【文档说明】四川省内江市第六中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学（文科）试题+含解析.docx，共(17)页，155.277 KB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年四川省内江六中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.命题“∃𝑥>0，𝑥2−1>0”的否定是()A.∃𝑥≤0，𝑥2−1>0B.∃𝑥>0，𝑥2−1≤0C.∀𝑥>0，𝑥2−1≤

0D.∀𝑥≤0，𝑥2−1>02.椭圆𝑥22+𝑦24=1的离心率是()A.√22B.√2C.√62D.√633.下列说法正确的是()A.若𝑝∨𝑞为假命题，则𝑝，𝑞都是假命题B.“这棵树真高”是命题C.命题“∃𝑥∈𝑅使得𝑥2+2𝑥+3<0”的否定是：“∀𝑥∈

𝑅，𝑥2+2𝑥+3>0”D.在△𝐴𝐵𝐶中，“𝐴>𝐵”是“𝑠𝑖𝑛𝐴>𝑠𝑖𝑛𝐵”的充分不必要条件4.在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，异面直线𝐴1𝐵，𝐵1𝐶所成角的大小为()A.90°B.60°C.45°D.30°5.已知双曲线

𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为()A.6B.6√2C.9√2D.12√26.若直线𝑦=𝑚𝑥+2与焦点在𝑥轴上的椭圆𝑥29+𝑦2𝑛=1总有公共点，则𝑛的取

值范围是()A.(0,4]B.(4,9)C.[4,9)D.[4,9)∪(9,+∞)7.已知𝐹1，𝐹2分别为双曲线𝑥24−𝑦25=1的左、右焦点，𝑀为双曲线右支上一点，满足𝑀𝐹1⊥𝑀𝐹2，

则△𝐹1𝑀𝐹2的面积为()A.5B.10C.√14D.2√148.已知椭圆𝐸：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，过坐标原点的直线交𝐸于𝑃，𝑄两点，且𝑃𝐹2⊥𝐹2𝑄，且𝑆△𝑃𝐹2𝑄=4,|𝑃𝐹2|+|𝐹2𝑄|=6，

则椭圆𝐸的标准方程为()A.𝑥24+𝑦23=1B.𝑥25+𝑦24=1C.𝑥29+𝑦24=1D.𝑥29+𝑦25=19.当双曲线𝑀：𝑥2𝑚2−𝑦22𝑚+6=1(−2≤𝑚<0)的焦距取得最小值时，双曲线𝑀的渐近线方程为()A.𝑦=±√2

𝑥B.𝑦=±√22𝑥C.𝑦=±2𝑥D.𝑦=±12𝑥10.已知𝐹1，𝐹2是椭圆𝐶的两个焦点，𝑃为𝐶上一点，|𝑃𝐹1|=2|𝑃𝐹2|，若𝐶的离心率为√73，则∠𝐹1𝑃𝐹2=()A.150°B.120°C.90°D

.60°11.吹奏乐器“埙”(如图1)在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑦≥0,𝑎>𝑏>0且为常数)和半圆𝑥2+𝑦2=𝑏2(𝑦<0)

组成的曲线𝐶如图2所示，曲线𝐶交𝑥轴的负半轴于点𝐴，交𝑦轴的正半轴于点𝐺，点𝑀是半圆上任意一点，当点𝑀的坐标为(√22,−12)时，△𝐴𝐺𝑀的面积最大，则半椭圆的方程是()A.4𝑥23+𝑦22=1(𝑦≥0)B.16𝑥29+𝑦23=1(𝑦≥0

)C.2𝑥23+4𝑦23=1(𝑦≥0)D.4𝑥23+2𝑦23=1(𝑦≥0)12.已知𝐹1，𝐹2为椭圆𝐶1：𝑥2𝑎12+𝑦2𝑏12=1(𝑎1>𝑏1>0)与双曲线𝐶2：𝑥2𝑎22−�

�2𝑏22=1(𝑎2>0,𝑏2>0)的公共焦点，𝑀是它们的一个公共点，且∠𝐹1𝑀𝐹2=𝜋3，𝑒1，𝑒2分别为曲线𝐶1，𝐶2的离心率，则𝑒1𝑒2的最小值为()A.√32B.√3C.1D.12二、填空题（本大题

共4小题，共20.0分）13.过椭圆4𝑥2+𝑦2=1的一个焦点𝐹1的直线与椭圆交于𝐴，𝐵两点，则𝐴与𝐵和椭圆的另一个焦点𝐹2构成的周长为______．14.若命题“∀𝑥∈𝑅，𝑎𝑥2+�

�𝑥+1≥0”为假命题，则𝑎的取值范围是______．15.已知椭圆𝐶：𝑥225+𝑦216=1，𝐹1，𝐹2为椭圆的左右焦点.若点𝑃是椭圆上的一个动点，点𝐴的坐标为(2,1)，则|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|的范围为．16.已知�

�1，𝐹2是双曲线𝐶的两个焦点，𝑃为𝐶上一点，且∠𝐹1𝑃𝐹2=60°，|𝑃𝐹1|=𝜆|𝑃𝐹2|(𝜆>1)，若𝐶的离心率为√72，则𝜆的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过

程或演算步骤）17.(本小题10.0分)已知𝑝：𝑥2−7𝑥+10<0，𝑞：𝑥2−4𝑚𝑥+3𝑚2<0，其中𝑚>0．(1)若𝑚=4，且𝑝∧𝑞为真，求𝑥的取值范围；(2)若￢𝑞是￢𝑝的充分不必要条件，求实数𝑚的取值范围．18.(

本小题12.0分)求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程；(1)短轴长为2√5，离心率𝑒=23的椭圆；(2)与双曲线𝑦24−𝑥23=1具有相同的渐近线，且过点𝑀(3,−2)的双曲线．19.(本小题12.0分)已知直棱柱𝐴𝐵𝐶

𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的底面𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，且𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐷=2，𝐴𝐴1=√3，点𝐸为𝐵1𝐷1的中点．(1)证明：𝐴𝐸//平面𝐵𝐷𝐶1；(2)求三棱锥𝐸−𝐵𝐷𝐶1的体积．20.(本小题12.0分)已知椭圆�

�：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为√22，且过点𝑃(2,√6).(1)求椭圆𝐸的方程；(2)若直线𝑚过椭圆𝐸的右焦点和上顶点，直线𝑙过点𝑀(2,1)且与直线𝑚平行.设直线

𝑙与椭圆𝐸交于𝐴，𝐵两点，求𝐴𝐵的长度．21.(本小题12.0分)已知双曲线𝑥24−𝑦216=1．(1)试问过点𝑁(1,1)能否作一条直线与双曲线交于𝑆，𝑇两点，使𝑁为线段𝑆𝑇的中点，如果存在，求出其

方程；如果不存在，说明理由；(2)直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥+𝑚(𝑘≠±2)与双曲线有唯一的公共点𝑀，过点𝑀且与𝑙垂直的直线分别交𝑥轴、𝑦轴于𝐴(𝑥0,0)，𝐵(0,𝑦0)两点.当点𝑀运动时，求点𝑃(𝑥0,𝑦0)的

轨迹方程．22.(本小题12.0分)已知椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)上的点𝐴(1,32)到左、右焦点𝐹1，𝐹2的距离之和为4．(1)求椭圆𝐶的方程．(2)若在椭圆𝐶上存在两点𝑃，𝑄，使得直

线𝐴𝑃与𝐴𝑄均与圆(𝑥−2)2+(𝑦−32)2=𝑟2(𝑟>0)相切，问：直线𝑃𝑄的斜率是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．答案和解析1.【答案】𝐶【解析】解：命题“∃

𝑥>0，𝑥2−1>0”的否定是∀𝑥>0，𝑥2−1≤0．故选：𝐶．由特称命题的否定是全称命题即可得出答案．本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．2.【答案】𝐴【解析】解：由椭圆𝑥22+𝑦24=1，得𝑎2=4，𝑏2=2，∴𝑎=2，𝑐=√𝑎2−𝑏2=√2，∴

离心率𝑒=𝑐𝑎=√22．故选：𝐴．由椭圆方程易求椭圆的离心率．本题考查椭圆的离心率的求法，属基础题．3.【答案】𝐴【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于𝐴，由真值表分析，若𝑝∨𝑞为假命题，则𝑝，𝑞都是假命题，A

正确；对于𝐵，“这棵树真高”不是命题，B错误；对于𝐶，命题“∃𝑥∈𝑅使得𝑥2+2𝑥+3<0”的否定是：“∀𝑥∈𝑅，𝑥2+2𝑥+3≥0”，C错误；对于𝐷，在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴>𝐵，则有𝑎>𝑏，由正弦定理，必有𝑠𝑖�

�𝐴>𝑠𝑖𝑛𝐵，反之，若𝑠𝑖𝑛𝐴>𝑠𝑖𝑛𝐵，由正弦定理可得𝑎>𝑏，必有𝐴>𝐵，故“𝐴>𝐵”是“𝑠𝑖𝑛𝐴>𝑠𝑖𝑛𝐵”的充分必要条件，D错误．故选：�

�．根据题意，由命题的定义、复合命题的真值表以及充分必要的定义依次分析选项，综合可得答案．本题考查命题真假的判定，涉及命题的定义，属于基础题．4.【答案】𝐵【解析】解：因为𝐴1𝐵//𝐷1𝐶，所以∠𝐷1𝐶𝐵1为异面直

线𝐴1𝐵与𝐵1𝐶所成角的平面角，因为△𝐷1𝐶𝐵1为正三角形，所以∠𝐷1𝐶𝐵1=60°，即异面直线𝐴1𝐵，𝐵1𝐶所成角的大小为60°．故选：𝐵．先通过平行寻找线线角，再根据解三角形得结果．本题主要考查异面

直线所成的角，属于中档题．5.【答案】𝐵【解析】解：根据题意可得{𝑏𝑎=12𝑐=12𝑐2=𝑎2+𝑏2，解得𝑎=𝑏=3√2，∴该双曲线的虚轴长为2𝑏=6√2，故选：𝐵．根据双曲线的几何性质，方程思想，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，方程思想的应用，属基础题．6.【答案】𝐶

【解析】解：直线𝑦=𝑚𝑥+2恒过定点(0,2)，若直线与椭圆总有公共点，则定点(0,2)在椭圆上或椭圆内，∴4𝑛≤1，解得𝑛≥4或𝑛<0，又∵𝑥29+𝑦2𝑛=1表示焦点在𝑥轴上的椭圆，故0<�

�<9，∴𝑛∈[4,9)．故选：𝐶．由题得直线所过定点(0,2)在椭圆上或椭圆内，代入椭圆得到不等式，再结合椭圆焦点在𝑥轴上即可．本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．7.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查了双曲线

的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．设|𝑀𝐹1|=𝑚，|𝑀𝐹2|=𝑛，根据双曲线的定义和𝑀𝐹1⊥𝑀𝐹2，可求出𝑚𝑛，即可求出三角形的面积．【解答】解：设|𝑀𝐹1|=𝑚，|𝑀𝐹2|=𝑛

，∵𝐹1、𝐹2分别为双曲线𝑥24−𝑦25=1的左、右焦点，∴𝑚−𝑛=2𝑎=4，|𝐹1𝐹2|=2𝑐=6．∵𝑀𝐹1⊥𝑀𝐹2，∴𝑚2+𝑛2=4𝑐2=36，∴(𝑚−𝑛)2=𝑚2+𝑛2−2𝑚𝑛，即2𝑚𝑛=36−16

=20，∴𝑚𝑛=10，∴△𝐹1𝑀𝐹2的面积𝑆=12|𝑀𝐹2|⋅|𝑀𝐹1|=12×10=5．故选：𝐴．8.【答案】𝐶【解析】解：如图，连接𝑃𝐹1，𝑄𝐹1，由椭圆的对称性得四边形𝑃𝐹1𝑄𝐹2为平行四边形，所以|�

�𝐹2|+|𝐹2𝑄|=|𝑃𝐹2|+|𝑃𝐹1|=2𝑎=6，得𝑎=3，又因为𝑃𝐹2⊥𝐹2𝑄，所以四边形𝑃𝐹1𝑄𝐹2为矩形，设|𝑃𝐹2|=𝑚，|𝑄𝐹2|=𝑛，则𝑆△𝑃𝐹2𝑄=12𝑚𝑛=4，所以{𝑚+𝑛=6𝑚𝑛=8，解得{𝑚=4𝑛=2

或{𝑚=2𝑛=4；则|𝐹1𝐹2|=2√5，则𝑐=√5,𝑏2=𝑎2−𝑐2=4，椭圆𝐸的标准方程为𝑥29+𝑦24=1．故选：𝐶．根据椭圆的定义可求𝑎=3，结合三角形的面积可求𝑐，进而可得答案．本题考查椭圆的定义及其标准方程，考查运算求

解能力，属于基础题．9.【答案】𝐶【解析】解：由题意可得𝑐2=𝑚2+2𝑚+6=(𝑚+1)2+5，可得当𝑚=−1时，焦距2𝑐取得最小值，双曲线的方程为𝑥2−𝑦24=1，即有渐近线方程为𝑦=±2𝑥．故选：𝐶．由题意可得𝑐2=𝑚2+2𝑚+6=(𝑚

+1)2+5，可得𝑚=−1取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率．本题考查双曲线的渐近线的斜率的求法，注意运用二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．10.【答案】𝐵【解析】解：∵|𝑃𝐹1|=2|𝑃𝐹2，|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎

，∴|𝑃𝐹1|=43𝑎，|𝑃𝐹2|=23𝑎，∵𝑐𝑎=√73，∴𝑐=√73𝑎，不妨取𝑎=3，则𝑐=√7，|𝑃𝐹1|=4，|𝑃𝐹2|=2，∴cos∠𝐹1𝑃𝐹2=42+22−(2

√7)22×4×2=−12，∠𝐹1𝑃𝐹2∈[0°,180°]，∴∠𝐹1𝑃𝐹2=120°，故选：𝐵．由|𝑃𝐹1|=2|𝑃𝐹2，|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎，解得|𝑃𝐹1|，|𝑃𝐹2|，根据𝑐𝑎=√73，可得𝑐=√73𝑎，

利用余弦定理即可得出结论．本题考查了椭圆的定义及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】𝐷【解析】解：由点𝑀(√22,−12)在半圆上，所以𝑏=√32，𝐺(0,𝑎)，𝐴(−𝑏,0

)，要使△𝐴𝐺𝑀的面积最大，可平行移动𝐴𝐺，当𝐴𝐺与半圆相切于𝑀(√22,−12)时，𝑀到直线𝐴𝐺的距离最大，此时𝑂𝑀⊥𝐴𝐺，即𝑘𝑂𝑀⋅𝑘𝐴𝐺=−1；又𝑘𝑂𝑀=−12√22=−√22,𝑘𝐴𝐺=𝑎𝑏，∴−√22⋅𝑎𝑏=

−1，∴𝑎=√2𝑏=√62，所以半椭圆的方程为4𝑥23+2𝑦23=1(𝑦≥0)．故选：𝐷．由点𝑀(√22,−12)在半圆上，可求𝑏，然后求出𝐺，𝐴，根据已知△𝐴𝐺𝑀的面积最大的条件可知，𝑂𝑀⊥𝐴𝐺，即𝑘𝑂𝑀⋅𝑘𝐴𝐺=−1，代入可求�

�，进而可求椭圆方程．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，圆的方程的应用，是中档题．12.【答案】𝐴【解析】解：不妨设点𝑀为第一象限的点，由椭圆的定义得|𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2|=2𝑎1，由双曲线的

定义知，|𝑀𝐹1|−|𝑀𝐹2|=2𝑎2，解得|𝑀𝐹1|=𝑎1+𝑎2，|𝑀𝐹2|=𝑎1−𝑎2，在△𝑀𝐹1𝐹2中，由余弦定理得cos∠𝐹1𝑀𝐹2=|𝑀𝐹1|2+|𝑀𝐹2|2−|𝐹1𝐹2|22|𝑀𝐹1|⋅|𝑀𝐹2|，即cos

𝜋3=(𝑎1+𝑎2)2+(𝑎1−𝑎2)2−4𝑐22(𝑎1+𝑎2)(𝑎1−𝑎2)，整理得4𝑐2=𝑎12+3𝑎22，∴4=1𝑒12+3𝑒22≥2√1𝑒12×3𝑒22，∴𝑒1𝑒2≥√32．故选：𝐴．设点𝑀为第

一象限的点，结合椭圆和双曲线的定义，求得|𝑀𝐹1|，|𝑀𝐹2|，再在△𝑀𝐹1𝐹2中，由余弦定理，推出4𝑐2=𝑎12+3𝑎22，可得4=1𝑒12+3𝑒22，运用基本不等式可求𝑒1𝑒2的最小值．本题考查椭圆和双曲线的定

义与几何性质，还运用了余弦定理、基本不等式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：将椭圆4𝑥2+𝑦2=1化为标准方程为𝑥214+𝑦2=1，则𝑎2=1，𝑎=1，∴△𝐴𝐵𝐹2的周长为|𝐴�

�1|+|𝐴𝐹2|+|𝐵𝐹1|+|𝐵𝐹2|=2𝑎+2𝑎=4𝑎=4．故答案为：4．将椭圆方程化为标准方程，可得𝑎=1，利用椭圆的定义可得△𝐴𝐵𝐹2的周长为4𝑎，由此得解．本题考查椭圆的定义及其标准方程，考查运管求解能力，属于基础题．14.【答案】(−∞,0)∪

(4,+∞)【解析】解：当𝑎=0时，命题“∀𝑥∈𝑅，𝑎𝑥2+𝑎𝑥+1≥0”为真命题，不满足题意；当𝑎≠0时，命题“∀𝑥∈𝑅，𝑎𝑥2+𝑎𝑥+1≥0”为真命题时，则{𝛥=𝑎2−4𝑎≤0𝑎>0，解得0

<𝑎≤4，命题“∀𝑥∈𝑅，𝑎𝑥2+𝑎𝑥+1≥0”为假命题，则𝑎>4或𝑎<0，综上所述，𝑎的取值范围为(−∞,0)∪(4,+∞)．故答案为：(−∞,0)∪(4,+∞)．先求得命题为真时的等价条件，取补集即可得到为假命题时的参数取值范围．本题主要考查全称量词和全称命题，属于

基础题．15.【答案】[10−√2,10+√2]【解析】解：由椭圆标准方程可知𝑎=5，𝑐=3，𝐹1(−3,0)，𝐹2(3,0)，又点𝑃在椭圆上，根据椭圆定义可得|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎=10，所

以|𝑃𝐹1|=10−|𝑃𝐹2|，所以|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|=10+|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹2|，易知−|𝐴𝐹2|≤|𝑃𝐴|−|𝑃𝐹2|≤|𝐴𝐹2|，当且仅当𝐴，𝑃，𝐹2三点共线时等号成立，又|𝐴𝐹2|=√

(3−2)2+(0−1)2=√2，所以10−√2≤|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|≤10+√2，即|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|的范围为[10−√2,10+√2]．故答案为：[10−√2,10+√2]．利用椭圆定义可得|𝑃

𝐹1|=10−|𝑃𝐹2|，再根据三角形三边长的关系可知，当𝐴，𝑃，𝐹2共线时即可取得|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|最值．本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题．16.【答案】3【解析】解：由|𝑃𝐹1|=�

�|𝑃𝐹2|(𝜆>1)及双曲线的定义可得|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=(𝜆−1)|𝑃𝐹2|=2𝑎，所以|𝑃𝐹2|=2𝑎𝜆−1，|𝑃𝐹1|=2𝜆𝑎𝜆−1，因为∠𝐹1𝑃𝐹2=60°，在△𝐹1𝑃𝐹2中，由余弦定理可得

4𝑐2=4𝑎2(𝜆−1)2+4𝜆2𝑎2(𝜆−1)2−2×2𝑎𝜆−1⋅2𝜆𝑎𝜆−1⋅𝑐𝑜𝑠60°，即(𝜆−1)2𝑐2=(𝜆2−𝜆+1)𝑎2，所以𝑒2=𝑐2𝑎2=𝜆2−𝜆+1(𝜆−1)2=74，即3𝜆2−10𝜆+3=0，

解得𝜆=3或𝜆=13(舍去)．故答案为：3．根据双曲线的定义及条件，表示出|𝑃𝐹1|，|𝑃𝐹2|，结合余弦定理求解即可．本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．17.【答案】解：(

1)由𝑥2−7𝑥+10<0，解得2<𝑥<5，所以𝑝：2<𝑥<5；又𝑥2−4𝑚𝑥+3𝑚2<0，因为𝑚>0，解得𝑚<𝑥<3𝑚，所以𝑞：𝑚<𝑥<3𝑚．当𝑚=4时，𝑞：4<𝑥<12，又𝑝∧𝑞为真，𝑝，𝑞都为真，所以取交集，得4<𝑥<5，故𝑥的取值范围

为(4,5)；(2)由¬𝑞是¬𝑝的充分不必要条件，即¬𝑞⇒¬𝑝，¬𝑝⇏¬𝑞，其逆否命题为𝑝⇒𝑞，𝑞⇏𝑝，由(1)𝑝：2<𝑥<5，𝑞：𝑚<𝑥<3𝑚，所以{𝑚≤23𝑚≥5𝑚>0(等

号不能同时取)，即：53≤𝑚≤2．故实数𝑚的取值范围是[53,2]．【解析】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，是一道中档题．(1)分别解出关于𝑝，𝑞的不等式，根据𝑝∧𝑞为真，𝑝

，𝑞都为真，求出𝑥的范围即可；(2)由¬𝑞是¬𝑝的充分不必要条件，即¬𝑞⇒¬𝑝，¬𝑝⇏¬𝑞，其逆否命题为𝑝⇒𝑞，𝑞⇏𝑝，求出𝑚的范围即可．18.【答案】解：(1)由题意可知，𝑏=√5,𝑐𝑎=23，因为𝑎2=𝑏2+𝑐

2，可得𝑎=3，若焦点在𝑥轴上，椭圆的标准方程为𝑥29+𝑦25=1，若焦点在𝑦轴上，椭圆的标准方程为𝑦29+𝑥25=1；(2)设所求双曲线方程为𝑦24−𝑥23=𝜆(𝜆≠0)，将点(3,−

2)代入得𝜆=−2，所以双曲线方程为𝑦24−𝑥23=−2，即𝑥26−𝑦28=1．【解析】(1)根据𝑏以及离心率的表达式计算出𝑎的值，判断焦点位置，求解出椭圆方程；(2)设方程为𝑦24−𝑥23=𝜆(𝜆≠0)，代入点求出𝜆；即可得出方程

．本题考查了椭圆和双曲线标准方程的计算，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：连接𝐴𝐶交𝐵𝐷于点𝐹，连接𝐶1𝐹，在直四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐴1//𝐶𝐶1，𝐴𝐴1=𝐶𝐶1，∴四边形𝐴𝐴

1𝐶1𝐶为平行四边形，∴𝐴𝐶//𝐴1𝐶1，𝐴𝐶=𝐴1𝐶1，又底面𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，∴点𝐹为𝐴𝐶的中点，𝐸为𝐵1𝐷1的中点，即点𝐸为𝐴1𝐶1的中点，∴𝐶1𝐸//𝐴𝐹，𝐶1𝐸=𝐴�

�，∴四边形𝐴𝐹𝐶1𝐸为平行四边形，∴𝐴𝐸//𝐶1𝐹，又𝐶1𝐹⊂平面𝐵𝐷𝐶1，𝐴𝐸⊄平面𝐵𝐷𝐶1，∴𝐴𝐸//平面𝐵𝐷𝐶1；(2)在直棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中𝐵𝐵1⊥平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，𝐴1𝐶1⊂平面𝐴

1𝐵1𝐶1𝐷1，∴𝐵𝐵1⊥𝐴1𝐶1，又上底面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1为菱形，∴𝐵1𝐷1⊥𝐴1𝐶1，又𝐵1𝐷1∩𝐵𝐵1=𝐵1，𝐵1𝐷1，𝐵𝐵1⊂平面𝐵𝐵1𝐷1𝐷，∴𝐴1𝐶1⊥平面𝐵𝐵1𝐷1𝐷，∵在△𝐴𝐵𝐷中

，𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐷=2，且点𝐹为𝐵𝐷的中点，∴𝐴𝐹=√22−(2×12)2=√3，∴𝐶1𝐸=√3，∴𝑉𝐸−𝐵𝐷𝐶1=𝑉𝐶1−𝐵𝐷𝐸=13𝑆△𝐵𝐷𝐸⋅𝐶1𝐸=13×12×2×√3×√3=1．【解析

】(1)根据平行四边形的判定定理和性质，结合菱形的性质、线面平行的判定定理，即可证明；(2)根据菱形的性质、直棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，进行计算，即可求解．本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，三棱锥的体积的求解，属中档题．20.【

答案】解：(1)由题意可得：𝑐𝑎=√22，4𝑎2+6𝑏2=1，𝑎2=𝑏2+𝑐2，联立解得𝑎2=16，𝑏2=𝑐2=8，∴椭圆𝐸的方程为𝑥216+𝑦8=1．(2)椭圆𝐸的右焦点(2√2,0)，上顶点(0,2√2)，∴𝑘𝑚=2√2−2

√2=−1，∵直线𝑙过点𝑀(2,1)且与直线𝑚平行，∴直线𝑙的方程为𝑦−1=−(𝑥−2)，化为𝑥+𝑦−3=0．设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立{𝑥+𝑦−3=0𝑥2+2𝑦2=16，化为：3𝑥

2−12𝑥+2=0，∴𝑥1+𝑥2=4，𝑥1𝑥2=23，∴|𝐴𝐵|=√(1+1)[(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2]=√2×(42−4×23)=4√153．【解析】(1)由题意可得：𝑐𝑎=√22，4𝑎2+6𝑏2=1，𝑎2=𝑏2+𝑐2，联立解得𝑎2，𝑏2，𝑐

2，即可得出椭圆𝐸的方程．(2)椭圆𝐸的右焦点与上顶点，可得斜率𝑘𝑚，根据直线𝑙过点𝑀(2,1)且与直线𝑚平行，可得直线𝑙的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及根与系数的的关系即可得出|𝐴𝐵|．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、相互平

行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)点𝑁不能是线段𝑆𝑇的中点，假定过点𝑁(1,1)能作一条直线与双曲线交于𝑆，𝑇两点，使𝑁为线段𝑆𝑇的中点，显然，直线𝑆𝑇的斜率存在，设直线𝑆�

�的方程为𝑦−1=𝑛(𝑥−1)，即𝑦=𝑛𝑥−𝑛+1，而双曲线𝑥24−𝑦216=1渐近线的斜率为±2，即𝑛≠±2，联立{𝑦=𝑛𝑥−𝑛+1𝑥24−𝑦216=1，得(4−𝑛2)𝑥2+2𝑛(𝑛−1)𝑥−(𝑛−1)2−16=0，则有−𝑛(𝑛−1)4−𝑛

2=1，解得𝑛=4，此时𝛥′=4𝑛2(𝑛−1)2−4(𝑛2−4)[(𝑛−1)2+16]=4×16×9−4×12×25<0，即方程组无解，所以过点𝑁(1,1)不能作一条直线与双曲线交于𝑆，𝑇两点，使𝑁为线段𝑆𝑇的中点．(2)依题意，由{

4𝑥2−𝑦2=16𝑦=𝑘𝑥+𝑚，得(4−𝑘2)𝑥2−2𝑘𝑚𝑥−(𝑚2+16)=0，因为𝑘≠±2，且𝑀是双曲线与直线𝑙唯一的公共点，则有𝛥=(−2𝑘𝑚)2+4(4−𝑘2)(𝑚

2+16)=0，即𝑚2=4(𝑘2−4)，点𝑀的横坐标为𝑘𝑚4−𝑘2=−4𝑘𝑚，点𝑀(−4𝑘𝑚,−16𝑚)，𝑘𝑚≠0，过点𝑀与直线𝑙垂直的直线为𝑦+16𝑚=−1𝑘(𝑥+4𝑘𝑚)，因此𝑥0=−20𝑘𝑚，𝑦0=−20𝑚，𝑥0

2100−𝑦0225=4𝑘2𝑚2−16𝑚2=4(𝑘2−4)𝑚2=1，𝑦0≠0，所以点𝑃(𝑥0,𝑦0)的轨迹方程为𝑥2100−𝑦225=1，𝑦≠0．【解析】(1)设出直线𝑆𝑇的方程，与双曲

线方程联立，由判别式及给定中点坐标计算判断作答．(2)联立直线𝑙与双曲线的方程，由给定条件得到𝑚2=4(𝑘2−4)，求出𝑀的坐标及过点𝑀与直线𝑙垂直的直线方程，即可求解作答．本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关

系，方程思想，属中档题．22.【答案】解：(1)因为椭圆上的点到左、右焦点的距离之和为4，所以2𝑎=4，解得𝑎=2，又点𝐴(1,32)在椭圆𝐶上，解得𝑏2=3，则椭圆𝐶的方程为𝑥24+𝑦23

=1；(2)易知点𝐴在圆(𝑥−2)2+(𝑦−32)2=𝑟2(𝑟>0)外，且直线𝐴𝑃与𝐴𝑄的斜率均存在，不妨设直线𝐴𝑃，𝐴𝑄的方程分别为𝑦−32=𝑘1(𝑥−1)，𝑦−32=𝑘2(𝑥

−1)，因为直线𝐴𝑃与圆(𝑥−2)2+(𝑦−32)2=𝑟2(𝑟>0)相切，所以𝑑1=|𝑘1|√1+𝑘12=𝑟，又直线𝐴𝑄与圆(𝑥−2)2+(𝑦−32)2=𝑟2(𝑟>0)相切，

所以𝑑2=|𝑘2|√1+𝑘22=𝑟此时|𝑘1|√1+𝑘12=|𝑘2|√1+𝑘22，解得𝑘2=−𝑘1，联立{𝑥24+𝑦23=1𝑦−32=𝑘1(𝑥−1)，消去𝑦并整理得(3+4𝑘12)𝑥2+4𝑘1(3−2𝑘

1)𝑥+4𝑘12−12𝑘1−3=0，设𝑃(𝑥𝑃,𝑦𝑃)，𝑄(𝑥𝑄,𝑦𝑄)，因为点𝐴(1,32)也是直线𝐴𝑃与椭圆的交点，所以𝑥𝑃=4𝑘12−12𝑘1−33+4𝑘12，

𝑦𝑃=𝑘1𝑥𝑃+32−𝑘1，又𝑘2=−𝑘1，则𝑥𝑄=4𝑘12+12𝑘1−33+4𝑘12，𝑦𝑄=−𝑘1𝑥𝑄+32+𝑘1此时直线𝑃𝑄的斜率𝑘𝑃𝑄=𝑦𝑄−𝑦𝑃𝑥𝑄−𝑥𝑃=−𝑘1(𝑥𝑄+𝑥𝑃)+2𝑘1𝑥𝑄−𝑥𝑃=−

𝑘1(4𝑘12+12𝑘1−33+4𝑘12+4𝑘12−12𝑘1−33+4𝑘12)+2𝑘14𝑘12+12𝑘1−33+4𝑘12−4𝑘12−12𝑘1−33+4𝑘12=−𝑘1(8�

�12−6)+2𝑘1(3+4𝑘12)24𝑘1=12．故直线𝑃𝑄的斜率为定值12．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com