【文档说明】浙江省杭州学军中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(16)页，789.783 KB，由小赞的店铺上传

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杭州学军中学2024学年第一学期期中考试高一数学试卷命题人：王馥审题人：顾侠一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1.已知集合U=R，集合02,31AxxBxx=

=−，则图中阴影部分表示的集合为（）A.()3,0−B.()1,0−C.(0,1)D.(2,3)【答案】A【解析】【分析】根据交集、补集的知识求得正确答案.【详解】|0UAxx=ð或2x

，又31Bxx=−，阴影部分表示()()3,0UAB=−ð.故选：A2.命题“0x，使得22xx+”的否定为（）A.0x，22xx+B.0x，使得22xx+C.0x，22xx+D.0x，使得22xx+【答案】C【解析】【分析】利用含有一

个量词命题的否定形式，改量词、否结论即可判断出选项．【详解】由命题“0x，使得22xx+”，则命题的否定为“0x，22xx+”．故选：C．3.函数()221xfxx=−的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数

值排除一个选项后得正确结论．【详解】由题可得函数()fx定义域为|1xx，且()()221xfxfxx−−==−−，故函数为奇函数，故排除BD，由()4203f=，1143234f==−−，故C错误，故选：A.4.如图，把直截面半

径为25cm的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为x（单位：cm），面积为y（单位：2cm），则把y表示为x的函数的解析式为（）A.22500yxx=−B.22500yxx=−，050xC2625yxx=−D.2625yx

x=−，050x【答案】B【解析】【分析】根据题意建立函数关系即可..【详解】如图，圆的直径250cmACOC==，矩形的边cmABx=.∵90ABC=，∴由勾股定理，得22500cmBCx=−，∴矩形ABCD的面积222500cmyABBCxx==

−，又∵050ABAC=，∴050x.故选：B.5.函数()rfp=的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是A.)5,0,2,6−和5,02,6−B.)5,02,6−和

5,0,2,6−C.)5,0,2,6−和()()5,02,6−D.)5,02,6−和()()5,0,2,6−【答案】D【解析】【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断.【详解】定

义域是函数自变量p的取值，为)5,02,6−，函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即()()5,0,2,6−.故选：D6.镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄．．．．．．．．

．．，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为()33log5,3,2lg20.28,lg30.48，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片．．

．．．．．．．的同学分别为（）A.丙同学和甲同学B.乙同学和甲同学C.甲同学和丙同学D.乙同学和丙同学【答案】C【解析】【分析】根据对数运算公式，以及幂的运算公式，即可比较大小.详解】3lg51lg210.28log51.5lg3lg30.48−−===，()633

9=，()628=，所以332，()3331.53，所以33log532，所以甲同学制作的最薄，丙同学制作的最厚.故选：C7.函数243,3()24312,3xxxfxxxx+−=−+−+的值域为（）A.(,8−B.(,6−C.)2,+D.)4

,+【答案】A【解析】【分析】分段函数分段考虑，利用换元法分别求每段函数的值域，再求其并集即得.【详解】当3x时，设3tx=−，0t，则23xt=−,22()()2(3)42(1)8fxgtttt

==−+=−−+,因0t，则()()8fxgt=；当3x时，设3,0uxu=−，则23xu=+,22()()2(3)4122(1)8fxhuuuu==−+++=−−+因0u，则()()8fxhu=综上，函数()fx的值域为(,8−.【.故选：A.8.

已知函数()fx在定义域()0,+上单调，若对任意的()0,x+，都有()()ln1effxx−=+，则方程()210xfxx−−=的解的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】先求得()fx的表达式，然后根据零点存在性定理等知识求得正确答案

.【详解】设()lntfxx=−①，则()1eft=+，由①令xt=得()lnfttt=+，()ft在()0,+上单调递增，()e1ef=+，题意et=，所以()lnefxx=+.对于方程()210xfxx−−=，即()lne210xxx+−−=，两边除以x得1lne20xx−+

−=，函数()()1lne20xxxgx−+−=，()gx在()0,+上单调递增，()()11e30,ee10egg=−=−−，所以()gx有唯一零点在区间()1,e，所以方程()210xfxx−−=有唯一解.故选：B【点

睛】思路点睛：设定函数并分析单调性：首先设定函数（换元法），并根据定义域和题目条件，分析函数的单调性.利用零点存在性定理判断解的个数：结合函数的单调性和零点存在性定理，判断方程解的个数，从而得出最终结论.二、选择题：本题

共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确的有（）A.R,0xxx+B.“1a”是“2aa”的充分不必要条件C.“0ab=”是“220ab+=”的充要条件D.“ab”是“110ab

”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】【分析】根据命题，充分，必要条件的定义，即可判断选项.【详解】A.R,0xxx+，故A正确；B.由2aa，解得：1a或0a，所以“1a”是“2aa”的充分不必要条件，故B正确；C.0a=，1b=，则0ab=，但2210ab

+=，反过来220ab+=能推出0ab==，所以“0ab=”是“220ab+=”的必要不充分条件，故C错误；D.1a=，1b=−，11ab，所以ab推不出110ab，若110ab，则0ab，所以“ab”是“110ab”的必

要不充分条件，故D正确.故选：ABD10.已知()221xxafx+=−是奇函数，则（）A.1a=B.()fx在(),0x−上单调递增C.()fx的值域为()(),11,−−+D.()()33xff的解集为1,2−

x【答案】ACD【解析】【分析】对于A：根据奇函数的定义分析求解；对于B：利用分离常数法结合指数函数单调性分析判断；对于B：根据指数函数值域结合不等式性质分析判断；对于D：根据()fx的单调性分析求解.【详解】令210x−

，解得0x，可知()fx的定义域为()(),00,−+，因为()221xxafx+=−是奇函数，则()()()()12122221102121212121−−−−+++++−=+=−==−=−−−−−xxxxxxxxxxaaa

aafxfxa，可得1a=，故A正确；因为()21212121xxxfx+==+−−，可知21xy=−在(),0−上单调递增，且210xy=−在(),0−上恒成立，所以()fx在(),0−上单调递减

，故B错误；因为()()211,00,x−−+，则()()1,10,21−−+−Ux，即()()2,20,21−−+−Ux，可得()()21,11,21+−−+−Ux所以()fx的值域为()(),11,−−+，故C正确；因为3,3x均

为正数，且()fx在()0,+上单调递减，由()()33xff，可得12333=x，解得12x，所以()()33xff的解集为1,2−x，故D正确；故选：ACD.11.已知函数()fx是定义在R上的函数.对任意,Rab

，总有()()()fabfafb+=+，()213f−=，且0x时，()0fx恒成立.则（）A.()423f=−B.()fx是偶函数C.()fx在()0,+上单调递减D122023202320243339fff+++=−（注：()1122nn

n++++=）【答案】ACD【解析】【分析】求得()2f的值判断选项A；利用函数奇偶性定义判断选项B；利用函数单调性定义判断选项C；求得122023333fff+++的值判断选项D.【详解】由对任意,Rab，

总有()()()fabfafb+=+，.令==0ab，则()()()0000fff+=+，则()0=0f，令,axbx==−，则()()()fxxfxfx−=+−，则有()()()00fxfxf+−==，故()()fxfx−=−则()fx是奇函数，故选项B判断错误；又由()213f−=，可

得()213f=−，则()()()()22421111333ffff=+=+=−+−=−，故选项A判断正确；设任意()12,0,xx+，12xx，则()()()()()121212fxfxfxfxfxx−=+−=−，又120xx−，则

()120fxx−，则()()12fxfx，则()fx在()0,+上单调递减.故选项C判断正确；122023122023333333ffff+++=+++122023120232024202310123

323fff+++===1202310123f=，又由()111111213333333fffff++=++==−，可得1239f=

−则22023202420231012202310123991f=−=−故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.集合0,0,1,2,3,ABACB==，则

符合条件的集合C的个数为______．【答案】8【解析】【分析】根据子集的知识求得正确答案.【详解】依题意，集合0,0,1,2,3,ABACB==，所以0C，C是0与1,2,3的子集的并集，所以集合C的个数为

328=.故答案为：813.已知a，0b且3abab=++，则ab+的取值范围为________.【答案】)6,+【解析】【分析】利用基本不等式变形，然后解不等式即可.【详解】由题意,0ab，且232ababab+=++，当且仅当3ababab=

=++时，即3ab==时等号成立，令0tab=+，则上式为：232tt+，即24120tt−−，解得6t或2t−（舍），所以ab+的取值范围为)6,+.故答案为：)6,+.14.已知函数

()12423xxfxmm+=−+−，若()fx的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数m的取值范围为_________．【答案】(13,22−【解析】【分析】根据()fx的图象上存在不同的两个点

关于原点对称列方程，利用换元法来求得m的取值范围.【详解】()()222223xxfxmm=−+−，由于()fx的图象上存在不同的两个点关于原点对称，所以𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)有解，即()()222222232223xxxxmmmm−−−+−=−+−+，()()2221122

226022xxxxmm+−++−=①，令11222222xxxxt=+=，当且仅当12,02xxx==时等号成立，则()()2221222xxt−=+，则①可化为222280tmtm−+

−=，依题意，此方程在()2,+上有解，当()222Δ44284320mmm=−−=−+=，解得22m=，当22m=时，()22428220,22tttt−+=−==，符合题意.当22m=−时，()22428220,22

tttt++=+==−，不符合题意.当24320m=−+，即2222m−②时，设𝑔(𝑡)=𝑡2−2𝑚⋅𝑡+2𝑚2−8(𝑡>2)，()gt的开口向上，对称轴tm=，要使()gt在()2,+上有零点，则()2244280gmm=++−或{𝑔(2)=4

−4𝑚+2𝑚2−8≤0𝑚>2，解得1313m−+或13m+，结合②得1322m−.综上所述，m的取值范围是(13,22−.故答案为：(13,22−【点睛】易错点睛：对称点条件正确使用：在列出关于原点对称的条件时，容易因条件

代入不准确而导致方程错误.在运用对称点条件时，需确保每个代入步骤的符号处理正确.一元二次方程的解集判断：在判断一元二次方程的解的存在性时，特别是对参数的范围进行分类讨论时，容易遗漏某些特殊情况或边界条件.因此，在讨论每种情况时，要确保所有可能性都得到了充分考虑.四、解答题：

本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合{|15},{|10}AxxBxax==−．（1）若12a=，求()RABð；（2）从①ABA=；②()RRBA=ð；③()RAB=ð这三个条件中

任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答．问题：若_________，求实数a的取值范围．【答案】（1）R{|12}ABxx=ð（2）选择见解析，1aa的【解析】【分析】（1）依次求集合B和其

补集RBð，再利用交集运算即得；（2）若选①，由题设得AB，就参数a分类讨论，借助于数轴表示即可求得a的范围；若选②，先求RAð，就参数a分类讨论，借助于数轴表示即可求得a的范围；若选③，就参数a分

类讨论，借助于数轴表示即可求得a的范围》【小问1详解】当12a=时，1{|10}{|10}{|2}2Bxaxxxxx=−=−=，则R{|2}Bxx=ð，则R{|12}ABxx=ð．【小问2详解】若选①，ABA=，可得AB，则B.当0a时，1{|}Bxxa=

，由1{|15}{|}xxxxa，可得15a，故a；当0a时，1{|}Bxxa=，由1{|15}{|}xxxxa，可得11a，故1a.综上，实数a的取值范围为1aa.若选②，因R{|1Axx=ð或

5}x，又()RRBA=ð，则B.当0a时，1{|}Bxxa=，需使15a，故a；当0a时，1{|}Bxxa=，需使11a，解得1a.综上，实数a的取值范围为1aa.若选③，因为RAB=ð，当0a=

时，B=，RRB=ð，不合题意；当0a时，1{|}Bxxa=，需使15a，故a；当0a时，1{|}Bxxa=，需使11a，解得1a.综上，实数a的取值范围为1aa．16.设,,R,0,1abcabcabc++==．注：2222

()222abcabcabbcca++=+++++（1）证明：0abbcca++；（2）若abc，求a的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）根据公式2222()222abcabcabbcca++=+++++，结合条件，即可求解；（2）首先根据条件

得到1,abcabc=−−=，再利用,bc表示3a，最后根据基本不等式，即可求解.【小问1详解】2222()2220abcabcabacbc++=+++++=，()22212abbccaabc++=−++．1,,,abcabc=均不为0，则2220abc++

，()222120abbccaabc++=−++．【小问2详解】由0,1abcabc++==可知0,0,0abc．222321()222,,4bcbcbcbcbcabcaaaabcbcbcbc++++=−−=====，当且仅当bc=时，取等号，34a．a的最

小值为34.17.环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．绵阳某化工厂每一天中污水污染指数()fx与时刻x（时）的函数关系为()()25log121,0,24fxxaax=+−++其中a为污水治理调节参数，

且()0,1a（1）若12a=，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中()fx的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数应控制在什么范围内？【答案】（1）一天中早上4点该厂的污水污染指数最低;（2）调节参数a应控制在2(0,

]3内.【解析】【详解】试题分析：（1）12a=时，()()251log122fxx=+−+，[024]x，，令()251log102x+−=，解得x即可得出；（2）利用换元法()25log1tx=+，则01t，故将𝑓(𝑥)表示成关于t的分段函数()31,0{1,1tatagttaat

−++=++，再利用函数的单调性即可得出.试题解析：（1）因为12a=,则()()251log1222fxx=+−+.当()2fx=时，()251log102x+−=,得121255x+==，即4x=.所以一天中早上4点

该厂的污水污染指数最低.（2）设()25log1tx=+，则当024x时，01t.设()21,0,1gttaat=−++,则()31,0{1,1tatagttaat−++=++,显然()gt在0,a上是减函数，在,1a上是增函数，则()()()maxm

ax0,1fxgg=,因为()()031,12gaga=+=+,则有()()0313{123gaga=+=+，解得23a，又()0,1a，故调节参数a应控制在20,3内.18.已知函数()()222,21fxxaxagxx=−+−=−，函数()()()min,Fxfxgx=

，其中,min,,ppqpqqpq=．（1）是否存在,ab，使得曲线()()yfxgx=关于直线xb=对称？若存在求,ab的值；（2）若6a，①求使得()()Fxfx=成立的x的取值范围；②求()Fx在区间0,6上的最大值()Ma．

【答案】（1）存在，2,1ab==（2）①2,a；②()344,682,8aaMaa−=．【解析】【分析】（1）根据()(),fxgx的对称轴来求得正确答案.（2）①，对x进行分类讨论，由一元二次不等式的解来求得x的范围.②，根据①的结论求得()Fx的表达式，对x进行分类讨论，由

此来求得最大值()Ma.【小问1详解】存在符合题意的,ab，理由如下：()fx的对称轴是直线2ax=，()gx的对称轴是直线1x=，由于曲线()()yfxgx=关于直线xb=对称，所以12ab==，解得2,1ab=

=.【小问2详解】①，当1x时，22222xaxax−+−−，所以()()20xxa−−，解得2,xa；当1x时，22222xaxax−+−−，所以()()2220xxa+−−，因为220,20,0xax−−，所以()()2220xxa+−−，

所以22222xaxax−+−−无解，综上所述：x的取值范围是2,a；②，由①可知：()()(),02,26gxxFxfxx=，当02x时，()22,0122,12xxgxxx−=−，所以()max()02gx

g==，所以max()2Fx=；当26x时，()fx的对称轴为32ax=，所以()()max()max2,6Fxff=，且()()22,6344ffa==−，所以max()max2,344Fxa=−，令3442,8aa−==，所以()max344,682,8aaFx

a−=，综上可知：()344,682,8aaMaa−=．【点睛】思路点睛：利用对称性求解参数：首先通过曲线的对称性条件，找出符合对称要求的参数值，这一步奠定了后续不等式求解的基础.分类讨

论求不等式解：通过对不等式进行分类讨论，分析在不同情况下的解，从而得出完整的取值范围.19.对于正整数n，如果()*Nkk个整数12,,kaaa满足121kaaan，且12kaaan+++=，则称数组()12,,kaaa为n的一个“正整数分拆”.记12,,kaaa均为偶数的“正

整数分拆”个数为12,,,nkfaaa均为奇数的“正整数分拆”个数为ng.（1）写出整数4的所有“正整数分拆”；（2）对于给定的整数()4nn，设()12,,kaaa是n的一个“正整数分拆”，且12a=，求k的最大值；（3）对所有的正整数n，证明：nnfg；并求出使得等号成立

的n的值.【答案】（1）()()()()()1,1,1,1,1,1,2,1,3,2,2,4（2）答案见解析（3）证明见解析，2n=或4n=.【解析】【分析】（1）根据“正整数分拆”的定义求得正确答案.（2）对n进行分类讨论

，由此求得k的最大值.（3）对n进行分类讨论，根据“正整数分拆”的定义来求得正确答案.【小问1详解】整数4的所有“正整数分拆”为：()()()()()1,1,1,1,1,1,2,1,3,2,2,4.【小问2详解】当n为偶数时，1232kaaaa==

===时，k最大为2nk=；当n为奇数时，12312,3kkaaaaa−======时，k最大为12nk−=；综上所述：n为偶数，k最大为,2nkn=为奇数时，k最大为12nk−=.【小问3详解】当n为奇数时，0nf=，至少存在一个全为1的拆分，故nnfg；当n为偶数时，设()12,,,ka

aa是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,,1和()121,1,,1,1,,1kaaa−−−的均为奇数的“正整数分拆”，故nnfg.综上所述：nnfg.当2n=时，偶数“正整数分拆”为（2），奇数“正整数分拆”为()221

,1,1fg==；当4n=时，偶数“正整数分拆”为()()2,2,4，奇数“正整数分拆”为()()1,1,1,1,1,3，故442fg==；当6n时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整

数分拆”，故nnfg.综上所述：使nnfg=成立的n为：2n=或4n=.【点睛】思路点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用

“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.