【文档说明】四川省成都市第七中学2021-2022学年高二下学期期中数学理科试题 含解析.docx，共(25)页，1.640 MB，由管理员店铺上传

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2021~2022学年度下期高2023届半期考试数学试卷（理科）一､选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.把答案涂在答题卷上.）1.复数2iz=+的模z=（）A.5B.

3C.5iD.3i【答案】A【解析】【分析】根据复数的模的公式求解即可.【详解】因为2iz=+，所以222+1=5z=，故选：A.2.已知函数()3xfx=，则()()011limxfxfx→+−=（）A.3ln3B.3ln3−C.3ln3D.3ln3−【答案】C【解析】【分析

】根据导数的定义，结合基本初等函数的求导公式，即可求得答案.【详解】由题意得，()()011lim(1)xfxffx→+−=，由于()3xfx=，则()3ln3xfx=，故(1)3ln3f=。故()()011lim3ln3xfxfx→+−=，故选：C

3.对于不等式()2*11nnnn+++N，某同学用数学归纳法证明的过程如下：①当1n=时，211111+++，不等式成立；②假设当()*nkk=N时，不等式成立，即211kkk+++，则当1nk=+时，()()()()22

211133331kkkkkkk++++=++++++=()()2211kk+=++．故当1nk=+时，不等式成立．则下列说法正确的是（）A.过程全部正确B.当1n=时的验证不正确C.当nk=时的归纳假设不正确D.从nk=到1nk=+的推理不正确【答案】D【解析】【分析】根据数学归纳法证明

基本过程判断即可.【详解】在证明当1nk=+时的结论中，没有应用nk=时的假设，根据数学归纳法证明的基本过程可知：从nk=到1nk=+的推理不正确．故选：D.4.有一段演绎推理：所有的质数是奇数，2是质数，所以2是奇数.这段推理（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.是正确

的【答案】A【解析】【分析】由2是质数，但不是奇数可知大前提错误.【详解】大前提为所有的质数是奇数，但2是质数，但不是奇数，大前提错误.故选：A.5.2204xdx−=A.2B.C.2D.4【答案】B【解析】【分析】利

用数形结合求定积分得解.【详解】24yx=−所以22+4(02,0)xyxy=，表示为以原点为圆心，以2为半径的在第一象限的14个圆，由于14个圆的面积为212=4，所以2204xdx−=.故选B【点睛】本题主要考

查利用数形结合求定积分，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.函数()2lnxxfxx=的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数()fx为偶函数，以及在01x时的单调性即可由排除法解出．【详解】因为函数()fx的定义域为|0

xx，而()()fxfx−=，所以函数()fx为偶函数，其图象关于y轴对称，所以B错误；当01x时，()2lnlnxxfxxxx==，由()ln10fxx=+=可得1=xe，所以函数()fx在10,e上递减，在1,1e

上递增，所以C错误；而()0fee=，排除A，所以D正确．故选：D．7.设等差数列na的公差0d，且10a．记12231111nnnTaaaaaa+=+++，用1a，d分别表示1T，2T，3T，并由此猜想nT=（）A.1na

nd+B.21nand+C.211naand+D.211naand+【答案】C【解析】【分析】写出等差数列的通项公式，裂项求和即可.【详解】依题意，()11naand+−=，()112111111111Taaaaddaad===−++，212231111111111111111

122Taaaadaaddadaddaad=+=−+−=−++++()1122aad=+，()31223341111111111333Taaaaaadaadaad=++=−=++，故猜想()21111nn

nTaandaand==++，故选：C.8.平行六面体1111ABCDABCD−中，12ABADAA===，60BAD=，点1A在平面ABCD内的射影是AC与BD的交点O，则异面直线1BD与1AA所成的角为（）A.9

0°B.60°C.45°D.30°【答案】C【解析】【分析】由已知条件可得11,3,2OBOAAA===，11OA=，1130,60OAAAAO==，然后利用数量积的运算律求出11BDAA，1BD，再利用向量的夹角公式可求得结

果【详解】111BDBAADDDBAADAA=++=++，因为点1A在平面ABCD内的射影是AC与BD的交点O，所以1AOOA⊥，因为12ABADAA===，60BAD=，所以11,3,2OBOAAA===，11OA=，所以

1130,60OAAAAO==，因为11AAAOOA=+,所以()()1111BDAABAADAAAOOA=+++()()()1111BAAOOAADAOOAAAAOOA=+++++14

BAAOADAOBDOA=+++4BAAOADAO=++cos150cos3044BAAOADAO=++=，所以114BDAA=，12AA=，()()1111BDBDBDDDBDDD=++22112BDDD

BDDD=++()1442BDAOOA=+++82BDAO=+82cos82BDAO=+=，所以122BD=，所以11111142cos,2222BDAABDAABDAA===，因为11,[0,]BDAA

，所以11,4BDAA=，所以异面直线1BD与1AA所成的角为4故选：C9.各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般用的十进制.通常我们用函数()lnlnMxfxMx=表示在x进制下表达()1MM个数字的效率，则下列选项中表达M个数字的效

率最高的是（）A.四进制B.三进制C.八进制D.七进制【答案】B【解析】【分析】求出ln()xgxx=的最大值0()gx，0x不是整数时，比较0x两边的两个整数对应的函数值大小后可得．【详解】设ln()xgxx=，则21ln()xgxx−=，0ex时

，()0gx，()gx递增，ex时，()0gx，()gx递减，所以max1()(e)egxg==，由于()fx中*xN，下面比较ln22和ln33的大小即得．ln2ln33ln22ln3ln8l

n902366−−−==，所以ln2ln323，所以(3)f最大．故选：B．10.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧

棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.“鳖臑”指的是四个面都是直角三角形的三棱锥.“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三

而一，验之以㳟，其形露矣.”现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABCABC−，其中ACBC⊥，若1AA2AB==，当“阳马”即四棱锥11BAACC−体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABCABC−的外接球的表面积为（）A.4B.8

C.16D.823【答案】B【解析】【分析】设,ACbBCa==，得到224ab+=，当四棱锥体积取得最大值时，根据基本不等式得到2ab==，利用三棱柱111ABCABC−的外接球的球心为1AB的中点，求得球的半

径，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】设,ACbBCa==，因为ACBC⊥，则2224ABab=+=，所以四棱锥11BAACC−的体积为11221122433323BAACCabVBCACAAab−+===，当且仅当2ab==时，等号成立，

此时三棱柱111ABCABC−的外接球的球心为1AB的中点，所以外接球的半径为221111442222ABRAAAB==+=+=，所以三棱柱111ABCABC−的外接球的表面积为()224428SR===.故选：B.11.已知()2cosfxxx

=−−，若()78afe−=，8ln9bf=，18cf=−，则a，b，c的大小关系为（）A.cbaB.acbC.bcaD.cab【答案】B【解析】【分析】根据()fx是偶函数，可将自变量都转到0x上，通过比较自变量的大小，以及判断()fx的单调性

，即可比较大小.【详解】()()()2cos()fxxxfx−=−−−−=，()fx是偶函数，8911ln=ln()9888bffcff==−=，又()2sinfxxx=−+，记()2singxxx=−+，则()2cos0gxx=−

+,所以()gx单调递减，当0x时，()(0)0gxg=，所以()0fx，故当0x时，()fx单调递减，记()()e1,e1,xxhxxhx=−−=−当0x时，()e10xhx=−,所以()hx在0x单调递减，故7(0)08hh−=，即7818e−,记

()()1ln11mxxxmxx=−+=−，，当1x时，()0mx,所以()mx单调递减，故991(1)0ln888mm=，综上可知：7819ln88e−当0x时，()fx单调递减，故7819ln88feffacb−

故选：B12.已知椭圆2241253xy+=的左、右焦点分别为1F、2F，第一象限内的点M在椭圆上，且满足12MFMF⊥，点N在线段1F、2F上，设12FNNF=，将12MFF△沿MN翻折，使得平面1MN

F与平面2MNF垂直，要使翻折后12FF的长度最小，则=（）A.32B.2C.49D.94【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的定义、勾股定理可求得1MF、2MF，翻折前，过点1F作1FAMN⊥，垂足为点

A，过点2F作2FBMN⊥，垂足为点B，设2NMF=，其中02，翻折后，利用勾股定理求出212FF关于的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得212FF的最小值及的值，再利用角平分线的性质可求得的值.【详解】在椭圆2241253xy+=中

，52a=，3b=，22132cab=−=，12213FFc==，因为12MFMF⊥，且点M为第一象限内的点，则122221212122513MFMFaMFMFFFMFMF+==+==，可得1232MFMF==，翻折前，过点1F作1FAMN⊥，垂足为点A，过点2F作

2FBMN⊥，垂足为点B，设2NMF=，其中02，则22sinBF=，2cosBM=，13sin3cos2AF=−=，3cos3sin2AM=−=，所以，3sin2cosABAMBM

=−=−，翻折后，如下图所示：因为平面2MNF⊥平面1MNF，平面1MNF平面2MNFMN=，2BF平面2MNF，2BFMN⊥，2BF⊥平面1MNF，1BF平面1MNF，21BFBF⊥，又因为1AFMN⊥，222222121

212FFBFBFAFABBF=+=++()2229cos3sin2cos4sin1312sincos136sin2=+−+=−=−，02，则02，故当22=时，即当4=时，12

FF取得最小值7，则在翻折前，在12MFF△中，MN为12FMF的角平分线，所以，12112232MNFMNFSNFMFSNFMF===△△，即32=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，解题的关键就是将引入某角为自变量，将12FF的长度表示为该角为自变量的三角函数，结合

三角函数的有界性来求解.二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.）13.已知函数()1fxx=，则()fx在点()()1,1f处的切线的斜率k=___________.【答案】1−【解

析】【分析】根据导数的几何意义，求出()fx在点(1,(1))f处的切线的斜率即可.【详解】因为1()fxx=，所以()21fxx=−，所以()fx在点(1,(1))f切线的斜率为21(1)11f=−=−.故答案为：1−.14.如图

，在正方体1111ABCDABCD−中，直线1AB和平面11ADC所成角的正弦值是____；【答案】63##163【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线1AB和平面11ADC所成角的正弦值

.【详解】设正方体的边长为1，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()111,0,1,0,1,1,1,1,0ACB，()10,1,1AB=−，设平面11ADC的法向量为(),,nxyz=，则1100nDAxznDCyz=+==+

=，故可设()1,1,1n=−−.设直线1AB和平面11ADC所成角为，则1126sin323nABnAB===.故选：6315.历史上数列折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，即

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，它满足()()121ff==，且满足递推关系()()()()11,3,fnfnfnnn+=+−N，此数列在现代物理及化学等领域有

着广泛的应用，若将此数列的每一项除以4后的余数构成一个新数列na，2023a=___________.【答案】1【解析】【分析】通过列举法发现数列na为周期数列，然后根据周期数列的性质进行计算即可.【详解】由题可知11a=，21a=，32a=

，43a=，51a=，60a=；71a=，81a=，92a=，103a=，111a=，120a=，故可以发现，数列na是周期为6的周期数列，由于202333761=+，所以202311aa==故答案为：1

16.若()0,x+，关于x的不等式()2241lnln2504xmxxmxmxxm−−−++−−恒成立，则实数m的范围是___________.【答案】5【解析】【分析】令()241lnln4−−=

−++xmxfxxmxm，利用导数法得到()fx在()0,+上递增，且()0fm=，令()225=−−gxxmx，结合()0502==−mgg，令()0gx=得244++=mmx，令244++=mmm求解.【详解】解：令()241lnln

4−−=−++xmxfxxmxm，因为0,0xm，则()11lnln44=−−−++xmfxxmxm，()()2222111044−=+−=xfxxxx，所以()fx在()0,+上递增，又()11lnln044=−−−++=mmfmmmmm，当0xm时，()0fx，当

xm时，()0fx，令()225=−−gxxmx，对称轴为4mx=，当04mx时，()gx递减，当4mx时，()gx递增，又()0502==−mgg，令()0gx=得244++=mmx（负值舍去），当2404++mmx时，()0gx，当244++m

mx时，()0gx令244++=mmm，解得5m=（负值舍去），当5m=时，05x时，()()0,0fxgx，则()()0fxgx，当5x时，()()0,0fxgx，则()()0fxgx，若5m，()()0fxgx在()0,+不是恒成立，综上：实数

m的范围是5三､解答题（17题10分，18-22每小题12分，共70分.在答题卷上解答，解答应写出文字说在明，证明过程或演算步骤.）17.已知复数()()2121izmmm=+−R.（1）若1z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；（2）当3m=时，且21zz=（1z表示

1z的共轭复数），若12111zzz=+，求z.【答案】（1）01m（2）253【解析】【分析】（1）根据复数的几何意义建立不等式即可求解；（2）将复数1z、2z代入12111zzz=+中化简即可求解.【小问1详解】若1z对应复平面上的点在第四象限，则2

2010mm−，解得01m.【小问2详解】当3m=时，1i68z=+，则268iz=−.∴11168i68i368i68i10025z−++=+==+−，∴253z=.18.已知数列()

()121nnan=−−，nS为数列na的前n项和()nN.（1）求1S，2S，3S，4S；（2）根据（1）的计算结果，猜想nS的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）11S=−，22S=，33S=−，44S=（2）猜想：

()1nn−，证明见解析【解析】【分析】（1）根据()()121nnan=−−可求得1234,,,aaaa，从而可得答案；（2）由（1）的计算结果，猜想()1nnSn=−，再由数学归纳法证明即可.【小问1详解】因为111Sa==−，23a=，所以2122Saa=+=，因为35a=−，所以32

33SSa=+=−，因为47a=，所以4344SSa=+=.所以11S=−，22S=，33S=−，44S=.【小问2详解】猜想：()()()1351211nnnSnn=−+−++−−=−L.证明：①当1n=时，左边1=−，右边1=−，等式成立.②假设当()nkk=N时，等式成立，即()()(

)1351211kkkk−+−++−−=−.则当1nk=+时，左边()()()()11351211211kkkk+=−+−++−−+−+−()()()11121kkkk+=−+−+()()()()()()11

211111kkkkkkk+=−−+=−−−=−+=右边，所以当1nk=+时，等式成立，由①②可知对于任意的nN时，()()()1351211nnnn−+−++−−=−L.19.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，点E，

F分别是1BB，1DD上的动点.（1）若点E，F满足12BEEB=，12DFFD=，证明：1C在平面AEF内；（2）若点E，F满足1AEAB⊥，1AFAD⊥.当3AD=，4AB=，15AA=时，求平面AEF与平面11DBBD所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析（2）12225【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设ABa=，ADb=，13AAc=，即可得到1CEFA=，从而得到1//AFCE，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量方程求出二面角的

余弦值；【小问1详解】证明：法一：分别以AB､AD､1AAx轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设ABa=，ADb=，13AAc=，则()1,,3Cabc，()0,,Fbc，(),0,2Eac，()0,0,0A.为所以()10,,CEbc=−−，()0,,FAb

c=−−，故1CEFA=，所以1//AFCE，所以点1C平面AEF内.方法二：平面向量基本定理同方法一建系，并得()1,,3Cabc，()0,,Fbc，(),0,2Eac，()0,0,0A，所以()10,,CEbc=−−，()1,0,2CFac=−−，()1,,3CAabc=−−−.故111CA

CECF=+，所以点1C在平面AEF内.方法三：连接DE，1FB，1DB，则四边形1DEBF为平行四边形，设1DB与EF相交于点O，则O为EF，1DB的中点.连接1AC，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即11ACBDO=，则1AC经过点O，故点1C在平面AEF

内.【小问2详解】解：分别以AB､AD､1AA为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系，连接AC.由于4AB=，3AD=，15AA=，则()0,0,0A，()10,0,5A，()4,0,0B，()4,3,0C，()0,3,0D，()10,3,5D.在所以()4,3,0BD=−，

()10,0,5DD=.设平面11DBBD的法向量为()1111,,nxyz=，所以11111150430nDDznBDxy===−+=，可取()13,4,0n=.设()4,0,Em，()4,0,AEm=，又()14,0,5AB=−，由11650AEABm=−

=，解得165m=，∴164,0,5E，同理90,3,5F.所以164,0,5AE=，90,3,5AF=.设平面AEF的法向量为()2222,,nxyz=，所以222222164059305nAExznAFyz=+=

=+=，可取()24,3,5n=−.设平面AEF和平面11DBBD所成的锐角为，则1212122cos25nnnn==.所以平面AEF和平面11DBBD所成的锐角的余弦值为12225.20.第31届世界大学生夏季运动会即

将在成都拉开帷幕.为了配合大运会的基础设施建设，组委会拟在成都东安湖体育公园修建一座具有成都文化特色的桥.两端的桥墩已建好，这两桥墩相距160米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米（其中0160x，1601x−N）的相邻两

墩之间的桥面工程费用为()2xx+万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，设需要新建n个桥墩（显然()1160nx+=），记余下工程的费用为y万元.（1）试写出y关于x的函数关系式；（2）需新建多少个桥墩才能使y最小？【答案】（1）51201601602880160,1y

xxxx=++−N；（2）需新建9个桥墩才能使y最小.【解析】【分析】（1）求出1601nx=−，即得y关于x的函数关系式；（2）利用导数求出函数的单调区间即得解.【小问1详解】解：由()1160nx+=，得16

01nx=−，所以()()()321603212160288yfxnnxxxx==+++=++51201601602880160,1xxxx=++−N.【小问2详解】解：由（1）知，()()32228064321601602xfxxxx−=−+=，令()0fx=，得32

64x=，所以16x=.当016x时，()0fx，则()fx在区间()0,16内为减函数；当16160x时，()0fx，则()fx在区间()16,160内为增函数.所以()fx在16x=

处取得最小值，此时1601916n=−=.故需新建9个桥墩才能使y最小.21.函数()()e1xfxax=−+.（1）若0a，()0fx对一切xR恒成立，求a的最大值；（2）证明：34222111111

e232022+++L，其中e是自然对数的底数.【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对0a，利用导数求得函数的最小值(ln)fa，由(ln)0fa得结论；（2）由（1）中不等式得出()0,x+，()ln1xx+恒成立，然后令21x

n=(1)n，得出222111111ln11211nnnnn+=−−−+，对2n=至2022求和可证题设不等式成立．【小问1详解】()exfxa=−，又0a，①当0a=，()e0xf

x=恒成立，满足题意；②当0a，令()0fx=，lnxa=，当(),lnxa−，()0fx，()fx单调递减，当()ln,xa+，()0fx，()fx单调递增；所以()fx在lnxa=处取得极小

值，即最小值.要使()0fx恒成立，即()ln0fa，代入得()lneln10ln0aaaaaaa−+−−，解得01a.综上01a，∴a的最大值为1.【小问2详解】由（1）知，1a=时，e1xx+，当10x+时，两边取对数得()ln1xx+，由不等式()ln1xx+对

任意()1,x−+恒成立，当且仅当0x=时，取“=”号，∴()0,x+，()ln1xx+恒成立.令21xn=（1n，且nN）则222111111ln11211nnnnn+=−−−+，∴222111ln1ln1ln1232022

++++++L11111111123242020202220212023−+−++−+−L1111113112220222023224=+−−+=，即2221113ln1112

320224+++L，∴34222111111e232022+++L.22.设函数()()21sincos2fxxxxxa=−−+.（1）当0a=时，判断函数()fx在(),−

上的单调性；（2）设0,2，且sin1cos=−，当2cos0a−时，判断()fx在()0,2的极值点个数.【答案】（1）单调递增区间为(),0−，单调递减区间为()0,（2）三个极值点【解析】【分析】（1）当0a=时，求得()()sin1fxxx=−，

利用导数与函数单调性的关系可求得函数()fx在区间(),−上的增区间和减区间；（2）由()0fx=得sinaxxx=−，构造函数()singxxxx=−，利用导数分析函数()gx在()0,2上的单调性与极值，数形结合可得出当2cos0a−时，直线ya=与函

数()gx在()0,2上的图象的交点个数，即可得解.【小问1详解】解：因为()()21sincos2fxxxxxa=−−+，则()sinfxxxxa=−−.当0a=时，()()sin1fxxx=−，当x−时，sin1x.当()0,x时，()0fx

且()fx不恒为零，当(),0x−时，()0fx且()fx不恒为零，所以，当(),x−时，函数()fx的增区间为(),0−，减区间为()0,.【小问2详解】解：令()0fx=，则sin0xxxa−−=，即sinax

xx=−.设()singxxxx=−，则()cossin1gxxxx=+−.①当0,2x时，0sin1x，cos0x，令()()gxhx=，则()2cossinhxxxx=−，令()()x

hx=，则()()3sincosxxxx=−+，从而()0x，所以()x单调递减.又()020=，022=−，由零点存在定理可知存在唯一的00,2x，使得()0

0x=.所以当()00,xx时，()0x，则()hx单调递增，当0,2xx时，()0x，则()hx单调递减，又()01h=−，02h=，所以由零点存在定理可知存在唯一的10,2x，使得()10hx=，即111cossin

10xxx+−=.当()10,xx时，()0hx，则()gx单调递减，当1,2xx时，()0hx，则()gx单调递增；②当3,22x时，cos0x，()0gx，则()gx单调递减；③当3,22x

时，cos0x，sin0x，则()2cossin0hxxxx=−，则()()hxgx=单调递增.因为3202g=−，()2210g=−，则()gx在3,22内有唯一零点，记为2x，所以当23,2xx

时，()0gx，则()gx单调递减；当()2,2xx时，()0gx，则()gx单调递增.综上可知，()gx在()10,x上单调递减，在1,2x上单调递增，2,2x上单调递减，()2,2x上单调递增.因为()10gx=

，则111cossin10xxx+−=，即111sin1cosxxx=−.()gx的极小值()()21111111111sin1coscosgxxxxxxxxxx=−=−−=−.由①的唯一性可知，1x=，则sin1cos=−，()222cos

2.474g=−−−−，又极小值()()2226.28gxg=−−，即()()22cosggx−=，当2cos0a−时，直线ya=与函数()gx在()0,2上图象有三个交点，从而()fx在(

)0,2π上有三个变号零点，即()fx在()0,2上恰有三个极值点.所以函数()fx()0,2上恰有三个极值点.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本

性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0fx=分离变量得出(

)agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.的在获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com