【文档说明】广东省东莞市东方明珠学校2021届高三下学期数学复习卷一含解析.docx，共(24)页，227.598 KB，由小赞的店铺上传

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12020-2021学年度东方明珠学校第二学期高三复习卷一一、单项选择题1.已知集合M={x|x2-2x<0},集合N={-2,-1,0,1,2},则M∩N=()A.B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1}2.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别

是𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,若z1=zz2,则复数z的共轭复数𝑧=()A.12+32iB.12−32IC.-12+32iD.-12−32i3.某中学高一、高二、高三三个年级的学生人数之比为6∶

5∶7,防疫站欲对该校学生进行身体健康调查,用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本,样本中高三年级的学生有21人,则n等于()A.35B.45C.54D.634.在正项等比数列{an}中,若a3a7=4,则(-2)𝑎5=()A.16B.8C.4D.25.已知

正方形ABCD的边长为3,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=()A.3B.-3C.6D.-66.设a=0.30.1,b=log1315,c=log526,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.c>a>bC.b>

c>aD.c>b>a7.函数f(x)=𝑥2ln|𝑥||𝑥|的图象大致是()28.已知函数f(x)是定义在(-π2,π2)上的奇函数.当𝑥∈[0,π2)时,𝑓(𝑥)+𝑓′(𝑥)tan𝑥>0,则不等式cos𝑥·𝑓(𝑥+π2)+sinx·f(-x)>0的

解集为()A.(π4,π2)B.(-π4,π2)C.(-π4,0)D.(-π2,-π4)二、多项选择题9.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对于任意n>1,n∈N*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则()A.a9=17B.a10=18C.S9=

81D.S10=9110.已知函数f(x)=(asinx+cosx)cosx-12图象的一条对称轴为𝑥=π6,则下列结论中正确的是()A.f(x)是最小正周期为π的奇函数B.(-7π12,0)是f(x)图象的一个对称

中心C.f(x)在[-π3,π3]上单调递增D.先将函数y=2sin2x的图象上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图象向左平移π12个单位长度,即可得到函数f(x)的图象11.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数

f'(x)满足f'(x)>m>1,则下列不等式成立的有()A.f(1𝑚)>1-𝑚𝑚B.𝑓(1𝑚)<-1C.f(1𝑚-1)>1𝑚-1D.𝑓(1𝑚-1)<012.在边长为2的等边三角形ABC中,点D,E分别是边AC,AB上的点,满

足DE∥BC,且𝐴𝐷𝐴𝐶=λ(λ∈(0,1)),将△ADE沿直线DE折到△A'DE的位置.在翻折过程中,下列结论不成立的是()A.在边A'E上存在点F,使得在翻折过程中,满足BF∥平面A'CDB.存在λ∈(0,12),使得在翻折过程中的某个位置,满足平面A'BC⊥平面BCDEC.若λ=1

2,则当二面角𝐴′−𝐷𝐸−𝐵为直二面角时,|𝐴′𝐵|=√104D.在翻折过程中,四棱锥A'-BCDE的体积记为f(λ),f(λ)的最大值为2√39三、填空题313.一名工人维护3台独立的游戏机,一天

内这3台游戏机需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.6,则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为(结果用小数表示).14.函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,则函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为.为了得到g(x)=sinωx的图象,只需

将y=f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度.15.已知定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)={log12(𝑥+1),𝑥∈[0,1),1-|𝑥-3|,𝑥∈[1,+∞),则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1

)的所有零点之和为.16.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是边长为3的正三角形,则三棱柱外接球的体积与内切球的体积比为.17.在平面四边形ABCD中,∠BAD=60°,∠BCD=120°,AB=3,AD=2.(1)

若CD=1,求BC;(2)求四边形ABCD面积的最大值.418.已知{an}为等差数列,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任意两个数都不在下表的同一列.第一列第

二列第三列第一行第二行469第三行1287请从①a1=2,②a1=1,③a1=3这三个条件中选一个填入上表,使满足以上条件的等差数列{an}存在,并解答下列两个问题.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足bn=(-1)n+1𝑎𝑛2,求数列{bn}的前n项和T

n.19.如图,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,点G在线段BE上,∠ABE=45°,AB=2,BG=√2,BC=1.(1)求证:AG⊥平面ADF;(2)求二面角D-CA-G的正切值.520.某城市9年前分别同

时开始建设物流城和湿地公园,物流城3年建设完成,建成后若年投入x亿元,则该年产生的经济净效益为(2lnx+5)亿元;湿地公园4年建设完成,建成后的5年每年投资额如图所示,公园建成后若年投入x亿元,则该年产生的经济净效益为(x

+3)亿元.(1)对于湿地公园,请在x=kn+b,x=kn2+b中选择一个合适的模型,求投资额x与投入年份n的回归方程;(2)从建设开始的第10年,若对物流城投入0.25亿元,预测这一年物流城和湿地公园哪个产生的年经济净效益高?请说明

理由.参考数据及公式:𝑥=0.336,∑𝑖=15𝑛𝑖𝑥𝑖=6.22;当𝑡=𝑛2时,𝑡=11,∑𝑖=15𝑡𝑖2=979,回归方程中的∑𝑖=15𝑡𝑖𝑥𝑖=29.7;回归方程𝑟^=�

�^𝑠+𝑏^的斜率与截距分别为𝑘^=∑𝑖=1𝑚𝑠𝑖𝑟𝑖-𝑚𝑠·𝑟∑𝑖=1𝑚𝑠𝑖2-𝑚𝑠2,𝑏^=𝑟-𝑘^𝑠.621.已知函数f(x)=2lnx-(𝑥-1)(1+𝑚𝑥)𝑥.(1)当m=1时,试判断

函数f(x)零点的个数;(2)若x≥1时,f(x)≤0,求m的取值范围.722.已知直线l1过坐标原点O且与圆x2+y2=4相交于点A,B,圆M过点A,B且与直线y+2=0相切.(1)求圆心M的轨迹C的方程;(2)圆心在x轴正半轴上且

面积等于2π的圆W与曲线C有且仅有1个公共点.①求出圆W的标准方程;②已知斜率等于-1的直线l2,交曲线C于E,F两点,交圆W于P,Q两点,求|𝐸𝐹||𝑃𝑄|的最小值及此时直线l2的方程.82020-2021学年度东方明珠学校第二学期高三复习卷一一、单项选择题1.已知集合M={x|x2-

2x<0},集合N={-2,-1,0,1,2},则M∩N=()A.B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1}答案B由x2-2x<0得x(x-2)<0,解得0<x<2,即M=(0,2),∴M∩N={1},故选B.2.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗,若z1=zz2,则复数z的共轭复数𝑧=()A.12+32iB.12−32iC.-12+32i9D.-12−32i答案A由题图可知:z1=1+2i,z2=-1+i,所以z=𝑧1𝑧2=1+2i-1+i=(1+2i)(-1-i)(-1+i)(-1-i)=12−32i,所以𝑧=12+32

i.故选A.3.(2020天津模拟)某中学高一、高二、高三三个年级的学生人数之比为6∶5∶7,防疫站欲对该校学生进行身体健康调查,用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本,样本中高三年级的学生有21人,则n等于()A.35B.45C.54

D.63答案C∵该中学高一、高二、高三三个年级的学生人数之比为6∶5∶7,∴该校高三年级学生人数占高中学生总人数的718,∵用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本,高三年级被抽到的人数为21,∴n=21÷718=54.故选C.4.在正项等比数列{an}

中,若a3a7=4,则(-2)𝑎5=()A.16B.8C.4D.2答案C在正项等比数列{an}中,a5>0,由等比中项的性质可得𝑎52=a3a7=4,∴a5=2,∴(-2)𝑎5=(-2)2=4.故选C.5.已知正方形ABCD的边长为3,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐴𝐸⃗⃗

⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=()A.3B.-3C.6D.-6答案A如图,因为正方形ABCD的边长为3,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,10所以𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)·(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)·(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗-𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗2−13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗

⃗⃗⃗⃗−23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2=32−23×32=3.故选A.6.设a=0.30.1,b=log1315,c=log526,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.c>b>a答案D∵0<0.30.1<0.30=1,∴0<a<

1,∵b=log1315=log35,而log33<log35<log39,∴1<b<2,∵c=log526>log525=2,∴c>2,∴c>b>a,故选D.7.函数f(x)=𝑥2ln|𝑥||𝑥|的图象大致是()答案D由题意得,x≠0,当x>0时,f(x)=xlnx,f'(x)=

1+lnx,即当0<x<1e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>1e时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,因为f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故选D.8.已知函数f(x)是定义在(-π2,π2)上的奇

函数.当𝑥∈[0,π2)时,𝑓(𝑥)+𝑓′(𝑥)tan𝑥>0,则不等式cos𝑥·𝑓(𝑥+π2)+sinx·f(-x)>0的解集为()A.(π4,π2)B.(-π4,π2)11C.(-π4,

0)D.(-π2,-π4)答案C令g(x)=f(x)sinx,则g'(x)=f(x)cosx+f'(x)sinx=[f(x)+f'(x)tanx]·cosx,当x∈[0,π2)时,f(x)+f'(x)tanx>

0,∴g'(x)>0,即函数g(x)单调递增.又g(0)=0,∴当x∈[0,π2)时,g(x)=f(x)sinx≥0,∵f(x)是定义在(-π2,π2)上的奇函数,∴g(x)是定义在(-π2,π2)上的偶函数.不等式cosx·f(𝑥+π2)+sinx·f(-x

)>0,即sin(𝑥+π2)𝑓(𝑥+π2)>𝑠𝑖𝑛𝑥𝑓(𝑥),即𝑔(𝑥+π2)>g(x),∴|𝑥+π2|>|𝑥|,∴𝑥>−π4①,又-π2<𝑥<π2,且−π2<𝑥+π2<π2,∴−π2<x<0②,由①②得不等式的解集是(-π4,0).故选C.二、多项选择题

9.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=2,且对于任意n>1,n∈N*,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则()A.a9=17B.a10=18C.S9=81D.S10=91答案BD∵对于任意n>1,n∈N*,满足Sn+1+Sn-1=

2(Sn+1),∴Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,∴an+1-an=2.∴数列{an}在n≥2时是等差数列,公差为2.又a1=1,a2=2,∴a9=2+7×2=16,a10=2+8×2=18,S9=1+8×2+8×72×2=73,𝑆10=1

+9×2+9×82×2=91.故选BD.1210.已知函数f(x)=(asinx+cosx)cosx-12图象的一条对称轴为𝑥=π6,则下列结论中正确的是()A.f(x)是最小正周期为π的奇函数B.(-7π12,0)是f(x)图象的一个对称中心C.f(x)在

[-π3,π3]上单调递增D.先将函数y=2sin2x的图象上各点的纵坐标缩短为原来的12,然后把所得函数图象向左平移π12个单位长度,即可得到函数f(x)的图象答案BDf(x)=(asinx+cosx)cosx-12=asinxcosx+cos2x-12=

12𝑎sin2𝑥+12cos2x,因为f(x)图象的一条对称轴为x=π6,所以f(0)=f(π3),即12=12𝑎×√32+12×(-12),解得𝑎=√3,所以f(x)=√32sin2𝑥+12cos2

𝑥=sin(2𝑥+π6),所以f(x)的最小正周期为π,且f(x)不是奇函数,故A中结论错误;f(-7π12)=sin(-7π6+π6)=sin(-π)=0,所以(-7π12,0)是f(x)图象的一个对称中心,故B中结论正确;

当x∈[-π3,π3]时,2𝑥+π6∈[-π2,5π6],所以f(x)在[-π3,π3]上不是单调函数,故C中结论错误;将函数y=2sin2x的图象上各点的纵坐标缩短为原来的12,得到𝑦=sin2𝑥的图象,然后把所得函数图象向左平移π12个单位长度,得到𝑦=sin[2(𝑥+π12)]

=sin(2𝑥+π6)的图象,即函数f(x)的图象,所以D中结论正确.故选BD.1311.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>m>1,则下列不等式成立的有()A.f(1𝑚)>1-𝑚𝑚B.𝑓(

1𝑚)<-1C.f(1𝑚-1)>1𝑚-1D.𝑓(1𝑚-1)<0答案AC设g(x)=f(x)-mx,则g'(x)=f'(x)-m>0,故函数g(x)=f(x)-mx在R上单调递增,且1𝑚>0,所以𝑔(

1𝑚)>g(0),所以f(1𝑚)−1>−1,即𝑓(1𝑚)>0,而1-𝑚𝑚<0,所以𝑓(1𝑚)>1-𝑚𝑚,故A中不等式成立,B中不等式不成立.因为1𝑚-1>0,所以𝑔(1𝑚-1)>g(0),所以f(1𝑚-1)−𝑚𝑚-1>−1,即𝑓(1𝑚-1)>1𝑚-1>0,

故C中不等式成立,D中不等式不成立.故选AC.12.在边长为2的等边三角形ABC中,点D,E分别是边AC,AB上的点,满足DE∥BC,且𝐴𝐷𝐴𝐶=λ(λ∈(0,1)),将△ADE沿直线DE折到△A'DE的位置.在翻折过程中,下列结论不成立的是()A.在边A'

E上存在点F,使得在翻折过程中,满足BF∥平面A'CDB.存在λ∈(0,12),使得在翻折过程中的某个位置,满足平面A'BC⊥平面BCDEC.若λ=12,则当二面角𝐴′−𝐷𝐸−𝐵为直二面角时,|𝐴′𝐵|=√104D.在翻折过程中,四棱锥A'-B

CDE的体积记为f(λ),f(λ)的最大值为2√39答案ABC对于A,在A'D上取一点N,使得FN∥ED,在ED上取一点H,使得NH∥EF,作HG∥BE交BC于点G,连接NG,如图所示,14则可得FN平行且等于BG,即四边形BGNF为平行四边形,

∴NG∥BF,而GN始终与平面A'CD相交,因此在边A'E上不存在点F,使得在翻折过程中,满足BF∥平面A'CD,故A中结论不成立.对于B,当λ∈(0,12)时,在翻折过程中,点A'在底面BCDE的射影不可能在交线BC上,因此不满足平面A'BC⊥平面BCDE,因此B中结论不成

立.对于C,若λ=12,当二面角A'-DE-B为直二面角时,取ED的中点M,连接A'M,BM,如图所示:可得A'M⊥平面BCDE,则|A'B|=√𝐴'𝑀2+𝐵𝑀2=√(√32)2+1+(12)2-2×1×12×cos120

°=√102≠√104,因此C中结论不成立.对于D,在翻折过程中,取平面A'ED⊥平面BCDE,四棱锥A'-BCDE的体积f(λ)=13·𝑆四边形𝐵𝐶𝐷𝐸·√3𝜆=𝜆−𝜆3,𝜆∈(0,1),由𝑓′(𝜆)=

1−3𝜆2,可得当𝜆=√33时,函数𝑓(𝜆)取得最大值,为𝑓(√33)=2√39,因此D中结论成立.故选ABC.三、填空题13.一名工人维护3台独立的游戏机,一天内这3台游戏机需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.6,则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为(结果用小数表示).答

案0.568解析记“一天内至少有一台游戏机不需要维护”为事件A,则P(𝐴)=0.9×0.8×0.6=0.432,∴P(A)=1-P(𝐴)=0.568.1514.函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,则函数f(x

)=sin(ωx+φ)的最小正周期为.为了得到g(x)=sinωx的图象,只需将y=f(x)图象上所有的点向右平移个单位长度.答案π;π6解析由函数图象可得14𝑇=7π12−π3=π4,所以最小正周期为π,所以

2π𝜔=π,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),又点(π3,0)在函数y=f(x)的图象上,所以sin(2×π3+𝜑)=0,又|φ|<π2,所以𝜑=π3,所以f(x)=sin(2𝑥+π3)=sin[2(𝑥

+π6)],故要得到函数g(x)=sin2x的图象,只需将函数f(x)=sin[2(𝑥+π6)]的图象上所有的点向右平移π6个单位长度.15.已知定义在R上的奇函数f(x),当x≥0时,f(x)={log12(𝑥+1),𝑥∈[0,1

),1-|𝑥-3|,𝑥∈[1,+∞),则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为.答案1-2a解析∵当x≥0时,f(x)={log12(𝑥+1),𝑥∈[0,1),1-|𝑥-3|,𝑥∈[1,+∞),∴当x∈[0,1)时,f(x)=log12(x+1)∈(-1,0]

;当x∈[1,3]时,f(x)=x-2∈[-1,1];当x∈(3,+∞)时,f(x)=4-x∈(-∞,1).16画出x≥0时f(x)的图象,再利用奇函数的对称性,画出x<0时f(x)的图象,如图所示:直线y=a与y=f(x)的图象有5个交点,则方程f(x)-a=0共有五个实根,最左边两

根之和为-6,最右边两根之和为6,∵x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),∴f(-x)=log12(-x+1),又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-log12(-x+1)=log12(1-x)-1=log2(1-x),∴中间的根满足lo

g2(1-x)=a,即1-x=2a,解得x=1-2a,∴所有根的和为1-2a,即函数F(x)的所有零点之和为1-2a.16.(2020广东化州高三模拟)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是边长为3的正三角形,则三棱柱外接球的体积与内切球的体积

比为.答案5√5:1解析由题意,知三棱柱ABC-A1B1C1的内切球与各面都相切,故三棱柱的高为内切球的直径,即为底面三角形内切圆的直径.设△ABC内切圆的半径为r,△ABC的高为√32-(32)2=3√

32,∴12×3×𝑟×3=12×3×3√32,∴𝑟=√32.设外接球的半径为R,连接两底面三角形的重心,得到线段GG1,可知外接球的球心为GG1的中点,设为点O,17三棱柱的高为2r=√3,则R2=(√32)2+(√3)2=154,∴R=√152,设三棱柱的外接球的体积为V1,内切球的体积为

V2,故三棱柱外接球的体积与内切球的体积比为𝑉1𝑉2=𝑅3𝑟3=(√152)3(√32)3=5√5∶1.17.(2020黑龙江大庆一中高三三模)在平面四边形ABCD中,∠BAD=60°,∠BCD=120°,AB=3,AD=2.(1)若CD=1,求BC;(2)求四边形ABCD面积的最大值.解

析(1)连接BD,在△ABD中,AB=3,AD=2,∠BAD=60°,所以cos∠BAD=𝐴𝐵2+𝐴𝐷2-𝐵𝐷22𝐴𝐵·𝐴𝐷,即cos60°=32+22-𝐵𝐷22×3×2,解得�

�𝐷=√7(负值舍去).在△BCD中,CD=1,BD=√7,∠BCD=120°,所以cos∠BCD=𝐶𝐷2+𝐵𝐶2-𝐵𝐷22𝐶𝐷·𝐵𝐶,即cos120°=1+𝐵𝐶2-72𝐵𝐶,解得BC=2(负值舍去).(2)由(1)知,B

D=√7,在△BCD中,cos∠BCD=𝐶𝐷2+𝐵𝐶2-𝐵𝐷22𝐶𝐷·𝐵𝐶,即cos120°=𝐶𝐷2+𝐵𝐶2-72𝐶𝐷·𝐵𝐶,即CD2+BC2+CD·BC=7.因为CD2+BC2≥2CD·BC,当且仅当CD=BC=√213时等号成

立,所以7-CD·BC≥2CD·BC,解得CD·BC≤73.18所以四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=12𝐴𝐵·𝐴𝐷sin60°+12𝐶𝐷·𝐵𝐶sin120°≤12×3×2×√32+12×73×√32=25√312,当且仅当𝐶𝐷

=𝐵𝐶=√213时等号成立,即四边形ABCD面积的最大值为25√312.18.(2020山东青岛高三三模)已知{an}为等差数列,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任意两个数都不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行第二行469第三

行1287请从①a1=2,②a1=1,③a1=3这三个条件中选一个填入上表,使满足以上条件的等差数列{an}存在,并解答下列两个问题.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足bn=(-1)n+1𝑎𝑛2,求数列{bn}的前n项和Tn.解析(1)若选择条件①,当第一行第

一列为a1时,由题意知,可能的组合有:a1=2,a2=6,a3=7,{an}不是等差数列,a1=2,a2=9,a3=8,{an}不是等差数列;当第一行第二列为a1时,由题意知,可能的组合有:a1=2,a2=4,a3=7,{an}不是等差数列,a1=2,a2=9,a3=12,{an}

不是等差数列;当第一行第三列为a1时,由题意知,可能的组合有:a1=2,a2=4,a3=8,{an}不是等差数列,a1=2,a2=6,a3=12,{an}不是等差数列,则条件①放在第一行的任意一列,满足条件的等差数列{an}都不存在.若选择条件②,当第一行第一

列为a1时,由题意知,可能的组合有:a1=1,a2=6,a3=7,{an}不是等差数列,19a1=1,a2=9,a3=8,{an}不是等差数列;当第一行第二列为a1时,由题意知,可能的组合有:a1=1,a2=4,a3=7,{a

n}是等差数列,且公差d=a2-a1=3,所以an=a1+(n-1)d=3n-2,n∈N*,a1=1,a2=9,a3=12,{an}不是等差数列;当第一行第三列为a1时,由题意知,可能的组合有:a1=1,a2=4,a3=8,{an}不是等差数列,a1=1,a2=6,a3=12,{a

n}不是等差数列.若选择条件③,当第一行第一列为a1时,由题意知,可能的组合有:a1=3,a2=6,a3=7,{an}不是等差数列,a1=3,a2=9,a3=8,{an}不是等差数列;当第一行第二列为a1时,由题意知,可能的组合有:a1=3,a2=4,a

3=7,{an}不是等差数列,a1=3,a2=9,a3=12,{an}不是等差数列;当第一行第三列为a1时,由题意知,可能的组合有:a1=3,a2=4,a3=8,{an}不是等差数列,a1=3,a2=6,a3=12,{an}不是等差数列,则

条件③放在第一行的任意一列,满足条件的等差数列{an}都不存在.综上可知:an=3n-2,n∈N*.(2)由(1)知,bn=(-1)n+1(3n-2)2,当n为偶数时,Tn=b1+b2+b3+…+bn=𝑎12-𝑎22+𝑎32-𝑎42+…+𝑎𝑛

-12-𝑎𝑛2=(a1+a2)(a1-a2)+(a3+a4)(a3-a4)+…+(an-1+an)·(an-1-an)=-3(a1+a2+a3+…+an)=-3×𝑛(1+3𝑛-2)2=−92�

�2+32n;当n为奇数时,Tn=Tn+1-bn+1=-92(𝑛+1)2+32(n+1)+(3n+1)2=92𝑛2−32n-2,20所以Tn={-92𝑛2+32𝑛,𝑛=2𝑘,𝑘∈N*,92𝑛2-32

𝑛-2,𝑛=2𝑘-1,𝑘∈N*.19.(2020哈尔滨第一中学高三一模)如图,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,点G在线段BE上,∠ABE=45°,AB=2,BG=√2,BC=1.(1)求证:AG⊥平面ADF;(2)求二面角D-C

A-G的正切值.解析(1)证明:∵矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,矩形ABCD∩菱形ABEF=AB,AD⊂平面ABCD,且AD⊥AB,∴AD⊥平面ABEF.∵AG⊂平面ABEF,∴AD⊥AG,

在菱形ABEF中,∵∠ABE=45°,AB=2,BG=√2,∴𝐴𝐺=√4+2-2×2×√2×√22=√2,∴AG2+BG2=AB2,即AG⊥BG,∵BG∥AF,∴AG⊥AF,∵AD∩AF=A,∴AG⊥平面ADF.(2)由(1)可知AD,AF,AG

两两垂直,以A为原点,AG所在直线为x轴,AF所在直线为y轴,AD所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,0,0),C(√2,−√2,1),𝐷(0,0,1),𝐺(√2,0,0),故𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(√2,−√2,1),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,1),𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗=(√2,0,0).设平面ACD的法向量为n1=(x1,y1,z1),则{𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛1=√2𝑥1-√2𝑦1+𝑧1=0,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛1=𝑧1=0,取y1=1,则x1=1,z1

=0,∴平面ACD的一个法向量为n1=(1,1,0).设平面ACG的法向量为n2=(x2,y2,z2),21则{𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛2=√2𝑥2-√2𝑦2+𝑧2=0,𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛2=√2𝑥2=0,取𝑦2=1,则𝑥2=0,𝑧2=√2,∴平面ACG的

一个法向量为n2=(0,1,√2).设二面角D-CA-G的平面角为θ,则θ∈[0,π],且|cosθ|=|𝑛1·𝑛2||𝑛1|·|𝑛2|=√66,∴sin𝜃=√306,∵θ为钝角,∴二面角D-CA-G的正切值为-√5.20.(2020四川达州高三三模)某城市9

年前分别同时开始建设物流城和湿地公园,物流城3年建设完成,建成后若年投入x亿元,则该年产生的经济净效益为(2lnx+5)亿元;湿地公园4年建设完成,建成后的5年每年投资额如图所示,公园建成后若年投入x亿元,则该年产生的经济净效益为(

x+3)亿元.(1)对于湿地公园,请在x=kn+b,x=kn2+b中选择一个合适的模型,求投资额x与投入年份n的回归方程;(2)从建设开始的第10年,若对物流城投入0.25亿元,预测这一年物流城和湿地公园哪个产生的年经济净效益高?请说明理由.

参考数据及公式:𝑥=0.336,∑𝑖=15𝑛𝑖𝑥𝑖=6.22;当𝑡=𝑛2时,𝑡=11,∑𝑖=15𝑡𝑖2=979,回归方程中的∑𝑖=15𝑡𝑖𝑥𝑖=29.7;回归方程𝑟^=𝑘^𝑠

+𝑏^的斜率与截距分别为𝑘^=∑𝑖=1𝑚𝑠𝑖𝑟𝑖-𝑚𝑠·𝑟∑𝑖=1𝑚𝑠𝑖2-𝑚𝑠2,𝑏^=𝑟-𝑘^𝑠.解析(1)由题图知,应该选择模型x=kn2+b,令t=n2,则𝑘^=

∑𝑖=15𝑡𝑖𝑥𝑖-5𝑡·𝑥∑𝑖=15𝑡𝑖2-5𝑡2=29.7-5×11×0.336979-5×112=0.03,所以𝑏^=𝑥-𝑘^𝑡=0.336-0.03×11=0.006,

22故所求回归方程是x=0.03t+0.006,即x=0.03n2+0.006.(2)湿地公园产生的年经济净效益高.理由:由题意得,物流城第10年的年经济净效益为2ln0.25+5=5-2ln4(亿元);湿地公园第10年的投入约为0.03×62+0.006=1.086(亿元

),该年的经济净效益为1.086+3=4.086(亿元).因为4.086>5-2ln4,所以该年湿地公园产生的年经济净效益高.21.(2020山东威海高三一模)已知函数f(x)=2lnx-(𝑥-1)(1+𝑚𝑥)𝑥.(1)当m=

1时,试判断函数f(x)零点的个数;(2)若x≥1时,f(x)≤0,求m的取值范围.解析(1)当m=1时,f(x)=2lnx-(𝑥-1)(1+𝑥)𝑥,则f'(x)=-(𝑥-1)2𝑥2≤0.由题意得,f(x)在(0,+∞)上单调递减,又f(1)=0,∴f(x)有且只有一个零点.(2)由题意

得,f(1)=0,f'(x)=-𝑚𝑥2+2𝑥-1𝑥2.当m≤0时,在[1,+∞)上f'(x)≥0恒成立,∴f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴f(x)≥f(1)=0,不符合题意.当m>0时,设g(x)=-mx2+2x-1

,当Δ=4-4m≤0,即m≥1时,g(x)=-mx2+2x-1≤0恒成立,∴在[1,+∞)上f'(x)≤0恒成立,∴f(x)在[1,+∞)上单调递减,∴f(x)≤f(1)=0,符合题意;当Δ=4-4m

>0,即0<m<1时,g(x)=0有两个不等实根,设为x1,x2,∵g(1)=1-m>0,∴x1<1<x2,当x∈(1,x2)时,f'(x)>0,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)<0,即f(x)在区间(1,x2)

上单调递增,在(x2,+∞)上单调递减,23∴f(x2)>f(1)=0,不符合题意.综上,m的取值范围为[1,+∞).22.(2020山东青岛高三三模)已知直线l1过坐标原点O且与圆x2+y2=4相交于点A,B,圆M过点A

,B且与直线y+2=0相切.(1)求圆心M的轨迹C的方程;(2)圆心在x轴正半轴上且面积等于2π的圆W与曲线C有且仅有1个公共点.①求出圆W的标准方程;②已知斜率等于-1的直线l2,交曲线C于E,F两点,交圆W于P,Q两点,求|𝐸𝐹||𝑃𝑄|的最小值及此

时直线l2的方程.解析(1)由题意知圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,直线l1过坐标原点O,所以坐标原点O为AB的中点,|AO|=2,MO⊥AO,所以|MO|2+|OA|2=|MA|2,设M(x,y),因为

圆M与直线y+2=0相切,所以圆M的半径r=|y+2|=|MA|,所以x2+y2+4=(y+2)2,化简得x2=4y,即圆心M的轨迹C的方程为x2=4y.(2)①由(1)知曲线C为y=𝑥24,设𝑓(𝑥)=𝑥24

,则𝑓′(𝑥)=𝑥2,设圆W与曲线C的公共点为T(𝑡,𝑡24)(t>0),则曲线C在T点的切线l的斜率k=f'(t)=𝑡2,由题意知,直线l与圆W相切于T点,设圆W的标准方程为(x-a)2+y2=2(a>0),则圆W的圆心为(a,0),则直

线WT的斜率kWT=𝑡24𝑡-𝑎=𝑡24(𝑡-𝑎),因为l⊥WT,所以𝑡2·𝑡24(𝑡-𝑎)=-1,即t3+8(t-a)=0,又因为(t-a)2+(𝑡24)2=2,所以(-𝑡38)2+(𝑡24)2

=2,所以t6+4t4-128=0.令t2=λ,则λ3+4λ2-128=0,所以(λ3-4λ2)+(8λ2-128)=0,24即(λ-4)(λ2+8λ+32)=0,所以λ=4,所以t=2,所以a=3,所以圆W的标准方

程为(x-3)2+y2=2.②设E(x1,y1),F(x2,y2),直线l2:y=-x+m,由{𝑦=-𝑥+𝑚,𝑥2=4𝑦,得x2+4x-4m=0,则x1+x2=-4,x1x2=-4m,所以|EF|=√2·√(𝑥1+𝑥2)2-

4𝑥1𝑥2=4√2(1+𝑚).因为圆W的圆心(3,0)到直线PQ的距离为|𝑚-3|√2,所以|PQ|=2√2-(|𝑚-3|√2)2=√-2𝑚2+12𝑚-10,所以|𝐸𝐹||𝑃𝑄|=4√2(1+𝑚)√-2𝑚2+12𝑚-10=4√1+

𝑚-𝑚2+6𝑚-5,由于l2与曲线C、圆W均有两个不同的交点,所以{𝛥=16+16𝑚>0,|𝑚-3|√2<√2,解得1<m<5,令1+m=u,则u∈(2,6),|𝐸𝐹||𝑃𝑄|=4√𝑢-(𝑢-1)2+6(𝑢-1)-5=4√1-(

𝑢+12𝑢)+8≥4√1-2√𝑢·12𝑢+8=√2+√6,当且仅当u=12𝑢,即𝑢=2√3时取等号,此时𝑚=2√3−1,|𝐸𝐹||𝑃𝑄|的最小值为√2+√6,直线𝑙2的方程为𝑦=−𝑥+2√3-1.