【文档说明】广东省东莞市东方明珠学校2021届高三下学期数学复习卷四含解析.docx，共(22)页，223.121 KB，由小赞的店铺上传

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12020-2021学年度东方明珠学校第二学期高三复习卷四一、单项选择题1.设集合A={x|1-x≥0},B={x|x2-x-2<0},则A∩B=()A.[1,2)B.(-1,1]C.(-1,1)D.(-2,1]2.已知

复数z1对应复平面上的点(-1,1),复数z2满足z1z2=-2,则|z2+2i|=()A.√2B.2C.10D.√103.命题“∀x∈[0,+∞),x2-2020cosx>0”的否定为()A.∃x0∈[0,+∞),𝑥02-2020cosx0≤0B.∀x∈[0,+∞),

x2-2020cosx≤0C.∃x0∉[0,+∞),𝑥02-2020cosx0≤0D.∀x∉[0,+∞),x2-2020cosx<04.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个

圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为√5-12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为()A.(3-√5)πB.(√5-1)πC.(√

5+1)πD.(√5-2)π5.如图,已知P,Q是函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象与x轴的两个相邻交点,R是函数f(x)的图象的最高点,且𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=3,若函数g(x)的图象与f(x)的图象

关于直线x=1对称,则函数g(x)的解析式是()A.g(x)=√3sin(π2𝑥+π4)B.g(x)=√3sin(π2𝑥-π4)C.g(x)=2sin(π2𝑥+π4)D.g(x)=2sin(π2𝑥-π4)26.函数f(x)=cosx·e𝑥+1e𝑥-1的部分图象大致为()

7.(1-x+2x2)(1+x)4的展开式中含x3的项的系数为()A.-8B.-6C.8D.68.设函数f(x)=(x2-2x+2)ex-13𝑥3−12x2的极值点的最大值为x0,若x0∈(n,n+1),则整数n的值为()A.-2B.-1C.0D.1二、多项选择题9

.若“∃x0∈[12,2],使得2𝑥02-λx0+1<0成立”是假命题,则实数λ的值可能是()A.32B.2√2C.3D.9210.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是棱A1D1上的动点,下列说法正确的是()A.在平面ADD

1A1内存在与平面CBF平行的直线B.在平面ABCD内存在与平面CBF垂直的直线C.点F从A1运动到D1的过程中,FC与平面ABCD所成的角逐渐变大D.点F从A1运动到D1的过程中,点D到平面CBF的距离逐渐变小11.已知一圆锥的高PO

=2,底面圆的半径为4,M为母线PB的中点,过点M截圆锥,如图所示,若四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线,则下列四个命题中错误的是()3①圆的面积为4π;②椭圆的长轴长为√37;③双曲线的两条渐近

线在第一、四象限内的夹角的正切值为-34;④抛物线中焦点到准线的距离为4√55.A.①B.②C.③D.④12.已知函数f(x)=ex-ax有两个零点x1,x2,有下列判断:①a<e;②x1+x2<2;③x1·x2>1;④函数f(x)有极小值点x0,且x1+x2<2x0

.其中错误的是()A.①B.②C.③D.④三、填空题13.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则Ρ(0<ξ<2)=.14.已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点,以OP所在直线为旋

转轴旋转一周得到一圆锥,CD是该圆锥底面圆O上的弦,△COD为等边三角形,则异面直线OC与PD所成角的余弦值为.15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB+2bcosA=0,则tan𝐴t

an𝐵=,tanC的最大值是.16.已知函数g(x),h(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且g(x)+h(x)=ex+sinx-x,若函数f(x)=3|x-2020|-λg(x-2020)-2λ2有唯一零点,则实数λ的值为.17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=17

,2a2-a1=11.(1)求数列{an}的通项公式;(2)当n为何值时,数列{an}的前n项和最大?418.在给出的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.①3AB=4BC,sin∠ACB=23;②tan(∠𝐵𝐴𝐶+π6)=√3;③2BCcos∠ACB=2AC-√3AB.

如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,,DC=2.(1)求∠DAC的大小;(2)求△ADC面积的最大值.19.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,∠BCC1=π3,BC=1,AB=C1C=2,点E是

棱C1C的中点.(1)求证:C1B⊥平面ABC;(2)求二面角A-EB1-A1的余弦值;(3)在棱CA上是否存在一点M,使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为2√1111?若存在,求出𝐶𝑀𝐶𝐴的值;若不存在,请说明理由.520.十一国

庆节来临,某社区为了丰富居民的业余生活,特地以“我们都是中国人”为主题举行猜谜语竞赛.谜语分为两类:一类叫事物谜;另一类叫文义谜.现有8道谜语,其中事物谜4道,文义谜4道,孙同学从中任取3道解答.(1)求孙同学至少取到2道文义谜的概率;(2)已知孙同学答对每道事物谜的概率都是2

3,答对每道文义谜的概率都是12,且每道谜语答对与否相互独立,若孙同学恰好选中2道事物谜,1道文义谜,用X表示孙同学答对的谜语个数,求随机变量X的分布列和数学期望.621.已知函数f(x)=2lnx-(𝑥-1)(1+𝑚𝑥)𝑥.(1)当m=1时,试判断函数f(x)零点的个数;(2)

若x≥1时,f(x)≤0,求m的取值范围.22.已知直线l1过坐标原点O且与圆x2+y2=4相交于点A,B,圆M过点A,B且与直线y+2=0相切.(1)求圆心M的轨迹C的方程;(2)圆心在x轴正半轴上且面积等于2π的圆W与曲线C有且仅有1个公

共点.①求出圆W的标准方程;②已知斜率等于-1的直线l2,交曲线C于E,F两点,交圆W于P,Q两点,求|𝐸𝐹||𝑃𝑄|的最小值及此时直线l2的方程.72020-2021学年度东方明珠学校第二学期高三复习卷四一、单项选择

题1.设集合A={x|1-x≥0},B={x|x2-x-2<0},则A∩B=()A.[1,2)B.(-1,1]C.(-1,1)D.(-2,1]答案BA={x|1-x≥0}={x|x≤1},B={x|-1<x<2},则A∩B=(-1,1].2.已知复数z1对应复平面上的点(-1,

1),复数z2满足z1z2=-2,则|z2+2i|=()A.√2B.2C.10D.√10答案D因为复数z1对应复平面上的点(-1,1),所以z1=-1+i,又复数z2满足z1z2=-2,8所以z2=-2𝑧1=-2-1+i=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i,因此|

z2+2i|=|1+3i|=√10.故选D.3.命题“∀x∈[0,+∞),x2-2020cosx>0”的否定为()A.∃x0∈[0,+∞),𝑥02-2020cosx0≤0B.∀x∈[0,+∞),x2-2020cosx≤0C.∃x0∉[0,+∞)

,𝑥02-2020cosx0≤0D.∀x∉[0,+∞),x2-2020cosx<0答案A根据全称量词命题的否定可知,“∀x∈[0,+∞),x2-2020cosx>0”的否定为“∃x0∈[0,+∞),𝑥02-2020cosx0≤0

”,故选A.4.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为√5-12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为()A.(3-√5)π

B.(√5-1)πC.(√5+1)πD.(√5-2)π答案AS1与S2所对应的扇形圆心角的弧度数比即为它们的面积比,设S1与S2所对应的扇形圆心角的弧度数分别为α,β,则𝛼𝛽=√5-12,又𝛼+𝛽=2π,解得𝛼

=(3−√5)π.5.如图,已知P,Q是函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象与x轴的两个相邻交点,R是函数f(x)的图象的最高点,且𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=3,若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1

对称,则函数g(x)的解析式是()9A.g(x)=√3sin(π2𝑥+π4)B.g(x)=√3sin(π2𝑥-π4)C.g(x)=2sin(π2𝑥+π4)D.g(x)=2sin(π2𝑥-π4)答案C由已知,

得R(32,𝐴),则𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,-A),𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(1,-A),于是𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=A2-1=3,解得A=2,因为𝑇2=52−12=2,所以𝑇=4,𝜔=2π𝑇=π2,由π2×

12+𝜑=2𝑘π,𝑘∈Z及|𝜑|<π2,得𝜑=−π4,故f(x)=2sin(π2𝑥-π4),因为g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称,所以g(x)=f(2-x)=2sin[π2

(2-𝑥)-π4]=2sin[π-(π2𝑥+π4)]=2sin(π2𝑥+π4).故选C.6.函数f(x)=cosx·e𝑥+1e𝑥-1的部分图象大致为()答案Bf(x)=cosx·e𝑥+1e𝑥-1的定义域为(-∞,0)∪(

0,+∞),∵f(-x)=cos(-x)·e-𝑥+1e-𝑥-1=−cos𝑥·e𝑥+1e𝑥-1=-f(x),∴函数f(x)=cosx·e𝑥+1e𝑥-1为奇函数,排除A、D选项,又∵当x→0+时,cosx>0且e𝑥+1e𝑥-1>0,∴f(x)=cosx·e𝑥+1e𝑥-1>

0,故选B.107.(1-x+2x2)(1+x)4的展开式中含x3的项的系数为()A.-8B.-6C.8D.6答案D(1-x+2x2)(1+x)4的展开式中含x3的项是1×C43x3+(-x)C42x2+2x2·C41x1=6x3,系数为6,故选D.8.设函数f(x)=(x2-2x+2)ex

-13𝑥3−12x2的极值点的最大值为x0,若x0∈(n,n+1),则整数n的值为()A.-2B.-1C.0D.1答案C由题意得f'(x)=exx2-x2-x=x(exx-x-1),令f'(x)=0,解得x=0或xex-x

-1=0.设g(x)=exx-x-1,则g'(x)=ex(x+1)-1,g″(x)=ex(x+2),令g″(x)=0,解得x=-2,当x<-2时,g″(x)<0,当x>-2时,g″(x)>0,所以g'(x)在(-∞,-2)上单调递减,

在(-2,+∞)上单调递增,所以g'(x)在x=-2处取得最小值,g'(-2)=-e-2-1<0,当x→-∞时,g'(x)→-1,且g'(0)=0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上

单调递增.g(0)=-1<0,g(1)=e-2>0,g(-2)=-2e2+1>0,g(-1)=-e-1<0.所以∃x1∈(-2,-1),使得g(x1)=0;∃x2∈(0,1),使得g(x2)=0,所以f(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,

在(x2,+∞)上单调递减,所以x=x2为极大值点,x=x1为极小值点.又f(x)的极值点的最大值为x0,且x0∈(n,n+1),所以x2=x0,整数n=0.故选C.二、多项选择题9.若“∃x0∈[12,2],使得2𝑥02-λx0+1<0成立”是假命题,则实数λ的值可能是()11A.32

B.2√2C.3D.92答案AB“∃x0∈[12,2],使得2𝑥02-λx0+1<0成立”是假命题,即“∃x0∈[12,2],使得𝜆>2𝑥0+1𝑥0成立”是假命题,则“∀x∈[12,2],使得𝜆≤2𝑥

+1𝑥成立”是真命题,令f(x)=2x+1𝑥,𝑥∈[12,2],易知当x∈[12,2]时,𝑓(𝑥)在[12,√22]上单调递减,在(√22,2]上单调递增,∴当x=√22时,函数𝑓(𝑥)取得最小值,即𝑓(𝑥)min=𝑓(√22)=2

√2,∴λ≤f(x)min=2√2.故实数λ的取值范围为(-∞,2√2].故选AB.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是棱A1D1上的动点,下列说法正确的是()A.在平面ADD1A1内存在与平面CBF平行的直线B.

在平面ABCD内存在与平面CBF垂直的直线C.点F从A1运动到D1的过程中,FC与平面ABCD所成的角逐渐变大D.点F从A1运动到D1的过程中,点D到平面CBF的距离逐渐变小答案AC由题意得,AD在平面ADD1A1内,且与平面CBF平行,故A中说法正确;平面CBF

即平面A1D1CB,因为平面A1D1CB与平面ABCD斜相交,所以在平面ABCD内不存在与平面CBF垂直的直线,故B中说法错误;点F到平面ABCD的距离不变,且在F运动过程中FC逐渐变小,则FC与平面ABCD所成的角逐渐变大,故C中说法正确;12平面CBF即平

面A1D1CB,点D到平面A1D1CB的距离为定值,故D中说法错误.故选AC.11.已知一圆锥的高PO=2,底面圆的半径为4,M为母线PB的中点,过点M截圆锥,如图所示,若四个图中的截面边界曲线分别为圆

、椭圆、双曲线及抛物线,则下列四个命题中错误的是()①圆的面积为4π;②椭圆的长轴长为√37;③双曲线的两条渐近线在第一、四象限内的夹角的正切值为-34;④抛物线中焦点到准线的距离为4√55.A.①B.②C.③D.④答案CD对于①,∵圆锥底面圆的半径为4,且点M是圆锥母线的

中点,∴圆的半径r=2,因此圆的面积S=π×22=4π,故①中命题正确;对于②,由题意可得椭圆的长轴长=√(4+2)2+12=√37,故②中命题正确;对于③,在与圆锥的底面、平面PAB垂直且过点M的平面内建立直角坐标系,不妨设双曲线的标准方程为𝑥2𝑎2

−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0),则𝑀(1,0),即𝑎=1,把点(2,2√3)代入可得4−12𝑏2=1,解得𝑏=2,∴𝑏𝑎=2,设双曲线的两条渐近线在第一、四象限内的夹角为2𝜃,则tan2𝜃=2×21-22=−43,故③中命题不正确;对于④,建立直角坐标系,不妨设抛物线的

标准方程为y2=2px,把点(√5,4)代入可得42=2𝑝×√5,解得𝑝=8√55,∴抛物线中焦点到准线的距离𝑝为8√55,故④中命题不正确.故选CD.12.已知函数f(x)=ex-ax有两个零点x1,x2,有下列判断:①a<e;②x1+x2<2;③x1·x2>1;④函数f(x)有极小值点x

0,且x1+x2<2x0.其中错误的是()A.①B.②C.③D.④13答案ABC由题意得,f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0在x∈R上恒成立,∴f(x)在R上单调递增,不符合题意.当a>0时,f'(x)>0,即ex-a>0,解得x>

lna;f'(x)<0,即ex-a<0,解得x<lna,∴f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.∵函数f(x)=ex-ax有两个零点x1,x2,∴f(lna)<0,∴eln𝑎

-alna<0,∴a>e,故①中判断不正确.f(0)=1>0,f(1)=e-a<0,∴0<x1<1<lnx0,x2>lnx0>1,不能确定x1+x2<2,即②中判断不确定.函数的极小值点为x0=lna,要证x1+x2<2x0,只要证x1<

2x0-x2<x0,∵函数f(x)在(-∞,x0)上单调递减,∴只需要证f(x2)=f(x1)>f(2x0-x2).构造函数g(x)=f(x)-f(2x0-x)=ex-e2𝑥0-𝑥-2ax+2ax0(x>x0),求导得到g

'(x)=ex+e2𝑥0-𝑥−2𝑎≥2√e2𝑥0-2a=0,∴函数g(x)单调递增,g(x0)=0,∴g(x)≥0恒成立,∴f(x)≥f(2x0-x),即f(x2)>f(2x0-x2),∴f(x2

)=f(x1)>f(2x0-x2),进而得证x1<2x0-x2<x0,x1+x2<2x0,故④中判断正确.{e𝑥1=𝑎𝑥1,e𝑥2=𝑎𝑥2⇒e𝑥1+𝑥2=a2x1x2⇒x1+x2=2lna+lnx1x2,根据x1+x2<2x0=2lna,可得到lnx

1x2<0⇒0<x1x2<1.故③中判断不正确.故选ABC.三、填空题13.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则Ρ(0<ξ<2)=.答案0.314解析P(2<ξ<4)=0.8-0.

5=0.3,故P(0<ξ<2)=0.3.14.已知O为等腰直角三角形POD的直角顶点,以OP所在直线为旋转轴旋转一周得到一圆锥,CD是该圆锥底面圆O上的弦,△COD为等边三角形,则异面直线OC与PD所成角的余

弦值为.答案√24解析设OP=r,过点D作OC的平行线,与底面圆O交于点E,连接OE,则OE=OC=CD=OD=r,PC=PD=√2r,所以∠PDE为异面直线OC与PD所成的角,在△PDE中,cos∠PDE=𝑟2√2𝑟=√24,即异面直线𝑂𝐶与𝑃𝐷所成角的余弦值为√24.15.△AB

C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosB+2bcosA=0,则tan𝐴tan𝐵=,tanC的最大值是.答案-2;√24解析∵acosB+2bcosA=0,∴sinAcosB+2sinBcosA=0⇒sinAcosB=-2

sinBcosA⇒tanA=-2tanB,∴tan𝐴tan𝐵=-2.∴tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-tan𝐴+tan𝐵1-tan𝐴tan𝐵=12tan𝐵+1tan𝐵,要求tanC的最大值,只需考虑tanB>0的情况,∴tanC=12t

an𝐵+1tan𝐵≤12√2=√24,当且仅当2tanB=1tan𝐵时,等号成立.16.已知函数g(x),h(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且g(x)+h(x)=ex+sinx-x,若函数f(x)=3|x-2020|

-λg(x-2020)-2λ2有唯一零点,则实数λ的值为.答案-1或12解析∵g(x)+h(x)=ex+sinx-x,①15∴g(-x)+h(-x)=e-x+sin(-x)+x,又g(x),h(x)分别是R上的偶函数和奇函数,∴g(x)-h(x)=e-x-si

nx+x,②①+②得g(x)=e𝑥+e-𝑥2,由于y=|x-2020|的图象关于x=2020对称,则y=3|x-2020|的图象关于x=2020对称,g(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,则g(x-2020)的图象关于x=2020对称,由于f(x)=3|x-2020|-λ

g(x-2020)-2λ2有唯一零点,则必有f(2020)=0,g(0)=1,即f(2020)=30-λg(0)-2λ2=1-λ-2λ2=0,解得λ=-1或λ=12.17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=17,2a2-a1=11.(1)求数列{an}的通项公

式;(2)当n为何值时,数列{an}的前n项和最大?解析(1)设等差数列{an}的公差为d.∵a1=17且2a2-a1=11,∴2(17+d)-17=11,解得d=-3,∴an=17-3(n-1)=20-3n(n∈N*).(2)Sn=17n+𝑛(𝑛-1)2

×(−3)=−32𝑛2+372𝑛=−32(𝑛-376)2+32×(376)2.∵n∈N*,∴当n=6时,数列{an}的前n项和最大.18.在给出的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答.①3AB=4BC,sin∠ACB=23;②tan(∠𝐵𝐴𝐶+π6)=√3;③2BCco

s∠ACB=2AC-√3AB.16如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,,DC=2.(1)求∠DAC的大小;(2)求△ADC面积的最大值.解析(1)方案一:选择①.在△ABC中,由𝐴𝐵sin∠𝐴𝐶𝐵=𝐵sin∠𝐵𝐴𝐶和3𝐴𝐵=4𝐵𝐶

,sin∠𝐴𝐶𝐵=23,可得sin∠𝐵𝐴𝐶=12,∴∠𝐵𝐴𝐶=π6.又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,∴∠𝐷𝐴𝐶=π3.方案二:选择②.由tan(∠𝐵𝐴𝐶+π6)=√3可得∠𝐵𝐴𝐶=

π6,又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,∴∠𝐷𝐴𝐶=π3.方案三:选择③.由2BCcos∠ACB=2AC-√3AB得,2sin∠BACcos∠ACB=2sin∠ABC-√3sin∠ACB,∴2sin∠BACcos∠ACB=2sin(∠ACB+∠BAC)-√3sin∠ACB

,∴2sin∠BACcos∠ACB=2sin∠ACBcos∠BAC+2cos∠ACB·sin∠BAC-√3sin∠𝐴𝐶𝐵,即2sin∠𝐴𝐶𝐵cos∠𝐵𝐴𝐶=√3sin∠ACB,∵sin∠ACB>0,∴cos∠BAC=√32,∵∠BAC

∈(0,π),∴∠BAC=π6,又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,∴∠𝐷𝐴𝐶=π3.(2)在△ACD中,DC=2,∴DC2=4=AC2+AD2-2AC·AD·cosπ3≥AC·AD,即AC·AD≤4,∴S△ADC=12𝐴𝐶·𝐴𝐷·sin∠𝐷𝐴𝐶≤12×4×√32=√3,

当且仅当AC=AD时取“=”.∴△ADC面积的最大值为√3.1719.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,∠BCC1=π3,BC=1,AB=C1C=2,点E是棱C1C的中点.(1)求证:C1B⊥平面ABC;(2)求二面角A-EB1-A1的余弦值;(3)在棱CA上是否

存在一点M,使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为2√1111?若存在,求出𝐶𝑀𝐶𝐴的值;若不存在,请说明理由.解析(1)证明:∵BC=1,CC1=2,∠BCC1=π3,∴BC1=√𝐵𝐶2+𝐶𝐶12-2𝐵𝐶·𝐶𝐶1·cos∠𝐵𝐶𝐶1=√3,则BC2+B𝐶12=C

𝐶12,∴BC1⊥BC,∵AB⊥平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,∴AB⊥BC1.又∵AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABC,∴C1B⊥平面ABC.(2)以B为原点,分别以𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐶1⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗和𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗的方向为x轴,y轴和z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,2),B1(-1,√3,0),𝐸(12,√32,0),𝐴1(−1,√3,2),∴𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,√3,-2),𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(

12,√32,-2),𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,-2),𝐴1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(32,-√32,-2),设平面AB1E的法向量为n=(x1,y1,z1),则{𝑛·𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-𝑥1+√3𝑦1-2𝑧1=0

,12𝑥1+√32𝑦1-2𝑧1=0,18令y1=√3,则𝑥1=1,𝑧1=1,∴𝑛=(1,√3,1).设平面A1B1E的法向量为m=(x,y,z),则{𝑚·𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑚·𝐴1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,即

{-2𝑧=0,32𝑥-√32𝑦-2𝑧=0,令y=√3,则𝑥=1,𝑧=0,∴𝑚=(1,√3,0).设二面角A-EB1-A1的平面角为α,则二面角A-EB1-A1的余弦值cosα=cos<m,n>=𝑚·𝑛|𝑚||𝑛|=42√5=2√55.(

3)棱CA上存在点M使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为2√1111.理由如下:设M(a,b,c),𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,λ∈[0,1],易知C(1,0,0),则(a-1,b,c)=λ(-1,0,2),∴M(1-λ,0,2λ),∴𝐸�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12-𝜆,-√32,2𝜆).由(2)知平面A1B1E的一个法向量为m=(1,√3,0),∴2√1111=|12-𝜆-32|2√(12-𝜆)2+34+4𝜆2,化简得69λ2-38λ+5=0,即(3λ-1)(23λ-5)=0,解得λ=13或

𝜆=523,∴𝐶𝑀𝐶𝐴=13或𝐶𝑀𝐶𝐴=523.20.十一国庆节来临,某社区为了丰富居民的业余生活,特地以“我们都是中国人”为主题举行猜谜语竞赛.谜语分为两类:一类叫事物谜;另一类叫文义谜.现有8道谜语,其中事物谜4道,文义谜4道,孙同学从中任取3道解答.(1

)求孙同学至少取到2道文义谜的概率;(2)已知孙同学答对每道事物谜的概率都是23,答对每道文义谜的概率都是12,且每道谜语答对与否相互独立,若孙同学恰好选中2道事物谜,1道文义谜,用X表示孙同学答对的谜语个数,求随机变量X的分布列和数学期望.解析(1)设“孙

同学至少取到2道文义谜”为事件A.孙同学取2道文义谜共有C42C41种取法,19孙同学取3道文义谜共有C43种取法,故𝑃(𝐴)=C42C41+C43C83=12.(2)易知X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C20×(13)2×

(23)0×(1-12)=118,P(X=1)=C21×13×23×(1-12)+C20×(13)2×(23)0×12=518,P(X=2)=C22×(13)0×(23)2×(1-12)+C21×13×

23×12=49,P(X=3)=C22×(13)0×(23)2×12=29.故随机变量X的分布列为X0123P1185184929故随机变量X的数学期望E(X)=0×118+1×518+2×49+3×29=116.21.已知函数f(x)=2l

nx-(𝑥-1)(1+𝑚𝑥)𝑥.(1)当m=1时,试判断函数f(x)零点的个数;(2)若x≥1时,f(x)≤0,求m的取值范围.解析(1)当m=1时,f(x)=2lnx-(𝑥-1)(1+𝑥)𝑥,则f

'(x)=-(𝑥-1)2𝑥2≤0.由题意得,f(x)在(0,+∞)上单调递减,又f(1)=0,∴f(x)有且只有一个零点.(2)由题意得,f(1)=0,f'(x)=-𝑚𝑥2+2𝑥-1𝑥2.当m≤0时,在[1,+∞)上f'(x)≥0恒成立,∴f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴f

(x)≥f(1)=0,不符合题意.当m>0时,设g(x)=-mx2+2x-1,当Δ=4-4m≤0,即m≥1时,g(x)=-mx2+2x-1≤0恒成立,20∴在[1,+∞)上f'(x)≤0恒成立,∴f(x)在[1,+∞)上单调递减,∴

f(x)≤f(1)=0,符合题意;当Δ=4-4m>0,即0<m<1时,g(x)=0有两个不等实根,设为x1,x2,∵g(1)=1-m>0,∴x1<1<x2,当x∈(1,x2)时,f'(x)>0,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)<0,即f(x)在

区间(1,x2)上单调递增,在(x2,+∞)上单调递减,∴f(x2)>f(1)=0,不符合题意.综上,m的取值范围为[1,+∞).22.已知直线l1过坐标原点O且与圆x2+y2=4相交于点A,B,圆M过点A,B且与直线y+2=0相切.(1)求圆心M的轨迹C的方程;(2

)圆心在x轴正半轴上且面积等于2π的圆W与曲线C有且仅有1个公共点.①求出圆W的标准方程;②已知斜率等于-1的直线l2,交曲线C于E,F两点,交圆W于P,Q两点,求|𝐸𝐹||𝑃𝑄|的最小值及此时直线l2的方程.解析(1)由题意知圆x2+y2=4的圆心为

(0,0),半径为2,直线l1过坐标原点O,所以坐标原点O为AB的中点,|AO|=2,MO⊥AO,所以|MO|2+|OA|2=|MA|2,设M(x,y),因为圆M与直线y+2=0相切,所以圆M的半径r=|y+2|=|MA|,所以x2+y2+4=(y+2)2,化简得x2=4y

,即圆心M的轨迹C的方程为x2=4y.(2)①由(1)知曲线C为y=𝑥24,设𝑓(𝑥)=𝑥24,则𝑓′(𝑥)=𝑥2,设圆W与曲线C的公共点为T(𝑡,𝑡24)(t>0),则曲线C在T点的切线l的斜率k=f'(t)=𝑡2,由题意

知,直线l与圆W相切于T点,21设圆W的标准方程为(x-a)2+y2=2(a>0),则圆W的圆心为(a,0),则直线WT的斜率kWT=𝑡24𝑡-𝑎=𝑡24(𝑡-𝑎),因为l⊥WT,所以𝑡2

·𝑡24(𝑡-𝑎)=-1,即t3+8(t-a)=0,又因为(t-a)2+(𝑡24)2=2,所以(-𝑡38)2+(𝑡24)2=2,所以t6+4t4-128=0.令t2=λ,则λ3+4λ2-128=0,所以(λ3-4λ2)+(8λ2-128

)=0,即(λ-4)(λ2+8λ+32)=0,所以λ=4,所以t=2,所以a=3,所以圆W的标准方程为(x-3)2+y2=2.②设E(x1,y1),F(x2,y2),直线l2:y=-x+m,由{𝑦=-𝑥+𝑚,𝑥2=4𝑦,得x2+4x-4m=0,则

x1+x2=-4,x1x2=-4m,所以|EF|=√2·√(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2=4√2(1+𝑚).因为圆W的圆心(3,0)到直线PQ的距离为|𝑚-3|√2,所以|PQ|=2√2-(|𝑚-3|√2)2=√-2𝑚2+12𝑚-10,所以|�

�𝐹||𝑃𝑄|=4√2(1+𝑚)√-2𝑚2+12𝑚-10=4√1+𝑚-𝑚2+6𝑚-5,由于l2与曲线C、圆W均有两个不同的交点,所以{𝛥=16+16𝑚>0,|𝑚-3|√2<√2,解得1

<m<5,令1+m=u,则u∈(2,6),|𝐸𝐹||𝑃𝑄|=4√𝑢-(𝑢-1)2+6(𝑢-1)-5=4√1-(𝑢+12𝑢)+8≥4√1-2√𝑢·12𝑢+8=√2+√6,当且仅当u=12𝑢,即𝑢=2√3时取等号,此时𝑚=2√3−1,|𝐸𝐹||𝑃

𝑄|的最小值为√2+√6,直线𝑙2的方程为𝑦=−𝑥+2√3-1.22