【文档说明】湖北省云学新高考联盟2023-2024学年高一上学期10月联考数学试卷+含答案.docx，共(16)页，55.980 KB，由小赞的店铺上传

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2023年湖北省云学新高考联盟学校高一年级10月联考数学试卷✽第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合𝐴={𝑥∈𝑁|𝑥2≤81}，集合𝐵={𝑦|𝑦=𝑥2−

4𝑥+12}，则𝐴∩𝐵=()A.⌀B.{8,9}C.{𝑥|8≤𝑥≤9}D.{𝑥|−9≤𝑥≤9}2.使得不等式“𝑥2≤1成立的一个充分不必要条件是()A.−1≤𝑥≤1B.𝑥<1C.𝑥≤1D.0<

𝑥<13.设𝐴，𝐵为非空集合，定义𝐴∗𝐵={𝑥|𝑥∈𝐴∪𝐵，且𝑥∉𝐴∩𝐵}，已知𝑀={𝑥|0≤𝑥≤3}，𝑁={𝑥|𝑥>2}，则𝑀∗𝑁=()A.{𝑥|0≤𝑥≤2

}B.{𝑥|0≤𝑥<2或𝑥>3}C.{𝑥|0≤𝑥≤2或𝑥>3}D.{𝑥|0≤𝑥<2}4.已知集合𝐴={1,2,3,4,5,6,7}，集合𝐵={6𝑥−1∈𝑁|𝑥∈𝐴}，集合𝐵中所

有元素之和记为𝑎，集合𝐵的子集个数记为𝑏，则𝑎+𝑏=()A.28B.20C.16D.325.已知命题𝑝:若𝑥>1，则2𝑥+1>5，则命题𝑝的否定为()A.若𝑥>1，则2𝑥+1≤5B.若∃𝑥>1，则

2𝑥+1≤5C.若𝑥≤1，则2𝑥+1≤5D.若∃𝑥≤1，则2𝑥+1≤56.下列函数中，最小值为2的是()A.𝑦=𝑥4+1𝑥+1B.𝑦=√𝑥2+4+1√𝑥2+4C.𝑦=𝑥+4𝑥−1−2，(𝑥>1)D.𝑦=√2−𝑥+√2

+𝑥7.已知集合𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑦−2𝑥−1=2}，𝐵={(𝑥,𝑦)|𝑦=𝑘𝑥+3}，若𝐴∩𝐵=⌀，则𝑘=()A.2B.−1C.1或2D.−1或28.在实数集𝑅中定义一种运算“⊗”，具有以下三条性质：①对任

意𝑎∈𝑅，0⊗𝑎=𝑎;②对任意𝑎，𝑏∈𝑅，𝑎⊗𝑏=𝑏⊗𝑎;③对任意𝑎，𝑏，𝑐∈𝑅，(𝑎⊗𝑏)⊗𝑐=𝑐⊗(𝑎𝑏)+(𝑎⊗𝑐)+(𝑏⊗𝑐)−2𝑐，以下正确的选项是()A.2⊗

(0⊗2)=0B.(2⊗0)⊗(2⊗0)=6C.对任意的𝑎，𝑏，𝑐∈𝑅，有𝑎⊗(𝑏⊗𝑐)=𝑏⊗(𝑐⊗𝑎)D.对任意𝑎，𝑏，𝑐∈𝑅，有(𝑎+𝑏)⊗𝑐≠(𝑎⊗𝑐)+(𝑏⊗𝑐)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列关于符号“∈，⊆”使用正确的有()A.若集合𝐴∪𝐵=𝐵，则𝐴⊆𝐵B.若𝐴∩𝐵=𝐵∩𝐶，则𝐵=𝐶C.{0}⊆{{0},1}D.(𝐴∩𝐵)⊆(𝐴∪𝐵)10.若𝑎，𝑏，𝑐∈𝑅，𝑐>0>𝑎>𝑏，下列不等式一定成立的有(

)A.𝑎+1𝑏>𝑏+1𝑎B.𝑎𝑏<𝑎−1𝑏−1C.𝑏𝑎−𝑐>𝑎𝑏−𝑐D.𝑏𝑎<𝑏+1𝑎+111.已知正实数𝑎，𝑏满足𝑎𝑏+𝑎+𝑏=8，下列说法正确的是()

A.𝑎𝑏的最大值为2B.1𝑎+1𝑏+1的最小值为79C.𝑎+9𝑏的最小值为8D.1𝑎(𝑏+1)+1𝑏的最小值为1212.若平面点集，满足：任意点(𝑥,𝑦)∈𝑀，存在正实数𝑡，都有(𝑡𝑥,𝑡𝑦)∈𝑀，则称该点集为“𝑡阶集”，则下列说法正确的是()

A.若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑦=2𝑥}是“𝑡阶集”，则𝑡=1B.若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑦=2𝑥}是“𝑡阶集”，则𝑡为任意正实数C.若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑥2≤4𝑦}是“𝑡阶集”，则0<𝑡≤1D.若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑦≥√𝑥}是“𝑡

阶集”，则𝑡<1第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合𝑃={𝑥|2𝑥2+5𝑥−3=0}，𝑄={𝑥|𝑚𝑥=1}，若𝑄⊆𝑃，则实数𝑚的取值集合为．14.命题“∃1≤𝑥≤8时，方程2�

�2−𝑎𝑥+8=0有两个不等实数根”是真命题，则实数𝑎的取值范围是．15.已知𝑎，𝑏>0，4𝑎+3𝑏=1，则12𝑎+𝑏+1𝑎+𝑏的最小值为．16.已知集合𝐴={𝑥|𝑥2+2𝑥−8≥0}，𝐵={𝑥|𝑥2−2𝑎𝑥+4≤0}，若𝑎>0，且𝐴∩𝐵中恰有

3个整数元素，则实数𝑎的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)已知集合𝐴={𝑥|4𝑥−2𝑥+1≤2}，集合𝐵={𝑥||3𝑥−1|>2}．(1)求

𝐴∩𝐵，𝐴∪𝐵;(2)设𝑈={𝑥|𝑥≤4}，求∁𝑈A.18.(本小题12.0分)(1)已知𝑎>0，𝑏>0，且𝑎+2𝑏=2，求𝑎+8𝑏𝑎𝑏的最小值;(2)已知𝑎>0，𝑏>0，𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏=

36，求𝑎+𝑏的最大值．19.(本小题12.0分)已知命题𝑝:“𝑎≤𝑥≤𝑎2−2”是“−2≤𝑥≤5”的充分不必要条件。(1)若命题𝑝为真命题，求实数𝑎的取值范围;(2)已知命题𝑞:∃𝑥∈𝑅，𝑥2−2𝑥+𝑎<0，若命

题𝑝和命题𝑞恰有一个为真命题，求实数𝑎的取值范围．20.(本小题12.0分)2023年，8月29日，华为𝑀𝑎𝑡𝑒60𝑃𝑟𝑜在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机。其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全

为借口，对华为施加多轮制裁。为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产𝑥(千部)手机，需另投入成本𝑅(𝑥)万元，且𝑅(𝑥)={10𝑥2+100𝑥,0<𝑥<50701𝑥+10000𝑥−

9450,𝑥⩾50由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完。(1)求出2020年的利润𝑤(𝑥)(万元)关于年产量𝑥(千部)的表达式;(2)2020年年产量为多少(千部)时，企业所获利

润最大?最大利润是多少?21.(本小题12.0分)已知𝑎，𝑏为实数，命题𝑝:𝑎4−𝑏4−2𝑏2=1(1)求证：命题𝑝成立且𝑎+𝑏=4的充要条件是𝑎=178，𝑏=158；(2)若𝑝成立，

求𝑎2+16𝑏2的最小值，并求此时𝑎，𝑏的值．22.(本小题12.0分)已知𝑈⊆𝑅为一个数集，集合𝐴={𝑠2+3𝑡2|𝑠,𝑡∈𝑈}．(1)设𝑈={1,3,5,9}，求集合𝐴的元素个数;(2)设𝑈=𝑍，证明：若𝑥∈𝐴，则28𝑥∈𝐴;(3)设𝑈=𝑅，𝑥，�

�∈𝐴，且𝑥=𝑚2+3𝑛2，𝑦=𝑝2+3𝑞2，若𝑚𝑝−3𝑛𝑞=√6，求𝑥+𝑦+𝑚𝑞+𝑛𝑝的最小值．答案和解析1.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题．化简𝐴，𝐵，

由交集运算即可求解．【解答】解：𝐴={𝑥∈𝑁|𝑥2≤81}={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，𝐵={𝑦|𝑦=𝑥2−4𝑥+12}={𝑦|𝑦=(𝑥−2)2+8}={𝑦|𝑦⩾8}，则𝐴∩𝐵={8,9}．2.【答案】𝐷【解析】【分析】本题考查必要条件、充分条

件的判断，属于基础题．可得𝑥2⩽1⇔−1⩽𝑥⩽1，结合充分条件，必要条件的判定即可求解．【解答】解：由题意可得𝑥2⩽1⇔−1⩽𝑥⩽1，所以𝑥2≤1的一个充分不必要条件可以是𝐷选项，故选D3.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查集合的运算，集合的新定义问题，属于基础题．由题意

先求𝑀∪𝑁,𝑀∩𝑁，进而求出𝑀∗𝑁.【解答】解：因为𝑀={𝑥|0⩽𝑥⩽3}，𝑁={𝑥|𝑥>2}，所以𝑀∪𝑁={𝑥|𝑥≥0},𝑀∩𝑁={𝑥|2<𝑥≤3}，又因为定义𝑀∗𝑁={𝑥|𝑥∈(𝑀∪𝑁)且𝑥∉(𝑀∩𝑁)}，所以𝑀∗�

�={𝑥|0≤𝑥≤2或𝑥>3}，故选C．4.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查集合的表示方法和子集个数问题，属于基础题．化简𝐵，求出𝑎，𝑏，即可得其和．【解答】解：由题意，得𝐵={6𝑥−1∈

𝑁|𝑥∈𝐴}={6,3,2,1}，则𝑎=6+3+2+1=12，𝑏=24=16，则𝑎+𝑏=12+16=285.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．由全称量词命题的否定是存在量词命题，得解．【解答】解：命题：”若𝑥>1，则2𝑥+1>

5“的否定是：”若∃𝑥>1，则2𝑥+1≤5“．故选B．6.【答案】𝐷【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值问题，考查二次函数最值，属于中档题．𝐴中举反例即可，𝐵利用基本不等式等号成立条件不满足，𝐶最小值不是2，𝐷先平方，在利用二次函数求解即可．【解答】解：对于�

�，𝑦=𝑥4+1𝑥+1，当𝑥=−4时，𝑦=−14<0，不符合要求，故A错误；对于𝐵：𝑦=√𝑥2+4+1√𝑥2+4⩾2，当且仅当√𝑥2+4=1√𝑥2+4时取等号，由√𝑥2+4=1√𝑥2+4得�

�2+4=1显然不成立，所以等号取不到，即𝑦=√𝑥2+4+1√𝑥2+4的最小值不是2，故B错误；对于𝐶：因为𝑥>1，所以𝑥−1>0，𝑦=𝑥+4𝑥−1−2=𝑥−1+4𝑥−1−1⩾2√(𝑥−1)·4𝑥−1−1=3，当且仅当𝑥=3时取等号

，最小值不是2，故C错误；对于𝐷：𝑦=√2−𝑥+√2+𝑥，易知−2⩽𝑥⩽2，𝑦⩾0，𝑦2=2−𝑥+2+𝑥+2√(2−𝑥)(2+𝑥)=4+2√4−𝑥2，当4−𝑥2=0即𝑥=2或−2时，𝑦2有最小值4，即𝑦有最小值2，故D对．7.【答案】𝐷【解析】【分析】本题考

查了集合的运算，考查两条直线的位置关系，解题的关键是掌握交集与空集的定义，属于基础题．研究直线的关系可知直线𝑦=𝑘𝑥+3与𝑦=2𝑥(𝑥≠1)平行，或直线𝑦=𝑘𝑥+3过点(1,2)即可求得答案．【解答】解：集合𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑦−2𝑥−1=2}={(𝑥,𝑦)|�

�=2𝑥(𝑥≠1)}，𝐵={(𝑥,𝑦)|𝑦=𝑘𝑥+3}，根据题意可得当𝑦=2𝑥(𝑥≠1)与直线𝑦=𝑘𝑥+3平行时，解得𝑘=2；当直线𝑦=𝑘𝑥+3过点(1,2)时，解得𝑘=−1，综上所述，𝑘=2或−

1．8.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查新定义，理解新定义的概念是解题的关键．根据新定义对每个选项进行运算化简可得．【解答】解：∵对任意𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅,(𝑎⊗𝑏)⊗𝑐=𝑐⊗(𝑎𝑏)+(𝑎⊗𝑐)+(𝑏

⊗𝑐)−2𝑐，∴令𝑐=0，(𝑎⊗𝑏)⊗0=0⊗(𝑎𝑏)+(𝑎⊗0)+(𝑏⊗0)−2×0，∴(𝑎⊗𝑏)⊗0=𝑎⊗𝑏=𝑎𝑏+𝑎+𝑏，对于𝐴，2⊗(0⊗2)=2⊗2=2×2+2+2=8，故A错误；对于𝐵，(2⊗0)⊗(2⊗0)=2⊗2

=2×2+2+2=8，故B错误；对于𝐶，∵𝑎⊗(𝑏⊗𝑐)=𝑎⊗(𝑏𝑐)+(𝑎⊗𝑏)+(𝑎⊗𝑐)−2𝑎=𝑎𝑏𝑐+𝑎+𝑏𝑐+𝑎𝑏+𝑎+𝑏+𝑎𝑐+𝑎+𝑐−2𝑎=𝑎𝑏𝑐+𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑏𝑐+𝑎+�

�+𝑐，𝑏⊗(𝑐⊗𝑎)=𝑏⊗(𝑎𝑐)+(𝑏⊗𝑐)+(𝑏⊗𝑎)−2𝑏=𝑎𝑏𝑐+𝑏+𝑎𝑐+𝑏𝑐+𝑏+𝑐+𝑎𝑏+𝑎+𝑏−2𝑏=𝑎𝑏𝑐+𝑎𝑏+𝑎𝑐+𝑏𝑐+𝑎+𝑏+𝑐，∴对任意的𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅，有𝑎⊗(𝑏⊗

𝑐)=𝑏⊗(𝑐⊗𝑎)，故C正确；对于𝐷，∵(𝑎+𝑏)⊗𝑐=(𝑎+𝑏)𝑐+𝑎+𝑏+𝑐=𝑎𝑐+𝑏𝑐+𝑎+𝑏+𝑐，(𝑎⊗𝑐)+(𝑏⊗𝑐)=𝑎𝑐+𝑎+𝑐+𝑏𝑐+𝑏+𝑐=𝑎𝑐+𝑏

𝑐+𝑎+𝑏+2𝑐，∴当𝑐=0时，有(𝑎+𝑏)⊗𝑐=(𝑎⊗𝑐)+(𝑏⊗𝑐)，故D错误．9.【答案】𝐴𝐷【解析】【分析】本题考查元素与集合之间关系，集合间包含关系的判断及应用，属于基础题．根据题意，𝐴集合中的元素

都在𝐵集合中，判断𝐴；举例判断𝐵;根据元素与集合关系，判断𝐶；由(𝐴∩𝐵)中的元素都在(𝐴∪𝐵)中判断𝐷．【解答】解：选项A：𝐴∪𝐵=𝐵，则𝐴⊆𝐵，A正确．对于𝐵，如𝐴={1,2,

3}，𝐵={1,2,4}，𝐶={1,2,5}，𝐴∩𝐵=𝐵∩𝐶={1,2}，𝐵≠𝐶，故B错误；对于𝐶，在本题环境下{0}是{{0},1}的一个元素，所以{0}∈{{0},1}，若以集合关系，{{0},1}子集为⌀，{{0}}，{

1}，{{0},1}，{0}不是{{0},1}的一个子集，故C错误；对于𝐷，(𝐴∩𝐵)中的元素都在(𝐴∪𝐵)中，所以(𝐴∩𝐵)⊆(𝐴∪𝐵)，故D正确．10.【答案】𝐴𝐵𝐶【解析】【分析】

本题考查了由不等式的基本性质判断不等关系，考查利用作差法大小，属于中档题．对于𝐴，可得为0>𝑎>𝑏，1𝑏>1𝑎，即可判定；对于𝐵，利用作差法判定；对于𝐶，可得−𝑏>−𝑎>0，1𝑐−𝑎>1𝑐−𝑏>0，即可判定；对于𝐷，利用

作差法判定．【解答】解：对于𝐴，因为0>𝑎>𝑏，所以1𝑏>1𝑎，所以𝑎+1𝑏>𝑏+1𝑎，故A正确；对于𝐵，𝑎𝑏−𝑎−1𝑏−1=𝑏−𝑎𝑏(𝑏−1)，因为0>𝑎>𝑏，所以𝑏−𝑎<0，𝑏(𝑏−1)>0，所以𝑎𝑏−𝑎−1𝑏−1=𝑏−𝑎

𝑏(𝑏−1)<0，所以𝑎𝑏<𝑎−1𝑏−1，故B正确；对于𝐶，因为𝑐>0>𝑎>𝑏，所以−𝑏>−𝑎>0①，可得𝑐−𝑏>𝑐−𝑎>0②，则1𝑐−𝑎>1𝑐−𝑏>0，可得−𝑏𝑐−𝑎>−𝑎𝑐−𝑏，所以𝑏𝑎−𝑐>𝑎𝑏−𝑐，故C

正确；对于𝐷，𝑏𝑎−𝑏+1𝑎+1=𝑏−𝑎𝑎(𝑎+1)，因为0>𝑎>𝑏，所以𝑏−𝑎<0，但分母符号不确定，故D错误；故选ABC．11.【答案】𝐵𝐷【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，熟练掌握配凑法，基本不等式“一正二定三相等”的使用条件是解题的关键，考查

逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．【解答】解：选项A，因为𝑎𝑏+𝑎+𝑏=8，且𝑎，𝑏为正实数，所以𝑎+𝑏=8−𝑎𝑏≥2√𝑎𝑏，即(√𝑎𝑏−2)(√𝑎𝑏+4)≤0，所以0<√𝑎𝑏≤2，即𝑎𝑏的最大值为4，当且仅当𝑎=𝑏=2时

取等号，故A错误；选项B，因为𝑎𝑏+𝑎+𝑏=8，且𝑎，𝑏为正实数，则𝑎𝑏+𝑎+𝑏+1=9，即(𝑎+1)(𝑏+1)=9，即𝑏+1=9𝑎+1，所以1𝑎+1𝑏+1=1𝑎+𝑎+19=1𝑎+𝑎9+19⩾2√1𝑎·𝑎9+19=79，当且仅当1𝑎=𝑎9，即𝑎

=3时等号成立，故B正确；选项C，因为𝑎𝑏+𝑎+𝑏=8，所以(𝑎+1)(𝑏+1)=9，所以𝑎+9𝑏=(𝑎+1)+9(𝑏+1)−10≥2√9(𝑎+1)(𝑏+1)−10=8，当且仅当𝑎+1=9(𝑏+1)，即𝑎=8，𝑏=0

时取等号，因为𝑎，𝑏为正数，故等号不能成立，即C错误；选项D，由𝑎𝑏+𝑎+𝑏=8，知𝑎(𝑏+1)=8−𝑏，所以1𝑎(𝑏+1)+1𝑏=18−𝑏+1𝑏=8𝑏(8−𝑏)≥8(𝑏+8−𝑏)24=12，当且仅当𝑏=8−𝑏

，即𝑏=4时，等号成立，即D正确．故选：𝐵𝐷．12.【答案】𝐴𝐵𝐶【解析】【分析】本题考查集合的概念、元素与集合的关系以及命题真假的判定，属于较难题．根据“𝑡阶集”的定义，逐项进行判定即可．【解答】

解：对于𝐴，若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑦=2𝑥}是“𝑡阶集”，则𝑡𝑦=2𝑡𝑥，所以𝑡2=1，因为𝑡>0，所以𝑡=1，故A正确；对于𝐵，若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑦=2𝑥}是“𝑡阶集”，则𝑡𝑦=2𝑡𝑥，则𝑡为任意正实数，故

B正确；对于𝐶，若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑥2≤4𝑦}是“𝑡阶集”，则(𝑡𝑥)2⩽4𝑡𝑦，由𝑡>0得出𝑡𝑥2⩽4𝑦，当0<𝑡≤1时，𝑡𝑥2≤𝑥2≤4𝑦，∴𝑡𝑥2≤4𝑦，当𝑡

>1时，取𝑥=1，𝑦=0.25，满足𝑥2≤4𝑦，但是𝑡𝑥2=𝑡>1=4𝑦，∴为使𝑥2≤4𝑦成立时，𝑡𝑥2≤4𝑦，正实数𝑡的取值范围是0<𝑡≤1，故C是正确；若𝑀={(𝑥,𝑦)|𝑦≥√𝑥}

是“𝑡阶集”，则𝑡𝑦⩾√𝑡𝑥，当𝑡=19，𝑦=4，𝑥=3时，√𝑡𝑥=√13=√33=3√39>49，故𝑡𝑦⩾√𝑡𝑥不成立，故D错误．故选ABC．13.【答案】{−13,0,2

}【解析】【分析】本题考查了含参数的集合关系的问题，属于基础题．利用含参数的集合关系的问题，计算得结论．【解答】解：因为集合𝑃={𝑥|2𝑥2+5𝑥−3=0}={12,−3}，𝑄={𝑥|𝑚𝑥=1}，所以：当𝑚=0时，𝑄=⌀，满足�

�⊆𝑃，因此𝑚=0为所求；当𝑚≠0时，𝑄={1𝑚}，由𝑄⊆𝑃得1𝑚=12或1𝑚=−3，解得𝑚=2或𝑚=−13．综上所述，实数𝑚的取值集合为{−13,0,2}．14.【答案】8<𝑎⩽10【解析】【分析】本题考查了存在量词与存在

量词命题和二次函数零点与一元二次方程解的关系，属于基础题．利用存在量词命题，结合二次函数零点与一元二次方程解的关系，计算得结论．【解答】解：因为命题“∃1≤𝑥≤8时，方程2𝑥2−𝑎𝑥+8=0有两个不等实数根”是真命题，所以函数𝑦=2𝑥2−𝑎𝑥+8的图

象在1≤𝑥≤8上与𝑥轴有两个不同的交点，因此{1<𝑎4<8𝑎2−64>010−𝑎⩾0136−8𝑎⩾0，解得8<𝑎⩽10，所以实数𝑎的取值范围是8<𝑎⩽10．15.【答案】3+2√2【解析】【分析】本题考查了由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题．由基本不等式求最值，计

算得结论．【解答】解：因为𝑎，𝑏>0，4𝑎+3𝑏=1，所以𝑏=1−4𝑎3，且0<𝑎<14，因此12𝑎+𝑏+1𝑎+𝑏=−3(𝑎+2)2𝑎2−𝑎−1=−3(𝑎+2)2(𝑎+2)2−9(𝑎+2)

+9=−32(𝑎+2)+9𝑎+2−9⩾−32√2(𝑎+2)·9𝑎+2−9=−36√2−9=3+2√2，当且仅当2(𝑎+2)=9𝑎+2，即𝑎=3√22−2时，等号成立，所以12𝑎+𝑏+1𝑎+𝑏的最小值为3+2√2．16.【答案】52⩽𝑎<2910【

解析】【分析】本题考查了含参数的交集运算问题，解不含参的一元二次不等式和函数方程根的分布，属于中档题利用解不含参的一元二次不等式得𝐴，再利用函数方程根的分布，结合含参数的交集运算得{8−2𝑎⩽020−8𝑎⩽029−10𝑎

>0，最后计算得结论．【解答】解：设𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+4，则函数𝑓(𝑥)的图象开口向上，而由𝑎>0知：对称轴𝑥=𝑎>0．因为若𝑥1、𝑥2是方程𝑓(𝑥)=0的两根，则{𝑥1𝑥2=4𝑥1+𝑥2=2𝑎>0，所以𝑥1、𝑥2均大于0，而集合𝐴={𝑥|

𝑥2+2𝑥−8≥0}={𝑥|𝑥⩽−4或𝑥⩾2}，因此要𝐴∩𝐵中恰有3个整数元素，则{𝑓(2)⩽0𝑓(4)⩽0𝑓(5)>0,即{8−4𝑎⩽020−8𝑎⩽029−10𝑎>0，解得52⩽𝑎

<2910，所以实数𝑎的取值范围为52⩽𝑎<2910．17.【答案】解：(1)由4𝑥−2𝑥+1≤2，可得2𝑥−4𝑥+1≤0，故{(2𝑥−4)(𝑥+1)⩽0𝑥+1≠0，解得−1<𝑥⩽2，故𝐴={𝑥|−1<𝑥⩽2}．由|3𝑥

−1|>2，可得3𝑥−1>2或3𝑥−1<−2，解得𝑥>1或𝑥<−13，故𝐵={𝑥|𝑥<−13或𝑥>1}．故𝐴∩𝐵={𝑥|−1<𝑥<−13或1<𝑥⩽2}，𝐴∪𝐵=𝑅．(2)因为𝐴

={𝑥|−1<𝑥⩽2}，𝑈={𝑥|𝑥≤4}，所以∁𝑈𝐴={𝑥|𝑥⩽−1或2<𝑥⩽4}．【解析】本题考查集合的混合运算，考查不等式的求解，属于基础题．(1)解不等式化简集合𝐴，𝐵，再由集合的交集运算及并集运算求解；(2)根据补集运算求解即可．1

8.【答案】解：(1)𝑎+8𝑏𝑎𝑏=8𝑎+1𝑏=12(8𝑎+1𝑏)(𝑎+2𝑏)=12(10+16𝑏𝑎+𝑎𝑏)⩾12(10+2√16𝑏𝑎·𝑎𝑏)=9，等号当且仅当𝑎=4𝑏=43时取得，所以𝑎+8𝑏𝑎𝑏的最小值为9；(2)因为�

�2+𝑏2−𝑎𝑏=36，所以(𝑎+𝑏)2−3𝑎𝑏=36，所以(𝑎+𝑏)2−36=3𝑎𝑏⩽3(𝑎+𝑏2)2，(当且仅当𝑎=𝑏时等号成立)．又𝑎>0，𝑏>0，所以𝑎+𝑏

⩽12，故𝑎+𝑏的最大值为12．【解析】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．(1)𝑎+8𝑏𝑎𝑏=8𝑎+1𝑏，运用常数代换以及基本不等式即可求得最小值；(2)由题意得到(𝑎+𝑏)2−3𝑎𝑏=36，再运用基本不等式，得到(𝑎

+𝑏)2−36=3𝑎𝑏⩽3(𝑎+𝑏2)2，从而求得𝑎+𝑏的最大值．19.【答案】解：(1)设集合𝐴=[𝑎,𝑎2−2]，集合𝐵=[−2,5]，∵命题𝑝为真命题，∴集合𝐴是集合𝐵的真子集，当𝐴=⌀时，𝑎>𝑎2−2，

解得−1<𝑎<2，此时符合题意，当𝐴≠⌀时，则满足{𝑎2−2⩾𝑎𝑎⩾−2𝑎2−2⩽5，解得−2⩽𝑎⩽−1或2⩽𝑎⩽√7，综上可得−2⩽𝑎⩽√7，即实数𝑎的取值范围是[−2,√7]．(2)∵若命

题𝑞为真命题，则𝛥=(−2)2−4𝑎>0，解得𝑎<1，∵命题𝑝，𝑞中恰有一个为真命题，∴命题𝑝，𝑞一真一假，①当𝑝真𝑞假时，{−2⩽𝑎⩽√7𝑎⩾1，故1⩽𝑎⩽√7；②当𝑝假𝑞真时，{𝑎<−2或𝑎>

√7𝑎<1，故𝑎<−2．∴当命题𝑝，𝑞中恰有一个为真命题时，实数𝑎的取值范围是(−∞,−2)∪[1,√7]．【解析】本题考查根据充分不必要条件求参数，根据命题的真假求参数，属于中档题．(1)根据充分不必要条件列不等式，由此求

得𝑎的取值范围；(2)命题𝑞是二次不等式存在性问题，只需𝛥>0即可求得𝑎的取值范围，再分类讨论𝑝真𝑞假与𝑝假𝑞真两种情况，从而求得𝑎的取值范围．20.【答案】解：(1)当0<𝑥<50时，𝑤(𝑥)=700𝑥−(10𝑥2+100𝑥)−300=−10

𝑥2+600𝑥−300，当𝑥≥50时，𝑤(𝑥)=700𝑥−(701𝑥+10000𝑥−9450)−300=−(𝑥+10000𝑥)+9150，∴𝑤(𝑥)={−10𝑥2+600𝑥−300,0<𝑥<50−(𝑥+10000𝑥)+9150,𝑥≥50；(

2)若0<𝑥<50，𝑤(𝑥)=−10(𝑥−30)2+8700，当𝑥=30时，𝑤(𝑥)𝑚𝑎𝑥=8700万元；若𝑥≥50，𝑤(𝑥)=−(𝑥+10000𝑥)+9150≤9150−2√𝑥·10000𝑥=8950，当且仅当𝑥=10000𝑥时

，即𝑥=100时，𝑤(𝑥)𝑚𝑎𝑥=8950万元，因为8950>8700，∴2020年年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元．【解析】本题考查了分段函数模型的应用，分段函数最值的计算，考查了二次函数的最值与基本不等式的应用，属于中档题．(1)通

过讨论𝑥的范围，得出𝑤(𝑥)的解析式；(2)分别求出𝑤(𝑥)在0<𝑥<50和𝑥≥50上的最大值即可得出结论．21.【答案】解：(1)证明：充分性：若𝑎=178，𝑏=158，则首先𝑎+𝑏=4且𝑎2−𝑏2=1．又因为𝑎4−𝑏4−2𝑏2=(𝑎2+𝑏2)(𝑎2−𝑏

2)−2𝑏2=𝑎2−𝑏2=1，所以𝑎=178，𝑏=158是𝑎4−𝑏4−2𝑏2=1的充分条件;必要性：若𝑎4−𝑏4−2𝑏2=1，且𝑎+𝑏=4，首先𝑎4−(𝑏4+2𝑏2+1)=0，即(𝑎2+𝑏2+1)(𝑎2−𝑏2−1)=0，因为𝑎，�

�为实数，𝑎2+𝑏2+1≠0，所以𝑎2−𝑏2=1，解方程组{𝑎2−𝑏2=1𝑎+𝑏=4即得𝑎=178，𝑏=158，综上可得命题𝑝成立且𝑎+𝑏=4的充要条件是𝑎=178，𝑏=15

8;(2)由(1)知，命题𝑝成立𝑎2−𝑏2=1，则𝑎2+16𝑏2=𝑏2+16𝑏2+1≥9，等号成立当且仅当𝑏2=4，𝑎2=5，所以𝑎2+16𝑏2的最小值为9，此时𝑎=±√5，𝑏=±2.【解析】本题考查充要条件

的证明，基本不等式求最值的应用，属于中档题．(1)分充分性和必要性进行证明即可；(2)由(1)知，命题𝑝成立𝑎2−𝑏2=1，即𝑎2=𝑏2+1，再利用基本不等式求解即可．22.【答案】解：(1)解：∵𝑈⊆𝑅为一个数集，集合𝐴={𝑠2+3𝑡2|𝑠,𝑡∈𝑈}．�

�={1,3,5,9}，∴当𝑠=𝑡=1时，𝑠2+3𝑡2=1+3=4，当𝑠=1，𝑡=3时，𝑠2+3𝑡2=1+27=28，当𝑠=3，𝑡=1时，𝑠2+3𝑡2=9+3=12，当𝑠=1，𝑡=5时，𝑠2+3𝑡2=1+75=76，当𝑠=5，𝑡=1时，𝑠2

+3𝑡2=25+3=28(∗)，当𝑠=3，𝑡=5时，𝑠2+3𝑡2=9+75=84，当𝑠=5，𝑡=3时，𝑠2+3𝑡2=25+27=52，当𝑠=𝑡=3时，𝑠2+3𝑡2=9+27=36，当𝑠=𝑡=5时，𝑠2+3

𝑡2=25+75=100，当𝑠=𝑡=9时，𝑠2+3𝑡2=81+243=324，当𝑠=1，𝑡=9时，𝑠2+3𝑡2=1+243=244，当𝑠=9，𝑡=1时，𝑠2+3𝑡2=81+3=84(∗)，当𝑠=3，𝑡=9时，𝑠2

+3𝑡2=9+243=252，当𝑠=9，𝑡=3时，𝑠2+3𝑡2=81+27=108，当𝑠=5，𝑡=9时，𝑠2+3𝑡2=25+243=268，当𝑠=9，𝑡=5时，𝑠2+3𝑡2=

81+75=156，∴𝐴={4,12,28,36,52,76,84,100,108,252,268,156,324,244}，14个．(2)证明：∵𝑈=𝑍，𝑥∈𝐴，∴𝑥=𝑠2+3𝑡2，∴28𝑥=28(𝑠2+3𝑡2)=28𝑠2+84𝑡2=(4𝑠−6𝑡)2+3

(2𝑠+4𝑡)2∈𝐴．∴28𝑥∈𝐴．(3)解：𝑥𝑦=(𝑚2+3𝑛2)(𝑝2+3𝑞2)=3(𝑚𝑞+𝑛𝑝)2+(𝑚𝑝−3𝑛𝑞)2=3(𝑚𝑞+𝑛𝑝)2+6，设𝑚𝑞+𝑛𝑝=𝑏，∴𝑦=3𝑏2+6𝑥，𝑥+𝑦+𝑚𝑞+𝑛�

�=𝑥+3𝑏2+6𝑥+𝑏≥2√3𝑏2+6+𝑏，设2√3𝑏2+6+𝑏=𝑡，整理得11𝑏2+2𝑡𝑏+24−𝑡2=0，判别式法，△=4𝑡2−44(24−𝑡2)≥0，得𝑡≥√22，即(𝑥+𝑦+𝑚𝑞+𝑛𝑝)min=√22．∴𝑥+𝑦+

𝑚𝑞+𝑛𝑝的最小值为√22．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com