【文档说明】湖北省云学新高考联盟2023-2024学年高一上学期10月联考数学试卷+含解析.docx，共(16)页，55.969 KB，由小赞的店铺上传

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2023年湖北省云学新高考联盟学校高一年级10月联考数学试卷✽第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合𝐴={𝑥∈𝑁|𝑥2≤81}，集合𝐵={𝑦|𝑦=𝑥2−4𝑥+12}，则𝐴∩𝐵=()A.⌀B.{

8,9}C.{𝑥|8≤𝑥≤9}D.{𝑥|−9≤𝑥≤9}2.使得不等式“𝑥2≤1成立的一个充分不必要条件是()A.−1≤𝑥≤1B.𝑥<1C.𝑥≤1D.0<𝑥<13.设𝐴，𝐵为非空集合，定义𝐴∗𝐵={𝑥|𝑥∈𝐴∪𝐵，且𝑥

∉𝐴∩𝐵}，已知𝑀={𝑥|0≤𝑥≤3}，𝑁={𝑥|𝑥>2}，则𝑀∗𝑁=()A.{𝑥|0≤𝑥≤2}B.{𝑥|0≤𝑥<2或𝑥>3}C.{𝑥|0≤𝑥≤2或𝑥>3}D.{𝑥|0≤𝑥<2}4.已知集合𝐴

={1,2,3,4,5,6,7}，集合𝐵={6𝑥−1∈𝑁|𝑥∈𝐴}，集合𝐵中所有元素之和记为𝑎，集合𝐵的子集个数记为𝑏，则𝑎+𝑏=()A.28B.20C.16D.325.已知命题𝑝:若𝑥>1，则2𝑥+1>5，则命题𝑝的否定为()A.若𝑥>1，则2𝑥+1

≤5B.若∃𝑥>1，则2𝑥+1≤5C.若𝑥≤1，则2𝑥+1≤5D.若∃𝑥≤1，则2𝑥+1≤56.下列函数中，最小值为2的是()A.𝑦=𝑥4+1𝑥+1B.𝑦=√𝑥2+4+1√𝑥2+4C.𝑦=𝑥+4𝑥−1−2，(

𝑥>1)D.𝑦=√2−𝑥+√2+𝑥7.已知集合𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑦−2𝑥−1=2}，𝐵={(𝑥,𝑦)|𝑦=𝑘𝑥+3}，若𝐴∩𝐵=⌀，则𝑘=()A.2B.−1C.1或2D.−1或28.在实数集𝑅中

定义一种运算“⊗”，具有以下三条性质：①对任意𝑎∈𝑅，0⊗𝑎=𝑎;②对任意𝑎，𝑏∈𝑅，𝑎⊗𝑏=𝑏⊗𝑎;③对任意𝑎，𝑏，𝑐∈𝑅，(𝑎⊗𝑏)⊗𝑐=𝑐⊗(𝑎𝑏)+(

𝑎⊗𝑐)+(𝑏⊗𝑐)−2𝑐，以下正确的选项是()A.2⊗(0⊗2)=0B.(2⊗0)⊗(2⊗0)=6C.对任意的𝑎，𝑏，𝑐∈𝑅，有𝑎⊗(𝑏⊗𝑐)=𝑏⊗(𝑐⊗𝑎)D.对任意𝑎，𝑏，𝑐∈𝑅，有(𝑎+𝑏

)⊗𝑐≠(𝑎⊗𝑐)+(𝑏⊗𝑐)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列关于符号“∈，⊆”使用正确的有()A.若集合𝐴∪𝐵=𝐵，则𝐴⊆𝐵B.若𝐴∩𝐵=𝐵∩𝐶，则𝐵=𝐶C.{0}⊆{{0},1}

D.(𝐴∩𝐵)⊆(𝐴∪𝐵)10.若𝑎，𝑏，𝑐∈𝑅，𝑐>0>𝑎>𝑏，下列不等式一定成立的有()A.𝑎+1𝑏>𝑏+1𝑎B.𝑎𝑏<𝑎−1𝑏−1C.𝑏𝑎−𝑐>𝑎𝑏−𝑐D.𝑏𝑎<𝑏+1𝑎+111.已知正实数𝑎，𝑏满足𝑎𝑏+𝑎+�

�=8，下列说法正确的是()A.𝑎𝑏的最大值为2B.1𝑎+1𝑏+1的最小值为79C.𝑎+9𝑏的最小值为8D.1𝑎(𝑏+1)+1𝑏的最小值为1212.若平面点集，满足：任意点(𝑥,𝑦)∈𝑀，存在正实数𝑡，都有(𝑡𝑥,𝑡𝑦)∈𝑀，则称该点集为“𝑡阶集”，则下列

说法正确的是()A.若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑦=2𝑥}是“𝑡阶集”，则𝑡=1B.若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑦=2𝑥}是“𝑡阶集”，则𝑡为任意正实数C.若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑥2≤4𝑦}是“𝑡阶集”，则0<𝑡≤1D.若𝑀={(𝑥,𝑦

)|𝑦≥√𝑥}是“𝑡阶集”，则𝑡<1第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合𝑃={𝑥|2𝑥2+5𝑥−3=0}，𝑄={𝑥|𝑚𝑥=1}，若𝑄⊆𝑃，则实数𝑚的取值集合为．14.命

题“∃1≤𝑥≤8时，方程2𝑥2−𝑎𝑥+8=0有两个不等实数根”是真命题，则实数𝑎的取值范围是．15.已知𝑎，𝑏>0，4𝑎+3𝑏=1，则12𝑎+𝑏+1𝑎+𝑏的最小值为．16.已知集合𝐴={𝑥|𝑥2+2𝑥−8≥0}，𝐵={𝑥|𝑥2−2𝑎𝑥+4≤0}，若�

�>0，且𝐴∩𝐵中恰有3个整数元素，则实数𝑎的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)已知集合𝐴={𝑥|4𝑥−2𝑥+1≤2}，集合𝐵={𝑥||3𝑥−1|>2}．(1)求𝐴∩�

�，𝐴∪𝐵;(2)设𝑈={𝑥|𝑥≤4}，求∁𝑈A.18.(本小题12.0分)(1)已知𝑎>0，𝑏>0，且𝑎+2𝑏=2，求𝑎+8𝑏𝑎𝑏的最小值;(2)已知𝑎>0，𝑏>0，𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=3

6，求𝑎+𝑏的最大值．19.(本小题12.0分)已知命题𝑝:“𝑎≤𝑥≤𝑎2−2”是“−2≤𝑥≤5”的充分不必要条件。(1)若命题𝑝为真命题，求实数𝑎的取值范围;(2)已知命题𝑞:∃𝑥∈𝑅，𝑥2

−2𝑥+𝑎<0，若命题𝑝和命题𝑞恰有一个为真命题，求实数𝑎的取值范围．20.(本小题12.0分)2023年，8月29日，华为𝑀𝑎𝑡𝑒60𝑃𝑟𝑜在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机。其实在2019年5月19日，华为被美

国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁。为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产𝑥(千部)手机，需另投入成本𝑅

(𝑥)万元，且𝑅(𝑥)={10𝑥2+100𝑥,0<𝑥<50701𝑥+10000𝑥−9450,𝑥⩾50由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完。(1)求出2020年的利润𝑤(𝑥)

(万元)关于年产量𝑥(千部)的表达式;(2)2020年年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大?最大利润是多少?21.(本小题12.0分)已知𝑎，𝑏为实数，命题𝑝:𝑎4−𝑏4−2𝑏2=1(1)求证：命

题𝑝成立且𝑎+𝑏=4的充要条件是𝑎=178，𝑏=158；(2)若𝑝成立，求𝑎2+16𝑏2的最小值，并求此时𝑎，𝑏的值．22.(本小题12.0分)已知𝑈⊆𝑅为一个数集，集合𝐴={𝑠2+3𝑡2

|𝑠,𝑡∈𝑈}．(1)设𝑈={1,3,5,9}，求集合𝐴的元素个数;(2)设𝑈=𝑍，证明：若𝑥∈𝐴，则28𝑥∈𝐴;(3)设𝑈=𝑅，𝑥，𝑦∈𝐴，且𝑥=𝑚2+3𝑛2，𝑦=

𝑝2+3𝑞2，若𝑚𝑝−3𝑛𝑞=√6，求𝑥+𝑦+𝑚𝑞+𝑛𝑝的最小值．答案和解析1.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题．化简𝐴，𝐵，由交集运算即可求解．【解答】解：𝐴={𝑥∈𝑁|𝑥2≤81}={0,1,2,3

,4,5,6,7,8,9}，𝐵={𝑦|𝑦=𝑥2−4𝑥+12}={𝑦|𝑦=(𝑥−2)2+8}={𝑦|𝑦⩾8}，则𝐴∩𝐵={8,9}．2.【答案】𝐷【解析】【分析】本题考查必要条件、充

分条件的判断，属于基础题．可得𝑥2⩽1⇔−1⩽𝑥⩽1，结合充分条件，必要条件的判定即可求解．【解答】解：由题意可得𝑥2⩽1⇔−1⩽𝑥⩽1，所以𝑥2≤1的一个充分不必要条件可以是𝐷选项，故选D3.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考

查集合的运算，集合的新定义问题，属于基础题．由题意先求𝑀∪𝑁,𝑀∩𝑁，进而求出𝑀∗𝑁.【解答】解：因为𝑀={𝑥|0⩽𝑥⩽3}，𝑁={𝑥|𝑥>2}，所以𝑀∪𝑁={𝑥|𝑥≥0

},𝑀∩𝑁={𝑥|2<𝑥≤3}，又因为定义𝑀∗𝑁={𝑥|𝑥∈(𝑀∪𝑁)且𝑥∉(𝑀∩𝑁)}，所以𝑀∗𝑁={𝑥|0≤𝑥≤2或𝑥>3}，故选C．4.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查集合的表示方法和子集个数问题，属于基础题．化简𝐵，求出𝑎，𝑏，即

可得其和．【解答】解：由题意，得𝐵={6𝑥−1∈𝑁|𝑥∈𝐴}={6,3,2,1}，则𝑎=6+3+2+1=12，𝑏=24=16，则𝑎+𝑏=12+16=285.【答案】𝐵【解析】【分析】本

题考查全称量词命题的否定，属于基础题．由全称量词命题的否定是存在量词命题，得解．【解答】解：命题：”若𝑥>1，则2𝑥+1>5“的否定是：”若∃𝑥>1，则2𝑥+1≤5“．故选B．6.【答案】𝐷【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值问题，考查二次函数最值，属于中档题．

𝐴中举反例即可，𝐵利用基本不等式等号成立条件不满足，𝐶最小值不是2，𝐷先平方，在利用二次函数求解即可．【解答】解：对于𝐴，𝑦=𝑥4+1𝑥+1，当𝑥=−4时，𝑦=−14<0，不符合要求，故A错误；对于𝐵：𝑦=√𝑥2+4+1√𝑥2+

4⩾2，当且仅当√𝑥2+4=1√𝑥2+4时取等号，由√𝑥2+4=1√𝑥2+4得𝑥2+4=1显然不成立，所以等号取不到，即𝑦=√𝑥2+4+1√𝑥2+4的最小值不是2，故B错误；对于𝐶：因为𝑥>1，所以𝑥−1>0，𝑦=𝑥+4𝑥−1−2=𝑥−

1+4𝑥−1−1⩾2√(𝑥−1)·4𝑥−1−1=3，当且仅当𝑥=3时取等号，最小值不是2，故C错误；对于𝐷：𝑦=√2−𝑥+√2+𝑥，易知−2⩽𝑥⩽2，𝑦⩾0，𝑦2=2−𝑥+2+𝑥+2√(2−𝑥)(2+𝑥)=4+2√4−𝑥2，当4

−𝑥2=0即𝑥=2或−2时，𝑦2有最小值4，即𝑦有最小值2，故D对．7.【答案】𝐷【解析】【分析】本题考查了集合的运算，考查两条直线的位置关系，解题的关键是掌握交集与空集的定义，属于基础题．研究直线

的关系可知直线𝑦=𝑘𝑥+3与𝑦=2𝑥(𝑥≠1)平行，或直线𝑦=𝑘𝑥+3过点(1,2)即可求得答案．【解答】解：集合𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑦−2𝑥−1=2}={(𝑥,𝑦)|𝑦=2𝑥(𝑥≠1)}，𝐵={(𝑥,𝑦)|𝑦=𝑘𝑥+3}，根据题意可得当�

�=2𝑥(𝑥≠1)与直线𝑦=𝑘𝑥+3平行时，解得𝑘=2；当直线𝑦=𝑘𝑥+3过点(1,2)时，解得𝑘=−1，综上所述，𝑘=2或−1．8.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查新定义，理解新定义的概念是解题的关键．根据新定义

对每个选项进行运算化简可得．【解答】解：∵对任意𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅,(𝑎⊗𝑏)⊗𝑐=𝑐⊗(𝑎𝑏)+(𝑎⊗𝑐)+(𝑏⊗𝑐)−2𝑐，∴令𝑐=0，(𝑎⊗𝑏)⊗0=0⊗(𝑎𝑏)+(𝑎⊗0)+(𝑏⊗0)−2

×0，∴(𝑎⊗𝑏)⊗0=𝑎⊗𝑏=𝑎𝑏+𝑎+𝑏，对于𝐴，2⊗(0⊗2)=2⊗2=2×2+2+2=8，故A错误；对于𝐵，(2⊗0)⊗(2⊗0)=2⊗2=2×2+2+2=8，故B错误；对于𝐶

，∵𝑎⊗(𝑏⊗𝑐)=𝑎⊗(𝑏𝑐)+(𝑎⊗𝑏)+(𝑎⊗𝑐)−2𝑎=𝑎𝑏𝑐+𝑎+𝑏𝑐+𝑎𝑏+𝑎+𝑏+𝑎𝑐+𝑎+𝑐−2𝑎=𝑎𝑏𝑐+𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑏𝑐+𝑎+𝑏+

𝑐，𝑏⊗(𝑐⊗𝑎)=𝑏⊗(𝑎𝑐)+(𝑏⊗𝑐)+(𝑏⊗𝑎)−2𝑏=𝑎𝑏𝑐+𝑏+𝑎𝑐+𝑏𝑐+𝑏+𝑐+𝑎𝑏+𝑎+𝑏−2𝑏=𝑎𝑏𝑐+𝑎𝑏+𝑎𝑐

+𝑏𝑐+𝑎+𝑏+𝑐，∴对任意的𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅，有𝑎⊗(𝑏⊗𝑐)=𝑏⊗(𝑐⊗𝑎)，故C正确；对于𝐷，∵(𝑎+𝑏)⊗𝑐=(𝑎+𝑏)𝑐+𝑎+𝑏+𝑐=𝑎𝑐+𝑏𝑐+𝑎+𝑏+𝑐，(𝑎⊗𝑐)+(𝑏⊗𝑐)=𝑎𝑐+𝑎+𝑐+𝑏𝑐

+𝑏+𝑐=𝑎𝑐+𝑏𝑐+𝑎+𝑏+2𝑐，∴当𝑐=0时，有(𝑎+𝑏)⊗𝑐=(𝑎⊗𝑐)+(𝑏⊗𝑐)，故D错误．9.【答案】𝐴𝐷【解析】【分析】本题考查元素与集合之间关系，集合间包含关系的判断及应用，属于基础题．根据题意，�

�集合中的元素都在𝐵集合中，判断𝐴；举例判断𝐵;根据元素与集合关系，判断𝐶；由(𝐴∩𝐵)中的元素都在(𝐴∪𝐵)中判断𝐷．【解答】解：选项A：𝐴∪𝐵=𝐵，则𝐴⊆𝐵，A正确．对于𝐵，如𝐴

={1,2,3}，𝐵={1,2,4}，𝐶={1,2,5}，𝐴∩𝐵=𝐵∩𝐶={1,2}，𝐵≠𝐶，故B错误；对于𝐶，在本题环境下{0}是{{0},1}的一个元素，所以{0}∈{{0},1}，若以集合关系，{{0},1}子集为⌀，{{0}}，{1}，{{0},1}，{0}不是{{

0},1}的一个子集，故C错误；对于𝐷，(𝐴∩𝐵)中的元素都在(𝐴∪𝐵)中，所以(𝐴∩𝐵)⊆(𝐴∪𝐵)，故D正确．10.【答案】𝐴𝐵𝐶【解析】【分析】本题考查了由不等式的基本性质判断不等关系，考查利用作差法大小，属于中档题．对于𝐴，可得为0>𝑎>𝑏，1𝑏>1𝑎，即

可判定；对于𝐵，利用作差法判定；对于𝐶，可得−𝑏>−𝑎>0，1𝑐−𝑎>1𝑐−𝑏>0，即可判定；对于𝐷，利用作差法判定．【解答】解：对于𝐴，因为0>𝑎>𝑏，所以1𝑏>1𝑎，所以𝑎+1𝑏>𝑏+1𝑎，故A正确；对于𝐵，𝑎𝑏−𝑎−1𝑏−1=𝑏−�

�𝑏(𝑏−1)，因为0>𝑎>𝑏，所以𝑏−𝑎<0，𝑏(𝑏−1)>0，所以𝑎𝑏−𝑎−1𝑏−1=𝑏−𝑎𝑏(𝑏−1)<0，所以𝑎𝑏<𝑎−1𝑏−1，故B正确；对于𝐶，因为𝑐>0>𝑎>𝑏，所以−𝑏>−𝑎>0①

，可得𝑐−𝑏>𝑐−𝑎>0②，则1𝑐−𝑎>1𝑐−𝑏>0，可得−𝑏𝑐−𝑎>−𝑎𝑐−𝑏，所以𝑏𝑎−𝑐>𝑎𝑏−𝑐，故C正确；对于𝐷，𝑏𝑎−𝑏+1𝑎+1=𝑏−𝑎𝑎(𝑎+1)，因为0>𝑎>𝑏，所以𝑏−𝑎<0，但分母符号

不确定，故D错误；故选ABC．11.【答案】𝐵𝐷【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握配凑法，基本不等式“一正二定三相等”的使用条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．【解答】解：选项A，因为𝑎𝑏+𝑎+𝑏=8，且𝑎，𝑏为正

实数，所以𝑎+𝑏=8−𝑎𝑏≥2√𝑎𝑏，即(√𝑎𝑏−2)(√𝑎𝑏+4)≤0，所以0<√𝑎𝑏≤2，即𝑎𝑏的最大值为4，当且仅当𝑎=𝑏=2时取等号，故A错误；选项B，因为𝑎𝑏+𝑎+𝑏=8，且𝑎，𝑏为正实数，则𝑎𝑏+𝑎+𝑏+1=9，即(𝑎

+1)(𝑏+1)=9，即𝑏+1=9𝑎+1，所以1𝑎+1𝑏+1=1𝑎+𝑎+19=1𝑎+𝑎9+19⩾2√1𝑎·𝑎9+19=79，当且仅当1𝑎=𝑎9，即𝑎=3时等号成立，故B正确；选项C，因为𝑎𝑏+𝑎+𝑏=8，所以(𝑎+1)(𝑏+1)=9，所以𝑎

+9𝑏=(𝑎+1)+9(𝑏+1)−10≥2√9(𝑎+1)(𝑏+1)−10=8，当且仅当𝑎+1=9(𝑏+1)，即𝑎=8，𝑏=0时取等号，因为𝑎，𝑏为正数，故等号不能成立，即C错误；选项D，由𝑎𝑏+𝑎+𝑏=8，知𝑎(𝑏+1)=8−𝑏，所以1𝑎(𝑏+1)+1�

�=18−𝑏+1𝑏=8𝑏(8−𝑏)≥8(𝑏+8−𝑏)24=12，当且仅当𝑏=8−𝑏，即𝑏=4时，等号成立，即D正确．故选：𝐵𝐷．12.【答案】𝐴𝐵𝐶【解析】【分析】本题考查集

合的概念、元素与集合的关系以及命题真假的判定，属于较难题．根据“𝑡阶集”的定义，逐项进行判定即可．【解答】解：对于𝐴，若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑦=2𝑥}是“𝑡阶集”，则𝑡𝑦=2𝑡𝑥，所以𝑡2=1，因为𝑡>0，所以𝑡=1，故A正

确；对于𝐵，若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑦=2𝑥}是“𝑡阶集”，则𝑡𝑦=2𝑡𝑥，则𝑡为任意正实数，故B正确；对于𝐶，若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑥2≤4𝑦}是“𝑡阶集”，则(𝑡𝑥)2⩽4𝑡𝑦，由𝑡>0得出𝑡𝑥2⩽4𝑦，当0<

𝑡≤1时，𝑡𝑥2≤𝑥2≤4𝑦，∴𝑡𝑥2≤4𝑦，当𝑡>1时，取𝑥=1，𝑦=0.25，满足𝑥2≤4𝑦，但是𝑡𝑥2=𝑡>1=4𝑦，∴为使𝑥2≤4𝑦成立时，𝑡𝑥2≤4𝑦，正实数𝑡的取值范围是

0<𝑡≤1，故C是正确；若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑦≥√𝑥}是“𝑡阶集”，则𝑡𝑦⩾√𝑡𝑥，当𝑡=19，𝑦=4，𝑥=3时，√𝑡𝑥=√13=√33=3√39>49，故𝑡𝑦⩾√𝑡𝑥不成立，故D错误．故选ABC．13.【答案】{−13

,0,2}【解析】【分析】本题考查了含参数的集合关系的问题，属于基础题．利用含参数的集合关系的问题，计算得结论．【解答】解：因为集合𝑃={𝑥|2𝑥2+5𝑥−3=0}={12,−3}，𝑄={𝑥|𝑚𝑥=1}，所以：当𝑚=0时，𝑄=⌀，满足𝑄⊆𝑃，因此𝑚=

0为所求；当𝑚≠0时，𝑄={1𝑚}，由𝑄⊆𝑃得1𝑚=12或1𝑚=−3，解得𝑚=2或𝑚=−13．综上所述，实数𝑚的取值集合为{−13,0,2}．14.【答案】8<𝑎⩽10【解析】【分析】本题考查了存在量词与存在量词命题和二次函数零点与一元二次方程解的关系，属于基

础题．利用存在量词命题，结合二次函数零点与一元二次方程解的关系，计算得结论．【解答】解：因为命题“∃1≤𝑥≤8时，方程2𝑥2−𝑎𝑥+8=0有两个不等实数根”是真命题，所以函数𝑦=2𝑥2−𝑎𝑥+8的图象在1

≤𝑥≤8上与𝑥轴有两个不同的交点，因此{1<𝑎4<8𝑎2−64>010−𝑎⩾0136−8𝑎⩾0，解得8<𝑎⩽10，所以实数𝑎的取值范围是8<𝑎⩽10．15.【答案】3+2√2【解析】【分析】本题考查了由

基本不等式求最值或取值范围，属于中档题．由基本不等式求最值，计算得结论．【解答】解：因为𝑎，𝑏>0，4𝑎+3𝑏=1，所以𝑏=1−4𝑎3，且0<𝑎<14，因此12𝑎+𝑏+1𝑎+𝑏=−3(

𝑎+2)2𝑎2−𝑎−1=−3(𝑎+2)2(𝑎+2)2−9(𝑎+2)+9=−32(𝑎+2)+9𝑎+2−9⩾−32√2(𝑎+2)·9𝑎+2−9=−36√2−9=3+2√2，当且仅当2(𝑎+2)=9𝑎+2，即𝑎=3√22−

2时，等号成立，所以12𝑎+𝑏+1𝑎+𝑏的最小值为3+2√2．16.【答案】52⩽𝑎<2910【解析】【分析】本题考查了含参数的交集运算问题，解不含参的一元二次不等式和函数方程根的分布，属于

中档题利用解不含参的一元二次不等式得𝐴，再利用函数方程根的分布，结合含参数的交集运算得{8−2𝑎⩽020−8𝑎⩽029−10𝑎>0，最后计算得结论．【解答】解：设𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+4，则函数𝑓(�

�)的图象开口向上，而由𝑎>0知：对称轴𝑥=𝑎>0．因为若𝑥1、𝑥2是方程𝑓(𝑥)=0的两根，则{𝑥1𝑥2=4𝑥1+𝑥2=2𝑎>0，所以𝑥1、𝑥2均大于0，而集合𝐴={𝑥|𝑥2+2𝑥−8≥

0}={𝑥|𝑥⩽−4或𝑥⩾2}，因此要𝐴∩𝐵中恰有3个整数元素，则{𝑓(2)⩽0𝑓(4)⩽0𝑓(5)>0,即{8−4𝑎⩽020−8𝑎⩽029−10𝑎>0，解得52⩽𝑎<2910，所以实数𝑎的取值范围为52⩽

𝑎<2910．17.【答案】解：(1)由4𝑥−2𝑥+1≤2，可得2𝑥−4𝑥+1≤0，故{(2𝑥−4)(𝑥+1)⩽0𝑥+1≠0，解得−1<𝑥⩽2，故𝐴={𝑥|−1<𝑥⩽2}．由|3𝑥−1|>2，可得3�

�−1>2或3𝑥−1<−2，解得𝑥>1或𝑥<−13，故𝐵={𝑥|𝑥<−13或𝑥>1}．故𝐴∩𝐵={𝑥|−1<𝑥<−13或1<𝑥⩽2}，𝐴∪𝐵=𝑅．(2)因为𝐴={𝑥|−1<𝑥⩽2}，𝑈={𝑥|𝑥≤4}

，所以∁𝑈𝐴={𝑥|𝑥⩽−1或2<𝑥⩽4}．【解析】本题考查集合的混合运算，考查不等式的求解，属于基础题．(1)解不等式化简集合𝐴，𝐵，再由集合的交集运算及并集运算求解；(2)根据补集运算求解即可．1

8.【答案】解：(1)𝑎+8𝑏𝑎𝑏=8𝑎+1𝑏=12(8𝑎+1𝑏)(𝑎+2𝑏)=12(10+16𝑏𝑎+𝑎𝑏)⩾12(10+2√16𝑏𝑎·𝑎𝑏)=9，等号当且仅当𝑎=4𝑏=43时取得，所以𝑎+8𝑏𝑎𝑏的最小值为9；(2)因为𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=3

6，所以(𝑎+𝑏)2−3𝑎𝑏=36，所以(𝑎+𝑏)2−36=3𝑎𝑏⩽3(𝑎+𝑏2)2，(当且仅当𝑎=𝑏时等号成立)．又𝑎>0，𝑏>0，所以𝑎+𝑏⩽12，故𝑎+𝑏的最大值为12．【解析】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．(1)𝑎+

8𝑏𝑎𝑏=8𝑎+1𝑏，运用常数代换以及基本不等式即可求得最小值；(2)由题意得到(𝑎+𝑏)2−3𝑎𝑏=36，再运用基本不等式，得到(𝑎+𝑏)2−36=3𝑎𝑏⩽3(𝑎+𝑏2)2，从而求得𝑎+𝑏的最大值．19.【答案】解：(1)设集合𝐴=[𝑎,𝑎

2−2]，集合𝐵=[−2,5]，∵命题𝑝为真命题，∴集合𝐴是集合𝐵的真子集，当𝐴=⌀时，𝑎>𝑎2−2，解得−1<𝑎<2，此时符合题意，当𝐴≠⌀时，则满足{𝑎2−2⩾𝑎𝑎⩾−2𝑎2−2⩽5，解得−2⩽𝑎⩽−1或2⩽𝑎⩽√7

，综上可得−2⩽𝑎⩽√7，即实数𝑎的取值范围是[−2,√7]．(2)∵若命题𝑞为真命题，则𝛥=(−2)2−4𝑎>0，解得𝑎<1，∵命题𝑝，𝑞中恰有一个为真命题，∴命题𝑝，𝑞一真一假，①当𝑝真𝑞假时，{−2⩽𝑎⩽√7𝑎⩾1，故1⩽𝑎⩽√7；②当𝑝假𝑞真时，{𝑎

<−2或𝑎>√7𝑎<1，故𝑎<−2．∴当命题𝑝，𝑞中恰有一个为真命题时，实数𝑎的取值范围是(−∞,−2)∪[1,√7]．【解析】本题考查根据充分不必要条件求参数，根据命题的真假求参数，属于中档题．(1)根据充分不

必要条件列不等式，由此求得𝑎的取值范围；(2)命题𝑞是二次不等式存在性问题，只需𝛥>0即可求得𝑎的取值范围，再分类讨论𝑝真𝑞假与𝑝假𝑞真两种情况，从而求得𝑎的取值范围．20.【答案】解：(1)当0<𝑥

<50时，𝑤(𝑥)=700𝑥−(10𝑥2+100𝑥)−300=−10𝑥2+600𝑥−300，当𝑥≥50时，𝑤(𝑥)=700𝑥−(701𝑥+10000𝑥−9450)−300=−(𝑥+10000𝑥)+9150，∴𝑤

(𝑥)={−10𝑥2+600𝑥−300,0<𝑥<50−(𝑥+10000𝑥)+9150,𝑥≥50；(2)若0<𝑥<50，𝑤(𝑥)=−10(𝑥−30)2+8700，当𝑥=30时，𝑤(𝑥)𝑚𝑎𝑥=8700万元；若𝑥≥50，𝑤(𝑥)=−(

𝑥+10000𝑥)+9150≤9150−2√𝑥·10000𝑥=8950，当且仅当𝑥=10000𝑥时，即𝑥=100时，𝑤(𝑥)𝑚𝑎𝑥=8950万元，因为8950>8700，∴2020年年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元．【解析】本题考查了分段函

数模型的应用，分段函数最值的计算，考查了二次函数的最值与基本不等式的应用，属于中档题．(1)通过讨论𝑥的范围，得出𝑤(𝑥)的解析式；(2)分别求出𝑤(𝑥)在0<𝑥<50和𝑥≥50上的最大值

即可得出结论．21.【答案】解：(1)证明：充分性：若𝑎=178，𝑏=158，则首先𝑎+𝑏=4且𝑎2−𝑏2=1．又因为𝑎4−𝑏4−2𝑏2=(𝑎2+𝑏2)(𝑎2−𝑏2)−2𝑏2=𝑎2−𝑏2=1

，所以𝑎=178，𝑏=158是𝑎4−𝑏4−2𝑏2=1的充分条件;必要性：若𝑎4−𝑏4−2𝑏2=1，且𝑎+𝑏=4，首先𝑎4−(𝑏4+2𝑏2+1)=0，即(𝑎2+𝑏2+1)(𝑎2−𝑏2−1)=0，因为

𝑎，𝑏为实数，𝑎2+𝑏2+1≠0，所以𝑎2−𝑏2=1，解方程组{𝑎2−𝑏2=1𝑎+𝑏=4即得𝑎=178，𝑏=158，综上可得命题𝑝成立且𝑎+𝑏=4的充要条件是𝑎=178，𝑏=158;(2)由(1)知，

命题𝑝成立𝑎2−𝑏2=1，则𝑎2+16𝑏2=𝑏2+16𝑏2+1≥9，等号成立当且仅当𝑏2=4，𝑎2=5，所以𝑎2+16𝑏2的最小值为9，此时𝑎=±√5，𝑏=±2.【解析】本题考查充要条件的证明，基本不等式求最值的应用，属

于中档题．(1)分充分性和必要性进行证明即可；(2)由(1)知，命题𝑝成立𝑎2−𝑏2=1，即𝑎2=𝑏2+1，再利用基本不等式求解即可．22.【答案】解：(1)解：∵𝑈⊆𝑅为一个数集，集合𝐴={𝑠2+3𝑡2|𝑠,𝑡∈𝑈}．𝑈={1,3,5,9}，∴当𝑠=�

�=1时，𝑠2+3𝑡2=1+3=4，当𝑠=1，𝑡=3时，𝑠2+3𝑡2=1+27=28，当𝑠=3，𝑡=1时，𝑠2+3𝑡2=9+3=12，当𝑠=1，𝑡=5时，𝑠2+3𝑡2=1+

75=76，当𝑠=5，𝑡=1时，𝑠2+3𝑡2=25+3=28(∗)，当𝑠=3，𝑡=5时，𝑠2+3𝑡2=9+75=84，当𝑠=5，𝑡=3时，𝑠2+3𝑡2=25+27=52，当𝑠=𝑡=3时，𝑠2+3𝑡2=9+27=36，当𝑠=𝑡=5时，𝑠2+3�

�2=25+75=100，当𝑠=𝑡=9时，𝑠2+3𝑡2=81+243=324，当𝑠=1，𝑡=9时，𝑠2+3𝑡2=1+243=244，当𝑠=9，𝑡=1时，𝑠2+3𝑡2=81+3=84(∗)，当𝑠=3，𝑡=9

时，𝑠2+3𝑡2=9+243=252，当𝑠=9，𝑡=3时，𝑠2+3𝑡2=81+27=108，当𝑠=5，𝑡=9时，𝑠2+3𝑡2=25+243=268，当𝑠=9，𝑡=5时，𝑠2+3𝑡2=81+75=156，∴𝐴={4

,12,28,36,52,76,84,100,108,252,268,156,324,244}，14个．(2)证明：∵𝑈=𝑍，𝑥∈𝐴，∴𝑥=𝑠2+3𝑡2，∴28𝑥=28(𝑠2+3𝑡2)=28𝑠2+84𝑡2=(4𝑠−6𝑡)2+3(2𝑠+4𝑡)2∈𝐴．∴28

𝑥∈𝐴．(3)解：𝑥𝑦=(𝑚2+3𝑛2)(𝑝2+3𝑞2)=3(𝑚𝑞+𝑛𝑝)2+(𝑚𝑝−3𝑛𝑞)2=3(𝑚𝑞+𝑛𝑝)2+6，设𝑚𝑞+𝑛𝑝=𝑏，∴𝑦=3𝑏2+6𝑥，𝑥+𝑦+𝑚𝑞+𝑛𝑝=𝑥

+3𝑏2+6𝑥+𝑏≥2√3𝑏2+6+𝑏，设2√3𝑏2+6+𝑏=𝑡，整理得11𝑏2+2𝑡𝑏+24−𝑡2=0，判别式法，△=4𝑡2−44(24−𝑡2)≥0，得𝑡≥√22，即(�

�+𝑦+𝑚𝑞+𝑛𝑝)min=√22．∴𝑥+𝑦+𝑚𝑞+𝑛𝑝的最小值为√22．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com