【文档说明】四川省内江市第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，927.568 KB，由管理员店铺上传

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内江一中高2025届高三（上）半期数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合2,0,1A=−，2,ByyxxA==，则AB=（）A.{}2,0,1-B.0,1,4C.0,1D.2,0,1,4−【答案】D

【解析】【分析】化简0,1,4B=，根据并集的定义即可求解.【详解】由2,0,1A=−，2,ByyxxA==可得0,1,4B=，故AB=2,0,1,4−，故选：D2.复数z满足5i2z=−，则z=（）A.1B.2C.5D.5【答案】C

【解析】【分析】求出复数z，再根据复数模的概念求z.【详解】方法一：因为()()()52i52i2i2i2iz−−===−−−+−+−−，所以()()22215z=−+−=.故选：C方法二：5555i2i25z====−−.故选：C3.在等差数列na中，若357911100aa

aaa++++=，则113aa+的值为（）A.10B.20C.30D.40【答案】D【解析】【分析】由等差数列下标和的性质求得720a=，进而可得目标式的值.【详解】由题设35791177510020aaaaaaa++++===，所以1137240a

aa+==.故选：D4.为研究光照时长x（小时）和种子发芽数量y（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对x，y进行线性回归分析.若在此图中加上点P后，再次对x，y进行线性回归分析，则下列说法正确的是（）A.x，y不具有线性相关性B.决定系数2R变大C.相关系数

r变小D.残差平方和变小【答案】C【解析】【分析】从图中分析得到加入P点后，回归效果会变差，再由决定系数，相关系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可.【详解】对于A，加入P点后，变量x与预报变量y相关性变弱

，但不能说x，y不具有线性相关性，所以A不正确对于B，决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以加上点P后，决定系数2R变小，故B不正确；对于C，从图中可以看出P点较其他点，偏离直线远，所以加上点P后，回归效果变差.

所以相关系数r的绝对值越趋于0，故C正确；对于D，残差平方和变大，拟合效果越差，所以加上点P后，残差平方和变大，故D不正确；故选：C.5.已知π3cos45x+=，5π7π124x，则

sincoscossinxxxx+=−（）A.43−B.43−或43C.34−D.34−或34【答案】A【解析】【分析】先由已知和余弦函数值确定3ππ2π24x+，再由同角的三角函数关系化简计算即可

；【详解】因为5π7π124x，所以2ππ2π34x+，因为π3cos45x+=，所以3ππ2π24x+，22ππcossin144xx骣骣琪琪+++=琪琪桫桫，所以π4sin45x+=−，π4tan43x

+=−，所以sincos1tanπ4tancossin1tan43xxxxxxx++==+=−−−.故选：A.6.已知ABCV的外接圆圆心为O，且2,AOABACOAAB=+=，则向量BA在向量BC上的投影向量为（）A.34BCB.14BCC.34

BC−D.14BC−【答案】B【解析】【分析】由2AOABAC=+，得O是BC中点，从而得出=60B，30C=，作AHBC⊥于H，BH即为向量BA在向量BC上的投影向量，设ABa=，求出BH，|BC后可得结论．【详解】因为

2AOABAC=+，所以O是BC中点，则BC是圆O直径，90BAC=，又||||OAAB=，所以OAB△等边三角形，=60B，30C=设ABa=，则2BCa=，作AHBC⊥于H，则=30BAH，所以122aBHAB

==，BH即为向量BA在向量BC上的投影向量，14BHBC=．故选：B．是7.若关于x的函数()()2lglog2afxxax=++的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A.()()0,11,2UB.()()0,11,22C.()1,2D.()1,22【答案】C【解析】【分析】根据

定义域实数集，转化为220xax++且()2log20axax++恒成立，结合二次不等式恒成立求解即可.【详解】由题意，0,1aa，且对任意xR，220xax++，①且()2log20axax++，②对于①，2

1Δ80a=−，结合0,1aa，得()()0,11,22a.若()0,1a，由②知对任意()2,20,1xxax++R，矛盾；若()1,22a，由②知对任意2,21xxax++R，即210xax++，则22Δ40a=−，得()1,2a，综上，当()1,

2a时，对任意xR，①②同时成立.故选：C8.设aR，函数()()sin2π2π,,136,.xaxafxxaaxa−=−−−+若()fx在区间()0,+内恰有6个零点，则a的取值范围

是（）A.72,2B.(2,3为C.7572,,322D.752,,332【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的性质可得()sin[2π()]fxxa=−的零点为2kxa=+，根据1360yxaa=

−−−+=，解得45xa=−或72xa=−，即可分三种情况讨论求解.【详解】()fx在区间(0,)+内恰有6个零点，又136,.yxaaxa=−−−+最多有两个零点，当xa时，()0fx=至少有四个根，()sin(

2π2π)sin[2π()]fxxaxa=−=−，令()0fx=，即2π()πxak−=，kZ，2kxa=+，又(0,)x+，02kaa+，即20ak−，令1360yxaa=−−−+=，解得45xa=−或72xa=−，①

若45xaa=−且72xaa=−，解得5733a，此时136yxaa=−−−+在xa有2个零点，只需要()sin(2π2π)sin[2π()]fxxaxa=−=−在0xa有4个零点，这4个零点分别为1234,1,,2,3221x

axaxaxa=−=+=−++=+−−故02a−+且502a−+，解得723a，此时()fx有6个零点，满足题意，②当45xaa=−且72xaa=−时，解得73a，此时136yxaa=−−−+在xa有1个零

点，只需要()sin(2π2π)sin[2π()]fxxaxa=−=−在0xa有5个零点，这5个零点分别为12345,1,,2,215232xaxaxaxaxa=+=−++−−−==−+=+，故502a−+且30a−+，解得532a，此时()fx有6个零点，满足题意，③当4

5xaa=−且72xaa=−时，解得53a，此时136yxaa=−−−+在xa有1个零点，只需要()sin(2π2π)sin[2π()]fxxaxa=−=−在0xa有5个零点，这5个零点分别为12345,1,,2,215232xaxaxaxaxa=+=−++−−−==−+=

+，故502a−+且30a−+，解得a不存在，综上可得532a或723a，故选：D【点睛】关键点点睛：()sin[2π()]fxxa=−的零点为2kxa=+，根据1360yxaa=−−−+=，解得45xa=−或72xa=−，分三种情况讨论求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共

18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某老师想了解班上学生的身高情况，他随机选取了班上6名男同学，得到他们的身高的一组数据（单位：厘米）分别为167,170,172,178,184,185，则下列说

法正确的是（）A.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的平均值会变大B.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的方差会变小C.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的极差会变小D.这组数据的第75百分位数为181【答案】BC【解析】【分析】根

据平均值、方差公式及极差、百分位数定义判断各项正误.【详解】去掉前的平均值()11671701721781841851766+++++=，去掉后的平均值()11701721781841764+++=，A错误；去掉前的方差2222221(167176)(170176)(172176)(1781

76)(184176)(185176)476−+−+−+−+−+−=，去掉后的方差22221(170176)(172176)(178176)(184176)304−+−+−+−=，B正确；去掉前的极差为18516718−=，去掉后的

极差为18417014−=，C正确；由675%4.5=，知这组数据的第75百分位数为184，D错误.故选：BC10.已知0a，0b，则下列说法正确的是（）A.若1ab+=，则22loglog2ab+−B.若1ab+=，则1ab+C.若1ab−=，则1212ab−D.若

1ab−=，则221ab+【答案】ACD【解析】【分析】由基本不等式判断AB选项，由不等式的基本性质判断CD选项.【详解】22222221logloglogloglog222ababab++===−当且仅当12ab+=时取等号，A选项正确

；()22abab++=当且仅当12ab==时取等号，B选项错误；∵1ab−=，∴1ab=+，∴1112222bbab+−=−，∵0b，∴1222ab+=，21b，∴112b，∴112122abb−=，C选项正确；∵0b，1ab−=∴11ab=+

，∴221ab+，D选项正确.故选：ACD.11.已知()()2cosfxx=+（0，π）在π5π,1212上是单调函数，对于任意的xR满足ππ66fxfx+=−−

，且()5π12fxf，则下列说法正确的是（）A.π3=B.若函数()yfx=（0）在0,π上单调递减，则50,12C.若()()124fxfx−=，则12xx−的最小值为π2D.若函

数()fx在π,2a上存在两个极值点，则17π23π1212a≤【答案】BCD【解析】【分析】根据函数()fx的单调区间以及ππ66fxfx+=−−可知()fx关于点π,06对称且πT=，可得2=，再由5π12x=时，()

fx取得最小值可得π6=，即A错误，由()π2cos26fxx=+并利用整体代换可判断B正确；根据函数图象性质可得12xx−最小值应为半个周期，即C正确；利用余弦函数单调性以及极值点定义可判断D正确.【详解】对于A选项，因为ππ66fxfx+=−−

，所以ππ066fxfx++−=，可得()fx的图象关于点π,06对称，又因为对任意xR，都有()5π12ffx≥，所以当5π12x=时，()fx取得最小值.因为(

)fx在π5π,1212是单调函数，所以5πππ41264T=−=得πT=，所以2π2T==，又因为函数()fx在5π12x=时取得最小值，所以由5π5π2cos2126f=+=−，

得5ππ2π6k+=+，kZ.解得π2π6k=+，kZ.又ππ−，所以π6=，故A错误；对于B选项，易知()π2cos26fxx=+，所以()π2cos26yfxx==+，当0,πx时，πππ2,2π666x++，若函数()y

fx=（0）在0,π上单调递减，则π2π6+≤，解得50,12，故B正确；对于C选项，最小正周期为πT=，当()()124fxfx−=时，则()1fx，()2fx分别为函数()fx的最大、最小值，所以12minπ2xx−=，故C正确；对于D选项，(

)fx在5π11π,1212上单调递增，在11π17π,1212上单调递减，在17π23π,1212上单调递增，要使()fx在π,2a上存在两个极值点，要满足17π23π1212a

≤，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用所给信息并结合三角函数图象性质求得函数()fx的解析式，再对其单调性、最值、极值点等进行判断即可.非选择题部分（共92分）三､填空题：本题共

3小题，每小题5分，共15分.12.62()xx−的展开式中常数项为______．【答案】60【解析】【分析】先求出展开式的通项公式,再令x的指数为0,解出r,进而可求出常数项.【详解】62()xx−的展开式中的通项公式：366621662()()(1)2rrrrrrrrTCx

Cxx−−−+=−=−.令32r-6=0，解得r=4．∴62()xx−的展开式中常数项为:4246(1)2C−=60．故答案为60．【点睛】本题考查了二项式定理,属基础题.13.安排甲､乙､丙､丁､戊5名大学生去延安

､宝鸡､汉中三个城市进行暑期社会实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有______.【答案】150【解析】【分析】先分组再排列，利用分步乘法计数原理得解【详解】先将5名大学生分成3组，有两种分组方法，

若分成3、1、1的三组，有35C10=种分组方法，若分成1、2、2的三组，有12254222CCC15A=种分组方法，则一共有101525+=种分组方法，再将分好的三组全排列，对应三个城市有33A6=种情况，所以不同的安排方式共有256150=种，故答案为：150

14.若()e0,,ln2ln2xaxxa+−恒成立，则a的取值范围为______.【答案】2,e+【解析】【分析】原不等式等价于22nlnelexxxxaa，当201xa，可得21exxa，当21xa

时，构造()lnfxxx=，利用导数研究单调性可得2exxa，即可得2exxa在(0,)+上恒成立，构造2()exxgx=，利用导数求得最大值，即可求解.【详解】依题意，eln2ln2xaxa−．得eln2l

n2xaxa−，所以22lnexxaa，所以22nlnelexxxxaa，因为0,0xa，所以，若201xa，显然成立，此时满足21exxa；若21xa，令()lnfxxx=，()l

n10fxx=+在(1,)+上恒成立，所以()lnfxxx=在(1,)+上单调递增，而22nlnelexxxxaa，所以2exxa．综上，2exxa在(0,)+上恒成立，所以2exxa．令2()exxgx=，所以22()exxgx−=，当(0,1)x时，()0gx

，2()exxgx=单调递增；当(1,)x+时，()0gx，2()exxgx=单调递减.所以2()(1)egxg=，即2ea．所以a的取值范围为2[e,)+.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()afx恒成立(

max()afx即可)或()afx恒成立（min()afx即可）；②数形结合(()yfx=图象在()ygx=上方即可)；③分类讨论参数.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设ABCV的内角A、B、C所对的

边分别为a、b、c，已知3c=，且1sincos64CC−=.（1）求角C的大小；（2）若向量()1,sinmA=与()2,sinnB=共线，求a，b的值.【答案】（1）3C=；（2）3,23ab==.【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换，得sin216

C−=，结合C的取值范围，即可求解；（2）由m与n共线，得sin2sin0BA−=，得2ba=，再根据余弦定理列出方程，即可求解a，b的值.【详解】（1）2311sincossincosc

os6224CCCCC−=−=2311113sincoscossin2cos2sin(2)222622CCCCCC−=−−=−−=，sin(2)16C−=，110,2666CC−−，262

C−=，解得3C=.（2）m与n共线，sin2sin0BA−=，由正弦定理sinsinabAB=，得2ba=，3c=，由余弦定理，得22292cos33ababa=+−=，3,23ab==.【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于

中档题.16.在校运动会上，只有甲､乙､丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲､乙､丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m

）：甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；丙：9.85,9.65,9.20,9.16假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的比赛成绩

相互独立（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X是甲､乙､丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望()EX.【答案】（1）25（2）75【解析】【分析】（1）根据古典概型概率计算公式直接计算概率；（2）直接计算离散型随机变量的概率及期望.【小问1

详解】设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，其概率为()42105PA==；【小问2详解】设事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故()3162PB==，事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故()2142PC==，21

13(0)()11152220PXPABC===−−−=，.的(1)()()()PXPABCPABCPABC==++211211212111111522522525=−

−+−−+−−=，2112112117(2)()()()11152252252220PXPABCPABCPABC==++=−+−+−=

，()()2111352210PXPABC====.所以其分布列为X0123P32025720110期望()32717012320520105EX=+++=.17.已知数列na

的首项是1，其前n项和是nS，且121nnaan+=++，*Nn.（1）求2a，3a的值及数列na的通项公式；（2）若存在实数，使得关于n的不等式25nSn+，*Nn有解，求实数取到最大值时n的

值.【答案】（1）24a=，39a=，2nan=（2）4或5【解析】【分析】（1）用累加法得到数列通项公式；（2）求出数列前n项和nS，列出不等式，构造函数利用导函数求最大值，并找到最大值点.【小问1详解】∵121nnaan+=++，∴121nnaan+−=+当2n时，112211nn

nnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+，即()()22112212111nannn=−++−+++++=，当1n=时，2111a==也满足2nan=，∴2nan=，∴24a=，39a=.【小问2详解】由

（1）可知()()1216nnnnS++=，∴()()121256nnnn+++，∴()()()()1211501212566nnnnnnnn++−++−=令()()()32321501212314914966326nnnnnnnnnfnn−++−−+===−−+，()21496fn

nn=−−+，当4n时，()0fn，当5n=时，()0fn∵()()4705ff==∴()fn的最大值为70，即当4n=或5n=时，取得最大值70，∴取得最大值时，n取4或5.18.已知函数()()21

lnR1xfxaxax−=+−.（1）当1a=时，求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点()()2,2f处的切线方程；（2）若103a，3,22x，证明：()2fx；（3）若1x，恒有()32ln22fx+，求实数a的取值范围.【答案】（1）22ln3033xy−++=；（2）证

明见解析；（3）[1,)+．【解析】【分析】（1）直接求出导函数()fx，计算(2)f和(2)f，由点斜式得直线方程并整理为一般式；（2）在题设条件下证明()0fx，()fx是减函数，31()()2ln22

2fxf+，再证明32ln22即得证；（3）0a时，由()0fx说明()fx递减，不等式不可能恒成立，0a时，由（2）得出1a=时，33()2ln222f=+，()0fx=的大于1的根记为0x（1a=是地，0

32a=），证明1a时，0312x，01a时，032x，由()fx确定()fx的单调性，21()ln1xhxxx−=+−，1a时，由0000000021213()lnln()()112xxfx

axxhxhxx−−=++=−−完成证明，1a时，由033()()2ln222fxf+确定．综合后得出结论．【小问1详解】1a=时，211()lnln(2)11xfxxxxx−=+=++−−，22111

23()[]1121(1)(1)(21)(1)(21)xxxfxxxxxxx−−=−+=−+=−−−−−−，2(2)3f=，又(2)ln32f=+，所以切线方程为2(ln32)(2)3yx−+=−，即22ln3033

xy−++=；【小问2详解】1()(21)(1)fxaxx=−−−，3[,2]2x时，2231(21)(1)2312()48yxxxxx=−−=−+=−−是递增函数，因此[1,3]y，113y，又103a，所以()0fx，()f

x在3[,2]2上递减，33311()()2ln22ln22ln222232fxfa=++=+，因为323eee2.74.0542==，所以32ln2ln42=，从而131()2ln22222

fx++=；【小问3详解】1()(21)(1)fxaxx=−−−，1x，当0a时，()0fx，()fx在(1,)+上减函数，当x→+时，211lnln(2)ln211xxx−=+→−−，因此213()ln2ln212xfxaxx−=++−不可能恒成立，0

a时，由()0fx=得212310xxa−+−=，记21()231gxxxa=−+−，1(1)0ga=−，则()0gx=有两个实根，一根小于1，一根大于1，是大于1的根为08314ax++=，易知它是关于a的减函数，注意到2(21)

(1)231yxxxx=−−=−+在(1,)+上是增函数，且0y，即01xx时，10(21)(1)xxa−−，0xx时，1(21)(1)xxa−−，所以01xx时，()0fx，()f

x递减，0xx时，()0fx，()fx递增，所以min0()()fxfx=，1a=时，032x=，此时21()ln1xfxxx−=+−，记21()ln1xhxxx−=+−，()hx在3(1,)2上递减，在3(,)2+上递增，且33()2ln222

h=+，因此当1a时，032x，00000000212133()lnln()2ln21122xxfxaxxhxhxx−−=++==+−−（），当01a时，032x，0333()()2ln22ln2222fxfa=+

+，综上，1a时，3()2ln22fx+恒成立所以a的取值范围是[1,)+．【点睛】难点点睛：本题考查用导数求切线方程，研究不等式恒成立问题，难度较大．第（3）小题的求解，一般由max3()2ln22fx+完成，但本题中，难点一是确定函数值32ln22+是何时取得的，结合（2）

的求解，得出1a=时，33()2ln222f=+，难点二是在分类讨论01a和1a的结论时需要用两种不同的思路，1a时，最小值000021()ln1xfxaxx−=+−作为a的函数是递增的，得出00()()fxhx，然后由()hx的

单调性得证，01a时，先由()fx的单调性得出0333()()2ln22ln2222fxfa=++．19.若数列na的相邻两项或几项之间的关系由函数()fx确定，则称()fx为na的递归函数．设na的递归函数为()2fxxx=−+．（1）若101a，()1

nnafa+=（*Nn），证明：na为递减数列；（2）若()215nnnnafaaa+=++，且153a=，na的前n项和记为nS．①求nS；②我们称()gxx=为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过x

的最大整数，例如1.21=，1.32−=−．若11131nniiaTSa==−+，求()20241iigT=．【答案】（1）证明见解析（2）①6133n−；②10120【解析】【分析】（1）根据定义得出()0,1na，再根据210nnnaaa+−=−

即可证明；（2）根据等比数列的定义及等比数列的求和公式即可求解①；结合①得出115261nniiT−==−，当1n=时，15521T==−，所以15T=；当2n时，由放缩得出355.65n

T+=，结合15nTT=得出()5nngTT==进而求解．【小问1详解】证明：若01x，显然()()()10,1fxxx=−．又101a，所以()20,1a，()30,1a，L，()()10,1nnafa+

=，所以*Nn，()0,1na．因为()2fxxx=−+，()1nnafa+=，所以21nnnaaa+=−+，210nnnaaa+−=−，所以1nnaa+，所以na是递减数列．【小问2详解】①由题意得22156nnnnnnaaaaaa+=−+++=

，又153a=，所以0na，所以16nnaa+=，所以na是以53为首项，6为公比的等比数列，则()()1516161311633nnnnaqSq−−===−−−．②由①得11135561512611333iiiaSa−==−+−−−

+，所以115261nniiT−==−．当1n=时，15521T==−，所以15T=；当2i时，111563261266iii−−−=−．所以当2n时，12111511131535126166656nninni

T−−−==++++=+−−，所以当2n时，355.65nT+=，又150261i−−，所以15nTT=，所以*Nn，55.6nT，所以()5nngTT==，所以()20241202451012

0iigT===．【点睛】关键点睛：求解()20241iigT=时，关键是求出nT的取值范围，根据不等式放缩得出111563261266iii−−−=−是解题关键．