚=2𝑎=√2+𝑛𝑏=√2−𝑛，故A正确；当𝑛=0时，𝑎=√2，𝐶的离心率是𝑐𝑎=√2，故B错误；当𝑛=1时，𝑎=√3,𝑏=1，𝐶的实轴长是虚轴长的2𝑎2𝑏=

√3倍，故D错误；𝐹1(−𝑐,0)到渐近线𝑦=±𝑏𝑎𝑥的距离为𝑑=|𝑏𝑐|√𝑎2+𝑏2=𝑏=√2−𝑛，当0≤𝑛<2，随着𝑛的增大而减小，故C正确；故选AC．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设等差数列{𝑎�

�}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆7=28，则𝑎2+𝑎3+𝑎7的值为【答案】12【解析】【分析】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于基础题．由已知等差数列的求和公式及性质可求𝑎4，结合等差数列的性质即可求解．【解答】解：因为等差数列{𝑎𝑛}中，𝑆7=7(

𝑎1+𝑎7)2=7𝑎4=28，∴𝑎4=4，则𝑎2+𝑎3+𝑎7=𝑎3+𝑎4+𝑎5=3𝑎4=12．故答案为：12．14.圆𝑂：𝑥2+𝑦2+2𝑥−2𝑦+1=0关于直线𝑥−𝑦+3=0的对称圆的标准方程是．【答案】

(𝑥+2)2+(𝑦−2)2=1【解析】【分析】本题是考查对称圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标和半径，属于基础题．先求出圆𝑥2+𝑦2+2𝑥−2𝑦+1=0的圆心和半径，再利用两点关于已知直线对称所具有的结论，求出所求

圆的圆心坐标即可求出结论．【解答】解：∵圆𝑥2+𝑦2+2𝑥−2𝑦+1=0转化为标准方程为(𝑥+1)2+(𝑦−1)2=1，所以其圆心为：(−1,1)，𝑟=1，设(−1,1)关于直线𝑥−𝑦+3=0对称点为：(𝑎,𝑏)则有{𝑎−12−1+𝑏2+3=0𝑏−1�

�+1×1=−1⇒{𝑎=−2𝑏=2．故所求圆的圆心为：(−2,2)，半径为1．所以所求圆的方程为：(𝑥+2)2+(𝑦−2)2=1故答案为(𝑥+2)2+(𝑦−2)2=1．15.已知抛物线𝑦2=4𝑥，过焦点𝐹作直线与抛物线交于点𝐴，𝐵两

点，若|𝐴𝐹|=4，则点𝐴的坐标为．【答案】(3,2√3)或(3,−2√3)【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线焦半径公式的应用，属于基础题．由抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，由焦半径公式求得𝐴的横坐标，代入抛物线方程即可求得点

𝐴的坐标．【解答】解：如图所示：设点𝐴的坐标为(𝑥𝐴,𝑦𝐴)，由题意可得：𝐹(1,0)，∵|𝐴𝐹|=4，∴由抛物线定义可得：𝑥𝐴+1=4，解得𝑥𝐴=3．代入抛物线方程可得𝑦𝐴=2√3，或𝑦𝐴=−2√3，∴点

𝐴的坐标为(3,2√3)或(3,−2√3).故答案为：(3,2√3)或(3,−2√3).16.若𝑚𝑥≥√4−𝑥2+2𝑚−3恒成立，则实数𝑚的取值范围为__________．【答案】(−∞,512]【解析】【分析】本题

考查根据直线与圆的位置关系求参数，属于较难题．把原不等式恒成立问题转化为转化成直线与圆的位置关系，由题意画出直线和半圆辅助分析，得到直线与半圆相切时斜率取到最大值，即可得出参数取值范围.运用了数形结合和转化化归思想．【解答】解：由题意𝑚𝑥≥√4−𝑥2+2𝑚−3恒成立转化为𝑚(𝑥−2

)+3≥√4−𝑥2，令𝑦1=𝑚(𝑥−2)+3，𝑦2=√4−𝑥2，所以𝑦1表示过点(2,3)，斜率为𝑚的直线，𝑦2表示半圆，则直线必须在圆的上方，利用点到直线的距离公式，得到直线与半圆相切

时的斜率𝑘=512，则𝑚∈(−∞,512]．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)记𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，已知𝑎1=−7，𝑆

3=−15．(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；(2)求𝑆𝑛，并求𝑆𝑛的最小值．【答案】解：(1)∵等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=−7，𝑆3=−15，∴𝑎1=−7，3𝑎1+3𝑑=−15，解得𝑎1=−7，𝑑=2，∴𝑎𝑛=−7+2(𝑛−1)=2𝑛

−9；(2)∵𝑎1=−7，𝑑=2，𝑎𝑛=2𝑛−9，∴𝑆𝑛=𝑛2(𝑎1+𝑎𝑛)=12(2𝑛2−16𝑛)=𝑛2−8𝑛=(𝑛−4)2−16，∴当𝑛=4时，前𝑛项的和𝑆𝑛取得最小值，为−16．【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前𝑛项和公式

，属于基础题．(1)根据𝑎1=−7，𝑆3=−15，可得𝑎1=−7，3𝑎1+3𝑑=−15，求出等差数列{𝑎𝑛}的公差，然后求出𝑎𝑛即可；(2)由𝑎1=−7，𝑑=2，𝑎𝑛=2𝑛−9，得𝑆𝑛=𝑛2(𝑎1+𝑎𝑛)=(𝑛−4)2−16，由此可求出𝑆𝑛

的最小值．18.(本小题12.0分)已知圆𝐶的圆心在𝑥轴上，且经过点𝐴(1,0)，𝐵(3,2)(1)求圆𝐶的标准方程；(2)若直线𝑙过点𝑃(0,2)，且与圆𝐶相切，求直线𝑙方程．【答案】解：(1)根据题意，圆𝐶的圆心𝐶在

𝑥轴上，设其坐标为(𝑎,0)，圆𝐶的半径为𝑟，又圆𝐶经过点𝐴(1,0)，𝐵(3,2)，则有(𝑎−1)2=(𝑎−3)2+4，解可得𝑎=3，则𝑟=|𝑎−1|=2，则圆𝐶的标准方程为(𝑥−3)2+𝑦2=4，(2)根据题意，圆𝐶的标准方程为(𝑥−3)2+𝑦

2=4，若直线𝑙的斜率不存在，则直线𝑙的方程为𝑥=0，与圆𝐶不相切，不符合题意；若直线𝑙的斜率存在，设直线𝑙的方程为𝑦=𝑘𝑥+2，即𝑘𝑥−𝑦+2=0，若直线𝑙与圆𝐶相切，且有|3𝑘+2|√1+𝑘2=

2，解可得：𝑘=0或−125，则直线𝑙的方程为𝑦=2或𝑦=−125𝑥+2．【解析】本题考查直线与圆相切，涉及圆的标准方程，属于基础题．(1)根据题意，设𝐶的坐标为(𝑎,0)，半径为𝑟，结合题意可

得(𝑎−1)2=(𝑎−3)2+4，又𝑟=|𝑎−1|可得𝑟的值，即可得答案；(2)根据题意，分直线𝑙的斜率存在与不存在2种情况讨论，若直线𝑙的斜率不存在，则直线𝑙的方程为𝑥=0，分析可得此时不符合题意；若直线𝑙的斜率存在，设直线𝑙的方程为𝑦

=𝑘𝑥+2，结合直线与圆的位置关系可得|3𝑘+2|√1+𝑘2=2，求出𝑘的值，即可求出直线的方程．19.(本小题12.0分)如图，在三棱柱ABC-𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐴1⊥底面𝐴1𝐵1𝐶1，AC⊥AB，AC=AB=4，𝐴𝐴1=6，点𝐸，𝐹分别为𝐶�

�1与AB的中点．(1)证明：EF//平面BC𝐶1𝐵1．(2)求𝐵1𝐹与平面𝐴𝐸𝐹所成角的正弦值．【答案】(1)证明：如图，连接𝐴𝐶1，𝐵𝐶1．因为三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1为直三棱柱，所以𝐸为𝐴𝐶1的中点，又因

为𝐹为𝐴𝐵的中点，所以𝐸𝐹//𝐵𝐶1．又𝐸𝐹⊄平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1，𝐵𝐶1⊂平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1．所以𝐸𝐹//平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1．(2)解：以𝐴1为原点建立如图所示的空间直角坐标系𝐴1−𝑥𝑦𝑧，则𝐴(0,0,6)，𝐵1(0

,4,0)，𝐸(2,0,3)，𝐹(0,2,6)．所以𝐵1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−2,6)，𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,−3)，𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,0)，设平面𝐴𝐸𝐹的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑛⃗⋅𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑥−3𝑧=0𝑛⃗⋅

𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑦=0,令𝑥=3，得𝑛⃗=(3,0,2).记𝐵1𝐹与平面𝐴𝐸𝐹所成角为𝜃，则𝑠𝑖𝑛𝜃=|𝑐𝑜𝑠⟨𝐵1𝐹→,𝑛→⟩|=|𝐵1𝐹→⋅𝑛→|𝐵1𝐹→|·|𝑛

→||=3√13065．【解析】本题考查了线面平行的判定和利用空间向量求线面的夹角，是基础题．(1)利用直线与平面平行的判定定理进行证明即可；(2)利用空间向量求直线与平面所成的角即可．20.(本小题12.0分)已

知双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的离心率为√5，虚轴长为4，(1)求双曲线𝐶的标准方程；(2)若过点(0,1)，倾斜角为45°的直线𝑙与双曲线交于𝐴，𝐵两点，𝑂为坐标原点，求𝛥𝐴𝑂𝐵的面积．【答案】解：(1)依题意可得{

𝑐𝑎=√52𝑏=4𝑐2=𝑎2+𝑏2，解得𝑎=1,𝑏=2,𝑐=√5，∴双曲线的标准方程为𝑥2−𝑦24=1；(2)直线𝑙的方程为𝑦=𝑥+1，设𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)，由

{𝑦=𝑥+14𝑥2−𝑦2=4，可得3𝑥2−2𝑥−5=0，𝛥=4+60=64>0，𝑥1+𝑥2=23，𝑥1𝑥2=−53，即|𝐴𝐵|=√1+𝑘2√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1�

�2=√2×√49+203=8√23，原点到直线𝑙的距离为𝑑=√22，于是𝑆𝛥𝑂𝐴𝐵=12⋅|𝐴𝐵|⋅𝑑=12×8√23×√22=43，∴𝛥𝑂𝐴𝐵的面积为43．【解析】本题

考查双曲线的方程、双曲线的简单几何性质及直线与双曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于基础题．(1)根据已知条件及𝑐2=𝑎2+𝑏2可得关于𝑎,𝑏,𝑐的方程组

，从而可求得𝑎,𝑏,𝑐；(2)由点斜式可得直线𝑙方程，与双曲线联立消去𝑦可得关于𝑥的一元二次方程.可得两根之和，两根之积.由弦长公式可得|𝐴𝐵|，根据点到面的距离公式可得原点到直线𝑙的距离，从而可求得𝛥𝑂𝐴𝐵的面积．21.(本小题12.

0分)已知点𝐹为抛物线𝐶：𝑥2=2py(𝑝>0)的焦点，点𝐴(𝑚,3)在抛物线𝐶上，且|AF|=5.若点𝑃是抛物线𝐶上的一个动点，设点𝑃到直线𝑥−2𝑦−6=0的距离为𝑑．(1

)求抛物线𝐶的方程；(2)求𝑑的最小值．【答案】解：(1)因为抛物线𝐶：𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)，所以抛物线𝐶的准线为𝑦=−𝑝2．𝐴(𝑚,3)在抛物线𝐶上，由抛物线的定义，得|𝐴𝐹|=𝑦𝐴+𝑝2=3+𝑝2=5

，解得𝑝=4，所以抛物线𝐶的方程为𝑥2=8𝑦．(2)方法一设点𝑃的坐标为(𝑥0,𝑦0)，因为点𝑃在抛物线𝐶上，所以𝑥02=8𝑦0，则𝑃到直线𝑥−2𝑦−6=0的距离𝑑=|𝑥0−2𝑦0−6|√5=|𝑥0−2×18𝑥02−6|√5=(𝑥0−2)2+

204√5．当𝑥0=2时，𝑑取到最小值，且𝑑的最小值为204√5=√5．方法二设直线𝑥−2𝑦−6=0的平行线𝑥−2𝑦+𝑐=0与抛物线𝐶：𝑥2=8𝑦相切，由{𝑥−2𝑦+𝑐=0𝑥2=8𝑦，得𝑥2−4𝑥−4𝑐=0，所以𝛥=16+16𝑐=0，解得𝑐=

−1，故所求𝑑的最小值为|−1−(−6)|√12+22=√5．【解析】本题主要考查抛物线的定义以及几何性质．(1)由抛物线的定义，得𝐴𝐹=𝑦𝐴+𝑝2=3+𝑝2=5，解得𝑝=4，可得方程(2)法一：𝑃到直线𝑥−2𝑦−6=0的距离为𝑑=|𝑥0−2�

�0−6|√5=|𝑥0−2×18𝑥02−6|√5=(𝑥0−2)2+204√5.当𝑥0=2时，𝑑取到最小值，求解即可法二：由{𝑥−2𝑦+𝑐=0𝑥2=8𝑦得𝑥2−4𝑥−4𝑐=0，令𝛥=16+16𝑐=0，解得𝑐=−1，即可求解22.(本小题12.0分)如图，椭圆𝐶

:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率是12，短轴长为2√3，椭圆的左、右顶点分别为𝐴1、𝐴2，过椭圆与抛物线的公共焦点𝐹的直线𝑙与椭圆相交于𝐴,𝐵两点，与抛物线𝐸相交于𝑃,𝑄两点，

点𝑀为PQ的中点．(1)求椭圆𝐶和抛物线𝐸的方程;(2)记△𝐴𝐵𝐴1的面积为𝑆1，△𝑀𝐴2𝑄的面积为𝑆2，若𝑆1⩾3𝑆2，求直线𝑙在𝑦轴上截距的范围．【答案】解：(1)根据题

意得：{2𝑏=2√3𝑒=𝑐𝑎=12𝑎2=𝑏2+𝑐2，解得𝑎=2，𝑏=√3，𝑐=1，所以，抛物线焦点𝐹(1,0)，所以，椭圆𝐶:𝑥24+𝑦23=1，拋物线𝐸:𝑦2=4𝑥；(2)设𝑙:�

�=𝑡𝑦+1(𝑡≠0),𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2),𝑃(𝑥3,𝑦3),𝑄(𝑥4,𝑦4)，联立𝑙与椭圆𝐶:{𝑥=𝑡𝑦+1𝑥24+𝑦23=1，整理得：(3𝑡2+4)𝑦2+6𝑡𝑦−9=0，判别式：Δ=(6𝑡

)2−4(3𝑡2+4)(−9)=144(𝑡2+1)，弦长公式：|𝐴𝐵|=√1+𝑡2|𝑦1−𝑦2|=√1+𝑡2√144(𝑡2+1)3𝑡2+4，点𝐴1(−2,0)到直线𝑙的距离为3√1

+𝑡2，所以𝑆1=12|𝐴𝐵|⋅3√1+𝑡2=18√1+𝑡23𝑡2+4，联立𝑙与抛物线𝐸:{𝑦2=4𝑥𝑥=𝑡𝑦+1，整理得：𝑦2−4𝑡𝑦−4=0，判别式：Δ=(−4𝑡)2−4(−4)=16(𝑡2+1)，

弦长公式：|𝑃𝑄|=√1+𝑡2|𝑦3−𝑦4|=√1+𝑡2√16(1+𝑡2)，点𝐴2(2,0)到直线𝑙的距离为1√1+𝑡2所以𝑆2=12𝑆△𝑃𝑄𝐴2=12⋅12⋅|𝑃𝑄|⋅1√1+𝑡2=√1+𝑡2，因为𝑆1

⩾3𝑆2，即18√1+𝑡23𝑡2+4⩾3√1+𝑡2，解得：−√63⩽𝑡⩽√63．所以，直线𝑙在𝑦轴上截距−1𝑡⩽−√62或−1𝑡⩾√62，所以，直线𝑙在𝑦轴上截距取值范围是(−∞,

−√62]∪[√62,+∞)．【解析】本题主要考查椭圆和抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线、直线与椭圆的位置关系，属于中档题．利用所给条件求出方程，分别联立直线𝑙与椭圆，抛物线，求出弦长公式，进而求出面积．获

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