【文档说明】黑龙江省大庆铁人中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 含答案.doc，共(23)页，1.631 MB，由小赞的店铺上传

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铁人中学2019级高二上学期期中考试数学试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每

小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知点M的极坐标是2,6−−，它关于直线2=的对称点坐标是（）A．112,6B．72,6−

C．2,6−D．112,6−−2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为74，面

积为12，则椭圆C的方程为（）.A．22134xy+=B．221916xy+=C．22143xy+=D．221169xy+=3．下列结论错误的是（）A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2

－3x－4≠0”B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”4．在极坐标系中，曲线2sin

C=：上的两点AB，对应的极角分别为233，，则弦长AB等于（）A．1B．2C．3D．25．已知椭圆2214yx+=和点11(,)22A、1(,1)2B，若椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，则k的取值范围为（）A．2,1−−B．4,2−−C．4,1−−

D．11,2−−6．已知点A是曲线2213xy+=上任意一点，则点A到直线sin()66+=的距离的最大值是（）A．62B．6C．362D．267．已知M是抛物线24xy=上一点，F为其焦点，C为圆22(1)(2)1xy++−=的圆心

，则||||MFMC+的最小值为（）A．2B．3C．4D．58．已知直线l的参数方程为2222xmtyt=+=（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2222cos3sin12+=，且曲线C的左焦点F在直线l

上，若直线l与曲线C交于A、B两点，则FAFB的值等于（）A．1B．2C．3D．29．已知点F是双曲线2222=1xyab−的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于G、H两

点，若GHE△是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．()1,+B．()1,2C．()212+,D．()1,12+10．若动点(,)xy在曲线2221(0)4xybb+=上变化，则22xy+的最大值为（）A．2404424bbbb+„B．2402

422bbbb+…C．244b+D．2b11．已知点,AB在抛物线2yx=上且位于x轴的两侧，2OAOB=（其中O为坐标原点），则直线AB一定过点（）A．(2,0)B．C．(0,2)D．10,2

12．设椭圆()222210xyabab+=的焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，且123FPF=，若12FPF的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当4Rr=时，椭圆的离心率为（）A．45B．23C．12D．15第II卷非选择题部分（选择题满分90分）二、填空题（本大题

共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知点P的直角坐标按伸缩变换'2'3xxyy==变换为点'(6,3)P−，限定0,02时，点P的极坐标为_____________．14．设p：|x﹣1|≤1，q：x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）（m+2）≤0．若p是q的充分不必要条件

，则实数m的取值范围是_____．15．有如下命题：①“0ab”是“11ab”成立的充分不必要条件；②，则aatbbt++；③552332ababab++对一切正实数,ab均成立；④“1ab”是“0ab−”成立的必要非充分条件.其中正确的命

题为___________．（填写正确命题的序号）16．已知双曲线22221(0,0)xyabab−=，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（

O为坐标原点），连接QN.若120MPO=，150MNQ=，则该双曲线的渐近线方程为____.三、解答题（本大题共6小题，共70分．)17．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:4sinC=，曲线2:4cosC=.021

，（1）求曲线1C与2C的直角坐标方程；（2）若直线3C的极坐标方程为()3R=，设3C与1C和2C的交点分别为M，N（M，N不与O重合），求MN.18．已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，且椭圆C的右顶点到直线20xy−+=的距离为3.（1）求椭圆C的方程；（

2）过点()2,0P，且斜率为12的直线l与椭圆C交于A，B两点，求OAB的面积(O为坐标原点).19．已知双曲线22:14xCy−=，P是C上的任意点.（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为()5,0，求PA的最小值.20．在直角坐标系xOy

中，曲线1C的参数方程为213xtyt=+=+(t为参数)，曲线2C的参数方程为212xmym=−=(m为参数).（1）求曲线1C，2C的普通方程；（2）已知点(2,1)M，若曲线1C，2C交于A，B两点，求||MAMB−‖‖的

值.21．设抛物线()2:20Cypxp=，F为C的焦点，点(),0AAx为x轴正半轴上的动点，直线l过点A且与C交于P，Q两点，点(),0BBx为异于点A的动点.当点A与点F重合且直线l垂直于x轴时，4PQ=.（1）求C的方程；（2）若直线l不垂直于坐标轴，且PBAQBA=，求证：ABxx

+为定值.22．已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）经过()1,0A，()0,Bb两点.O为坐标原点，且AOB的面积为24.过点()0,1P且斜率为k（0k）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N

，且直线AM，AN分别与y轴交于点S，T.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围；（Ⅲ）设PSPO=，PTPO=，求+的取值范围.参考答案1．B【解析】【分析】利用极坐标的意义作出极坐标点M，再做出点M关于2=的对称

点N，则可得出其极坐标.【详解】解：作出极坐标是2,6−−的点M，如图，它关于直线2=的对称点是N，其极坐标为2,6或72,6−．故选：B．【点睛】考查极坐

标的概念，以及对称点的求法.题目较易.2．D【解析】【分析】利用已知条件列出方程组，求出,ab，即可得到椭圆方程.【详解】由题意可得：2221274abcaabc===+，解得4,3ab

==，因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆方程为：221169xy+=，故选D.【点睛】该题考查的是有关椭圆方程的求解问题，涉及到的知识点有椭圆的几何性质，椭圆的面积，属于简单题目.3．C【解析】【分析】写出原命

题的逆否命题，可判断A，根据充要条件的定义，可判断B；根据方程20xxm+−=有实根1144mm=+−厖，即可判断C．写出原命题的否命题，可判断D．【详解】解：命题“若2340xx−−=，则4x=”的逆否命题为“

若4x，则2340xx−−”，故A正确；“2340xx−−=”“4x=或1x=”，故“4x=”是“2340xx−−=”的充分不必要条件，故B正确；对于C，命题“若0m，则方程20xxm+−=有实根”的逆命题为命题“若方程20xxm+−=有实根，则0m，方程

20xxm+−=有实根时，1144mm=+−厖，故C错误．命题“若220mn+=，则0m=且0n=”的否命题是“若220mn+．则0m或0n”，故正确；故选：C．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了

四种命题，命题的否定，充要条件等知识点，属于中档题．4．C【解析】【分析】直接求出极坐标，转化为直角坐标，然后利用距离公式求解即可.【详解】A､B两点的极坐标分别为23333，，，，化为直角坐标为3322−，､3322，，故223333

()()32222AB=++−=.故选：C.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的求法，距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题.5．B【解析】【分析】由题意设出椭圆2214yx+=的某弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为M（x0，y0），

把P、Q的坐标代入椭圆方程，作差得到PQ的斜率与AB中点坐标的关系得答案．【详解】设椭圆2214yx+=的某弦的两个端点分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为M（x0，y0），则221114yx+=，222214yx+=，两式作差可得：2222121244yyxx−=−+，即()12

0121212000144422xxxyyxxyyyyy+−=−=−=−=−−+，由题意可知，12y0≤1，∴k02y=−（12y0≤1），则k∈[﹣4，﹣2]．故选B．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了“中点弦

”问题的求解方法，属于中档题．6．C【解析】【分析】先将直线sin()66+=化为直角坐标系下的方程，再用椭圆的参数方程设出点A的坐标，利用点到直线的距离求解.【详解】由直线sin()66+=，有31sincos622

+=，即3260yx+−=.又点A是曲线2213xy+=上任意一点，设()3cos,sinA则点A到直线3260yx+−=的距离为：3sin3cos2631d+−=+6sin2643622+−=当sin14

+=−时取得等号.故选：C【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程和点到直线的距离,属于中档题.7．B【解析】【分析】设出抛物线的准线方程，问题求||||MFMC+的最小值，结合抛物

线的定义，就转化为，在抛物线上找一点M，使M到C点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可以求解出来．【详解】解：设抛物线24xy=的准线方程为:1ly=−，C为圆22(1)(2)1xy++−=的圆心，所以C的坐标为(1,2)−，过M作l

的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知||||MFME=，所以问题求||||MFMC+的最小值，就转化为求||||MFMC+的最小值，由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CEl⊥，||||MEMC+有最小值，最小值为2(1)3CE=−−=，

故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题．解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化，属于中档题．8．D【解析】【分析】根据题意，将曲线C的极坐标方程变形为标准方程，由直线过的点的坐标可得m的值，将直线的参数方

程与曲线C的方程联立，可得2220tt−−=，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；【详解】解：根据题意，曲线C的极坐标方程为2222cos3sin12+=，则其标准方程为221124xy+=，其左焦点为(22,0)−，直

线l过点(22,0)−，其参数方程为22(22xmttyt=+=为参数），则22m=−，将直线l的参数方程222222xtyt=−+=与曲线C的方程221124xy+=联立，得2220tt−−=，则12||||||2FAFBtt==．故选：

D【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程、参数方程，涉及椭圆与直线的位置关系，关键是求出椭圆、直线的普通方程，属于中档题．9．B【解析】【分析】确定45GEF，在直角GEF△中得到2022ac+ac>−，即22<0ee−−，计算得到答案.【详解】若GHE是锐

角三角形，则45GEF在直角GEF中，2bGFa=，EFac=+，GFEF即2022ac+ac>−，所以22<0ee−−得1<<2e−，又>1e，所以1<<2e故选：B【点睛】本题考查了双曲线的离心率的

取值范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定45GEF是解题的关键.10．A【解析】【分析】设动点的坐标为(2cos,sin)b，将2cos,sinxyb==代入22xy+中整理化简求最值．【详解】解：设动点的坐标为(2cos,sin)b，则2

22224cos2sin2sin424bbxyb+=+=−−++．当04b„时，()22max244bxy+=+；当4b时，()222max224224bbxyb+=−−++=．

故选：A．【点睛】本题考查与圆锥曲线有关的最值问题，可通过参数方程转化为三角函数求最值，是中档题．11．A【解析】【分析】设直线AB方程为xkym=+，与抛物线方程联立，消去x后得y的方程，由韦达定理可求得m，得到直线方程，根据方程特点可得答案.【详解】当直

线AB的斜率为0时，直线AB与抛物线只有1个交点，不符合题意，所以直线AB的斜率不为0，设其方程为xkym=+，因为点,AB在抛物线2yx=上，所以设()()22,,,AABBAyyByy，所以222ABABOAOByyyy=+=，解得1AByy=或2AByy=−．又因为,AB两点位于

x轴的两侧，所以2AByy=−．联立2,,yxxkym==+得220,40ykymkm−−==+，所以2AByym=−=−，即2m=，所以直线AB的方程为2xky=+，所以直线AB一定过点(2,0)．故选：A．【点睛】本题考查直线与抛物线

相交问题，考查抛物线中的定值，方法是设而不求法，在直线与圆锥曲线相交问题常常采用此法，注意体会．12．B【解析】【分析】利用正弦定理得到233cR=，再利用椭圆的定义，设1PFm=，2PFn=，得到2mna+=，结合余弦定理22242cos3

cmnmn=+−，得到22230acac−−=，即得解.【详解】椭圆的焦点为()1,0Fc−，()2,0Fc，122FFc=根据正弦定理可得12122432sin3sin3FFccRFPF===∴233cR=，1346crR==.

设1PFm=，2PFn=，则2mna+=，由余弦定理得22242cos3cmnmn=+−()22343mnmnamn=+−=−，∴()2243acmn−=，∴()122231sin233FPFacSmn−==，又12FPFS=()()31226cacmncr+++

=，∴()()223336acac−+=即22230acac−−=，故2320ee+−=，解得：23e=或1e=−（舍）.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆的性质综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题

.13．1123,6【解析】设点P的直角坐标为(),xy，由题意得6233xy=−=，解得33xy==−，因为点P的直角坐标为()3,3−，所以()223323=+−=，3tan3=−，因为

02，点P在第四象限，所以116=，所以点P的极坐标为1123,6．14．[0，1]【解析】【分析】分别求出,pq的范围，再根据p是q的充分不必要条件，列出不等式组，解不等式组【详解】由11x−得111x−−，得02x.由2(21)(1)(

2)0xmxmm−++−+，得[(1)][(2)]0xmxm−−−+，得12mxm−+，若p是q的充分不必要条件，则1022mm−+，得10mm，得01m，即实数m的取值范围是[0,1].故答案为：[0,1]【点睛】本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解

法，同时考查了充分不必要条件，属于中档题.15．①③【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意得，对于①中，“0ab”是“11ab”成立的，当“11ab”时，“0ab”不一定成立，例如1,2ab=−=；对于②时，则aatbbt++，所以是不成立的；对于③中，5523323223223

322222()()()()()()()0abababaabbbaababababaabb+−−=−+−=−−=−+++，所以552332ababab++对一切正实数,ab均成立是成立的；对于④“1a

b”是“0ab−”成立的既不充分也不必要，所以不成立，故选①③．考点：不等式的性质及命题的真假判定．16．yx=【解析】【分析】由题意可知：M，Q关于原点对称，得到22MNQNbkka=，分别求出相应的斜率，再根据离心率公式，即可求解.【详解】由题意可知：M，Q关于原点

对称，∴22MNQNbkka=，又由120MPO=，150MNQ=，则3MNk=，33QNk=，∴221ba=，渐近线方程为yx=.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据双曲线的对称

性，得到,MQ关于原点对称，得到22MNQNbkka=，分别求出相应的斜率，求得22ba的值是解答的关键，重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17．（1）2240xyy+−=，2240xyx+−=；（2）232−.【解析】

【分析】（1）由利用极坐标和直角坐标互换公式，即可求出曲线1C与2C的直角坐标方程；（2）联将直线3C的极坐标方程分别于曲线1C与2C的极坐标方程联立，即可求出,MN，再根据MNMN=−，即可求出结果.【详解】解：（1）由4sin=，得24s

in=，∴曲线1C的直角坐标方程为2240xyy+−=.由4cos=，得24cos=，∴曲线2C的直角坐标方程为2240xyx+−=.（2）联立4sin3==，得23M=，联立4cos3

==，得2N=，.故232MNMN=−=−.【点睛】本题主要考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题．属于基础题.18．（1）22182xy+=.（2）3【解析】【分析】（1）由右顶点到直线的距离得a，再由离心率得c，从

而可得b值，得出椭圆方程；（2）写出直线方程，直线方程与椭圆方程联立方程组消元得一元二次方程，设()11,Axy，()22,Bxy，得1212,yyyy+，而OAB的面积可表示为1212OPyy−，由此可得所求面积．【详解】（1）因为椭圆C的右顶点到直线20xy−+

=的距离为3，所以232a+=，解得22a=.因为椭圆C的离心率为32，所以32ca=，所以6c=，所以222bac=−=.故椭圆C的方程为22182xy+=.（2）由题意可知直线l的方程为22xy=+，设()11,Axy，()22,Bxy，联立2222182xyxy=++

=，整理得22210yy+−=，则121yy+=−，1212yy=−，从而()()22121212141432yyyyyy−=+−=−−−=.故OAB的面积121211112332222SOPyOPyOPyy=+=−==.【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中

的三角形面积问题．求三角形面积时不直接求出交点坐标，而是设()11,Axy，()22,Bxy，由直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理得1212,yyyy+，面积表示为1212OPyy−，这样代入计算，可避免求交点坐标。19．（1）见解析；（2）min2

PA=.【解析】试题分析：（1）设()00,Pxy，写出点P到渐近线的距离的乘积，利用点在双曲线上化简，得到常数；（2）()222005PAxy=−+，根据220014xy−=化简2PA，转化为二次函数求最

小值.试题解析：（1）设()00,Pxy，P到两准线的距离记为1d、2d，∵两准线为20xy−=，20xy+=，∴00002212002214555xyxyddxy−+==−，又∵点P在曲线上，∴22220000444xyxy−=−=，得1245dd=（常数）即点P到双曲线C的两条渐

近线的距离的乘积是一个常数.（2）设()00,Pxy，由平面内两点距离公式得，()222005PAxy=−+，∵220014xy−=，可得220014xy=−，∴()222200005102514444xPAxxx=−++−=−+，又∵点P在双曲线上，满足02x，∴当04x=时，

PA有最小值，min2PA=.20．（1）1C：35yx=−，2C：244yx=+；（2）2109.【解析】【分析】（1）消去参数t可得曲线1C普通方程；将y平方消去2m可得曲线2C的普通方程；（2）将直线1C改写成过(2,1)M的标准

直线参数方程，再联立曲线2C的普通方程化简可得关于t的一元二次方程，根据t的几何意义，结合韦达定理，即可求出||MAMB−‖‖的值.【详解】（1）由曲线1C的参数方程为213xtyt=+=+(t为参数)，消去t得35

yx=−.由曲线2C的参数方程为212xmym=−=(m为参数)，消去m得244yx=+.（2）曲线1C的标准参数方程为10210310110xtyt=+=+(t为参数).代入244yx=+，整理得2910

110105tt+−=，所以122109tt+=−，121109tt=−，因为120tt+，120tt，所以12210||||9MAMBtt−=+=‖.【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化

，同时也考查了直线参数方程的几何意义，易错点在于要先将直线参数方程化为标准形式，再代入求解，属中档题.21．（1）24yx=；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将2px=代入抛物线方程可求得PQ，由此可构造方程求得p，进而得到

结果；（2）设:Axmlyx=+，与抛物线方程联立后得到韦达定理的形式；由PBAQBA=知0PBQBkk+=，代入韦达定理的结论整理可得定值.【详解】（1）由题意得：,02pF，当点A与F重合且直线l垂直于x

轴时，l方程为：2px=，代入22ypx=得：yp=，24PQp==，解得：2p=，C的方程为：24yx=.（2）证明：可设直线l的方程为Axmyx=+，()11,Pxy，()22,Qxy，将Axmyx=+代入24yx=中得：2440Aymyx−−=，则21

6160Amx=+，121244Ayymyyx+==−，由PBAQBA=得：0PBQBkk+=，即12120BByyxxxx+=−−，即()()12210BByxxyxx−+−=，()()()()12211221BBABAByxxyxxymyxxymy

xx−+−=+−++−()()()()()()1212224440ABAABABmyyxxyymxxxmmxx=+−+=−+−=−+=，又直线l不垂直于坐标轴，0m，0ABxx+=，ABxx+为定值0.【点睛】本题考查直线与抛

物线的综合应用问题，涉及到抛物线标准方程的求解、抛物线中的定值问题；证明定值问题的关键是能够将角相等的关系转化为斜率之间的关系，进而利用韦达定理整理化简得到定值.22．（Ⅰ）2221xy+=（Ⅱ）2,2+（Ⅲ）()2,2【解析】【分析】（Ⅰ

）把点A坐标代入椭圆的方程得1a=.由AOB的面积为24可知，1224ab=，解得b，进而得椭圆C的方程.（Ⅱ）设直线l的方程为1ykx=+，()11,Mxy，()22,Nxy.联立直线l与椭圆C的方程可得关于x的一元二次方程.，进而解得k

的取值范围.（Ⅲ）因为()1,0A，()0,1P，()11,Mxy，()22,Nxy，写出直线AM的方程，令0x=，解得111yyx−=−.点S的坐标为110,1yx−−.同理可得：点T的坐标为220,1yx−−.用坐标表示PS，PT，PQ，代入PSPO=，

PTPO=，得111111111ykxxx+=+=+−−.同理22111kxx+=+−.由（Ⅱ）得122421kxxk+=−+，122121xxk=+，代入+，化简再求取值范围.【详解】（Ⅰ）

因为椭圆C：22221xyab+=经过点()1,0A，所以21a=解得1a=.由AOB的面积为24可知，1224ab=，解得22b=，所以椭圆C的方程为2221xy+=.（Ⅱ）设直线l的方程为1ykx=+，()11,Mxy，

()22,Nxy.联立22211xyykx+==+，消y整理可得：()2221410kxkx+++=.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以()22164210kk=−+，解得212k.因为0k，所以k的取值范

围是2,2+.（Ⅲ）因为()1,0A，()0,1P，()11,Mxy，()22,Nxy.所以直线AM的方程是：()1111yyxx=−−.令0x=，解得111yyx−=−.所以点S的坐标为110,1yx−−.同理可得：点T的坐标为220,1yx−−

.所以110,11yPSx−=−−，220,11yPTx−=−−，()0,1PO=−.由PSPO=，PTPO=，可得：1111yx−−=−−，2211yx−−=−−，所以111111111ykxxx+=+=+−−.同理22111kxx+

=+−.由（Ⅱ）得122421kxxk+=−+，122121xxk=+，所以()()()1212121212122121122111kxxkxxkxkxxxxxxx+−+−+++=++=+−−−++()222

214212212121412121kkkkkkkk+−−−++=+++++()22224422121421kkkkkk−+−+=++++()()2121kk−+=++()1222,212kk=−++所以+的范围是()

2,2.【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.