【文档说明】广东省东莞市东方明珠学校2021届高三下学期数学复习卷三含解析.docx，共(21)页，260.898 KB，由管理员店铺上传

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12020-2021学年度东方明珠学校第二学期高三复习卷三一、单项选择题1.设复数z满足z·(1-i)=2+i,则z的共轭复数𝑧的虚部是()A.32B.32iC.-32D.−32i2.已知集合A={𝑥|1𝑥<1},B={x||x-1|<2},则A∩B=()A.(-1,

3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.(-1,0)∪(1,3)3.若a=(94)12,b=3log83,c=(23)13,则a,b,c的大小关系是()A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b4.2020年2月8日,在韩国首尔举行的四

大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中,中国组合隋文静、韩聪以总分217.51分拿下冠军,这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程、金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛有9位评委进行评分,首先这9位评委给出某对选手的原始分数,然后

从9个原始分数中去掉一个最高分、一个最低分,得到7个有效分数,7个有效分数与9个原始分数相比,不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差5.函数y=1𝑥-ln(𝑥+1)的图象大致为()6.在平行四边形ABCD中,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗

⃗=3𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,若AE交BD于点M,则𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=()A.13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗B.37𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+47𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗C.23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐷⃗

⃗⃗⃗⃗D.27𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+57𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗7.已知圆C:x2+y2=1,直线l:ax-y+4=0.若直线l上存在点M,并且以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点,则a的取值范围是()A.(-∞,-3]∪[3

,+∞)B.[-3,3]C.(-∞,-√3]∪[√3,+∞)D.[-√3,√3]28.已知F1,F2是椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点,𝐴是𝐶的左顶点,点𝑃在过点𝐴且斜率为√36的直线上,且△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C

的离心率为()A.23B.12C.13D.14二、多项选择题9.2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图如图所示,下列结论中正确的是()A.深圳的变化幅度最小,北

京的平均价格最高B.深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降C.平均价格从高到低位于前三位的城市为北京、深圳、广州D.平均价格的变化幅度从高到低位于前三位的城市为天津、西安、上海10.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中错误的是

()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC.若m∥α,n∥α,且m⊂β,n⊂β,则α∥βD.若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n11.下列关于函数f(x)=2|sinx|+|co

sx|的说法中,正确的是()A.π是函数f(x)的一个周期B.f(x)是偶函数C.1≤f(x)≤√5D.y=f(x),x∈[0,π]的图象与直线y=2有且只有2个公共点312.若无穷数列{an}满足:a1≥0,当n∈N*,n≥2时,|an-an-1|=max{a1,a2,

…,an-1}(其中max{a1,a2,…,an-1}表示a1,a2,…,an-1中的最大项),有以下结论,其中正确的是()A.若数列{an}是常数列,则an=0(n∈N*)B.若数列{an}是公差d≠0的等差数列,则d>0C.若数列{a

n}是公比为q的等比数列,则q>1D.若存在正整数T,对任意n∈N*,都有an+T=an,则a1是数列{an}的最大项三、填空题13.(𝑥2-1𝑥)6展开式中的常数项为.14.对于中心在原点的双曲线,给出下列

三个条件:①离心率为2;②一条渐近线的倾斜角为30°;③实轴长为4,且焦点在x轴上.写出一个符合其中两个条件的双曲线的标准方程.15.某高一学习小组为测出一绿化区域的面积,进行了一些测量工作,最后将此绿化区域近似地看成如图所示的四边形ABCD,测得AB=2km,BC=1km,∠BAD=45°,∠A

BC=60°,∠BCD=105°,则该绿化区域的面积是km2.16.如图,在直角坐标系xOy中,一个质点从A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过B(a3,a4),C(a5,a6),D(a7,a8),…

,按此规律一直运动下去,则a2017+a2018+a2019+a2020=.17.设数列{an}满足:a1=1,且2an=an+1+an-1(n≥2),a3+a4=12.(1)求{an}的通项公式;4(2)求数列{1𝑎𝑛𝑎𝑛+2}的前n项和Sn.18.在①

a=2,②B=π4,③𝑐=√3b这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中,并解决该问题.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足(b-a)(sinB+sinA)=c(√3sinB-sinC).(1)求A的大小;(2)已知,,若△ABC存在,求

△ABC的面积;若△ABC不存在,请说明理由.19.如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,P为DC的中点,将△ADP沿着AP折起,使得BD=√3.(1)求证:AD⊥BP;(2)若M是BD的中点,求直线AM与平面DBC所成角的正弦值.520.新中国成立70周年庆典阅兵式上的

女兵们是一道靓丽的风景线,每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队的筛选标准非常严格,例如要求女兵身高(单位:cm)在区间[165,175]内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人,对她们的身高进行统计,将所得数据分为[165,167),[167,169),[169,

171),[171,173),[173,175]五组,得到如图所示的频率分布直方图,其中第三组的频数为75,最后三组的频率之和为0.7.(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数𝑥和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)根据样本数据,可认为受阅女兵的身高X(cm)近似服

从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数𝑥,σ2近似为样本方差s2.(i)求P(167.86<X<174.28);(ii)若从全体受阅女兵中随机抽取10人,求这10人中至少有1人的身高在174.2

8cm以上的概率.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544,√115≈10.7,0.954410≈0.63,0.97729≈0.81,0.977210≈0.79.621

.已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率𝑒满足2𝑒2−3√2𝑒+2=0,以坐标原点为圆心,椭圆𝐶的长轴长为半径的圆与直线2𝑥−𝑦+4√5=0相切.(1)求椭圆C的方程;

(2)过点P(0,1)的动直线l(直线l的斜率存在)与椭圆C相交于A,B两点,问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q,使得|𝑄𝐴||𝑄𝐵|=𝑆△𝐴𝑃𝑄𝑆△𝐵𝑃𝑄恒成立?若存在,求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由.22.已

知函数f(x)=(x-2)ex+x+2,f'(x)是f(x)的导函数.(1)证明:当x>0时,f(x)>0;(2)证明:函数g(x)=(1-sinx)[xex-f'(x)+2]-2在(-π,π)上有且只有3个零点.72020-2021学年度东方明珠学校第二学期高三

复习卷三一、单项选择题1.设复数z满足z·(1-i)=2+i,则z的共轭复数𝑧的虚部是()A.32B.32iC.-32D.−32i答案Cz·(1-i)=2+i,则z=2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=1+3i2=12+32i,故𝑧=12−32i,虚部为−32

.故选C.2.已知集合A={𝑥|1𝑥<1},B={x||x-1|<2},则A∩B=()A.(-1,3)B.(-1,1)8C.(-1,0)∪(0,1)D.(-1,0)∪(1,3)答案D∵A={𝑥|1𝑥<1}={𝑥|𝑥-1𝑥>0}=(-∞,0)∪(1,+∞),B={x|

|x-1|<2}={x|-2<x-1<2}=(-1,3),∴A∩B=(-1,0)∪(1,3).故选D.3.若a=(94)12,b=3log83,c=(23)13,则a,b,c的大小关系是()A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b答案Da=

√94=32,b=log2333=log23>log2232=32=a>1,c=(23)13<1,故c<a<b,故选D.4.2020年2月8日,在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中,中国组合隋文静、韩聪

以总分217.51分拿下冠军,这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程、金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛有9位评委进行评分,首先这9位评委给出某对选手的原始分数,然后从9个原始分数中去掉一个最

高分、一个最低分,得到7个有效分数,7个有效分数与9个原始分数相比,不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差答案A从9个原始分数中去掉一个最高分、一个最低分后,中位数仍旧是处于中间位置(从小到大排列)的那个数,不会发生改变,平均数、方差、极差不能确定是否变化.5.

函数y=1𝑥-ln(𝑥+1)的图象大致为()9答案A由题意可知,函数的定义域为(-1,0)∪(0,+∞).y'=0-(1-1𝑥+1)[𝑥-ln(𝑥+1)]2=-𝑥(𝑥+1)[𝑥-ln(𝑥+1)]2,当x∈(-1,0

)时,y'>0;当x∈(0,+∞)时,y'<0,所以原函数在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.令g(x)=x-ln(x+1),则g'(x)=1-1𝑥+1=𝑥𝑥+1,当x∈(-1,0)时,g'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,则g(x)在(-

1,0)上单调递减,且g(x)>g(0)=0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)>g(0)=0,所以函数y=1𝑥-ln(𝑥+1)在定义域中,函数值均大于0.故选A.6.在平行四边形ABCD中,𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,若AE交BD于点M,则�

�𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=()A.13𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+23𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗B.37𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+47𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗C.23𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗D.27𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+57𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗答案B如图,∵𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,∴E为线段

DC上靠近点C的四等分点.显然△ABM∽△EDM,即𝐴𝑀𝑀𝐸=𝐴𝐵𝐷𝐸=43,∴𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=47𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=47(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗)=47(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

)=37𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+47𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.故选B.7.已知圆C:x2+y2=1,直线l:ax-y+4=0.若直线l上存在点M,并且以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点,则a的取值范围是()A.(-∞,-3]∪[3,+∞)10B.[-3,3]C.(-∞,-√3]∪[√3

,+∞)D.[-√3,√3]答案C由题意得,|MC|≤2,即圆C:x2+y2=1的圆心到直线l:ax-y+4=0的距离d≤2,所以d=4√𝑎2+1≤2,解得𝑎≤−√3或𝑎≥√3.故选C.8.已知F1,F2是椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点,�

�是𝐶的左顶点,点𝑃在过点𝐴且斜率为√36的直线上,且△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14答案D因为△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,所以PF

2=F1F2=2c,由直线AP的斜率为√36得,tan∠𝑃𝐴𝐹2=√36,所以sin∠PAF2=1√13,cos∠𝑃𝐴𝐹2=2√3√13,因为𝑃𝐹2𝐴𝐹2=sin∠𝑃𝐴𝐹2sin∠𝐴𝑃𝐹

2,所以2𝑐𝑎+𝑐=1√13sin(π3-∠𝑃𝐴𝐹2)=1√13√32×2√3√13-12×1√13=25,所以a=4c,所以e=14,故选D.二、多项选择题9.2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据

统计图如图所示,下列结论中正确的是()11A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高B.深圳和厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降C.平均价格从高到低位于前三位的城市为北京、深圳、广州D.平均价格的变化幅度从高到低位于前三位的城市为天津、西安、上海答案ABC变化幅度看折

线图,越接近零表明变化幅度越小,比零小表明价格下跌;平均价格看条形图,条形图越高表明平均价格越高,所以A、B、C都正确,D错误,故选ABC.10.已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中错误的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n

B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC.若m∥α,n∥α,且m⊂β,n⊂β,则α∥βD.若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n答案ABC若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故A中命题错误;若α⊥γ,β⊥γ,则α与β相交或平行,故B中命题错误;若m∥α,

n∥α,且m⊂β,n⊂β,则α与β相交或平行,故C中命题错误;若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n,故D中命题正确.故选ABC.11.下列关于函数f(x)=2|sinx|+|cosx|的说法中,正确的是()A.π是函数f(

x)的一个周期B.f(x)是偶函数C.1≤f(x)≤√5D.y=f(x),x∈[0,π]的图象与直线y=2有且只有2个公共点答案ABCf(x+π)=2|sin(x+π)|+|cos(x+π)|=2|sinx|+|cosx|=f(x),故A中说法正

确;12因为f(-x)=2|sin(-x)|+|cos(-x)|=2|sinx|+|cosx|=f(x),且x∈R,所以f(x)为偶函数,故B中说法正确;由f(π2+𝑥)=𝑓(π2-𝑥)=2|cos𝑥|+|

sin𝑥|得𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=π2对称,则𝑓(𝑥)在R上的值域与其在[0,π2]上的值域相同,当𝑥∈[0,π2]时,𝑓(𝑥)=2sin𝑥+cos𝑥=√5sin(𝑥+𝜃)(|𝜃|≤π2),角𝜃的

终边过点(2√5,1√5),故0<𝜃<π4,𝜃≤𝑥+𝜃≤π2+𝜃,√5sin𝜃≤𝑓(𝑥)≤√5sinπ2,所以𝑓(𝑥)的值域为[1,√5],故C中说法正确;函数y=f(x),x∈[

0,π]的图象如图,则y=f(x),x∈[0,π]的图象与直线y=2有且只有3个公共点,故D中说法错误.故选ABC.12.若无穷数列{an}满足:a1≥0,当n∈N*,n≥2时,|an-an-1|=max{a1,a2,…,a

n-1}(其中max{a1,a2,…,an-1}表示a1,a2,…,an-1中的最大项),有以下结论,其中正确的是()A.若数列{an}是常数列,则an=0(n∈N*)B.若数列{an}是公差d≠0的等差数列,

则d>0C.若数列{an}是公比为q的等比数列,则q>1D.若存在正整数T,对任意n∈N*,都有an+T=an,则a1是数列{an}的最大项答案ACD若数列{an}是常数列,则|an-an-1|=max{a1,a2,…,an-1}=0,所以an=

0(n∈N*),故A中结论正确;若数列{an}是公差d≠0的等差数列,则|an-an-1|=max{a1,a2,…,an-1}=|d|,所以an有最大值,因此an不可能递增且d≠0,所以d<0,故B中结论错误;若数列{an}是公比为q的等比数列,则a1>0,且|a2-a1|=a1=|q-1|a

1,所以|q-1|=1,解得q=2或q=0,因为q≠0,所以q=2,即q>1,故C中结论正确;13若存在正整数T,对任意n∈N*,都有an+T=an,假设在a1,a2,…,aT中ak最大,则a1,a2,…,an中都是ak最大,则|a2-a1|=a1,且|aT+2-aT+1|=ak,即|a2-a

1|=ak,所以ak=a1,所以a1是数列{an}的最大项,故D中结论正确.故选ACD.三、填空题13.(𝑥2-1𝑥)6展开式中的常数项为.答案15解析通项公式Tr+1=C6𝑟(x2)6-r(-1𝑥)𝑟=(-

1)rC6𝑟x12-3r,令12-3r=0,解得r=4,∴展开式中的常数项为C64=15.14.对于中心在原点的双曲线,给出下列三个条件:①离心率为2;②一条渐近线的倾斜角为30°;③实轴长为4,且焦点在x轴上.写出一个符合其中两个条件的双曲线的标准方程.答案y2

-𝑥23=𝜆(𝜆>0)或𝑥24−𝑦212=1或𝑥24−3𝑦24=1解析符合条件①②:若双曲线的焦点在x轴上,则设双曲线方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1,所以{𝑐𝑎=2,𝑏𝑎=tan30°,解得{𝑐=2𝑎,𝑎=√3𝑏,因为c2

≠a2+b2,所以没有符合条件的双曲线方程;若双曲线的焦点在y轴上,则设双曲线方程为𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1,所以{𝑐𝑎=2,𝑎𝑏=tan30°,解得{𝑐=2𝑎,𝑏=√3𝑎,所以双曲线方程为y2-𝑥23=λ(λ>0).

符合条件①③:因为{𝑐𝑎=2,2𝑎=4,所以{𝑐=4,𝑎=2,所以𝑏=2√3,所以双曲线方程为𝑥24−𝑦212=1.14符合条件②③:因为{𝑏𝑎=tan30°,𝑎=2,所以{𝑏=2√33,𝑎=2,

所以双曲线方程为𝑥24−3𝑦24=1.15.某高一学习小组为测出一绿化区域的面积,进行了一些测量工作,最后将此绿化区域近似地看成如图所示的四边形ABCD,测得AB=2km,BC=1km,∠BAD=45°,∠ABC=60°,∠BCD=105°,则该绿化区域的面积是km2.

答案6-√34解析如图,连接AC,由题意可知AC=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2-2𝐴𝐵·𝐵𝐶·cos∠𝐴𝐵𝐶=√3km,则AC2+BC2=AB2,故∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠DAC=∠DCA=15°,∠ADC=1

50°.由正弦定理得,𝐴𝐶sin∠𝐴𝐷𝐶=𝐴𝐷sin∠𝐷𝐶𝐴,即AD=𝐴𝐶×sin∠𝐷𝐶𝐴sin∠𝐴𝐷𝐶=√3×√6-√2412=3√2-√62(km),故S四边形ABCD=S△A

BC+S△ADC=12×1×√3+12×(3√2-√62)2×12=6-√34(km2).16.如图,在直角坐标系xOy中,一个质点从A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过B(a3,a4),C(a5,a6),D(a7,a8),…,按此规律一

直运动下去,则a2017+a2018+a2019+a2020=.15答案2019解析由直角坐标系可知,A(1,1),B(-1,2),C(2,3),D(-2,4),E(3,5),F(-3,6),…,即a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,…,由此可知

,数列中偶数项是从1开始递增的,且都等于其项数除以2,设每四个数为一组,则其中有一个负数,且为每组的第三个数,每组的第一个数为其组数,每组的第一个数和第三个数互为相反数,因为2020÷4=505,所以a2017=505,a2018=1009,a2019=-505,a202

0=1010,所以a2017+a2018+a2019+a2020=2019.17.(2020河北衡水中学高三月考)设数列{an}满足:a1=1,且2an=an+1+an-1(n≥2),a3+a4=12

.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{1𝑎𝑛𝑎𝑛+2}的前n项和Sn.解析(1)由2an=an+1+an-1(n≥2)可知数列{an}是等差数列,设数列{an}的公差为d,因为a1=1,所

以a3+a4=a1+2d+a1+3d=12,解得d=2,所以{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*).(2)由(1)知1𝑎𝑛𝑎𝑛+2=1(2𝑛-1)(2𝑛+3)=14(12𝑛-1-12𝑛+3),所以数列

{1𝑎𝑛𝑎𝑛+2}的前n项和Sn=14[(1-15)+(13-17)+(15-19)+…+(12𝑛-1-12𝑛+3)]=14(1+13-12𝑛+1-12𝑛+3)=13−𝑛+1(2𝑛+1)(2𝑛+3).18.(2020山东日照高三联考)在①a=

2,②B=π4,③𝑐=√3b这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中,并解决该问题.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且满足(b-a)(sinB+sinA)=c(√3sinB-sinC).(1)求A的大小;16(2)已知,,若△ABC存在,求△

ABC的面积;若△ABC不存在,请说明理由.解析(1)因为(b-a)(sinB+sinA)=c(√3sinB-sinC),所以(b-a)(b+a)=c(√3b-c),即b2+c2-a2=√3𝑏𝑐,所以

cos𝐴=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=√3𝑏𝑐2𝑏𝑐=√32,因为0<A<π,所以A=π6.(2)方案一:选条件①和②.由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵,得𝑏=𝑎sin𝐴sin𝐵=2si

nπ6×sinπ4=2√2.因为C=π-A-B=π-π6−π4=7π12,sin7π12=sin(π4+π3)=√22×12+√22×√32=√2+√64,所以△ABC的面积S=12𝑎𝑏sin𝐶=12×2×2√2×√2+√64=√3+1.方案二:选条件①和③.由余弦定理a2=b2+c2-2

bccosA,得4=b2+3b2-3b2,则b2=4,解得b=2(负值舍去),所以c=√3𝑏=2√3,所以△ABC的面积S=12𝑏𝑐sin𝐴=12×2×2√3×12=√3.方案三:选条件②和③,△ABC不存在,理由如下:在△ABC中,因为

c=√3𝑏,所以sin𝐶=√3sin𝐵=√3sinπ4=√3×√22=√62>1,不成立,所以△ABC不存在.19.(2020浙江大学附属中学高三模拟)如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,P为DC的中点,将△ADP沿着AP折起,使得BD=√3.(1)求证:AD

⊥BP;(2)若M是BD的中点,求直线AM与平面DBC所成角的正弦值.17解析(1)证明:因为AB=2,AD=1,P为DC的中点,所以在△ABP中,AP2+BP2=AB2,所以BP⊥AP.又因为BD=√3

,所以在△BDP中,DP2+BP2=BD2,所以BP⊥DP.又AP∩DP=P,所以BP⊥平面ADP,又AD⊂平面ADP,所以BP⊥AD.(2)以P为原点,PA,PB所在直线分别为x轴,y轴,过点P垂直于平面PAB的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则P(0,0,0),

A(√2,0,0),𝐵(0,√2,0),𝐷(√22,0,√22),𝑀(√24,√22,√24),𝐶(-√22,√22,0),所以𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-√22,√2,-√22),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-√22,-√22,0),𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-3√2

4,√22,√24),设平面DBC的法向量为n=(x,y,z),则{𝑛·𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-√22𝑥+√2𝑦-√22𝑧=0,-√22𝑥-√22𝑦=0,令x=1,则y=-1,z=-3

,所以平面DBC的一个法向量为n=(1,-1,-3),设直线AM与平面DBC所成的角为θ,则直线AM与平面DBC所成角的正弦值sinθ=|cos<𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n>|=|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|

𝑛|=|-3√24×1+√22×(-1)+√24×(-3)|√11×√72=4√15477.20.(2020重庆高三模拟)新中国成立70周年庆典阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线,每一名女兵都是经过层层筛选才最终入

选受阅方队的筛选标准非常严格,例如要求女兵身高(单位:cm)在区间[165,175]内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人,对她们的身高进行统计,将所得数据分为18[165,167),[167,169),[169,

171),[171,173),[173,175]五组,得到如图所示的频率分布直方图,其中第三组的频数为75,最后三组的频率之和为0.7.(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数𝑥和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)根据样本数据,可认为受阅女兵的身高

X(cm)近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数𝑥,σ2近似为样本方差s2.(i)求P(167.86<X<174.28);(ii)若从全体受阅女兵中随机抽取10人,求这10人中至少有1人的身高在17

4.28cm以上的概率.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9544,√115≈10.7,0.954410≈0.63,0.97729≈0.81,0.977210≈0.79.解析(1)由题意知,第三组的频率为75200=0

.375,则第五组的频率为0.7-0.375-0.125×2=0.075,第二组的频率为1-0.7-0.05×2=0.2,所以五组频率依次为0.1,0.2,0.375,0.25,0.075,所以𝑥=0.1×166+0.2×168+0.3

75×170+0.25×172+0.075×174=170,s2=(170-166)2×0.1+(170-168)2×0.2+(170-172)2×0.25+(170-174)2×0.075=4.6.(2)由(1)知μ=170,σ=√4.6

=√1155≈2.14.(i)P(167.86<X<174.28)=P(μ-σ<X<μ+2σ)=P(μ-σ<X<μ+σ)+𝑃(𝜇-2𝜎<𝑋<𝜇+2𝜎)-𝑃(𝜇-𝜎<𝑋<𝜇+𝜎)2=0.6826+0.9544-0.682

62=0.8185.(ii)P(X>174.28)=P(X>μ+2σ)=1-0.95442=0.0228,故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率19P=1-(1-0.0228)10=1-0.977210≈1-0.79=0.21.21.(2020山东泰安高三二模)已知椭

圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率𝑒满足2𝑒2−3√2𝑒+2=0,以坐标原点为圆心,椭圆𝐶的长轴长为半径的圆与直线2𝑥−𝑦+4√5=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2

)过点P(0,1)的动直线l(直线l的斜率存在)与椭圆C相交于A,B两点,问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q,使得|𝑄𝐴||𝑄𝐵|=𝑆△𝐴𝑃𝑄𝑆△𝐵𝑃𝑄恒成立?若存在,求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)由题

意知2a=|0-0+4√5|√4+1,解得a=2,由2e2-3√2𝑒+2=0,解得𝑒=√22或𝑒=√2(舍),故𝑐=√2,∴𝑏=√2,∴椭圆C的方程为𝑥24+𝑦22=1.(2)假设y轴上存在与点P不同的定点Q,使得|𝑄𝐴||𝑄

𝐵|=𝑆△𝐴𝑃𝑄𝑆△𝐵𝑃𝑄恒成立,设Q(0,m)(m≠1),A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+1(k≠0),由{𝑥24+𝑦22=1,𝑦=𝑘𝑥+1,

得(2k2+1)x2+4kx-2=0,∴x1+x2=-4𝑘2𝑘2+1,𝑥1𝑥2=−22𝑘2+1,Δ=16k2+8(2k2+1)=32k2+8>0,∵𝑆△𝐴𝑃𝑄𝑆△𝐵𝑃𝑄=12|𝑄𝑃||𝑄𝐴|sin∠𝑃𝑄𝐴12

|𝑄𝑃||𝑄𝐵|sin∠𝑃𝑄𝐵=|𝑄𝐴|sin∠𝑃𝑄𝐴|𝑄𝐵|sin∠𝑃𝑄𝐵,|𝑄𝐴||𝑄𝐵|=𝑆△𝐴𝑃𝑄𝑆△𝐵𝑃𝑄,∴sin∠PQA=sin∠PQB,∴∠PQA=∠PQB,∴k

QA=-kQB,∴𝑦1-𝑚𝑥1=−𝑦2-𝑚𝑥2,∴(m-1)(x1+x2)=2kx1x2,即-(m-1)4𝑘2𝑘2+1=−4𝑘2𝑘2+1,解得m=2,∴存在定点Q(0,2),使得|𝑄𝐴||𝑄𝐵|=𝑆△𝐴𝑃𝑄𝑆△𝐵𝑃𝑄恒成立.22.(202

0山东泰安高三四模)已知函数f(x)=(x-2)ex+x+2,f'(x)是f(x)的导函数.(1)证明:当x>0时,f(x)>0;20(2)证明:函数g(x)=(1-sinx)[xex-f'(x)+2]-2在(-π,π)上有且只有3个零点.证明

(1)f'(x)=(x-1)ex+1,令k(x)=(x-1)ex+1,则k'(x)=xex,当x>0时,k'(x)>0,所以f'(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,f'(x)>f'(0)=0,所以f(x)在

(0,+∞)上单调递增,又f(0)=0,所以当x>0时,f(x)>0.(2)g(x)=(1-sinx)[xex-f'(x)+2]-2=(1-sinx)ex-sinx-1,令g(x)=0,得(1-sinx)ex-sinx-1=0,即e𝑥-1e𝑥+1-sinx=0

,令h(x)=e𝑥-1e𝑥+1−sin𝑥,则ℎ(−𝑥)=e-𝑥-1e-𝑥+1−sin(−𝑥)=−(e𝑥-1e𝑥+1-sin𝑥)=-h(x),所以y=h(x)是奇函数,且h(0)=0,即

0是h(x)的一个零点,令t(x)=e𝑥-1e𝑥+1,则𝑡′(𝑥)=2e𝑥(e𝑥+1)2,当x∈(0,π)时,t'(x)>0,所以t(x)在(0,π)上单调递增,令r(x)=sinx,则r(x)在(0,π2)上单调递增,在(π2,π)上单调递减.由(

1)知,当x∈(0,π2)时,(𝑥−2)e𝑥+𝑥+2>0,即e𝑥-1e𝑥+1<𝑥2,令m(x)=sinx-𝑥2,则𝑚′(𝑥)=cos𝑥−12,当x∈(0,π3)时,m'(x)>0,m(x)单调递增,当x∈(π3,π2)时,m'(x)<

0,m(x)单调递减,又m(0)=0,m(π2)=1−π4>0,所以当x∈(0,π2)时,m(x)>0恒成立,即当x∈(0,π2)时,𝑥2<sinx恒成立,所以当x∈(0,π2)时,e𝑥-1e𝑥+1<𝑥2<sinx,所以当x∈(0,π2)时,h(x)<0恒成立,当x∈(π

2,π)时,ℎ′(𝑥)=2e𝑥(e𝑥+1)2-cosx>0,所以h(x)在(π2,π)上为增函数,21且h(π2)=eπ2-1eπ2+1−1<0,ℎ(π)=eπ-1eπ+1>0,所以h(x)在(0,π)上有且只有一个零点,设为x0,则

h(x0)=0,因为h(x)是奇函数,所以h(-x0)=-h(x0)=0,所以h(x)在(-π,0)上的零点为-x0,所以h(x)在(-π,π)上的零点为-x0,0,x0,所以h(x)在(-π,π)上有且只有3个零点,即g(x)

在(-π,π)上有且只有3个零点.