【文档说明】广东省东莞市东方明珠学校2021届高三下学期数学复习卷二含解析.docx，共(22)页，235.785 KB，由小赞的店铺上传

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12020-2021学年度东方明珠学校第二学期高三复习卷二一、单项选择题1.已知集合A={a,a2,0},B={1,2},若A∩B={1},则实数a的值为()A.-1B.0C.1D.±12.已知(a+2i)·i=b-2i,其中a,b为实数

,i是虚数单位,则复数a+bi=()A.2+2iB.2-2iC.-2+2iD.-2-2i3.标准的围棋棋盘共19行19列,361个格点,每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况,因此有3361种不同的情况,而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中,也讨论过这

个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即1000052,下列数据最接近33611000052的是(lg3≈0.477)()A.10-37B.10-36C.10-35D.10-344.商高

是我国西周时期的数学家,他发现勾股定理的一个特例:勾3,股4,弦5,此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.如图,现有△ABC满足“勾3股4弦5”,其中AC=3,BC=4,点D是CB延长线上的一点,则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=()A.3B.4C.9D.不能确定

5.定义在R上的函数y=f(x)在(-∞,1]上单调递减,且f(x+1)是偶函数,则使f(2x-1)>f(3)成立的x的取值范围是()A.(1,+∞)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(0,1)D.(-∞,0)6.下表是鞋子的长度与对应的码

数的情况.长度(cm)2525.52626.52727.5码数404142434445已知人的身高y(cm)与脚长x(cm)呈线性相关关系,且回归直线方程为𝑦^=7x-7.6.若某人的身高为180cm,据此模型,估计其穿的鞋子的码数为()A.42B.43C.44D.457.已知

双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的离心率为√3,焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的实轴长为()2A.√2B.2C.2√2D.48.如图,已知△ABC是边长为2的等边三角形,M为AC的中点.将△ABM沿BM折起到△PBM的位置,当三棱锥P-BCM的体积最

大时,三棱锥P-BCM外接球的表面积为()A.πB.3πC.5πD.7π二、多项选择题9.为了解运动健身减肥的效果,某健身房调查了20名肥胖者,测量了他们的体重(单位:千克).健身之前他们的体重情况如图(1)所示,经过半年的健身后,他们的体重情况如图(2)所示,对比健身前后,关于

这20名肥胖者,下列结论正确的是()A.经过健身后,体重在区间[90,100)内的人数不变B.经过健身后,体重在区间[100,110)内的人数减少了2C.经过健身后,体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减轻D.经过健身后,这20名肥胖者的体重的中位数位于区间[90,100)内10.已知

动点P在双曲线C:x2-𝑦23=1上,双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2,下列结论正确的是()A.C的离心率为2B.C的渐近线方程为y=±√33xC.动点P到两条渐近线的距离之积为定值D.当动点P在双曲线C的左支上时,|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|2的最大值为1411.

已知函数f(x)=sin(3x+φ)(-π2<𝜑<π2)的图象关于直线𝑥=π4对称,则()A.函数f(𝑥+π12)为奇函数3B.函数f(x)在[π12,π3]上单调递增C.若|f(x1)-f(x2)|=2,则

|x1-x2|的最小值为π3D.函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=-cos3x的图象12.向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x(0<x<1)的液体,旋转容器,下列说法正确的是()A.当x=12时,容器被液面分割而成的两个几何体完全相同B.对于任意的x∈

(0,1),液面都可以成正三角形形状C.当液面与正方体的某条体对角线垂直时,液面面积的最大值为3√34D.当液面恰好经过正方体的某条体对角线时,液面边界周长的最小值为2√5三、填空题13.金、木、水、火、土之间相生相克的关系如图所示,现从五种不同属性的物质中任取两种,则取

出的两种物质恰好是相克关系的概率为.14.已知角α的终边过点P(-4,3),则sinα+cosα的值是.15.过点P(1,2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线y2=4x交于A,B两点,则直线AB的斜率为.16.已知集合

A0={x|0<x<1}.给定一个函数y=f(x),定义集合An={y|y=f(x),x∈An-1},若An∩An-1=⌀对任意的n∈N*成立,则称该函数y=f(x)具有性质“φ”.(1)具有性质“φ”的一个一次函数的解析式可以是;(2)给出下列函数:①y=1𝑥;②𝑦=𝑥2

+1;③𝑦=cosπ2x+2,其中具有性质“φ”的函数是.(写出所有正确答案的序号)17.在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且b2-2√33bcsinA+c2=a2.(1)求角A的大小;4(2)若b=2,c=3,求a和sin(2B

-A)的值.18.在①3Sn+1=Sn+1,②a2=19,③2Sn=1-3an+1这三个条件中选择两个,补充在下面的问题中,并给出解答.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足,,正项等差数列{bn}满足b1=2,且b1,b2-1,b3成等比数列.(1)

求{an}和{bn}的通项公式;(2)证明:𝑎𝑏1+𝑎𝑏2+…+𝑎𝑏𝑛<326.19.如图,在正四棱台A1B1C1D1-ABCD中,AB=2A1B1,E,F分别为DC,BC的中点.(1)求证:BD1∥平面C1EF;(2)若侧棱所在直线与上下底面中心的连

线O1O所成的角为45°,求直线C1F与平面A1EF所成的角的余弦值.520.已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)经过点𝐴(1,32),且离心率为12,过其右焦点F的直线l交椭圆C于M,N两点,交y轴于点E.若𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐸

𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2𝑁𝐹⃗⃗⃗⃗⃗.(1)求椭圆C的标准方程;(2)试判断λ1+λ2是不是定值.若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.21.已知函数f(x)=aexlnx(其中e=2.7

1828…是自然对数的底数),g(x)=x2+xlna,a>0.(1)讨论函数f(x)的单调性;6(2)设函数h(x)=g(x)-f(x),若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.22.(2020河南实验中学高三测验

)某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是不是阳性,现有n(n∈N*)份血液样本,有以下两种检验方式:方式一:逐份检验,则需要检验n次.方式二:混合检验,将其中m(m∈N*且m≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性,这m份血液样本全为阴性

,因而这m份血液样本只要检验一次就够了;若检验结果为阳性,为了明确这m份血液样本究竟哪几份为阳性,就要对这m份血液样本再逐份检验,此时这m份血液样本的检验次数总共为m+1.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样

本是阳性结果的概率为p(0<p<1).现取其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本,记采用逐份检验方式,需要检验的总次数为ξ1,采用混合检验方式,需要检验的总次数为ξ2.(1)若E(ξ1)=E(ξ2),试求p关于k的函数关系

式p=f(k);7(2)若p与干扰素计量xn相关,其中x1,x2,…,xn(n≥2)是不同的正整数,且x1=1,∀n∈N*(n≥2)都有e-13·∑𝑖=1𝑛-1𝑥𝑛2𝑥𝑖𝑥𝑖+1=𝑥𝑛2-𝑥12𝑥22-

𝑥12成立.(i)求证:数列{xn}是等比数列;(ii)当p=1-1√𝑥43时,采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少,求k的最大值.参考数据:ln4≈1.3863,ln5≈1.609

4.2020-2021学年度东方明珠学校第二学期高三复习卷二一、单项选择题1.已知集合A={a,a2,0},B={1,2},若A∩B={1},则实数a的值为()A.-1B.0C.1D.±1答案A因为A∩B={1},所以1∈A,

又a≠a2,所以a≠0且a≠1,8所以a2=1,解得a=-1(a=1舍去).2.已知(a+2i)·i=b-2i,其中a,b为实数,i是虚数单位,则复数a+bi=()A.2+2iB.2-2iC.-2+2iD.-2-2i答案D由(a+

2i)·i=b-2i得-2+ai=b-2i,所以b=-2,a=-2,所以a+bi=-2-2i.故选D.3.标准的围棋棋盘共19行19列,361个格点,每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况,因此有3361种不同的情况,而我国北宋学者沈括在他的著作

《梦溪笔谈》中,也讨论过这个问题,他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种,即1000052,下列数据最接近33611000052的是(lg3≈0.477)()A.10-37B.10-36C.10-35D.10-34答案B据题意,对33611000052取常用对数可得lg3361

1000052=lg3361−lg1000052=361×lg3−52×4≈−35.8,即33611000052≈10-35.8,分析选项可知,B中10-36与其最接近,故选B.4.商高是我国西周时期的数学

家,他发现勾股定理的一个特例:勾3,股4,弦5,此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.如图,现有△ABC满足“勾3股4弦5”,其中AC=3,BC=4,点D是CB延长线上的一点,则𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=()A.3B.4C.9

D.不能确定答案C由题意得,AB=5,则AC2+CB2=AB2,所以AC⊥CB,即𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·(𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=9+0=9.5.(2020甘肃二模)定义在R上的函数y=f(x)在(-∞,1]上单调递减,且f(x+1)是偶函数,则使f

(2x-1)>f(3)成立的x的取值范围是()A.(1,+∞)B.(-∞,0)∪(2,+∞)9C.(0,1)D.(-∞,0)答案B因为定义在R上的函数y=f(x)在(-∞,1]上单调递减,且f(x+1)是偶函数,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,示意图如图所

示:则f(3)=f(-1),且y=f(x)在[1,+∞)单调递增,若f(2x-1)>f(3),则需满足2x-1<-1或2x-1>3,解得x<0或x>2,故使f(2x-1)>f(3)成立的x的取值范围为(-∞,0)∪(2,+∞).6.(20

20湖南湘潭模拟)下表是鞋子的长度与对应的码数的情况.长度(cm)2525.52626.52727.5码数404142434445已知人的身高y(cm)与脚长x(cm)呈线性相关关系,且回归直线方程为𝑦^=7x-7.6.若某人的身高为

180cm,据此模型,估计其穿的鞋子的码数为()A.42B.43C.44D.45答案C由题意得7x-7.6=180,解得x=26.8,即脚长26.8cm,查表得26.8∈(26.5,27),故其穿的鞋子的码数应为44.7.已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的离

心率为√3,焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的实轴长为()A.√2B.2C.2√2D.4答案C由双曲线的性质可得b=2,因为𝑐𝑎=√3,所以𝑐=√3a,根据a2+b2=c2得a2+4=3a2,解得a=√2

,所以实轴长为2a=2√2.故选C.108.如图,已知△ABC是边长为2的等边三角形,M为AC的中点.将△ABM沿BM折起到△PBM的位置,当三棱锥P-BCM的体积最大时,三棱锥P-BCM外接球的表面积为()A.πB.3πC.5πD.7π答案C当三棱锥P-BCM的体积最大时,P点到平面

BCM的距离最大,此时PM⊥MC,PM⊥BM,BM⊥MC,则三棱锥P-BCM的外接球与以MP,MB,MC为邻边的长方体的外接球是同一个球.设其半径为R,因为M为AC的中点,所以MP=MC=1,MB=√3,所以(2R)2=MP2+MC2+MB2=1+1+3=5,所以三棱锥P-BCM外

接球的表面积为4πR2=5π.故选C.二、多项选择题9.为了解运动健身减肥的效果,某健身房调查了20名肥胖者,测量了他们的体重(单位:千克).健身之前他们的体重情况如图(1)所示,经过半年的健身后,他们的体重情况如图(2)所示,对比健身前后,关于这20名肥胖者,下列结

论正确的是()A.经过健身后,体重在区间[90,100)内的人数不变B.经过健身后,体重在区间[100,110)内的人数减少了2C.经过健身后,体重在区间[110,120)内的肥胖者体重都有减轻D.经过健身后,这20名肥胖者

的体重的中位数位于区间[90,100)内答案ACD题图(1)中体重在区间[90,100),[100,110),[110,120)内的人数分别为8,10,2;11题图(2)中体重在区间[80,90),[90,10

0),[100,110)内的人数分别为6,8,6.故选ACD.10.已知动点P在双曲线C:x2-𝑦23=1上,双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2,下列结论正确的是()A.C的离心率为2B.C的渐近线方程为y=±√33xC.动点P到两条渐近线的距离之积为定值D.当动点P在双曲线C的左支

上时,|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|2的最大值为14答案AC由双曲线C的方程可知,a=1,b=√3,c=2,所以双曲线C的离心率e=𝑐𝑎=2,渐近线方程为𝑦=±√3x,A选项中的结论正确,B选项中的结论错误;设点P的坐标为(x0,y0),则

𝑥02−𝑦023=1,双曲线𝐶的两条渐近线方程分别为𝑥−√33𝑦=0和𝑥+√33𝑦=0,则点𝑃到两条渐近线的距离之积为|𝑥0-√33𝑦0|√1+(-√33)2·|𝑥0+√33𝑦0|√1+(√33)2=|𝑥02-𝑦023|43=34,C选项中的结论正确;当动

点P在双曲线C的左支上时,|PF1|≥c-a=1,|PF2|=2a+|PF1|=|PF1|+2,所以|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|2=|𝑃𝐹1|(|𝑃𝐹1|+2)2=|𝑃𝐹1||𝑃𝐹1|2+4+4|𝑃𝐹1|=1|𝑃𝐹1|+4|𝑃

𝐹1|+4≤12√|𝑃𝐹1|·4|𝑃𝐹1|+4=18,当且仅当|PF1|=2时,等号成立,所以|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|2的最大值为18,D选项中的结论错误.故选AC.11.已知函数f(x)=sin(3x+φ)(-π2<𝜑<π2)的图象关于直线𝑥=π4对称,则()12A.函数

f(𝑥+π12)为奇函数B.函数f(x)在[π12,π3]上单调递增C.若|f(x1)-f(x2)|=2,则|x1-x2|的最小值为π3D.函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到函数y=-cos3x的图象答

案AC因为直线x=π4是𝑓(𝑥)=sin(3𝑥+𝜑)(-π2<𝜑<π2)的图象的一条对称轴,所以3×π4+𝜑=π2+kπ(k∈Z),则φ=-π4+kπ(k∈Z),因为-π2<𝜑<π2,所以𝜑=−π4,则𝑓(𝑥)=sin(

3𝑥-π4).对于选项A,f(𝑥+π12)=sin[3(𝑥+π12)-π4]=sin3x,因为sin(-3x)=-sin3x,所以f(𝑥+π12)为奇函数,故A正确;对于选项B,-π2+2𝑘π

≤3𝑥−π4≤π2+2𝑘π(𝑘∈Z),即−π12+2𝑘π3≤𝑥≤π4+2𝑘π3(𝑘∈Z),当𝑘=0时,−π12≤𝑥≤π4,即𝑓(𝑥)在[-π12,π4]上单调递增,故B错误;对于选项C,若|f(x1)-

f(x2)|=2,则|x1-x2|最小为半个周期,即2π3×12=π3,故C正确;对于选项D,函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度,得到𝑦=sin[3(𝑥-π4)-π4]=sin(3x-π)=-sin3x的图

象,故D错误.故选AC.12.向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x(0<x<1)的液体,旋转容器,下列说法正确的是()A.当x=12时,容器被液面分割而成的两个几何体完全相同B.对于任意的x∈(0,1),液面都可以成正三角形形状C.

当液面与正方体的某条体对角线垂直时,液面面积的最大值为3√34D.当液面恰好经过正方体的某条体对角线时,液面边界周长的最小值为2√513答案ACD当x=12时,液面过正方体中心且将正方体分成两部分,根据对称性知两部分完全相同,故A中说法正确;取x=12,此时液面过正方体的中心,不可

能为正三角形形状,故B中说法错误;当液面与正方体的某条体对角线垂直时,液面为如图所示的正六边形EFGHMN时面积最大,其中正六边形EFGHMN的顶点均为对应棱的中点,则S=12×√22×√22×√32×6=3

√34,故C中说法正确;如图所示,当液面恰好经过DB1时,截面为四边形B1NDG,将平面A1B1C1D1绕C1D1所在直线旋转π2得到平面𝐴′1𝐵′1𝐶1𝐷1,则𝐷𝑁+𝐵1𝑁=𝐷𝑁+𝐵′1𝑁≥𝐷𝐵′1=√1+

4=√5,当𝐷、𝑁、𝐵′1三点共线时等号成立,故液面边界周长的最小值为2√5,故D中说法正确.故选ACD.三、填空题13.金、木、水、火、土之间相生相克的关系如图所示,现从五种不同属性的物质中任取两种,则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为

.答案12解析由题意得,任取两种物质的基本事件总数n=C52=10,取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件有:14水克火,火克金,金克木,木克土,土克水,共5个,则取出的两种物质恰好是相克关系的概率P=510=12.14.已知角α的终边过点P(-4,

3),则sinα+cosα的值是.答案-15解析由题意可得,x=-4,y=3,r=|OP|=5,∴sinα=𝑦𝑟=35,cos𝛼=𝑥𝑟=−45,∴sin𝛼+cos𝛼=−15.15.过点P(1,2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛

物线y2=4x交于A,B两点,则直线AB的斜率为.答案-1解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由已知设直线PA:m(y1-2)=x1-1,即x1=my1-2m+1,代入抛物线方程得𝑦12=4my1-8m+4,即𝑦12-4my1+8m-4=0,则y1+

2=4m,故y1=4m-2.设直线PB:-m(y2-2)=x2-1,即x2=-my2+2m+1,代入抛物线方程得𝑦22=-4my2+8m+4,即𝑦22+4my2-8m-4=0,则y2+2=-4m,故y2=-4m-2.又x1-x2=

my1-2m+1-(-my2+2m+1)=m(y1+y2)-4m=-8m,∴直线AB的斜率kAB=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1=-8𝑚8𝑚=-1.16.已知集合A0={x|0<x<1}.给定一个函数y=f(x

),定义集合An={y|y=f(x),x∈An-1},若An∩An-1=⌀对任意的n∈N*成立,则称该函数y=f(x)具有性质“φ”.(1)具有性质“φ”的一个一次函数的解析式可以是;(2)给出下列函数:①y=1𝑥;②𝑦=𝑥2+1;③𝑦=cosπ2x+2,其

中具有性质“φ”的函数是.(写出所有正确答案的序号)答案(1)y=x+1(答案不唯一)(2)①②15解析(1)对于解析式y=x+1,由A0={x|0<x<1},An={y|y=f(x),x∈An-1},可得A0={x|0<x<1},A1={x|1<x<2},A2

={x|2<x<3},……,符合An∩An-1=⌀.(2)对于①,A0={x|0<x<1},A1={x|x>1},A2={x|0<x<1},……,循环下去,符合An∩An-1=⌀,则该函数具有性质“φ”;对于②,A0={x|0<x<1},A1={x|1<x<2},A2={x|2<x<5}

,A3={x|5<x<26},……,根据单调性得相邻两个集合不会有交集,符合An∩An-1=⌀,则该函数具有性质“φ”;对于③,A0={x|0<x<1},A1={x|2<x<3},A2={x|1<x<2},A3={x|1<x<2},不符合An∩An-1=⌀,则该函数不具有

性质“φ”.所以选①②.17.(2020天津中学高三一模)在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且b2-2√33bcsinA+c2=a2.(1)求角A的大小;(2)若b=2,c=3,求a和sin(2

B-A)的值.解析(1)由b2-2√33𝑏𝑐sin𝐴+𝑐2=𝑎2,得𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=√33sinA,∴cosA=√33sin𝐴,即tan𝐴=√3,又𝐴∈(0,π),∴𝐴=π3.(2)∵a2=b2+c2-2bc·cosA,∴a2=4+9-2

×2×3×12=7,∴𝑎=√7(负值舍去),又𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,∴√7√32=2sin𝐵,解得sin𝐵=√217.∵b<a,∴B<A,∴B∈(0,π3),∴cos𝐵=√1-sin2𝐵=2√77,∴sin2B=2sinBcosB=4

√37,cos2𝐵=2cos2𝐵−1=17,∴sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=4√37×12−17×√32=3√314.18.(2020山东临沂高三二模)在①3Sn+1=Sn+1,②a2=19,③2S

n=1-3an+1这三个条件中选择两个,补充在下面的问题中,并给出解答.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足,,正项等差数列{bn}满足b1=2,且b1,b2-1,b3成等比数列.(1)求{an}和{bn}

的通项公式;(2)证明:𝑎𝑏1+𝑎𝑏2+…+𝑎𝑏𝑛<326.16解析(1)方案一:选择①②.当n≥2时,由3Sn+1=Sn+1得3Sn=Sn-1+1,两式相减,得3an+1=an,即𝑎𝑛+1𝑎𝑛=13(n≥2),又3S2=S1+1,即3(a

1+a2)=a1+1,∴2a1=1-3a2=1-13=23,解得𝑎1=13,∴𝑎2𝑎1=13,∴{𝑎𝑛}是首项为13,公比为13的等比数列,∴an=a1qn-1=13×(13)𝑛-1=(13)𝑛=13𝑛(n∈N*

).设等差数列{bn}的公差为d,d≥0,且b1,b2-1,b3成等比数列,则b1b3=(𝑏2-1)2,即2(2+2d)=(1+d)2,解得d=3或d=-1(舍去),∴bn=2+(n-1)×3=3n-1(n∈

N*).方案二:选择②③.当n≥2时,由2Sn=1-3an+1得2Sn-1=1-3an,两式相减,得2an=3an-3an+1,∴𝑎𝑛+1𝑎𝑛=13(n≥2),又2S1=1-3a2=23,解得𝑎1=13,∴𝑎2𝑎1=13,∴{𝑎𝑛}是首项为13,

公比为13的等比数列,∴an=a1qn-1=13×(13)𝑛-1=(13)𝑛=13𝑛(n∈N*).(余下解法同方案一)(2)证明:由(1)得𝑎𝑏𝑛=𝑎3𝑛−1=133𝑛-1,则𝑎𝑏1+𝑎𝑏

2+…+𝑎𝑏𝑛=132+135+⋯+133𝑛-1=132(1-133𝑛)1-133=326(1-133𝑛)<326.19.(2020浙江杭州高三模拟)如图,在正四棱台A1B1C1D1-ABCD中,AB=2A

1B1,E,F分别为DC,BC的中点.(1)求证:BD1∥平面C1EF;17(2)若侧棱所在直线与上下底面中心的连线O1O所成的角为45°,求直线C1F与平面A1EF所成的角的余弦值.解析(1)证明:如图,连接CD1交C1E于点G,连接D1

E,FG,在正四棱台A1B1C1D1-ABCD中,因为AB=2A1B1,E为DC的中点,所以四边形D1ECC1是平行四边形,所以G是CD1的中点.又因为F是BC的中点,所以GF是△CD1B的中位线,所以BD1∥GF,且GF⊂

平面C1EF,BD1⊄平面C1EF,故BD1∥平面C1EF.(2)以O为原点,OF所在直线为x轴,OE所在直线为y轴,OO1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系.连接OA,过点A1作A1H⊥OA于点H,如图所示,则A1H∥OO1,A1H⊥平面A

BCD,故∠A1AH为侧棱与底面所成的角,即∠A1AH=45°,不妨设A1B1=2,则OO1=A1H=AH=√2,所以E(0,2,0),F(2,0,0),C1(1,1,√2),𝐴1(−1,−1,√2),则𝐶1�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−1,−√2),𝐴1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,1,−√2),𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(2,-2,0).18设平面A1EF的法向量为n=(x,y,z),则{𝑛·𝐴1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{3𝑥+𝑦-√2𝑧=0,2𝑥-2�

�=0,令x=1,则y=1,z=2√2,∴𝑛=(1,1,2√2).设直线C1F与平面A1EF所成的角为α,则sinα=|cos<𝐶1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑛>|=|𝐶1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝐶1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝑛|=√105,因为0<α<π

2,所以cos𝛼=√1-sin2𝛼=√155,故直线C1F与平面A1EF所成的角的余弦值为√155.20.(2020安徽蚌埠高三一模)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)经过点𝐴(

1,32),且离心率为12,过其右焦点F的直线l交椭圆C于M,N两点,交y轴于点E.若𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐸𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2𝑁𝐹⃗⃗⃗⃗⃗.(1)求椭圆C的标准方

程;(2)试判断λ1+λ2是不是定值.若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.解析(1)设椭圆C的半焦距为c,由题意可得{𝑐𝑎=12,1𝑎2+94𝑏2=1,𝑏2+𝑐2=𝑎2,解得a=2,b=√3,c=1,所以椭圆C的标准方程为𝑥24+𝑦

23=1.(2)λ1+λ2是定值.理由如下:由题意可知,直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,因为直线l过点F(1,0),所以直线l的方程为y=k(x-1).令x=0,可得y=-k,即E(0,-k).联立{𝑦=𝑘(𝑥-1),𝑥24

+𝑦23=1,消去y可得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),易知x1≠1,x2≠1,则x1+x2=8𝑘23+4𝑘2,𝑥1𝑥2=4𝑘2-123+4𝑘2.19𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x1,y1+k),�

�𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x2,y2+k),𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1-x1,-y1),𝑁𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(1-x2,-y2).由𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐸𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2𝑁𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,可得λ1=𝑥11-𝑥1

,𝜆2=𝑥21-𝑥2,所以λ1+λ2=𝑥11-𝑥1+𝑥21-𝑥2=11-𝑥1+11-𝑥2-2=2-(𝑥1+𝑥2)1-(𝑥1+𝑥2)+𝑥1𝑥2-2.将x1+x2=8𝑘23+4

𝑘2,𝑥1𝑥2=4𝑘2-123+4𝑘2代入上式,化简可得𝜆1+𝜆2=−83.21.(2020山东青岛高三三模)已知函数f(x)=aexlnx(其中e=2.71828…是自然对数的底数),g(x)=x2+xlna,a>0.(1)讨论函数f(x)的单

调性;(2)设函数h(x)=g(x)-f(x),若h(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)因为f(x)=aexlnx,所以f'(x)=aex(ln𝑥+1𝑥),x∈(0,+∞).令k(x)=lnx+1𝑥,则𝑘′(𝑥)=𝑥-1𝑥2,当x∈(0,1)时,k

'(x)<0,函数k(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,k'(x)>0,函数k(x)单调递增.所以k(x)≥k(1)=1>0,又因为a>0,ex>0,所以f'(x)>0,所以f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.(2)由h(x

)>0得g(x)-f(x)>0,即aexlnx<x2+xlna,所以ln𝑥𝑥<𝑥+ln𝑎𝑎e𝑥=ln𝑎e𝑥𝑎e𝑥,即ln𝑎e𝑥𝑎e𝑥>ln𝑥𝑥对任意的x∈(0,1)恒成立,设H(x

)=ln𝑥𝑥,则𝐻′(𝑥)=1-ln𝑥𝑥2,当x∈(0,1)时,H'(x)>0,函数H(x)单调递增,且当x∈(1,+∞)时,H(x)>0,当x∈(0,1)时,H(x)<0,若aex≥1>x,则H(aex)≥0>H(x),若0<aex<1,因

为H(aex)>H(x),且H(x)在(0,1)上单调递增,所以aex>x,20综上可知,aex>x对任意的x∈(0,1)恒成立,即a>𝑥e𝑥对任意的x∈(0,1)恒成立.设G(x)=𝑥e𝑥,𝑥∈(0,1),则

𝐺′(𝑥)=1-𝑥e𝑥>0,所以G(x)在(0,1)上单调递增,所以G(x)<G(1)=1e≤𝑎,即𝑎的取值范围为[1e,+∞).22.(2020河南实验中学高三测验)某医院为筛查冠状病毒,需要检验血液是不是阳性,现有n(n∈N*)份血液样本,有以下两种检验方式:方式

一:逐份检验,则需要检验n次.方式二:混合检验,将其中m(m∈N*且m≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性,这m份血液样本全为阴性,因而这m份血液样本只要检验一次就够了;若检验结果为阳性,为了明确这m份血液样本究

竟哪几份为阳性,就要对这m份血液样本再逐份检验,此时这m份血液样本的检验次数总共为m+1.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p<1).现取其中k(k∈N*且k≥2)份血液样本,记采用逐份检验方式,需要检验的总次数为ξ1,

采用混合检验方式,需要检验的总次数为ξ2.(1)若E(ξ1)=E(ξ2),试求p关于k的函数关系式p=f(k);(2)若p与干扰素计量xn相关,其中x1,x2,…,xn(n≥2)是不同的正整数,且x1=1,∀n∈N*(n≥2)都有e-13·∑𝑖=1

𝑛-1𝑥𝑛2𝑥𝑖𝑥𝑖+1=𝑥𝑛2-𝑥12𝑥22-𝑥12成立.(i)求证:数列{xn}是等比数列;(ii)当p=1-1√𝑥43时,采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少,求k的最大值.参考数

据:ln4≈1.3863,ln5≈1.6094.解析(1)由已知,ξ1=k,P(ξ1)=1,得E(ξ1)=k.ξ2的所有可能取值为1,k+1,∴P(ξ2=1)=(1-p)k,P(ξ2=k+1)=1-(1-p)k.∴E(ξ2)=(1-p)

k+(k+1)[1-(1-p)k]=k+1-k(1-p)k.21若E(ξ1)=E(ξ2),则k=k+1-k(1-p)k,即(1-p)k=1𝑘,∴p=1-(1𝑘)1𝑘,即p关于k的函数关系式为p=f(k)=1-(1𝑘)1𝑘(k∈N

*,且k≥2).(2)(i)证明:当n=2时,e-13·𝑥22𝑥1𝑥2=𝑥22-𝑥12𝑥22-𝑥12,∴𝑥2𝑥1=e13,令q=𝑥2𝑥1=e13>0,则q≠1,∵x1=1,∴下面证明对任意的正整数n,xn=e

𝑛-13.①当n=1,2时,显然成立;②假设对任意的n=k,xk=e𝑘-13,下面证明n=k+1时,xk+1=e𝑘3,由题意,得e-13·∑𝑖=1𝑘𝑥𝑘+12𝑥𝑖𝑥𝑖+1=𝑥𝑘+12-𝑥12𝑥22-𝑥12,∴e-13·𝑥𝑘+12(1𝑥1𝑥2+

1𝑥2𝑥3+…+1𝑥𝑘-1𝑥𝑘+1𝑥𝑘𝑥𝑘+1)=𝑥𝑘+12-1e23-1,e-13·𝑥𝑘+12{e-13[1-(e-23)𝑘-1]1-e-23+1e𝑘-13·𝑥𝑘+1}=⬚𝑘+12-1e23-1

,𝑥𝑘+12(1-e-2(𝑘-1)3)e23-1+e-𝑘3·𝑥𝑘+1=𝑥𝑘+12-1e23-1,∴e-2(𝑘-1)3·𝑥𝑘+12+(e-𝑘3-e-𝑘3+23)·xk+1-1=0,(e-𝑘3xk+1-

1)(e-𝑘3+23xk+1+1)=0,∴xk+1=e𝑘3或xk+1=-e𝑘3-23(舍去),∴xk+1=e𝑘3成立.综上xn=e𝑛-13,{xn}为等比数列.(ii)由(i)知,p=1-1√𝑥43=1−1√e3,E(ξ1)>E(ξ2),∴k>k+1-k(1-p)k,得1𝑘<(1-

p)k=(1√e3)𝑘,∴ln𝑘>𝑘3.设f(x)=lnx-𝑥3(𝑥>0),则𝑓′(𝑥)=3-𝑥3𝑥,∴当2≤x<3时,f'(x)>0,即f(x)在[2,3)上单调递增;当x≥3时,f'(x)<0,即f(x)在[3,+∞)上单调递减.又ln4≈1.386

3,43≈1.3333,∴ln4>43.22ln5≈1.6094,53≈1.6667,∴ln5<53,∴k的最大值为4.