【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）章末目标检测卷8　解析几何 Word版含解析.docx，共(11)页，124.135 KB，由小赞的店铺上传

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章末目标检测卷八解析几何(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.与直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线的方程为()A.3x-4y+4=0B.3x-4

y+4=0或3x-4y-2=0C.3x-4y+16=0D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=02.(2021全国Ⅱ,文5)点(3,0)到双曲线𝑥216−𝑦29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.453.若圆x

2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P的轨迹方程为()A.y2-4x+4y+8=0B.y2-2x-2y+2=0C.y2+4x-4y+8=0D.y2-2x-y-1=04.已知双曲线M:𝑥2

𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),△ABC为等边三角形.若点A在y轴上,点B,C在双曲线M上,且双曲线M的实轴为△ABC的中位线,双曲线M的左焦点为F,经过点F与抛物线x2=16y的焦点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线

M的方程为()A.𝑥24−𝑦24=1B.𝑥28−𝑦28=1C.𝑥24−𝑦28=1D.𝑥28−𝑦24=15.已知点M是抛物线y2=x上的动点,点N是圆C1:(x+1)2+(y-4)2=1关于直线x-y+1=0对称的曲线C上的

一点,则|MN|的最小值是()A.√112-1B.√102-1C.2D.√3-16.已知椭圆C1:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-𝑦24=1有公共的焦点,双曲线C2的一条渐近线与以椭圆C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若椭圆C1恰好将线段AB三等

分,则()A.a2=132B.a2=13C.b2=12D.b2=27.已知F1,F2分别是双曲线x2-𝑦2𝑏2=1(b>0)的左、右焦点,过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P.若

点P在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(√3,+∞)C.(1,√3)∪(2,+∞)D.(2,+∞)8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0

,且λ≠1),则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系中,圆O:x2+y2=1,点A(-12,0),B(0,12),M为圆O上的动点,则2|MA|-|MB|的最大值为()A.52B.√17

2C.32D.√22二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知方程x2+y2+2ax-2ay=0

,下列叙述正确的是()A.方程表示的是圆B.当a≠0时,方程表示的圆过原点C.方程表示的圆关于直线x+y=0对称D.方程表示的圆的圆心在x轴上10.设点A(-2,3),B(3,2),则下列a的值满足直线ax+y+2=0与线段AB有交点

的是()A.-2B.-1C.3D.411.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,则下列说法正确的是()A.|AB|≥4B.|OA|+|OB|>8C.若点P(2,2),则|PA|+|AF|的最小值为3D.△OAB的面积的最小值为212.设F1

,F2同时为椭圆C1:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)与双曲线C2:𝑥2𝑎12−𝑦2𝑏12=1(a1>0,b1>0)的左、右焦点,椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M,椭圆C1与双曲线C

2的离心率分别为e1,e2,O为坐标原点,则下列说法正确的是()A.若|F1F2|=2|MO|,则1𝑒12+1𝑒22=√2B.若|F1F2|=2|MO|,则1𝑒12+1𝑒22=2C.若|F1F2|=4|MF2|,则e1e2的取值范围是(

23,32)D.若|F1F2|=4|MF2|,则e1e2的取值范围是(23,2)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021全国Ⅰ,理13)已知双曲线C:𝑥2𝑚-y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0,则双

曲线C的焦距为.14.已知圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1,直线l:y=-x+2与x轴交于点A.若a=1,则直线l截圆C所得弦的长度为;若过直线l上一点P作圆C的切线,切点为Q,且|PA|=√2|PQ|,则实数a的

取值范围为.15.过点M(1,1)作斜率为-13的直线l,与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则椭圆的离心率为.16.已知双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦

2𝑏2=1(b>a>0)的左、右焦点为F1,F2,P(2,√2)为双曲线C上一点,且|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=3,若线段PF1与双曲线C交于另一点A,则△PAF2的面积为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

.17.(10分)如图,矩形ABCD的两条对角线交于点M(3,0),AB边所在直线的方程为x-3y-7=0,点E(0,1)在BC边所在直线上.(1)求AD边所在的直线方程.(2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程.18.(12分)已知中心在原点的双曲线C的渐近线方程为y=±

2x,且该双曲线过点(2,2).(1)求双曲线C的标准方程;(2)点A为双曲线C上任一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,过其中的一个焦点作∠F1AF2的平分线的垂线,垂足为点P,求点P的轨迹方程.19.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0)上的点T(3,

t)到焦点F的距离为4.(1)求t,p的值;(2)设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=5(其中O为坐标原点).求证:直线AB过定点,并求出该定点的坐标.20.(12分)已知F(2,0)为椭圆𝑥2𝑎2+

𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的焦点,且点P(2,√55)在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线l与椭圆交于M,N两点,且坐标原点O到直线l的距离为√306,∠MON的大小是否为定值?若是,求出

该定值,若不是,请说明理由.21.(12分)(2023新高考Ⅰ,22)在直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离等于点P到点(0,12)的距离,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上,证明:矩形ABCD的周长大于3√3.22.(12分)如图,已知椭圆C

1:𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(a>b>0)的离心率为√22,并以抛物线C2:x2=8y的焦点F为上焦点.直线l:y=kx+m(m>0)交抛物线C2于A,B两点,分别以A,B为切点作抛物线C2的切线,两切线相交于点P,点P恰好在椭圆C1上.(1)求椭圆C1的方程;(2

)求mk的最大值;(3)求证:点F恒在△AOB的外接圆内.章末目标检测卷八解析几何1.D解析设所求直线方程为3x-4y+m=0(m≠1),由已知得|𝑚-1|5=3,解得m=16或m=-14.故所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.2.A由题意,双曲线的

一条渐近线方程为y=34x,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为|3×3-4×0|√32+(-4)2=95.故选A.3.C由已知得圆x2+y2-ax+2y+1=0的圆心为(𝑎2,-1),因为圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2

=1关于直线y=x-1对称,所以点(𝑎4,-12)在直线y=x-1上,则a=2.设圆心P的坐标为(x,y),因为过点C(-2,2)的圆P与y轴相切,所以√(𝑥+2)2+(𝑦-2)2=|x|,整理得y2+4x-4y+8=0.4.B因为双曲线M的实轴为等边三角形ABC的中位线,所以

△ABC的边长为4a.不妨设点B在第一象限,则点B(2a,√3a),将点B的坐标代入𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1中,得4𝑎2𝑎2−3𝑎2𝑏2=1,化简得a2=b2,所以a=b,所以c2=a2+b2=2a

2,即c=√2a,所以双曲线M的左焦点F的坐标为(-√2a,0),渐近线的斜率为±1.因为抛物线x2=16y的焦点为D(0,4),所以kDF=4√2𝑎=2√2𝑎.由题意,可知2√2𝑎=1,所以a=2√2,所以b=

2√2.所以双曲线M的方程为𝑥28−𝑦28=1.5.A圆C1:(x+1)2+(y-4)2=1关于直线x-y+1=0对称的圆C的圆心坐标是(3,0),半径是1.设点M的坐标是(y2,y),则圆C的圆心到点M的距离

d=√(𝑦2-3)2+𝑦2,当y2=52时,d的最小值是√112,则|MN|的最小值是√112-1.6.C由题意知a2=b2+5,则椭圆C1的方程可化为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0.双曲线C2的一条渐近线方程为y=2x,代入椭圆C1的方程,得(5a2-5)x2+5a2-a

4=0,所以直线截椭圆C1的弦长d=√5×2√𝑎4-5𝑎25𝑎2-5=23a,解得a2=112.所以b2=12.7.D由题意知F1(-c,0),双曲线x2-𝑦2𝑏2=1(b>0)的渐近线方程为y=±bx.不妨令过点F1的直线与直线y=bx

平行,则直线方程为y=b(x+c),由{𝑦=𝑏(𝑥+𝑐),𝑦=-𝑏𝑥,得交点P(-𝑐2,𝑏𝑐2).由点P在以线段F1F2为直径的圆外,可得(-𝑐2)2+(𝑏𝑐2)2>c2,即

有b2>3,则双曲线的离心率e=𝑐𝑎=√1+𝑏2>2.8.B设点M(x,y),在平面直角坐标系中取一定点C(m,n),令2|MA|=|MC|,即|𝑀𝐴||𝑀𝐶|=12,则由阿氏圆的定义,可知点M的轨迹为圆.又点M在

圆O上,所以点M的轨迹为圆O.由|𝑀𝐴||𝑀𝐶|=√(𝑥+12)2+𝑦2√(𝑥-𝑚)2+(𝑦-𝑛)2=12,整理得x2+y2+2𝑚+43x+2𝑛3y=𝑚2+𝑛2-13,则2𝑚+43=0,2𝑛3=0,𝑚2+𝑛2-13=1,解得m=-2,n=0.故定点C(-2,0)

.如图,当点M在点M1的位置时,2|MA|-|MB|=|MC|-|MB|的值最大,最大为|BC|=√172.9.BC将方程配方,得(x+a)2+(y-a)2=2a2.当a≠0时,方程表示圆,而且圆心坐

标为(-a,a)在直线x+y=0上,所以圆关于直线x+y=0对称.将(0,0)代入原方程,左边=右边,故当方程表示圆时,经过原点.故A不正确,B,C正确,D不正确.10.ACD如图,直线ax+y+2=0恒过点C(0,-2),斜率为-a.kAC=-52,kBC=43.由题意知-a≥4

3或-a≤-52,即a≤-43或a≥52.故A,C,D符合,B不符合.11.ACD由已知得F(1,0),不妨设点A在第一象限,①若直线l的斜率不存在,则点A(1,2),B(1,-2),则|AB|=4,|OA|+|

OB|=2|OA|=2√5,S△OAB=12×4×1=2,可知B错误.②若直线l的斜率存在,则设直线l的斜率为k,直线l的方程为y=k(x-1),显然k≠0,由{𝑦=𝑘(𝑥-1),𝑦2=4𝑥,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2𝑘2+4𝑘2=2+4𝑘2,所以|AB|=x1+x2+2=4+4𝑘2>4.因为原点O到直线l的距离d=|𝑘|√𝑘2+1,所以S△OAB=12|AB|·d=12×(4+4𝑘2)×|𝑘|√

𝑘2+1=2√1+1𝑘2>2.综上,|AB|≥4,S△OAB≥2,故A正确,D正确.过点A向准线作垂线,垂足为N,则|PA|+|AF|=|PA|+|AN|,当P,A,N三点共线时,|PA|+|AF|取得最小值3

,故C正确.12.BD如图,设|MF1|=m,|MF2|=n,焦距为2c,由椭圆的定义,可得m+n=2a,由双曲线的定义,可得m-n=2a1,解得m=a+a1,n=a-a1,当|F1F2|=2|MO|时,∠F1MF2=90°,所以m2+n2=4c2,即a2+𝑎12=2

c2,所以𝑎2𝑐2+𝑎12𝑐2=2,即1𝑒12+1𝑒22=2.故A错误,B正确.当|F1F2|=4|MF2|时,n=12c,即a-a1=12c,可得1𝑒1−1𝑒2=12,由0<e1<1,可得1𝑒1>1,可得1𝑒2>12,即1<e2<2,所以e1e2=2𝑒222+𝑒2,设

2+e2=t(3<t<4),则2𝑒222+𝑒2=2(𝑡-2)2𝑡=2(𝑡+4𝑡-4).由f(t)=t+4𝑡-4在区间(3,4)上单调递增,可得f(t)∈(13,1),所以e1e2∈(23,2).

故C错误,D正确.13.4由双曲线方程可知其渐近线方程为𝑥√𝑚±y=0,即y=±1√𝑚x,得-√3𝑚=-1√𝑚,解得m=3.可得双曲线C的焦距为2√𝑚+1=4.14.√2[3-√32,3+√32]当a=1时,圆心C(1,0),半径r=1,则圆心C到直线l的距离d=|1-2|√1+1=

√22,所以弦长=2√𝑟2-𝑑2=2×√1-12=√2.由题意得圆心C(a,a-1),设点P(m,-m+2),过点P作PB⊥x轴(图略),则有|PA|=√2|PB|.又因为|PA|=√2|PQ|,所以|PQ|=|PB|.因为|PQ|2=|PC|2-r2=(m

-a)2+(-m+2-a+1)2-1,所以(-m+2)2=(m-a)2+(-m+2-a+1)2-1,整理得m2-2m+2a2-6a+4=0,则Δ=4-4(2a2-6a+4)=-8a2+24a-12≥0,解得3

-√32≤a≤3+√32.15.√63设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以x1+x2=2,y1+y2=2,𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2=-13.由𝑥12𝑎2+𝑦12𝑏2=1,𝑥22𝑎2+𝑦22𝑏2=1相

减,得(𝑥1+𝑥2)(𝑥1-𝑥2)𝑎2+(𝑦1+𝑦2)(𝑦1-𝑦2)𝑏2=0,可得2𝑎2+2𝑏2(-13)=0,所以a2=3b2,所以e=𝑐𝑎=√1-(𝑏𝑎)2=√63.16.9√24由已知得|PF1|=3|PF2|,又|PF1|2=(2+c

)2+2,|𝑃𝐹2|2=(2-c)2+2,所以(2+c)2+2=9[(2-c)2+2],解得c=3或c=2.因为点P(2,√2)在双曲线C上,所以{4𝑎2-2𝑏2=1,𝑎2+𝑏2=9或{4𝑎2-2𝑏2=1,𝑎2+𝑏2=4,所以{𝑎2=3,𝑏2=

6或{𝑎2=2,𝑏2=2(舍去),所以双曲线C的方程为𝑥23−𝑦26=1.又F1(-3,0),所以直线PF1的方程为y=√25(x+3),与双曲线C的方程联立,消去x,整理得8y2-10√2y+4=0,所以y1=√24或y2=√2(舍去),所以点A的坐标为(-74,√24),所以𝑆

△𝑃𝐴𝐹2=𝑆△𝑃𝐹1𝐹2−𝑆△𝐴𝐹1𝐹2=12×6×√2−12×6×√24=9√24.17.解(1)∵AB⊥AD,∴kAD=-1𝑘𝐴𝐵=-113=-3.由已知得点E(0,1)关于点M(3,0)的对称点(6,-1)在直线AD上,∴AD边所在直线的方程为y

+1=-3(x-6),即3x+y-17=0.(2)由{3𝑥+𝑦-17=0,𝑥-3𝑦-7=0,得点A(5.8,-0.4),r2=|AM|2=(5.8-3)2+(-0.4-0)2=8,故矩形ABCD外接圆的方程为(x-3)

2+y2=8.18.解(1)根据题意,双曲线C的渐近线方程是y=±2x,则设双曲线C的方程为4x2-y2=λ(λ≠0),将点(2,2)的坐标代入,得λ=12,则双曲线C的方程为4x2-y2=12,即𝑥23−𝑦212=1.

(2)如图,F1,F2是双曲线𝑥23−𝑦212=1的左、右焦点,过F2作∠F1AF2的平分线AB的垂线,垂足为P,并且交AF1于点Q,连接OP,则OP􀰿12F1Q,由题意可得|AQ|=|AF2|.所以|F1Q|=||AF1|-|AQ||=||AF1|

-|AF2||=2a,所以|OP|=a=√3.由圆的定义可知,点P的轨迹是以点O为圆心,√3为半径的圆,故点P的轨迹方程为x2+y2=3.19.(1)解由抛物线的定义,得3+𝑝2=4,解得p=2,故抛物线的方程为y

2=4x.将点T(3,t)的坐标代入,解得t=±2√3.(2)证明设直线AB的方程为x=my+n,点A(𝑦124,𝑦1),B(𝑦224,𝑦2),由{𝑦2=4𝑥,𝑥=𝑚𝑦+𝑛,消去x,得y2-4my-4n=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4n.由𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=5,得(𝑦1𝑦2)216+y1y2=5,所以y1y2=-20或y1y2=4(舍去),即-4n=-20,即n=5,所以直线AB的方程为x=my+5,所以直线AB过定点(5,0).20.解(1)依题意,椭圆的两焦点为(-2,0),

(2,0),因为点P在椭圆上,所以由椭圆的定义,可得2a=√(2-2)2+(√55)2+√(2+2)2+(√55)2=2√5,即a=√5.又c=2,所以b=1.所以椭圆的方程为𝑥25+y2=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=±√306.由对称性,不妨令直线l的方程为x=

√306,由{𝑥=√306,𝑥25+𝑦2=1,解得{𝑥=√306,𝑦=√306或{𝑥=√306,𝑦=-√306.令点M(√306,√306),N(√306,-√306),此时𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=0,则∠MON=π2.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,点M(x1,y1),N(x2,y2),由点到直线的距离公式,可得|𝑚|√𝑘2+1=√306,则m2=56(k2+1).由{𝑦=𝑘𝑥+

𝑚,𝑥25+𝑦2=1,可得(5k2+1)x2+10kmx+5m2-5=0,则Δ=100k2m2-20(m2-1)(5k2+1)=20(5k2+1-m2)>0,即m2<5k2+1,x1+x2=-10𝑘𝑚5𝑘2+1,x1x2=5(�

�2-1)5𝑘2+1,所以𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=5(𝑘2+1)(𝑚2-1)-10𝑘2𝑚25𝑘2+1+m2=6𝑚2-5(𝑘2+1)5𝑘2+1=0,所以�

�𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗,即∠MON=π2.综上所述,∠MON的大小为定值,该定值为π2.21.(1)解设点P(x,y),由题意得√𝑥2+(𝑦-12)2=|y|,两边平方,得x2+y2-y+14=y

2,于是y=x2+14,经验证成立.故W的方程为y=x2+14.(2)证明设矩形ABCD的顶点A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W上,如图所示.设直线AB的斜率为k

(k>0).不妨将A,B固定在y轴及y轴右侧.A,B的坐标满足y2-y1=k(x2-x1),A,D的坐标满足y3-y1=-1𝑘(x3-x1).又点A,B,D在抛物线上,即y1=𝑥12+14,y2=𝑥22+14,y3=𝑥32+14,代入以上方程中,得x2=k-x1,x3=-1𝑘-x

1.矩形ABCD的周长为2|AB|+2|AD|≥4√|𝐴𝐵|·|𝐴𝐷|,当且仅当|AB|=|AD|时等号成立,此时矩形ABCD为正方形.(用基本不等式将矩形周长问题转化成正方形面积问题)要证明矩形ABCD的周长大于3√3,只需证明正方形的面积大于2716.∵|AB|=√1+𝑘2·

(x2-x1),|AD|=√1+1𝑘2·(x1-x3),∴√1+𝑘2·(x2-x1)=√1+1𝑘2·(x1-x3),得x1-x3=k(x2-x1).将x2=k-x1,x3=-1𝑘-x1代入x1-x3=k(x2-x1

),有2x1+1𝑘=k(k-2x1),即k2-1𝑘=(2k+2)x1.∵x1≥0,∴k2-1𝑘≥0.∵k>0,∴k3≥1.∴k≥1.则|AB|=√1+𝑘2·(x2-x1)=√1+𝑘2·(k-2x1)=√1+𝑘2·𝑘2+1�

�(𝑘+1).正方形面积S=|AB|2=(𝑘2+1)(𝑘2+1)2𝑘2(𝑘+1)2=(𝑘2+1)2𝑘2·𝑘2+1(𝑘+1)2.∵k2+1≥2k,∴(𝑘2+1)2𝑘2≥4(当k=1时“=”成立).∵k2+1≥2k,∴2(k2

+1)≥k2+2k+1=(k+1)2,∴𝑘2+1(𝑘+1)2≥12(当k=1时“=”成立).则S=(𝑘2+1)2𝑘2·𝑘2+1(𝑘+1)2≥2(当k=1时“=”成立).显然S=(𝑘2+1)2𝑘2·𝑘

2+1(𝑘+1)2≥2>2716.即矩形ABCD的周长大于3√3.22.(1)解由已知得F(0,2),所以c=2,因为e=𝑐𝑎=√22,所以a=2√2,所以椭圆C1的方程为𝑦28+𝑥24=1.(2)解设点A(x1,y1),B(x2,y2),由直线

l:y=kx+m(m>0)与抛物线C2:x2=8y的方程联立可得x2-8kx-8m=0,所以{𝑥1+𝑥2=8𝑘,𝑥1𝑥2=-8𝑚,𝛥=64𝑘2+32𝑚>0.因为y'=𝑥4,所以PA

:y-𝑥128=𝑥14(x-x1),即PA:y=𝑥14x-𝑥128.同理可得PB:y=𝑥24x-𝑥228,所以P(𝑥1+𝑥22,𝑥1𝑥28),即P(4k,-m).因为点P在椭圆𝑦28+𝑥24=1上,所以𝑚28+16𝑘24=1,即m2+32k2=8.因为

m2+32k2≥2√32mk,所以当m=2,k=√24时,mk取得最大值√22.(3)证明因为过原点O,所以可设△AOB的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey=0,由已知可得{𝑥12+𝑦12+𝐷𝑥1+𝐸

𝑦1=0,𝑥22+𝑦22+𝐷𝑥2+𝐸𝑦2=0,故E=𝑥12𝑥2+𝑦12𝑥2-(𝑥22𝑥1+𝑦22𝑥1)𝑥1𝑦2-𝑥2𝑦1=(𝑥12𝑥2-𝑥22𝑥1)+𝑥14𝑥2-𝑥24𝑥164𝑥

1𝑥22-𝑥2𝑥128=8(𝑥1-𝑥2)+𝑥13-𝑥238𝑥2-𝑥1=-8-𝑥12+𝑥22+𝑥1𝑥28,所以E=-8k2-m-8.将点F(0,2)的坐标代入外接圆方程可得4-2(8k2+m+8)=-16k2-2m-12,因为m>0,所以-16k2-2m-1

2<0,所以点F在△AOB的外接圆内.