【文档说明】宁夏海原县第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含解析【精准解析】.doc，共(19)页，1.556 MB，由小赞的店铺上传

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海原一中2020--2021学年度第一学期高二期末考试数学试卷（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一-项是符合题目要求的）．1.已知(1,2,1)a=−，(1,2,1)ab+=−−，则b等于（）A.(2，-4，2)B.

(-2，4，-2)C.(-2，0，-2)D.(2，1，-3)【答案】B【解析】【分析】利用空间向量坐标运算求得结果.【详解】依题意()()()()1,2,11,2,12,4,2baba=+−=−−−−=−−.故选：B2.已知抛物线24xy=上一点M到焦点的距

离为3，则点M到x轴的距离为（）A.12B.1C.2D.4【答案】C【解析】【详解】根据抛物线的定义可知，点M到焦点的距离和到准线的距离相等，抛物线的准线方程为1y=−，所以点M到x轴的距离为312d=−=，故选C.3.已知A、B、C三点的坐标分别为()4,1,3A，()2

,5,1B−,()3,7,C，若ABAC⊥，则等于()A.28B.－28C.14D.－14【答案】D【解析】【分析】先求出AB＝(－2，－6，－2)，＝(－1,6，λ－3)，再利用·＝0求出λ的值.【详解】AB＝(－2，－6，－2)

，＝(－1,6，λ－3)，∵⊥，∴·＝2×1－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14，故答案为D【点睛】(1)本题主要考查空间向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)0abab⊥=.4.点(,)

Mxy满足关系式2222(3)(3)4xyxy++−+−=，则点M的轨迹是（）A.线段B.椭圆C.双曲线D.双曲线的一支【答案】D【解析】【分析】设()10,3F−，()20,3F，由已知可得动点(,)Mxy到两定点()13,0F−，()23,0F距离之差等于定长，根据双曲线

的定义即可得出正确答案.【详解】设()10,3F−，()20,3F由两点间距离公式可得：2222(3)(3)4xyxy++−+−=即124PFPF−=，而126FF=，所以121246PFPFFF−==，动点(,)Mxy到两定点()13,0F−，()23,0F距离之差等于

定长，且小于两定点之间的距离，满足双曲线的定义所以点M的轨迹是双曲线22145yx−=的上支.所以点M的轨迹是双曲线的一支，故选：D5.设(),4,3ax=，()3,2,bz=，且//ab，则xz等于（）A.-4B.9C.-9D.649【答案】B【解析】

【分析】由ab，根据向量平行（共线）的充要条件得：存在实数使λab=，进而构造方程求出的值，进而求出x，z值.【详解】()(),4,3,3,2,axbz==由于ab则存在实数使λab=即()(),4,33,2,xz=3423xz=

==解得2=则36,2xz==故9xz=故选：B【点睛】知识点点睛：向量平行（共线）的充要条件得：存在实数使λab=.6.已知空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，点M在OA上，且2O

MMA=，N为BC的中点，则MN等于（）A.121232abc−+B.211322abc−++C.111222abc+−D.221332abc+−rrr【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为N为BC的中点，所以()12ONOBOC

=+，因为2OMMA=，所以23OMOA=，所以()2211122233MONONOMOBaOCcAb=−=+−++−=，故选：B7.已知双曲线C的渐近线方程是2xy=，焦点在坐标轴上且实轴长为4，则双曲线C的标准方程为（）A.2214xy

−=B.221416yx−=C.2214xy−=或221416yx−=D.221164xy−=或2211664yx−=【答案】C【解析】【分析】根据双曲线C的渐近线方程是2xy=，设双曲线C的方程是()2204xy−

=，然后根据焦点在坐标轴上且实轴长为4，分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况讨论求解.【详解】因为双曲线C的渐近线方程是2xy=，所以设双曲线C的方程是()2204xy−=，即2214xy−=，焦点在坐标轴上且实轴长为4，当焦点在x轴上时，44=，解得1=，所以双曲线的方

程为：2214xy−=，当焦点在y轴上时，4−=，解得4=−，所以双曲线的方程为：221416yx−=，故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了分类讨论的思想，属于基础题.8.下列说法正确的是（）A.命题“若21x=，则1x=”的否命题为“若21x=，则1xB.a，R，

使sin()sinsin+=+C.命题“若xy=，则sinsinxy=”的逆否命题为假命题D.已知xR，则“1x”是“2x”的充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据否命题，逆否命题，必要条件充分条件，存在性命题，对选项逐个进行判断，即可得出结论．【详解】A

：命题“若21x=,则1x=”的否命题是“若21x,则1x”，故A不正确；B：当0==时，sin()sinsin+=+成立，故B正确；C：命题“若xy=,则sinsinxy=”是真命题

，所以命题的逆否命题是真命题，故C不正确；D：因为21xx，反之不成立，“1x”是“2x”的必要不充分条件，故D不正确.故选：B9.已知双曲线221kxy−=的一条渐近线与直线210xy++=垂直，则该双曲线

的离心率为（）A.52B.72C.43D.5【答案】A【解析】【分析】根据题设条件知求出渐近线的斜率，利用a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线221kxy−=的渐近线的一条渐近线与直线210xy++=垂直，渐近线的斜率为12，12b

a=，22214caa−=，52e=．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用，属于基础题．10.已知点(4,2)P是直线l被椭圆221369xy+=所截得的线段的中点

，则直线l的方程是（）A.20xy−=B.240xy+−=C.2340xy++=D.280xy+−=【答案】D【解析】【分析】设直线l与椭圆交于()11,Axy，()22,Bxy,则218xx+=，214yy+=，则22111369xy+=，22221

369xy+=，两式相减可求出2121AByykxx−=−的值，利用点斜式即可得出直线l的方程.【详解】设直线l与椭圆交于()11,Axy，()22,Bxy,则22111369xy+=，22221369xy+=，两式相减可得：22222121369xxyy=−−−，即()()()()212

12121369xxxxyyyy=+−−+−，因为(4,2)P是线段AB的中点，所以218xx+=，214yy+=，所以21219813642AByykxx−==−=−−，所以直线l的方程是()1242yx−=−−，即280xy+−=，故选：D【点睛】方法点睛：对于中点弦问题常用根与

系数的关系或点差法求解，在采用根与系数的关系时注意前提条件0，再利用点差法时往往设出两个交点的坐标，设而不求，利用点差法巧妙求出直线的斜率，快速解决问题.11.已知P为抛物线28yx=上一点，F为该抛物线焦点，若A点坐标为()3,2，则PA

PF+最小值为()A.5B.5C.7D.11【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义，转化为A到准线的距离就是|PA|+|PF|的最小值，即可得出结论．【详解】将x=3代入抛物线方程y2=8x，得26262y，＞，=∴A在抛物线内部．设抛物线上的点P到准线l：x=-2的距离为d，

由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，所以当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值为5．故选B．【点睛】本题考查抛物线的定义和性质的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．12.设P为椭圆22221xyab+=(0)ab上一点，两焦点分别为1F，2F，如果127

5PFF=，2115PFF=，则椭圆的离心率为（）A.63B.33C.62D.32【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理可求1212PFPFFF+的值，此值即为椭圆的离心率的倒数，故可求椭圆的离心率.【

详解】设椭圆的半焦距为c，则122FFc=.在12PFF中，由正弦定理有1212211212sinsinsinPFPFFFPFFPFFFPF==，所以1212sin15sin75sin90PFPFFF==，故1212sin15si

n75sin90PFPFFF+=+，整理得到()1212sin15sin7562sin1545sin902PFPFFF++==+=.故2622ac=即63e=.故选：A.【点睛】一般地，椭圆()222210xyab

ab+=的左右焦点为12,FF，点P为椭圆上的动点，则122PFPFa+=，因122FFc=，故可以用正弦定理、余弦定理求解与焦点三角形12FPF的边角有关系的数学问题.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．将正确答案填在答题卷上对应题号的横线上．13.

命题“0xR，20010xx++”的否定是__________．【答案】xR，210xx++【解析】【分析】根据特征命题的否定为全称命题，求得结果.【详解】命题“0xR，20010xx++”是特称命题，所以其否

定命题：2,210xRxx−+故答案为2,210xRxx−+【点睛】本题考查了命题的否定，特征命题的否定是全称命题，属于基础题.14.已知ABC，，三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量1253OPOAOBOC=++确定的点P与ABC，，共面，那么=___

_【答案】215【解析】【详解】【分析】1/52/31/52/31215215ABCOABCOPOAOBOCPABC=++++==解：由题意，，三点不共线，点是平面外一点，若由向量确定的点与，，共面，解得故答案为：15.已知椭圆22195xy+=

的左右焦点分别为1F，2F，P是椭圆上的一点，且1260FPF=，则21PFF的面积是________．【答案】533【解析】【分析】根据椭圆的定义，得到12PFPF+的值，再由1260FPF=，在21PFF中，用余弦定理，求出12PFPF，根据三角形面积公式，

即可得出结果.【详解】根据椭圆定义，可得1226PFPFa+==，且椭圆的焦距为122954FF=−=，又1260FPF=，在21PFF中，由余弦定理，可得222121212121cos22PFPFFFFPFPFPF+

−==，所以()22221121212122PFPFPFPFFFPFPF+−−=，即211236162122PFPFPFPF−−=，所以21203PFPF=，因此21PFF的面积是12212111203

53sin22323PFFSPFPFFPF===V.故答案为：533.16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值是_____.【答案】33【解析】【分析】如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立

空间直角坐标系,设正方体棱长为1,再利用向量法求直线BC1与平面A1BD所成的角的余弦值.【详解】如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1)

,B(1,1,0),C1(0,1,1),则1DA=(1,0,1),DB=(1,1,0),1BC=(-1,0,1),设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则1·0,0,0,·0,nDAxzxynDB=+=

+==即所以,.zxyx=−=−令x=1得,n=(1,-1,-1),设直线BC1与平面A1BD所成角为θ,则sinθ=|cos<1BC,n>|=11·26323BCnBCn==,故cosθ=231sin3−=.故答案为33【点睛】（1）本题主要考查直线

和平面所成角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法）→证（定义）→指→求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）•sinABnABn=，其中AB是直线l

的方向向量，n是平面的法向量，是直线和平面所成的角.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知抛物线的标准方程是26yx=.（1）求它的焦点坐标和准线方程；（2）直线l过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为AB、，求AB

的长度.【答案】(1)焦点为3,02F，准线方程：32x=−；(2)12.【解析】【详解】试题分析：（1）抛物线的标准方程为26yx=，焦点在x轴上，开口向右，26p=，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）现根据题

意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．试题解析：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴=∴焦点为F（，0），准线方程：x=﹣，（2）∵直线L过已知抛物线的焦

点且倾斜角为45°，∴直线L的方程为y=x﹣，代入抛物线y2=6x化简得x2﹣9x+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．故所求的弦长为12．点睛：本题考查了直线与怕西安的位置关系中的弦长公式的应用，本题的解答中

根据直线过抛物线的焦点，根据抛物线的定义，抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．同时如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半

径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．18.如图在边长是2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为AB，1AC的中点．（1）求异面直线EF与1CD所成角的大小

．（2）证明：EF⊥平面1ACD．【答案】（1）60；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用111cos,EFCDEFCDEFCD=可得解；（2）利用10EFDA=

和0EFDC=，可证得线线垂直，进而得线面垂直.【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：(0,0,0)D，1(2,0,2)A，(0,2,0)C，(2,1,0)E，(1,1,1)F，1(0,0,2)D∴(

1,0,1)EF=−，1(0,2,2)CD=−，1(2,0,2)DA=，(0,2,0)DC=．（1）()1111002121cos,2222EFCDEFCDEFCD−+−+===，∴1,60EFCD=∴异面直线EF和1CD所成的角为60．（2）11200

120EFDA=−++=∴1EFDA⊥，即1EFDA⊥1002100EFDC=−++=，∴EFDC⊥即EFDC⊥．又∵1DA，DC平面1DCA且1DADCD=∴EF⊥平面1ACD．19.已知命题p：方程22121xymm−=−表

示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线2215yxm−=的离心率(1,2)e．（1）若p为真命题，求m的取值范围．（2）若p或q为真命题，p且q为假命题，求m的取值范围．【答案】（1）10,3；（2）1,153

．【解析】【分析】（1）本题首先将椭圆方程转化为22121xymm+=−，然后通过题意列出不等式组201012mmmm−−，通过计算即可得出结果；（2）本题首先可求出q为真命题时m的取值范围，然后分为p真q假、

p假q真两种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）椭圆22121xymm−=−即22121xymm+=−，因为命题p为真命题，所以201012mmmm−−，解得103m，m的取值范围为10,3

.（2）双曲线2215yxm−=的离心率55me+=，若q为真命题，则05125mm+，解得015m，因为p或q为真命题，p且q为假命题，所以当p真q假时，103015mmm或，解得m，当p假q真时，103015mmm

或，解得1153m，综上所述，m的取值范围为1,153.【点睛】关键点点睛：给出命题p和命题q，若p或q为真命题，则命题p和命题q至少有一个是真命题；若p或q为假命题，则命题p和命题q都

是假命题；若p且q为真命题，则命题p和命题q都是真命题；若p且q为假命题，则命题p和命题q至少有一个是假命题.20.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左右焦点分别为1F、2F，左顶点为A，若122FF=，椭圆的离心率为12e=．（1）求椭圆的标准方程．（2）若P是椭圆上的任意

一点，求1PFPA的取值范围．【答案】（1）22143xy+=；（2）[0,12].【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得1,2ca==，3b=，即可得答案；（2）设()00,Pxy，(2,0)A−，1(1,0)F−，再将向量的数量积

转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；【详解】解：（1）由题意，∵122FF=，椭圆的离心率为12e=，∴1,2ca==，∴3b=，∴椭圆的标准方程为22143xy+=．（2）设()00,Pxy，(2,0)A−，1(1,0)F−，∴()()22200001001232PFPx

xyxAxy−−−−+=+++=，∵P点在椭圆上，∴2200143xy+=，2200334yx=−，∴21001354PFPAxx=++，由椭圆方程得022x−，二次函数开口向上，对称轴062x=−−，当02x=−时，取最小值0，当02x=时，取最大值12．∴1PFPA的取

值范围是[0,12]．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题.21.如图，在三棱锥ABOC−中，AO，OB，OC两两互相垂直，点D，E分别为棱BC，AC的

中点，F在棱AO上，且满足14OFOA=，已知4OAOCOB===．（1）//AB平面EFD；（2）求二面角CEFD−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）23．【解析】【分析】（1）由已知可得//DEAB，利用线面平行的判

定定理即可求证；（2）以O为原点，分别以,,OBOCOA所在的直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，由OB⊥平面CEF，可得(4,0,0)OB=是平面CEF的一个法向量，在求出平面EFD的一个法向量，利用向量

的夹角公式即可求解.【详解】（1）∵D、E分别BC、AC的中点，∴//DEAB．而AB平面EFD，DE平面EFD∴//AB平面EFD．（2）如图以O为原点，分别以,,OBOCOA所在的直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系：则(0,0,4)A，(4,0,0

)B，(0,0,1)F(0,4,0)C，(0,2,2)E，(2,2,0)D，(0,0,0)O∴(4,0,4)AB=−，(2,0,2)DE=−，(2,2,1)DF=−−，设平面EFD的一个法向量为(,,)nxyz=，则：220220nDExznDFxyz=−+==−−+=令1x=，

则1z=，12y=-∴11,,12n=−因为OB⊥平面CEF，显然(4,0,0)OB=是平面CEF的一个法向量．据图知二面角CEFD−−是锐二面角，令其大小为，则：42coscos,314114nOBnOBn

OB====++∴二面角CEFD−−的余弦值为23．【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：

建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.22.如图，O为坐标原点，椭圆()2222:10xyCabab+=的右顶点和上顶点分别为A，B，3OAOB+=，OAB的面积为1．（1）求C

的方程；（2）若M，N是椭圆C上的两点，且//MNAB，记直线BM，AN的斜率分别为1k，()2120kkk，证明：12kk为定值．【答案】（1）2214xy+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出,ab后可得C的方程.（2）设直线MN的方程12yxm=−+，

设()11,Mxy，()22,Nxy，用此两点的坐标表示12kk，联立直线MN的方程和椭圆的方程后消去y，利用韦达定理可证12kk为定值.也可以设()00,Mxy，求出MN的方程后再求出N后可证12kk为定值.【详解】（1）解：由题意知，3,11,2abab+==由于

0ab，解得2a=，1b=，故C的方程为2214xy+=．（2）证明：由(1)得()2,0A，()0,1B，直线AB的斜率为12−．（方法一）因为//ABMN，故可设MN的方程为12yxm=−+．设()11,Mxy，()22,Nx

y，联立221,21,4yxmxy=−++=消去y，得222220xmxm−+−=，所以122xxm+=，从而212xmx=−．直线BM的斜率111111112xmykxx−+−−==，直线AN的斜率2222

21222xmykxx−+==−−，所以()()()211221122121111111112242222xmxmxxmxmxmmkkxxxx−+−+−−−−+−==−−()()()()12122121121121111111122142242222xxmxxxmmxxmmmxmmxxx

xxx−+++−−+−+−==−−1211211114224xxxxxx−==−．故1214kk=为定值．（方法二）设()00,Mxy，220014xy+=．因为//MNAB，所以MN的方程为()0012yx

xy=−−+，联立()00221,21,4yxxyxy=−−++=消去y，得()20000220xxyxxy−++=，解得0xx=（舍去）或02xy=，所以点N的坐标为0012,2yx，则001200111

2224xykkyx−==−，即12kk为定值14．【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程

组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,xxxx+或1212,yyyy+，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.