【文档说明】湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试卷Word版含答案.docx，共(17)页，1.208 MB，由小赞的店铺上传

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雅礼中学2025届高三上学期入学考试试卷数学时量：120分钟分值：150分命题人：审题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|240}Axxx=−−，则A=N（）A．{0}B．{0，1}C．{0，1，

2}D．{1，2}2．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A．63B．263C．463D．8633．若正数x，y满足220xxy−+=，则xy+的最小值是（）A．22B．23C．4D．64．过椭圆C：221169xy+=的中心作直线l交椭圆于P，Q两点，F是

C的一个焦点，则PFQ△周长的最小值为（）A．16B．14C．12D．105．已知圆C的方程为22(2)xya+−=，则“2a”是“函数yx=的图象与圆C有四个公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．如图是一

块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为0，1，2，

…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，若0()()PXkPXk==，则0k=（）A．4B．5C．6D．77．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（）A．70B．64C．60D．588．已知定义域为R的函数()fx，其导函数为(

)fx，且满足()2()0fxfx−，(0)1f=，则（）A．2(1)1ef−B．2(1)feC．1()2feD．1(1)()2fef二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小

题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数1z，2z，下列说法正确的是（）A．若12||||zz=，则2212zz=B．1212||||||zzzz=C．1212||

||||zzzz−+D．1212||||||zzzz++10．已知函数()2sin()fxx=+（02，22−），函数1()()2gxfx=+的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A．()fx的表达式可

以写成()2sin24fxx=−B．()fx的图象向右平移38个单位长度后得到的新函数是奇函数C．()()1hxfx=+的对称中心（82k−+，1），kZD．若方程()1fx=在（0，m）上有且只有6个根，则513,24m

11．如图，过点C（a，0）（0a）的直线AB交抛物线22ypx=（0p）于A，B两点，连接AO、BO，并延长，分别交直线xa=−于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（）A．BMAN∥B．以AB为直径的圆与直线xa=−相切C．

AOBMONSS=△△D．24MCNANCBCMSSS=△△△三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知随机变量X服从正态分布N（5，2），若(56)0.27PX=，则(4)PX=________．13．已知向量(sin,cos)a=，(3,1)b=

，若ab∥，则2sinsin2+的值为________．14．设0k，若存在正实数x，使得不等式14log20kxxk−−成立，则k的最大值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明

、证明过程或演算步骤．15．（13分）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知2ABBCCD===，23AD=．（1）当BD长度变化时，3coscosAC−是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，

说明理由．（2）记ABD△与BCD△的面积分别为1S和2S，请求出2212SS+的最大值．16．（15分）函数()e4sin2xfxx=−+−的图象在0x=处的切线为3yaxa=−−，其中aR．（1）求λ的值；（2）求()fx在（0，+）上零点的个

数．17．（15分）如图，四面体ABCD中，ADCD⊥，ADCD=，ADBBDC=，E为AC的中点．（1）证明：平面BED⊥平面ACD；（2）设2ABBD==，60ACB=，点F在BD上，当AFC△的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．1

8．（17分）已知双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的渐近线方程为32yx=，过点（4，0）的直线l交双曲线C于M，N两点，且当lx⊥轴时，6MN=．（1）求C的方程；（2）记双曲线C的左右顶点分别为1A，2A，直线1AM，2AN的

斜率分别为1k，2k，求12kk的值．（3）探究圆E：224410xyxy+−−−=上是否存在点S，使得过S作双曲线的两条切线1l，2l互相垂直．19．（17分）对于数列{}na，如果存在等差数列{}nb和等比数列{}nc，使得nnnabc=+（*nN），则称数列{}na是“

优分解”的．（1）证明：如果{}na是等差数列，则{}na是“优分解”的．（2）记1nnnaaa+=−，21nnnaaa+=−（*nN），证明：如果数列{}na是“优分解”的，则20na=（*n

N）或数列2{}na是等比数列．（3）设数列{}na的前n项和为nS，如果{}na和{}nS都是“优分解”的，并且13a=，24a=，36a=，求{}na的通项公式．雅礼中学2025届高三上学期入学考试试卷数学时量：120分钟分值：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【分析】先确定集合A，再求交集AN．【详解】根据题意，2{|240}{|222}Axxxxx=−−=−，所以{0,1,2}A=N．故选

：C2．【答案】B【分析】由侧面展开图求得母线长后求得圆锥的高，再由体积公式计算．【详解】设圆锥母线长为l，高为h，底面半径为2r=，则由22l=，得22l=，所以226hlr=−=，所以22112626333

Vrh===．故选：B．3．【答案】C【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解．【详解】由题设及220xxy−+=，可得2yxx=+．所以211244xyxxxxxxx+=++=+=，当且仅当1xx=，即1x=时，等号成立，此时

30y=符合题意．所以xy+的最小值为4．故选：C．4．【答案】B【分析】利用椭圆的定义和对称性，转化PFQ△的周长，即可求解．【详解】设C的另一个焦点为F，根据椭圆的对称性知||||PFQF=，所以PFQ△的周长为8PFQFPQQFQFPQPQ++=++=+，当线段PQ为椭圆短轴时

，PQ有最小值6，所以PFQ△的周长的最小值为14．故选：B5．【答案】B【详解】由圆C的方程为22(2)xya+−=可得圆心（0，2），半径ra=，若圆与函数yx=相交，则圆心到直线yx=的距离|20|22d

a−==，即2a，若函数yx=的图象与圆C有四个公共点，则原点在圆的外部，即220(02)a+−，解得4a，综上函数yx=的图象与圆C有四个公共点则24a，所以“2a”是“函数yx=的图象与圆C有四个公共点”的必要不充分条件，故选：B6．【分析】小球在下落过程中，共10

次等可能向左或向右落下，则小球落入格子的号码X服从二项分布，且落入格子的号码即向右次数，即1(10,)2XB，则1010(1()2)kPXkC==（0k=，1，2…，10），然后由二项式系数对称性即可得解

．【解答】解：小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下，则小球落入格子的号码X服从二项分布，且落入格子的号码即向右次数，即1(10,)2XB，所以10101010111()(1)(())222kkkkPXkCC−==−=（0k=，1，2…，10），由二项式系数对称性

知，当5k=时，10kC最大，故05k=．故选：B．【点评】本题考查了二项分布及二项式系数的性质的应用，属于中档题．7．【分析】从8个顶点中选4个，共有48C种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面

有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，用所有的结果减去不合题意的结果，得到结论．【解答】解：首先从8个顶点中选4个，共有48C种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，∴满足条件的结果有4488661258

CC−−=−=．故选：D．【点评】本题是一个排列问题同立体几何问题结合的题目，是一个综合题，这种问题实际上是以排列为载体考查正方体的结构特征．8．【分析】构造函数2()()xfxgxe=，由()2()0fxfx−得()0gx

，进而判断函数()gx的单调性，判断各选项不等式．【解答】解：2()()xfxgxe=，则22222()2()()2()()()xxxxfxefxefxfxgxee−−==，因为()()20fxfx−在R上恒成立，所以()0gx在R上恒成立，故()gx在R上单调递减，所以()(

)10gg−，220(1)(0)(1)1ffefee−−=−=，故A不正确；所以(1)(0)gg，即20(1)(0)ffee，即22(1)(0)fefe=，故B不正确；1()(0)2gg，即

101()(0)21ffee=，即1()2fe，故C不正确；1()(1)2gg，即121()(1)2ffee，即1(1)()2fef，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想，属中档题．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】BCD【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据复数加减法的几何

意义及坐标表示即可判断CD．【详解】对于A，设112iz=+，22iz=+，显然12||||zz=，但221234i34izz=−+=+，故A错；对于B，设1izab=+，2izcd=+，则12()izz

acbdadbc=−++，222222222212||()()zzacbdadbcacadbcdd=−++=+++，22222222222212||||zzabcdacadbcdd=++=+++，所以1212||||||zzzz=，故B对；对于CD，根据复数的几何意义可知，复数1z在复平

面内对应向量1OZ，复数2z对应向量2OZ，复数加减法对应向量加减法，故12||zz−和12||zz+分别为1OZ和2OZ为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，所以1212||||zzzz−+，1212||||||zzzz++，故C对，D对．故选：

BCD．10．【答案】AB【详解】对A，由图分析可知：()11022f+=−得()01f=−；328f=由()01f=−，得2sin1=−，即2sin2=−，又22−，所以4=−，又332sin2884f=−=

，所以32842k−=+，即得1623k=+，kZ，又02，所以2=，所以()2sin24fxx=−，故A正确；对B，()fx向右平移38个单位后得332sin22sin(2)2sin2884yfxxxx

=−=−−=−=−，为奇函数，故B正确；对于C，()2sin214hxx=−+，令24xk−=（kZ）得82kx=+（kZ），所以对称中心（82k+，1），kZ，故C不正确；对于D，由

()1fx=，得2sin242x−=，因为(0,)xm，所以2,2444xm−−−，令244m−=，34，94，114，174，194，解得4m=，2，54，32，94，52．又在

（0，m）上有6个根，则根从小到大为4，2，54，32，94，52，再令25244m−=，解得134m=，则第7个根为134，513,24m，故D错误．故选：ABC．11．【分析】设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜

率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断方法即可求解．【解答】解：对于A，令直线AB：xmya=+，A（1x，1y），B（2x，2y），联立22xmyaypx=+=，消x可得2220ypmypa−−=，则()2280pmpa=+△，122yypa=

−，122yypm+=，则21212()222xxmyyapma+=++=+，则11OAykx=，则直线OA：11yyxx=，∴M（a−，11ayx−），故12211122212220()BMaypayyx

yyypakxaxayxa+++====+++，同理0ANk=，∴BMAN∥，故A正确；对于B，如图，设AB中点Q（122xx+，122yy+），即Q（2pma+，pa−），则Q到直线xa=−的距离22dpma=+，以AB为直径的圆的半径22422212||11|

|2222ABmyypmpmpampa=+−=+++，所以222||(2)(2)4ABdpaapm−=+−，当2pa=时相切，当2pa时不相切，故B错误；对于C，设xa=−与x轴交于P，PONAOCSS=△△，MOPBOCSS=△△，则PONMOP

AOCBOCSSSS+=+△△△△，则AOBMONSS=△△，故C正确；对于D，111()2ANCSxay=+△，221()2BCMSxay=−+△，则1212121211()()(2)(2)44ANCBCMxaxaySymy

amyayyS=−++=−++△△221212121[2()4]4myyamyyayy=−+++22221[(2)2(2)4](2)(2)4mpaampmapapapma=−−++−=+，而121212||||2MCNMPCN

PCSSayySyay=+=−=−△△△，所以2222222211212()[()4]4(2)4MCMNANCBCayyayyySypapmaSS=−=+−=+=△△△，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了已知两点求斜率，由斜率判断两条直线平行，判断

直线与圆的位置关系，根据韦达定理求参数，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】230.23/100【分析】根据正态分布的概率性质求解即可．【详解】随机变量X服从正态分布N（5，2），则(5)0.5PX=又(56)0.27PX=，则(45)0.

27PX=，则(4)(5)(45)0.23PXPXPX=−=．故答案为：0.23．13．【答案】32【分析】根据题目条件可得sin3cos=，代入2222sin2sincossinsin2sinco

s++=+化简即可．【详解】已知向量(sin,cos)a=，(3,1)b=，若ab∥，则有sin3cos=，∴22222222sin2sincos9cos6cos153sinsin2sincos9

coscos102+++====++．故答案为：3214．【答案】1ln2e【分析】由题意可得2log()(2)kkxx，可令2ka=，则logxaxa成立，由xya=和logayx=互为反函数，可得图象关于直线yx=对称，可得logxaxax==有解

，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到k的最大值．【详解】不等式14log20kxxk−−，所以211log2022kxxk−，即为21log2kxxk，即有2log()(2)kkxx，可令2ka=，则logxaxa

成立，由xya=和logayx=互为反函数，可得图象关于直线yx=对称，可得logxaxax==有解，则lnlnxxa=，即lnlnxax=，可得lnxyx=，导数为21lnxyx−=，可得xe时，函数y递减，0xe时，函数y递增，则x

e=时，lnxyx=取得最大值1e，可得即有1lnae，所以1ln2ke，可得1ln2ke，即k的最大值为1ln2e．【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键，其一，是得到有2log()(2)kkxx，想

到令2ka=换元，则logxaxa成立；其二，通过转化得到lnlnxax=有解，再利用导数解答．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【答案】（1）3coscosAC−为定值，定值为1（2）14【详解】（1）法一：在AB

D△中，由余弦定理222cos2ADABBDAADAB+−=，得222(23)2cos2232BDA+−=，即2163cos8BDA−=①，同理，在BCD△中，22222cos222BDC+−=，即2

8cos8BDC−=②，−①②得3coscos1AC−=，所以当BD长度变化时，3coscosAC−为定值，定值为1；法二：在ABD△中，由余弦定理2222cosBDADABADABA=+−得222(23)22232cosBDA=

+−，即21683cosBDA=−，同理，在BCD△中，2222cos88cosBDCDCBCDCBCC=+−=−，所以1683cos88cosAC−=−，化简得3cos1cosAC−=，即3coscos1AC−=，所以当BD长度变化时，3coscosAC−为定值，定值为1

；（2）222222221211sinsin44SCADCSABABCD+=+222212sin4sin12sin44cosACAC=+=+−22212sin44(3cos1)24cos83cos12AAAA=+−−=−++，令cosAt=，(1,1)t−，所以223

24831224146yttt=−++=−−+，所以36t=，即cos36A=时，2212SS+有最大值为14．16．解析【小问1详解】因为()e4sin2xfxx=−+−，()e4cosxfxx=−，所以(0)4f=−，所以切线斜率为4−，即4a=−，

所切线方程为(4)1yx=−−+又(0)1f=−，所以切点坐标为（0，1−），代入得则11−=−+，解得1=．【小问2详解】由（1）得()e4sin1xfxx=−−，()e4cosxfxx=−，令()()e4cosxgxfxx==−，则()e4sinxgxx=+，当x

时，()e4cos0xfxx=−恒成立，所以()fx在[,)+上递增，所以()()e4sin1e50fxfx=−−−，因此()fx在[,)+无零点；当0x时，()e4sin0xgxx=+恒成立，所以()fx单调递增，又(0)30f=−，()e40f

=+，所以()fx在（0，π）上存在唯一的零点0x，当0(0,)xx，()0fx，()fx单调递减；当0(,)xx，()0fx，()fx单调递增；又(0)0f=，0()(0)0fxf

=，()e10f=−，因此()fx在（0，π）上仅有1个零点；综上，()fx在（0，+）上仅有1个零点．17．【详解】（1）因为ADCD=，E为AC的中点，所以ACDE⊥；在ABD△和CBD△中，

因为ADCD=，ADBCDB=，DBDB=，所以ABDCBD≌△△，所以ABCB=，又因为E为AC的中点，所以ACBE⊥；又因为DE，BE平面BED，DEBEE=，所以AC⊥平面BED，因为AC平面ACD，所以平面BED⊥平面

ACD．（2）连接EF，由（1）知，AC⊥平面BED，因为EF平面BED，所以ACEF⊥，所以12AFCSACEF=△，当EFBD⊥时，EF最小，即AFC△的面积最小．因为ABDCBD≌△△，所以2

CBAB==，又因为60ACB=，所以ABC△是等边三角形，因为E为AC的中点，所以1AEEC==，3BE=，因为ADCD⊥，所以112DEAC==，在DEB△中，222DEBEBD+=，所以BEDE⊥．以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Exyz−，则A（1，0，0）

，B（0，3，0），D（0，0，1），所以(1,0,1)AD=−，(1,3,0)AB=−，设平面ABD的一个法向量为(,,)nxyz=，则030nADxznABxy=−+==−+=取3y=，则(3,3,3)n=，又因为C（1−，0，0），F（0，34，34），所以331,,44CF

=，所以643cos,7||||7214nCFnCFnCF===，设CF与平面ABD所成的角的正弦值为02，所以43sincos,7nCF==，所以CF与平面ABD所成的角

的正弦值为437．18．【答案】（1）22143xy−=；（2）13−；（3）存在．【详解】（1）由对称性知，双曲线C过点（4，3），则22321691baab=−=，解得23ab==，所以双曲线C的方程为22143xy−=．（2）由（1）得1A（2−，0），

2A（2，0），设M（1x，1y），N（2x，2y），显然直线MN不垂直于y轴，设直线MN的方程为4xmy=+，由2243412xmyxy=+−=消去x得22(34)24360mymy−++=，显然2340m−，2144(4)0m=+，1222434myym

−+=−，1223634yym=−，则121223myyyy+=−，即12123()2myyyy=−+，所以112111121212122122212212223()22(2)(2)2123(2)(6)63()622yyyykxyxymymyyyykxyymy

myyyyyyx−+++−++======−+++−++−．（3）圆E：224410xyxy+−−−=上存在点S，使得过S作双曲线的两条切线互相垂直．若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0，设双曲

线的两条切线分别为11ykxn=+，22ykxn=+，将ykxn=+代入22143xy−=消去y得：()223484120kknxn−−−−=，由0=得2222644(34)(412)0knkn+−+=，解得2243nk=−，因

此221143nk=−，222243nk=−，设两条切线的交点坐标为（0x，0y），则01010202ykxnykxn−=−=，即有220101()43ykxk−=−，且220202()43ykxk−=−，即222010010(4

)230xkxyky−−++=，222020020(4)230xkxyky−−++=，于是1k，2k是方程2220000(4)230xkxyky−−++=的两根，而121kk=−，则2020314yx+=−−，即22001xy+=，从而两条切线们交点的轨迹为圆221x

y+=，而221xy+=的圆心为O（0，0），半径为1，圆E：222(2)(2)3xy−+−=的圆心E（2，2），半径为3，显然22||2222OE=+=，满足3131OE−+，即圆O与圆E相交，所以圆E：224410xyxy+−−−=上存在点S

，使得过S作双曲线的两条切线互相垂直．19．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）122nna−=+【详解】（1）∵{}na是等差数列，∴设11(1)[1(1)]1naandand=+−=−+−+，

令11(1)nband=−+−，1nc=，则{}nb是等差数列，{}nc是等比数列，所以数列{}na是“优分解”的．（2）因为数列{}na是“优分解”的，设nnnabc=+（*nN），其中1(1)nbbnd=+−，11nnccq−=（10c，0q），则

111(1)nnnnaaadcqq−+=−=+−，21211(1)nnnnaaacqq−+=−=−．当1q=时，20na=（*nN）；当1q时，2{}na是首项为21(1)cq−，公比为q的等比数列．（3）一方面，∵数列{}nS是“优分解”的，设nnnS

BC=+（*nN），其中1(1)nBBnD=+−，11nnCCQ−=（10C，0Q），由（2）知2121(1)nnSCQQ−=−因为12124SSSa=−==，23236SSSa=−==，所以21212SSS=−=．∴21(1)2CQ−=，

∴1Q，∴2{}nS是首项为2，公比为Q（1Q）的等比数列．另一方面，因为{}na是“优分解”的，设nnnabc=+（*nN），其中1(1)nbbnd=+−，11nnccq−=（10c，0q），11nnnnSSSa++=−=，212

11(1)nnnnnnSSSaadcqq+++=−=−=+−∵2{}nS是首项为2，公比为Q（1Q）的等比数列，∴0q，1q，且2222213()()()SSS=，∴223111[(1

)][(1)][(1)]dcqqdcqqdcqq+−=+−+−化简得31(1)0cdqq−=，∵10c，0q，1q，∴0d=，∴111(1)nnnnaaacqq−+=−=−，即数列{}na是首项1211aaa=−=，公比为q的等比数列．又∵23

22aaa=−=，∴2q=，又∵212S=，∴1(1)2dcqq+−=，∵0d=，2q=，∴解得11c=，∴111312bac=−=−=，