【文档说明】山东省德州市夏津县育中万隆中英文高级中学2023-2024学年高二9月月考数学试题 word版含解析.docx，共(27)页，1.764 MB，由管理员店铺上传

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绝密★启用前万隆高级中学高二数学检测考试时间：120分钟；满分：150分一、单选题（本大题共8小题，共40．0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知A点坐标为()2,1−，B点坐标为()3,4，以线段AB为直径的圆的半

径是（）A.342B.34C.4D.3【答案】A【解析】【分析】利用两点距离公式求线段AB的长，即可得半径.【详解】由题意知，()22(23)1434AB=−−+−=，以线段AB为直径的圆的半径是13422AB=．故选：A2.平行六面体1111ABCDABCD−中，11

1ACABADmAC++=，则m=（）A.1B.2C.3D.－1【答案】B【解析】【分析】根据平行六面体的性质结合向量的运算即可得出答案.【详解】因为平行六面体的六个面均为平行四边形，则ACADAB=+，11ABABAA=+，11ADADAA=+，则()()()()11111

2ACABADADABABAAADAAADABAA++=+++++=++，而ADBC=，11AACC=，则111ADABAAABBCCCAC++=++=，则1112ACABADAC++=，即2m=，故选：B.

3.若三条直线3,4,50yxxymxny=+=++=相交于同一点，则点(),mn到原点的距离d的最小值是（）A.52B.62C.72D.102【答案】D【解析】【分析】由直线50mxny++=过直线3yx

=与4xy+=得交点13（，）可得350mn++=，再由两点间的距离公式求出d的最小值.【详解】联立34yxxy=+=，解得13xy==，把13（，）代入50mxny++=，得350mn++=，53mn=−−，点mn（，

）到原点的距离2222235105310222dmnnnn=+=++=++（）（），当且仅当13,22mn=−=−时取等号．点mn（，）到原点的距离的最小值为102．故选：D．4.如图，在三棱锥OABC−中，点G为底面ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱O

A，OB，OC于点D，E，F，若ODkOA=，OEmOB=，OFnOC=，则111kmn++=（）A.133B.23C.32D.92【答案】D【解析】【分析】由空间向量基本定理，用OAOBOC，，表示OM，由D，E，F，M四点

共面，可得存在实数,，使DMDEDF=+，再转化为(1)OMkOAmOBnOC=−−++，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.【详解】由题意可知，22221()()33332OGOAAGA

BACOMOA==+=++211222()()333999OAOCOAOAOBOAOBOC=+−+−=++因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数,，使DMDEDF=+，所以()()OMODOE

ODOFOD−=−+−，所以(1)(1)OMODOEOFkOAmOBnOC=−−++=−−++，所以2(1)92929kmn−−===，所以1119999(1)2222kmn++=−−++=．故选：D5.已知直线l的方程为sin3

10,xyR+−=，则直线l的倾斜角范围是（）A.20,,33B.50,,66C.50,,66D.20,,33U【答案】B【解析】【分析】利用直线

斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由直线l的方程为sin310xy+−=，所以sin133yx=−+，即直线的斜率sin3k=−，由1sin1−.所以3333k−，又直线的倾斜角的取值范围为[)

0,p，由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为50,,66.故选：B6.下列四个命题中，正确命题的个数是（）①若,,abc是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组(),,xyz，使得pxa

ybzc=++；②若两条不同直线,lm的方向向量分别是,ab，则lmab∥∥；③若,,OAOBOC是空间的一个基底，且111333ODOAOBOC=++，则,,,ABCD四点共面；④若两个不同平面,的法向

量分别是,uv，且()()1,2,2,2,4,4uv==−−，则∥．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】对于①和③，由共面向量定理判断；对于②，根据直线方向向量的定义分析判断；对于④，由平行平面的充要条件可判断.【详解】①若

,,abc是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组(),,xyz，使得pxaybzc=++，由空间向量基本定理知，正确；②若两条不同直线,lm的方向向量分别是,ab，则lmab∥∥，由方向向量的定义知

正确；③若,,OAOBOC是空间的一个基底，且111333ODOAOBOC=++，则()()ODOAOBODOCOD−−=+−，即ADDBDC=+，由空间向量共面定理知,,,ABCD四点共面，正确；④若两

个不同平面,的法向量分别是,uv，且()()1,2,2,2,4,4uv==−−，易得//uv不成立，所以∥不成立.故选：C7.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离

之比()0,1MQMP=，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221xy+=，定点Q为x轴上一点，1,02P−且2=，若点()1,1B，则2MPMB+的最小值为（）A.6B.7C.10D.11【答案】C【解析

】【分析】根据点M的轨迹方程可得()2,0Q−，结合条件可得2MPMBMQMBQB+=+，即得.【详解】设(),0Qa，(),Mxy，所以()22=−+MQxay，又1,02P−，所以2

212MPxy=++．因为MQMP=且2=，所以()2222212−+=++xayxy，整理可得22242133+−++=aaxyx，又动点M的轨迹是221xy+=，所以24203113aa+=−=，解得2a

=−，所以()2,0Q−，又2MQMP=，所以2MPMBMQMB+=+，因为()1,1B，所以2MPMB+的最小值为()()22121010=++−=BQ．故选：C．8.如图，长方体1111ABCDABCD−中13,1,AB

ADAAP===为线段1AC上的动点，则以下结论中不正确的是（）A.当112ACAP=时，直线BP与平面ABCD所成角的正弦值为255B.当113ACAP=时，若平面1BDC的法向量记为n，则10DPn=C.当114ACAP=时，二面角11AADP−−的余弦值为10

5D.若110ACDP=，则115ACAP=【答案】A【解析】【分析】构建空间直角坐标系，根据各项给定条件，应用向量的坐标运算求相关线段对应向量，应用向量法求线面角、二面角判断A、C，由向量数量积的坐标运算判断B、D.【详解】在长方体1111ABCDABCD−中，以点D为坐标原点，建立如图所示的

空间直角坐标系，则111(1,0,0),(1,0,1),(0,3,0),(0,3,1),(0,0,1),(0,0,0),(1,3,0)AACCDDB，则11111(1,3,1),(1,0,1),(0,3

,1),(1,3,0),(1,0,0)ACDADCDBAD=−−=−===−，当112ACAP=时，P为1AC的中点，则131(,,)222P，故131(,,)222BP=−−，而1(0,0,1)DD=为平面ABCD的一个法向量，若直线BP与平面ABCD所成角为，则111152

sin|cos,|||5||||512BPDDBPDDBPDD====，故A错误；当113ACAP=时，1113113(,,)333APAC=−−=，设平面1BDC的一个法向量为(,,)nxyz=，则13030nDBxynDCyz=+=

=+=，令1y=，则(3,1,3)n=−−，1111(1,0,0)131231(,,)(,,)333333DPDAAP−=++−=−=，所以123330333nDP=−++=，故B正确；当114ACAP=时，1113114(,,)444APA

C=−−=，11(0,0,131133(,,)(,,)44)44441APAAAP=+=+−−=−，1(1,0,1)AD=−，设平面1ADP的一个法向量为(,,)mabc=，则113304440mAPabcmAD

ac=−++==−+=，令1a=，则2(1,,1)3m=−，又AB⊥平面11ADA，则(0,3,0)AB=是平面11ADA的一个法向量，所以210cos,5||||1033mABmABmAB−==

=−由图知：二面角11AADP−−的平面角为锐角，则其余弦值为105，故C正确；设11(1,3,1)(,3,)APAC==−−=−−，故1111(1,0,0)(,3,)(1,3,)DPDAAP=+=+−−=−−，若1111305ACDP=−++

==，故115ACAP=，故D正确；故选：A．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.三条直线20,20,21xyxyxay+=−=+=构成三角形，则a的取值可以是（）A.1−B.1C.2D.3【答案】CD【解析】【分析】易得直线20

xy+=与20xy−=都经过原点，直线21+=xay不经过原点，则要满足三条直线构成三角形，只需直线21+=xay与另两条直线不平行即可，进而可得出答案.【详解】解：直线20xy+=与20xy−=都经过原点，而无论a为何值，直线21+=xay都不经过原点，因此，

要满足三条直线构成三角形，只需直线21+=xay与另两条直线不平行，所以1a.故选：CD.10.已知(3,2,3)a=−−，(1,1,1)bx=−−，且a与b夹角为钝角，则x的取值可以是（）A.-2B.1C.

53D.2【答案】BD【解析】【分析】根据题意得出0ab且a与b不共线，根据数量积公式列出不等式并排除两个向量反向时x的值，即可判断得出答案.【详解】由题意得0ab，且a与b不共线，则3(1)(2)(1)(3)124abxx=−+−−+−=−−

，即240x−−，解得2x−，若a与b共线，则323111x−−==−−，即53x=，得3ab=−，a与b反向需要舍去，所以x的取值范围为2x−且53x，所以B和D选项正确，A和C选项错误，故选：BD.11.以下四个命题表述正确的是（）A.直线24yaxa=−+（aR）必过定点()1,4

B.圆222xyr+=（0r）上有且仅有4个点到直线:20lxy−+=的距离都等于1，则2rC.曲线221:2220Cxyxy+++−=与曲线222:4240Cxyxy+−−+=恰有三条公切线D.已知圆22:1Cxy+=，点P为直线3410x

y+=上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，四边形PACB面积的最小值为3【答案】BD【解析】【分析】A.直线过定点()2,4，所以A错误；B.圆心O到直线l的距离为1d=，故2r，所以B正确；C.121213CCrr=+，两圆相离，故有4条公切

线，所以C错误；D.当CP垂直直线3410xy+=时，四边形PACB面积最小.此时四边形PACB面积3=，所以D正确.【详解】A.由题得(2)40axy−+−=，所以直线过定点()2,4，所以A错误；B.圆心O到直线l的距离为|002|12d−+==，故圆222xyr+=上有

且仅有4个点到直线l的距离为1，则2r，所以B正确；C.圆1C，2C的圆心为()1,1−−，()2,1，半径12r=，21r=，121213CCrr=+，两圆相离，故有4条公切线，所以C错误；D.当CP垂直直线3410xy

+=时，四边形PACB面积最小.此时，2CP=，3AP=，四边形PACB面积=1223132CAPS==，所以D正确.故选：BD12.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ABC是直角三角形，且11,3,ACBCAAE===为

1BC的中点，点F是棱11AC上的动点，点P是线段1AB上的动点，则下列结论正确的是（）A.异面直线AB与1BC所成角的余弦值是24B.三棱柱111ABCABC-的外接球的表面积是20C.当点P是线段1AB的中点时，三棱

锥1PBCF−的体积是312D.PEPF+的最小值是2【答案】AC【解析】【分析】由空间向量的坐标运算判断A，由棱柱的外接球半径与球的表面积公式判断B，由线面平行关系与棱锥的体积公式判断C，在平面11ACB中，数形结合求PEPF+的最小值后判断．【详

解】解：在直三棱柱111ABCABC-中，ABC是直角三角形，且1ACBC==，则90ACB=，则建立以C为坐标原点，以CA、CB、1CC所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系Cxyz−，如图所示：则100A（，，

），000C（，，），010B（，，），1013B（，，），对于A：(1,1,0)AB=−，1(0,1,3)CB=，11112|cos|42,2ABCBABCBABCB===，故异面直线AB与1BC所成角的余弦值是

24，故A正确；对于B：将直三棱柱111ABCABC-补成直四棱柱1111ABCDABCD−，可得三棱柱111ABCABC−的外接球就是直四棱柱1111ABCDABCD−的外接球，外接球半径22211135222CACBCCR+

+++===，故三棱柱111ABCABC-的外接球的表面积是2254π4π5π2R==（），故B错误；对于C：连接1CB，则E是1CB中点，点P是线段1AB的中点，11//ACPE，PEQ平面1BCP，F是棱11AC上的动点，点F到平面1

BCP的距离就是点1A到平面1BCP的距离，又11111112PBCFFBCPAPBCAABCVVVV−−−−===1111113311223212BAACV−===，故C正确；对于D：由选项C得E是1CB的中点，则P平面11ACB，E平面11ACB，F平面11ACB，在11

ACB△中，111AC=，12CB=，且111ACCB⊥，在平面11ACB中，建立以1C为原点，以11AC为x轴，以1CB为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：则100C（，），110A−（，），02B−（，），01E−（，），过E作直线1A

B的对称点'E，当11EFAC⊥时，此时PEPF+的值最小，且为EF，也就是点E到x轴的距离，设,Emn（），可得EE'的中点坐标为122mn−（，），直线1AB的方程为20101yx−−=+−−（）（），即2

1yx=−+（），的12122121nmnm−=−++−=−（），解得4575mn=−=−，PEPF+的最小值是75，故D错误，故选：AC．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，已知四棱柱1111ABCDA

BCD−的底面1111DCBA为平行四边形，E为棱AB的中点，13AFAD=，12AGGA=，1AC与平面EFG交于点M，则1AMAC=________.【答案】213【解析】【分析】设1AMAC=

，其中01，用AB、AD、1AA表示向量GM、GE、GF，利用共面向量的基本定理可知存在m、nR使得GMmGEnGF=+，由空间向量基本定理可得出关于m、n、的方程组，即可解得实数的方程组，即可解得实数的值.【详解

】设()111AMACABADAAABADAA==++=++，其中01，1112233GMAMAGABADAAAAABADAA=−=++−=++−，11223GEAEAGABAA=−=−，11233GFAFAGAD

AA=−=−，因为E、F、G、M四点共线，则向量GM、GE、GF共面，由共面向量定理可知，存在m、nR使得GMmGEnGF=+，即1112121232333ABADAAmABAAnADAA++−=−+−

()1112233mABnADmnAA=+−+，所以，()12132233mnmn==−+=−，解得213=.故答案为：213.14.如图所示，三个边长为4的等边三角形有一条边在同一直线上，边33BC上有100个不同的点123100

.....DDDD，，，，记2iiTABAD=，1,2,,100i=，则1001iiT==___________.【答案】7200【解析】【分析】以A为原点，1AC所在直线为x轴，建立直角坐标系，得到233,,BBC的

坐标，然后求得直线33BC的方程，根据(),iiiDxy在直线上，得到3123iixy+=，运用向量的数量积的坐标运算即可.【详解】如图所示：以A为原点，1AC所在直线为x轴，建立直角坐标系，则()()()2336,23,10,23,12,0BBC，直线33BC

的方程为()312yx=−−，设(),iiiDxy，则()312iiyx=−−，即3123iixy+=，所以()262323372iiiiiiTABAyDxxy=+=+==，所以1001100727200iiT===.故答案

为：7200【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的坐标运算，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.如图，已知菱形ABEF所在的平面与ABC所在的平面互相垂直，且π6,6,,3ABB

CBCBEABE==⊥=．则平面ACF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为_________．【答案】2211【解析】【分析】以O为坐标原点联立空间直角坐标系，利用平面ACF与平面BCE的法向量求解两个平面所成锐二面角的余弦值.【详

解】取AB中点O，连接OE，在菱形ABEF中π3ABE=，所以ABE是正三角形，所以OEAB⊥，又因为平面ABEF⊥平面ABC，平面ABEF平面ABCAB=，OE平面ABEF，所以OE⊥平面ABC，BC平面ABC，所以OEBC⊥，又因为BCBE⊥，OEBEE=，,O

EBE平面ABEF，所以BC⊥平面ABEF.如图建立空间直角坐标系，则()0,3,0A−，()0,3,0B，()6,3,0C，()0,0,33E，()0,6,33F−，设平面BCE的法向量为(,,)nabc=，(6,0,0)CB=−，(6,3

,33)CE=−−，由6333060CEnabcnCBa=−−+==−=，取(0,3,1)n=，设面ACF的法向量是(),,mxyz=，()6,6,0AC=，()0,3,33AF=−，则由00mACm

AF==，即6603330xyyz+=−+=，则令1z=，得()32,3,1m=−，所以22cos,11mnmnmn==，所以平面ACF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值是2211.故答

案为:2211．16.如图，已知圆()()2221:0Cxysss+−=内切于圆()()2222:0Cxyttt+−=，直线():0lykxk=分别交圆1C、2C于A、B两点（A、B在第一象限内），过点A作x轴的平行线交圆2C于M、N两点，若点A既是线段OB的中点

，又是线段MN的三等分点，那么k的值为___________.【答案】7【解析】【分析】设圆1C、圆2C别交y轴的正半轴于点E、F，连接AE、BF，分析出点E为线段OF的中点，可得出sinOAt=，2sincosANt=，利用相交弦定理可求得2cos的值，利用同角三角函数的基本关系可

求得k的值.【详解】设圆1C、圆2C分别交y轴的正半轴于点E、F，连接AE、BF，则AEOA⊥，BFOB⊥，设直线ykx=的倾斜角为，则AEO=，A为OB的中点，则E为OF的中点，则2OFOE=，故24

ts=，即2ts=，2sinsinOAst==，设线段MN交y轴于点H，则H为MN的中点，因为2AMAN=，故12AHAN=，易知AHy⊥轴，则cossincosAHOAt==，故2sincosANt=，由

相交弦定理可得OAABAMAN=，即()()22sin22sincostt=，所以，21cos8=，故227sin1cos8=−=，所以，2222sintan7cosk===，0k，解得7k=.故答案为：7.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出

文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知空间三点()0,1,1A−，()3,1,3B−，()1,0,1C−.（1）求以AB、AC为边的平行四边形的面积；（2）若41a=，且a分别与AB、AC垂直，求向量a的坐标.【答案】（1）41（2）()4,4,3a=或()4,4,3a=−−−【解析】

【分析】（1）首先求出AB，AC的坐标，再根据向量数量积的定义求出夹角的余弦值，从而根据同角三角函数的基本关系求出夹角的正弦值，再根据面积公式计算可得；（2）设(),,axyz=，依题意得到方程组，解得即可；【小问1详解】解：因为()0,1,1A−，()3,1,3B−，()

1,0,1C−，所以()3,0,4AB=−，()1,1,0AC=−，所以90165AB=++=，1102AC=++=，3ABAC=−，3cos52ABACBACABAC==−，∴241sin1cos52BACBAC=−=，∴平行四

边形面积为41sin524152ABACBAC==.【小问2详解】解：设(),,axyz=，则22241xyz++=，①∵aAB⊥，aAC⊥，所以0aAB=，0aAC=∴340xz−+=，②0xy−=，③由①②③解得4x=，4y=，3z=或4x=−，4y=−，3z=−∴()4,4

,3a=或()4,4,3a=−−−.18.已知ABC的顶点()3,4B，AB边上的高所在直线为1:240lxy+−=，BC边上的中线所在直线为2:350,lxyE+−=为AB的中点．（1）求点E的坐标；（2）求过点E且在x轴

和y轴上的截距相等的直线l的方程．【答案】（1）()1,3（2）3yx=或40xy+−=【解析】【分析】（1）由1ABl⊥得直线AB的方程，与2l联立求得A的坐标，得E的坐标；（2）按直线是否过原点分类讨论，求出直线的方程.【小问1详解】因为1ABl⊥，而直线1l：240xy+−=

的斜率为2−，所以直线AB的斜率为12，直线AB的方程为：14(3)2yx−=−，即250xy−+=，因为点A在直线AB与BC边上的中线的交点，.由350250xyxy+−=−+=，解得=1x−，2y=，所以顶点A的坐标12−（，），而E为线段AB的中

点，所以E的坐标13（，）【小问2详解】当直线l经过原点时，设直线l的方程为ykx=，将E的坐标13（，）代入可得3k=，直线的方程为3yx=；当直线l不过原点时，设直线l的方程为1xyaa+=，将()1,3E代入可得131aa+=，解得4a=，

这时直线l的方程为40xy+−=，综上所述，直线l的方程为3yx=或40xy+−=．19.已知圆C方程为221xy+=．（1）求过点()1,2P且与圆C相切的直线l的方程；（2）直线m过点(1,2)P，且与圆C交

于,AB两点，当AOB是等腰直角三角形时，求直线m的方程．【答案】（1）1x=或3450xy−+=（2）10xy−+=或750xy−−=【解析】【分析】（1）斜率不存在时显然相切，斜率存在时，设出直线的点斜式方程，由圆心到直线距离等于半径

求出k，进而得解；（2）设出直线的点斜式方程，由几何关系得圆心到直线距离为22r，进而得解.【小问1详解】当直线斜率不存在时，1x=显然与221xy+=相切；当直线斜率存在时，可设():12lykx=−+，由

几何关系可得2211kdrk−===+，解得34k=，故的()3:124lyx=−+，即3450xy−+=，故过点()1,2P且与圆C相切的直线l的方程为1x=或3450xy−+=；【小问2详解】设()1:12

mykx=−+，可设AB中点为D，因为AOB是等腰直角三角形，所以22ODr=，即圆心到直线距离121222221kdrk−===+，解得11k=或7，故直线():12myx=−+或()712yx=−+，即10xy−+=或750xy−−=.20.如图，在三棱柱111ABCABC-

中，侧面11ABBA是菱形，160BAA=，E是棱1BB的中点，CACB=，点F在线段AC上，且2AFFC=.（1）求证：1//CB平面1AEF.（2）若CACB⊥，平面CAB⊥平面11ABBA，求平面1FAE与平面111ABC所成锐二面角的余弦

值.【答案】（1）证明见解析（2）8729【解析】【分析】（1）连接1AB交1AE于点G，连接FG，结合相似可得1//FGCB，进而求证即可；（2）过C作COAB⊥，垂足为O，连接1OA，结合CACB=可得1OAAB⊥，以O为原点，以OA，1OA，OC

所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，进而结合法向量求解即可.【小问1详解】连接1AB交1AE于点G，连接FG，因为11AGABGE△△，所以1112AAAGGBEB==，又2AFFC=，所以1AFAGFCGB=，

所以1//FGCB，又1CB平面1AEF，FG平面1AEF，所以1//CB平面1AEF.【小问2详解】过C作COAB⊥，垂足为O，连接1OA，因为CACB=，所以O为AB的中点，因为平面CAB⊥平面11ABBA，平面CAB平面11ABBA

AB=，且CO平面CAB，所以CO⊥平面11ABBA，因为1ABA△为正三角形，O为AB的中点，所以1OAAB⊥.如图，以O为原点，以OA，1OA，OC所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，不妨设2AB=，则()1,0,0A，()10,3,0A，()0,0

,1C，()1,0,0B−，12,0,33F，33,,022E−，则133,,022AE=−−，112,3,33AF=−，设平面1FAE的法向量为

(),,mxyz=，则1100mAEmAF==，得33022123033xyxyz−−=−+=，取()1,3,5m=−，平面111ABC的法向量可取()0,1,0n=，所以387cos,2929mn

mnmn===，所以平面1FAE与平面111ABC所成锐二面角的余弦值为8729.21.已知圆()22:21Cxy−+=，点P是直线:0lxy+=上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.（1

）若P的坐标为()1,1P−，求过点P的切线方程；（2）直线0xym−+=与圆C交于E，F两点，求OEOF的取值范围（O为坐标原点）.【答案】（1）10y−=或3410xy+−=.（2）)2,522+【解析】【分析】（1）过

点P设直线方程，然后由圆心到直线距离等于半径构建方程，即可求出切线；（2）联立圆与直线，利用韦达定理构建OEOF的函数式，再求其范围即可.【小问1详解】P的坐标为()1,1P−,当斜率不存在时可设线为=1

x−，此时圆心()2,0C到直线的距离()21=31d=−−，不符合切线要求，舍去；的当斜率不存在时可设线为()11ykx−=+，即10kxyk−++=，此时圆心()2,0C到直线的距离221=11kkdk++=+，即2430kk+=，可得0k=或34−，过点P的切线方程为10y−=或341

0xy+−=.【小问2详解】设()11,Exy，()22,Fxy联立()22021xymxy−+=−+=，消去y，可得()()2221xxm−++=，化简可得：()2222430xmxm+−++=，则()()22244230mm=−−

+，即2420mm++，解得2222m−−−+，由韦达定理可得122xxm+=−，21232mxx+=，()()12121212OmxEOxxyyxFxmx=+=+++()()22222121223212xxmxxmmmmmm=+++=++

−+=++，又2222m−−−+，())2122,522mOEOF=+++.22.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，,,ABCDABADPA⊥⊥∥平面ABCD，E是棱PC上的一点．（1）证明：平面AD

E⊥平面PAB；（2）已知3,22ADABAPCD====，若,EF分别是,PCPB的中点，（ⅰ）求点B到平面AEF的距离；（ⅱ）求直线AB与平面ADE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）（i）2217；（ii）255【解析】【分析】（1）利用平面和平面垂直的判定定理证明；（2）

建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF和平面AED的法向量，再计算距离和角的正弦值.【小问1详解】证明：因为PA⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAD⊥．又ADAB⊥，ABPAA=，AB，PA平面PAB，AD

⊥平面PAB，AD平面ADE，平面ADE⊥平面PAB．【小问2详解】（i）如图所示，建立空间直角坐标系，(0,0,0)A，(0,0,2)P，(0,2,0)B，(0,1,1)F，(3,1,0)C，(3,0,0)

D，31(,,1)22E，31(,,1)22AE=，(0,1,1)AF=，(0,2,0)AB=，(3,0,0)AD=，设平面AEF的一个法向量为(,,)nxyz=，则00nAEnAF==，即310220xyzyz

++=+=，取(1,3,3)n=−，点B到平面AEF的距离2217nABdn==．（ii）设平面AED的一个法向量为(,,)mxyz=，则00mAEmAD==，即310223

0xyzx++==，取(0,2,1)m=−，记直线AB与平面ADE所成角θ，则425sincos,525ABm===.为获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue10

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