【文档说明】四川省成都市第七中学2021-2022学年高二下学期期中数学文科试题 含解析.docx，共(19)页，1.204 MB，由小赞的店铺上传

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2021~2022学年度下期高2023届半期考试数学试卷（文科）一､选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.）1.复数2iz=+模z=（）A.5B.3C.5iD.3

i【答案】A【解析】【分析】根据复数的模的公式求解即可.【详解】因为2iz=+，所以222+1=5z=，故选：A.2.已知函数()3xfx=，则()()011limxfxfx→+−=（）A.3ln3B.3ln3−C.3ln3D.3ln

3−【答案】C【解析】【分析】根据导数的定义，结合基本初等函数的求导公式，即可求得答案.【详解】由题意得，()()011lim(1)xfxffx→+−=，由于()3xfx=，则()3ln3xfx=

，故(1)3ln3f=。故()()011lim3ln3xfxfx→+−=，故选：C3.对于不等式()2*11nnnn+++N，某同学用数学归纳法证明的过程如下：①当1n=时，211111+++，不等式成立；②假设当()*nkk=N时

，不等式成立，即211kkk+++，的则当1nk=+时，()()()()22211133331kkkkkkk++++=++++++=()()2211kk+=++．故当1nk=+时，不等式成立．则下列说法正确的是（）A.过程全部正确B.当1n=时的验证不正确C.当nk

=时的归纳假设不正确D.从nk=到1nk=+的推理不正确【答案】D【解析】【分析】根据数学归纳法证明基本过程判断即可.【详解】在证明当1nk=+时的结论中，没有应用nk=时的假设，根据数学归纳法证明的基本过程可知：从nk=到1nk=+的推理不正确．故选：D.4.有一段演绎推理：所有的质数是奇数，2

是质数，所以2是奇数.这段推理（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确的【答案】A【解析】【分析】由2是质数，但不是奇数可知大前提错误.【详解】大前提为所有的质数是奇数，但2是质数，但不是奇数，大前提错误.故选：A.5.函数()sin2fxxx=+在R上是（）A.偶函数､增

函数B.奇函数､减函数C.偶函数､减函数D.奇函数､增函数【答案】D【解析】【分析】根据(),()fxfx−的关系可判断奇偶性，求导可判断单调性.【详解】()()()sin2sin2()fxxxxxfx−=−+−=−−=

−，所以()fx是奇函数，()cos20fxx=+，所以()fx是增函数.故选：D6.函数()2lnxxfxx=的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数()fx为偶函数，以及在01x时的单调性

即可由排除法解出．【详解】因为函数()fx的定义域为|0xx，而()()fxfx−=，所以函数()fx为偶函数，其图象关于y轴对称，所以B错误；当01x时，()2lnlnxxfxxxx==，由()ln10fxx=+=可得1=xe，所以函数()fx在10,e

上递减，在1,1e上递增，所以C错误；而()0fee=，排除A，所以D正确．故选：D．7.设等差数列na的公差0d，且10a．记12231111nnnTaaaaaa+=+++，用1a，d分别表示1T，2T，3T，并由此猜想nT=（）A.1nand+B

.21nand+C.211naand+D.211naand+【答案】C【解析】【分析】写出等差数列的通项公式，裂项求和即可.【详解】依题意，()11naand+−=，()112111111111Taaaaddaad===−++，212231111

111111111111122Taaaadaaddadaddaad=+=−+−=−++++()1122aad=+，()31223341111111111333Taaaaaadaadaad=++=−=++，故猜想()21111nnnTaandaa

nd==++，故选：C.8.已知函数()sin,01,0xxxxfxex−=−，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a取值范围是（）A.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B.（﹣2，1）C.（﹣1，2）D.（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【答案】B

【解析】【分析】先分类讨论，并利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性转化不等式，解一元二次不等式即可求得结果．【详解】当x≥0时，f（x）＝x﹣sinx，f（x）＝1﹣cosx≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）＝0；当x＜0时，f（x）＝ex

﹣1在（﹣∞，0）上单调递增，且f（x）＜f（0）＝0，故f（x）在R上单调递增，∵f（2﹣a2）＞f（a），∴2﹣a2＞a，解得﹣2＜a＜1，故选B．【点睛】此题考查分段函数的单调性问题，体现了分类讨论的思想，利用函数的单调性把函数

值不等式转化为自变量不等式，属于中档题.9.已知三棱锥ABCD−中，ABAD⊥，ABAC⊥，ACAD⊥，ABACAD==，E，F分别为棱CD，AB的中点，则直线EF与AC所成角的余弦值为（）A.12B.23C.33D.32【答案】C【解析】【分析】建立空间直角直角坐标系，进而通过空间向量的夹角公式

求得答案.【详解】如图所示：设2ABACAD===.因为AB，AC，AD两两相互垂直，所以以A为坐标原点，分别以AB，AC，AD所在直线为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系.则()0,0,0A，()0,2,0C，()0,1,1E，()1,0,0F，∴()0,2,0AC→=，()1,

1,1EF→=−−，∴23cos,323ACEF→→−==.故选：C.10.各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制.通常我们用函数()lnlnMxfxMx=表示在x进制下表达()1MM个数字的效率

，则下列选项中表达M个数字的效率最高的是（）A.四进制B.三进制C.八进制D.七进制【答案】B【解析】【分析】求出ln()xgxx=的最大值0()gx，0x不是整数时，比较0x两边的两个整数对应的函数值大小后可得．【详解】设ln()xgxx=，则21ln()xgxx−=，0ex时，()

0gx，()gx递增，ex时，()0gx，()gx递减，所以max1()(e)egxg==，由于()fx中*xN，下面比较ln22和ln33的大小即得．ln2ln33ln22ln3ln8ln902366−−−

==，所以ln2ln323，所以(3)f最大．故选：B．11.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.“鳖臑”指的是四个面都

是直角三角形的三棱锥.“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以㳟，其形露矣.”现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABCABC−，其中AC

BC⊥，若1AA2AB==，当“阳马”即四棱锥11BAACC−体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABCABC−的外接球的表面积为（）A.4B.8C.16D.823【答案】B【解析】【分析】设,ACbBCa==，得到224ab+=，当四棱锥体积取得最大值时，根据基本不等式得到2

ab==，利用三棱柱111ABCABC−的外接球的球心为1AB的中点，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】设,ACbBCa==，因为ACBC⊥，则2224ABab=+=，所以四棱锥11BAACC−的体积为11221122433323BAACCabVBCACAA

ab−+===，当且仅当2ab==时，等号成立，此时三棱柱111ABCABC−的外接球的球心为1AB的中点，所以外接球的半径为221111442222ABRAAAB==+=+=，所以三棱柱111ABCABC−的外接球的表

面积为()224428SR===.故选：B.12.已知()fx是定义在)0,+的减函数.设()78eaf−=，9ln8bf=，18cf=，则a，b，c的大小关系为（）A.cbaB.acbC.bcaD.cab【答案】B【解析】【分析】

构造()ln(1)gxxx=+−研究其在(0,)+的单调性可得91ln88，再由指数函数的性质有7811<e8e−，结合()fx的单调性即可得答案.【详解】令()ln(1)gxxx=+−且1x−，则()1xgxx

=−+，所以(0,)+上()0gx，即()gx递减，故191()ln(0)0888gg=−=，则91ln88，又7811<e8e−，即78911ln<e88e−，由()fx在)0,+的减函数，则()7891ln88ebfcfaf−==

=.故选：B二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.）13.已知函数()1fxx=，则()fx在点()()1,1f处的切线的斜率k=___________.【答案

】1−【解析】【分析】根据导数的几何意义，求出()fx在点(1,(1))f处的切线的斜率即可.【详解】因为1()fxx=，所以()21fxx=−，所以()fx在点(1,(1))f切线的斜率为21(1)11f=−=−.故答案为：1−.14.如图，正方体111

1ABCDABCD−的棱长为1，则点A到平面11ADC的距离是___________.【答案】33##133【解析】【分析】等体积法求解点到平面的距离.【详解】设点A到平面11ADC的距离为h，因为正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，则111

12ACADCD===，()11233242ADCS==，又11111111113326CAADAADVSCD−===，所以1111111113332332AACDCAADADCADCVVhSS−−====故答案为：3

315.历史上数列折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…

，它满足()()121ff==，且满足递推关系()()()()11,3,fnfnfnnn+=+−N，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若将此数列的每一项除以4后的余数构成一个新数列na，2023a=____

_______.【答案】1【解析】【分析】通过列举法发现数列na为周期数列，然后根据周期数列的性质进行计算即可.【详解】由题可知11a=，21a=，32a=，43a=，51a=，60a=；71a=，81a=，92a=，103a=，111a=，120a=，故可以发现，数列na是周期

为6的周期数列，由于202333761=+，所以202311aa==故答案为：116.若对0x，关于x的不等式21ln12mxmxxx+−+恒成立，则整数m的最小值为___________.【答案】2【解析】【分析】将恒成立问题转化

为两个函数的图象位置关系，找到临界点为两个函数相切，然后求出临界处m的范围，进而求得m的最小整数【详解】设()212fxmxmx=+，()ln1gxxx=++，只需保证()fx的图象在()gx的上方即可易知：()gx在区间()0,+上单调递增，且0m

（否则当x无限趋近无穷大时，不能成立）则存在()fx与()gx在某个点处相切，设切点为()00,Pxy可得：()()()()00200000012ln1fxgxfxmxmxgxxx==+=++化简

可得：00011ln02mxxx=+=设()1ln02hxxx=+=，易知()hx在区间()0,+上单调递增可得：()1102h=，11ln2024h=−可得：0112x则12m

，这是()fx与()gx在某个点处相切的m范围，当m比相切时大，则()fx会在()gx上方，即也满足题意故m的最小整数为2故答案为：2【点睛】对于函数()yfx=，,xab，常用到以下两个结论：（1）()af

x恒成立，等价于()maxafx；（2）()afx恒成立，等价于()minafx；（3）但有时候需要利用函数的图象来求，根据原不等式构造出两个函数，利用图象的关系求得三､解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分.在答题卷上解答，解答应写出文字说明，证明过

程或演算步骤.）17.已知复数()()2121izmmm=+−R.（1）若1z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；（2）当3m=时，且21zz=（1z表示1z的共轭复数），若12111zzz=+，求z.【答案】（1）01m（2）253【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义建立不等式即

可求解；（2）将复数1z、2z代入12111zzz=+中化简即可求解.【小问1详解】若1z对应复平面上点在第四象限，则22010mm−，解得01m.【小问2详解】当3m=时，1i68z=+，则268iz=−.∴11168i68i368i68i10025z−++=+==+−

，∴253z=.18.已知数列()()121nnan=−−，nS为数列na的前n项和()nN.（1）求1S，2S，3S，4S；（2）根据（1）的计算结果，猜想nS的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）11S=−，2

2S=，33S=−，44S=（2）猜想：()1nn−，证明见解析【解析】【分析】（1）根据()()121nnan=−−可求得1234,,,aaaa，从而可得答案；（2）由（1）的计算结果，猜想()1nnSn=−，再由数学归纳法证明即可.【小问1详解】因为1

11Sa==−，23a=，所以2122Saa=+=，因为35a=−，所以3233SSa=+=−，因为47a=，所以4344SSa=+=.所以11S=−，22S=，33S=−，44S=.【小问2详解】的猜想：()()()135

1211nnnSnn=−+−++−−=−L证明：①当1n=时，左边1=−，右边1=−，等式成立②假设当()nkk=N时，等式成立，即()()()1351211kkkk−+−++−−=−.则当1nk=+时，左边()()(

)()11351211211kkkk+=−+−++−−+−+−()()()11121kkkk+=−+−+()()()()()()11211111kkkkkkk+=−−+=−−−=−+=右边，所以当1nk=+时，等式成立，由①②可知对于任意的nN时，()()()1351211

nnnn−+−++−−=−L.19.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别在1BB，1DD上，且1AEAB⊥，1AFAD⊥.（1）证明：1ACEF⊥；（2）当3AD=，4AB=，15AA=时，求三棱锥DAEF−的体积.【答

案】（1）证明见解析（2）185【解析】【分析】（1）用空间向量法证明线线垂直，计算1ACAE，1ACAF，1ACEF可得；（2）由体积公式得143DAEFEADFADFVVS−−==△，在矩形11ADDA中由相似形计算出AD，得ADF面..积，

从而得棱锥体积．【小问1详解】因为()()110ACAEABBCAEBCAEBCABBE=+==+=，所以1ACAE⊥.因()()110ACAFADDCAFDCAFDCADDF=+==+=，所以1ACAF⊥

.()11110ACEFACAFAEACAFACAE=−=−=，所以1ACEF⊥.【小问2详解】∵143DAEFEADFADFVVS−−==△，在面11ADDA中，1AAD∽ADF，∴1DFADADAA=，可得95DF=，∴12721

0ADFSDFAD==△，185DAEFV−=.20.第31届世界大学生夏季运动会即将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥

墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中0160x，1601x−N）的相邻两墩之间的桥面工程费用为()2xx+万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（

显然()1160nx+=），记余下工程的费用为y万元.（1）试写出y关于x的函数关系式；（2）需新建多少个桥墩才能使y最小？【答案】（1）51201601602880160,1yxxxx=++−N；（2）需新

建9个桥墩才能使y最小.【解析】【分析】（1）求出1601nx=−，即得y关于x的函数关系式；（2）利用导数求出函数的单调区间即得解.【小问1详解】解：由()1160nx+=，得1601nx=−，所以()()()321603212160288yfxnnxxxx==+++=++51201

601602880160,1xxxx=++−N.为【小问2详解】解：由（1）知，()()32228064321601602xfxxxx−=−+=，令()0fx=，得3264x=，所以16x=.当016x时，()0fx，则()fx在区间()0,1

6内为减函数；当16160x时，()0fx，则()fx在区间()16,160内为增函数.所以()fx在16x=处取得最小值，此时1601916n=−=.故需新建9个桥墩才能使y最小.21.函数()()e1

xfxax=−+.（1）若0a，()0fx对一切xR恒成立，求a的最大值；（2）证明：11220221e2023+++L，其中e是自然对数的底数.【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分类讨论，当0

a=，()0fx恒成立；当0a，利用导数确定函数的最小值为()lnfa，由题意可得()ln0fa，即可求得答案；（2）由（1）可得e1xx+，然后令1,Nxnn=，可得111e1nnnn++=，分别令n取1,2,,2022即可证明结论.【小问1详解】由题意得，()

exfxa=−，又0a，①当0a=，()e0xfx=恒成立，满足题意；②当0a，令()0fx=，lnxa=，当(),lnxa−，()0fx，()fx单调递减，当()ln,xa+，()0fx，()fx单调递增；所以()fx在lnxa=处取得极小值，即最小值.要使()0fx

恒成立，即()ln0fa，代入()()e1xfxax=−+得()lneln10ln0aaaaaaa−+−−，解得01a.综上01a，∴a的最大值为1.【小问2详解】证明：当1a=时，由（1）可知e1xx+，当且仅当0x=成立.令1,Nxnn=，即

111e1nnnn++=.∴12e1，123e2，…，120222023e2022，将各式相乘可得11220221232023e2023122022+++=L，即11220221e2023+++L.22.设函数()

()21sincos2fxxxxxa=−−+.（1）当0a=时，判断函数()fx在ππ,22−上的单调性；（2）设0,2，且sin1cos=−，当2cos0a−时，判断()fx在ππ,22

−的极值点个数.【答案】（1）在π,02−单调递增，在π0,2单调递减；（2）两个极值点.【解析】【分析】（1）利用导数研究()fx的区间单调性即可.（2）令()0fx¢=得到sinaxxx=−，构造()singxxxx=−利用导数研究()gx在ππ,22−

上的单调性，根据()gx的极值确定的唯一性，进而判断ya=与()gx在给定区间内交点个数，即可得结果.【小问1详解】由题设，()sinfxxxxa=−−.当0a=时，()()sin1fxxx=−，当ππ22x−时，si

n1x.当π0,2x时，()0fx¢<，当π,02x−时，()0fx¢>，()fx在π,02−单调递增，在π0,2单调递减.【小问2详解】令()0fx¢=，则sin0xxxa−−=，

即sinaxxx=−.设()singxxxx=−，则()cossin1gxxxx=+−.①当π0,2x时，0sin1x，cos0x，令()()gxhx=，则()2cossinhxxxx=−，令()()xhx=，则()()3sinco

sxxxx=−+，从而()0x，()x单调递减，又()020=，ππ022=−，由零点存在定理知：存在唯一0π0,2x，使得()00x=.当()00,xx时，()0x，则()hx单调递增，当0π,2xx时，()

0x，则()hx单调递减；又(0)1h=−，π02h=，由零点存在定理知：存在唯一1π0,2x使()10hx=，即111cossin10xxx+−=.当()10,xx时，()0hx，则()gx单调递

减，当1π,2xx时，()0hx，则()gx单调递增；②当π,02x−时，()sin1cos0gxxxx=−+，则()gx单调递减.综上，()gx在π,02−上单调递减，()1

0,x上单调递减，在1π,2x上单调递增.因为()1gx=111cossin10xxx+−=，即111sin1cosxxx=−.从而()()21111111111sin1coscosgxxxxxxxxxx=−=−−=−.由①唯一性知：1x=，则

sin1cos=−.当π,02x−时，()sin0gxxxx=−；当π0,2x时，()sin0gxxxx=−.当2cos0a−时，直线ya=与函数()gx的图象在ππ,22−上有两个交点，从而()fx

¢有两个变号零点，即()fx在ππ,22−上恰有两个极值点.所以()fx在ππ,22−上恰有两个极值点.【点睛】关键点点睛：第二问，将问题转化为ya=与()singxxxx=−在ππ,22−上的交点情况

，注意确定参数的唯一性及对应值，判断2cos0a−上以上两函数图象的交点个数.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com