【文档说明】浙江省台金七校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考试题+数学+含解析.docx，共(35)页，2.971 MB，由小赞的店铺上传

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2023学年第一学期台金七校联盟期中联考高二年级数学学科试题命题：周海燕陈耀（三门中学）审题：李超英（台州中学东校区）考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相

应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线310xy−+=的倾斜角为A.6B.

3C.23D.562.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，不能互相垂直的两条直线是（）A.1AB和1ACB.1AB和1CDC.1CD和1BCD.1AB和11BC3.如图三棱柱111ABCABC-中，G是棱1AA的中点，若BAa=，BCb=，1BAc=

，则CG=（）A.abc−+−B.1122abc−+C.12abc−++D.1122abc−++4.在空间直角坐标系Oxyz−中，已知()()()1,2,0,0,1,2,1,0,2ABC，则点O到平面ABC距离是（）

A.2B.3C.5D.225.已知直线l：()321020kxkyk++−−=，则下列选项错误的是（）A.当直线l与直线20xy++=平行时，1k=B.当直线l与直线20xy++=垂直时，12k=−C.当实数k变化时，直线l恒过点()2,1D.原

点到直线l的距离最大值为106.已知抛物线2:4Cxy=，过点()2,0M−的直线l与抛物线C交于,PQ两点（点P在第一象限），点F为抛物线的焦点，若5PF=，则QF=（）A.97B.119C.139D.527.已知圆()22:32Cxy−+=，对于直

线():30lmxymm−+=R上的任意一点P，圆C上都不存在两点A、B使得π2APB=，则实数m的取值范围是（）A.22,44−B.22,,44−−+C.33,44−D.33,,44−−+

8.已知12FF分别是双曲线22122:1(0,0)xyCabab−=的左､右焦点，双曲线左､右两支上各有一点PQ､，满足122FPFQ=，且12π3FQF=，则该双曲线的离心率是（）A.73B.72C.53D.73的二､多选题：本题共4个小

题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.9.已知函数()sin6fxx=+，则下列选项正确的是（）A.cos3f+=−B.函数()fx的

图像关于直线π3x=对称C.将()2fx图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得πsin26yx=−图象D.若()3π5π,536f=，则334sin10+=10.已知三棱锥OABC−，则下列选项正确

是（）A.若()()0,1,2,1,1,1OAOB==，则OA在OB上投影向量为OBB.若G是三棱锥OABC−的底面ABC的重心，则()13OGOAOBOC=++C.若233555OGOAOBOC=−++，则,,,ABCG四点共面D.设(),,,R,,0aO

AbOBcab===+，则,,abc构成空间的一个基底11.已知椭圆221:143xyC+=，点O为坐标原点，12,FF分别是椭圆1C的左右焦点，则下列选项正确的是（）A.椭圆1C上存在点P，使得12π2FPF=B.P为椭圆1C上一点，点()4,4M，则1PMPF−的最小值

为1C.直线()()():3cos23sin60Rlxy+−=与椭圆1C一定相切D.已知圆222:(1)1Cxy−+=，点PN､分别是椭圆1C､圆2C上的动点，则POPN的最小值为3312.如图，

在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M是1CC的中点，点N是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（）的的A.存在点N满足2ANM=B.满足15AN=点N的轨迹长度是4C.满足MN平面11ABC的点N的轨迹长度是1D.满足11BNAM⊥的点N的轨

迹长度是2非选择题部分三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知空间中点()2,1,6M−，则点M关于平面yOz对称的点N的坐标是__________.14.已知双曲线的两条渐近线方程为20xy=，并且经过点()6,1A，则该双曲线的标准方程是__________.15.已知抛

物线光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线2:2(0)Cypxp=，一条光线从点()3,1P沿平行于x轴的方向射出，与拋物线相交于点M，经点M反射后与C交于另一点N.若3OMON−=，则MN､两点到y轴

的距离之比为__________.16.已知四棱锥,PABCDPA−⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，1,2,5PAABAD===，点,EF分别在,ABBC上，当空间四边形PEFD的周长最小时，则三棱锥PADF−外接球的体积为__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应

写出文字说明､证明过程或演算步骤.的17.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,,7abccb=且2cos2acAb+=.（1）求C的值；（2）若ABC的面积为33，求BC边上的高.18.已知圆()()

222:40Cxyrr−+=，两点()30A−,、()5,0B−.（1）若6r=，直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的方程；（2）若圆C上存在点P，使得2210PAPB+=，求圆C半径r的取值范围.19.已知正三棱台111ABCABC-中，11AA=，1

122BCBC==，D、E分别为1AA、11BC的中点.（1）求该正三棱台的表面积；（2）求证：DE⊥平面11BCCB20已知函数()2,01,02xmxxxfxmx+−=−，Rm（1）当4m=时，求函

数()fx的值域；（2）讨论函数()fx的零点个数.21.已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC⊥平面ABCD，2FBFCBC===，4AB=，G是棱CF上一点..（1）

证明：AE平面BCF；（2）当BG平面AEF时，求BG与平面DEG所成角的正弦值.22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，且过点13,2D，点,AB分别是椭圆C的左､右顶点.（1）求椭圆C

的方程；（2）过点()4,0E的直线l与椭圆C交于,PQ两点（P在,EQ之间），直线,APBQ交于点M，记,ABMPQM的面积分别为12,SS，求12SS的取值范围.2023学年第一学期台金七校联盟期中联考高二年级数学学科试题命题：周海燕陈耀（三门中学）审题：李

超英（台州中学东校区）考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，

共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线310xy−+=的倾斜角为A.6B.3C.23D.56【答案】A【解析】【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.详解】由直线310xy−+=，则

3333yx=+，设直线的倾斜角为，所以3tan3=，所以6=.故选：A【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.2.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，不能互相垂直的两条直线是（）【A.1AB和1ACB.1AB和1CDC.1CD和1BCD.1AB

和11BC【答案】C【解析】【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积逐项判断即可.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角

坐标系，设该正方体的棱长为1，则()1,0,0A、()1,1,0B、()0,1,0C、()0,0,0D、()11,0,1A、()11,1,1B、()10,1,1C、()10,0,1D.对于A选项，()10,1,1AB=−，()11,1,1AC=−，则11110AB

AC=−=，故11ABAC⊥；对于B选项，()10,1,1DC=，11110ABDC=−=，故11ABCD⊥，B对；对于C选项，()11,0,1CB=，111CBDC=，故1CD和1BC不垂直，C错；对于D选项，()111,0,0CB=，1110ABCB=，故11

1ABBC⊥，D对,故选：C.3.如图三棱柱111ABCABC-中，G是棱1AA的中点，若BAa=，BCb=，1BAc=，则CG=（）A.abc−+−B.1122abc−+C.12abc−++D.112

2abc−++【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可得出CG关于a、b、c的关系式.【详解】由已知可得11AABABAca=−=−，因为G为棱1AA的中点，则()111112222CGCAAGBABCAAabcaabc=+=−+=−+−=−+.故选：B.4.在空间直角坐标系Oxyz−中

，已知()()()1,2,0,0,1,2,1,0,2ABC，则点O到平面ABC的距离是（）A.2B.3C.5D.22【答案】B【解析】【分析】利用空间向量求出平面ABC的一个法向量，代入点到平面距离公式即可得出结果.详解】依题意可得()()1,1,2,1,1,0ABBC=−−=−，()1,

2,0OA=，设平面ABC的一个法向量为(),,nxyz=，则200nABxyznBCxy=−−+==−=，令1x=，则可得1,1yz==，即()1,1,1n=，所以点O到平面ABC的距离是1233OAndn+===.

故选：B5.已知直线l：()321020kxkyk++−−=，则下列选项错误的是（）【A.当直线l与直线20xy++=平行时，1k=B.当直线l与直线20xy++=垂直时，12k=−C.当实数k变化时，直

线l恒过点()2,1D.原点到直线l的距离最大值为10【答案】C【解析】【分析】A项：根据与直线20xy++=平行可求出k值，即可求解；B项：根据与直线20xy++=垂直可求出k值，即可求解；C项：将直

线l整理得：()310220xyky+−+−=，从而求出定点，即可求解；D项：当原点与直线过的定点连线垂直直线时有最大距离，从而求解.【详解】对于A项：当直线l与直线20xy++=平行，得斜率为：312kk−=−+，解得：1k=，故A项正确；对于B项：当直线

l与直线20xy++=垂直，得斜率：312kk−=+，解得：12k=−，故B项正确；对于C项：直线l化简为：()310220xyky+−+−=，由3100220xyy+−=−=，解得：31xy==，即l恒过定点()3,1，故C项错误；对

于D项：当原点与直线l的定点的连线垂直于直线l时距离最大，由两点间距离得：()()22301010−+−=，故D项正确.故选：C6.已知抛物线2:4Cxy=，过点()2,0M−的直线l与抛物线C交于,PQ两点（点P在第一象限），点F为抛物线的焦点，若5PF=，则

QF=（）A.97B.119C.139D.52【答案】C【解析】.【分析】设点1(Px，1)y，2(Qx，2)y，根据抛物线的定义即可根据5PF=求得14y=，求解直线方程，将直线l方程与抛物线的方程联立，求出1x，2x，由抛物线的定义可求得||QF

的值．【详解】易知点(0,1)F，设点1(Px,1)y，2(Qx,2)y，其中110,0,yx由于5PF=，所以11154PFyy=+==，将14y=代入2:4Cxy=得211116,0,4xxx==，故直线l的斜率为4263PMk==，

故其方程为()223yx=+，联立()22234yxxy=+=，可得238160xx−−=，解得214,43xx=−=，所以22442339y=−+=由抛物线的定义可得21319QFy=+=．故选：C7.已知圆()22:32C

xy−+=，对于直线():30lmxymm−+=R上的任意一点P，圆C上都不存在两点A、B使得π2APB=，则实数m的取值范围是（）A.22,44−B.22,,44−−+C.33,44−

D.33,,44−−+【答案】B【解析】【分析】作出图形，考虑PA、PB都与圆C相切，设APC=，则2APB=，分析可知，当PCl⊥时，最大，此时，APB最大，计算出圆心C到直线l的距离d，分析可得2d，即可求得实数m的取值范围.

【详解】如下图所示：圆心为()3,0C，半径为2r=，圆心C到直线l的距离为261mdm=+，考虑PA、PB都与圆C相切，此时，由切线长定理可知，PAPB=，又因为CACB=，PCPC=，则PACPBC≌，设APC=，则2APB=，因为ACPA⊥

，则2sinACPCd=，故当PCl⊥时，最大，此时，APB最大，因为对于直线():30lmxymm−+=R上的任意一点P，圆C上都不存在两点A、B使得π2APB=，则π22，可得π4

，则2π2sin42d=，可得2621mdm=+，解得24m−或24m.故选：B.8.已知12FF分别是双曲线22122:1(0,0)xyCabab−=的左､右焦点，双曲线左､右两支上各有一点PQ､，满足122FPFQ=，且12π3FQF=，则该双曲线的离心率是

（）A.73B.72C.53D.73【答案】D【解析】【分析】延长1PF交交双曲线于M点，连接212,,PFQFMF，结合双曲线的定义与余弦定理可得,ac关系，从而求得双曲线的离心率.【详解】如图，延长1PF交交双曲线于M点，连接212,,PFQ

FMF因为122FPFQ=，所以2//PMQF，根据双曲线的对称性可得,MQ关于原点对称所以12MFFQ=，则四边形12FMFQ为平行四边形，所以212π3PMFFQF==设12MFFQm==，则12PFm=

，由双曲线定义可得：21212,2PFPFaMFMFa−=−=，所以2222,2PFamMFam=+=+，在2PMFV中，由余弦定理得222222π2cos3PFPMMFPMMF=+−，则()()()()222122322322ammammam+=++−+，整理得

103am=所以121016,33aaMFMF==，在12FMF△中，由余弦定理得222121212π2cos3FFMFMFMFMF=+−，则()2221016101612233332aaaac=+−，整理得22499ca=，所以73ca=则该双曲

线的离心率是73ca=.故选：D.二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对得5分，部分选对得2分，错选得0分.9.已知函数()sin6fxx=+，则下列选项正确的是（）A.cos3f+=−

B.函数()fx的图像关于直线π3x=对称C.将()2fx图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得πsin26yx=−图象D.若()3π5π,536f=，则334sin10+

=【答案】BCD【解析】【分析】根据诱导公式可判断A；根据正弦函数性质可判断B；根据函数左右平移原则“左加右减”即可判断C；根据两角差的正弦可判断D.【详解】因为ππππsinsincos3362f+=++=+=，故A错误；函数()fx的对称轴为ππ

π62xk+=+，Zk，得ππ3xk=+，Zk，所以函数()fx的图像关于直线π3x=对称，故B正确；由题意知()π2sin26fxx=+，所将()2fx图像上所有点向右平移π6个单位，得πππsin2sin2666yx

x=−+=−，故C正确；因为()π3sin65f=+=，且π5π36，所以πππ26+，所以π4cos65+=−，因为ππππππs

insincoscossin666666=+−=+−+，得334sin10+=，故D正确.故选：BCD.10.已知三棱锥OABC−，则下列选项正确的是（）A.若()()0,1,2,1,1,1OAOB==，则OA在OB上的投影向量为OBB.

若G是三棱锥OABC−的底面ABC的重心，则()13OGOAOBOC=++C.若233555OGOAOBOC=−++，则,,,ABCG四点共面D.设(),,,R,,0aOAbOBcab===+，则,,abc构成空间的一个基底【答案】AB【解析】【分析

】利用投影向量的定义根据空间向量数量积的坐标运算计算可得A正确，画出几何体由空间向量加减运算法则可求得B正确，显然233555OGOAOBOC=−++不满足共面定理，可知C错误；不共面的非零空间向量才可以构成空间的一个基底，可知D错误.【详解】对于A，易知

OA在OB上的投影向量为333OAOBOBOBOBOBOB==,所以可知A正确；对于B，取BC的中点为E，连接,OEAE，如下图所示：由G是三棱锥OABC−的底面ABC的重心可得2AGGE=，易知()()22113323OGOAAGOAAEOAACA

BOAACAB+=+=++==++()()1211133333OOCOBOBOCOBOAOAAOAOAOOAC=++++=+++=++所以()13OGOAOBOC=++，即可知B正确；对于C，若233555O

GOAOBOC=−++，显然233415555−++=，则,,,ABCG四点不共面，所以C错误；对于D，由(),,,R,,0aOAbOBcab===+可知，,,abc共面，所以,,abc不能构成空间的一个基底，即D错误.故选：AB11.已知椭圆221:143xy

C+=，点O为坐标原点，12,FF分别是椭圆1C的左右焦点，则下列选项正确的是（）A.椭圆1C上存在点P，使得12π2FPF=B.P为椭圆1C上一点，点()4,4M，则1PMPF−的最小值为1C.直线()()():3cos23sin60Rlx

y+−=与椭圆1C一定相切D.已知圆222:(1)1Cxy−+=，点PN､分别是椭圆1C､圆2C上的动点，则POPN的最小值为33【答案】BC【解析】【分析】易知圆221xy+=与椭圆221:143xyC+=无交点，可得A错误，由椭

圆定义将1PMPF−转化为()1222444PMPFPMPFPMPFMF=−−−=−+−，即可知B正确，联立直线l与椭圆方程可得2223sin3sin0yy−+=，显然方程只有一解，即可知C正确，由21P

NPF+以及距离公式，构造函数并利用单调性可求出POPN的最小值为12，即D错误.【详解】对于A，若存在点P，使得12π2FPF=，则点P在以12FF为直径的圆221xy+=上，而点P在椭圆上，易知椭圆221:143xyC+=与圆221xy+=无交点，如下图所示：所以不存在点P满足题

意，即A错误；对于B，由椭圆定义可得1224PFPFa+==，则可得124PFPF=−，所以()1222444PMPFPMPFPMPFMF=−−−=−+−，当且仅当2,,PMF三点共线时满足题意，又()21,0F，()4,4M可得25MF=，即1241PMPFMF−=−，所以B正确；

对于C，将22143xy+=变形可得2234120xy+−=，结合直线l可得22222123609coscoscosxy+−=，联立直线()():3cos623sinlxy=−消去x可得2223sin3sin0yy−+=，显然该方程仅有一解3siny=，所以当R时，直

线和椭圆仅有一个交点，此时直线()()():3cos23sin60Rlxy+−=与椭圆1C一定相切，即C正确；对于D，易知圆222:(1)1Cxy−+=圆心为()21,0F，所以可得21PNPF+，不妨设()00,Pxy，则由2200143xy+=可得2200334xy=−，则

()()222002220000222222000000003331244381621113124144xxxPOxyxPNxxxxxyxx+−+++===−++−++−+−+−++()222200002200000121212

12426123642xxxxxxxxx++++====−+−−+−+，易知02,2x−，令()22212,1262,3xfxxxx=−+−+，则()()()()2212621236xxfxxx−−+

=−+在2,2x−上满足()0fx¢>恒成立，所以()fx在22−,上单调递增，即()()124fxf−=，因此可得202001211123642POxPNxx+=−+，即POPN的最小值为12，即D错误.故

选：BC12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M是1CC的中点，点N是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则下列选项正确的是（）的A.存在点N满足2ANM=B.满足15AN=的点N的轨迹长度是4C.满足MN平面11A

BC的点N的轨迹长度是1D.满足11BNAM⊥的点N的轨迹长度是2【答案】ABD【解析】【分析】利用正方体中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标，翻译条件求出轨迹方程，注意变量的取值范围，求解轨迹长度即可.【详解】如图建立空间直角坐标系

，则有(200)A，，，(0,2,1)M,(0)Nxy，，，1(202)A，，，(220)B，，，1(022)C，，，1(222)B，，对于A选项，若2ANM=，则=0NANM，且=(20)NAxy−−，，，

=(21)NMxy−−，，，故N轨迹方程为22(1)(1)=2xy−+−，当=0x时，=0y，点(00)，既在轨迹上，也在底面内，故存在这样的点N存在，A正确对于B选项，15AN=，N的轨迹方程为22(2)=1xy

−+，0202xy，，N在底面内轨迹的长度是22(2)=1xy−+周长的14故长度为411π=4，B正确对于C选项，1=(022)AB−，，，11=(220)AC−，，，设面11ABC的法向量=

()nxyz，，故有220220yzxy−=−+=，解得=1=1=1xyz，故=(111)n，，MN∥平面11ABC，=0MNn，N的轨迹方程为3=0xy+−0202xy，，N在底面内轨迹的长度为2211=2+，C错误对于D选项，1=(222)BNxy−−

−，，，1=(221)AM−−，，11BNAM⊥，11=0BNAM，N的轨迹方程为1=0xy−++0202xy，，N在底面内轨迹的长度为2211=2+，D正确故选：ABD非选择题部分三､填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知空间中点()2,1,6M−，

则点M关于平面yOz对称的点N的坐标是__________.【答案】()2,1,6【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点的对称求解即可.【详解】空间中点()2,1,6M−，则点M关于平面yOz对称的点N的坐标是()2,1,6.故答案为：()2,1,6.

14.已知双曲线的两条渐近线方程为20xy=，并且经过点()6,1A，则该双曲线的标准方程是__________.【答案】22142xy−=【解析】【分析】根据题意设双曲线方程为221mxny−=，利

用渐近线和过点()6,1A解方程组即可求得其标准方程.【详解】依题意可设双曲线方程为221mxny−=，,0mn；由渐近线方程为20xy=可得2nm=，将点()6,1A代入可得61mn−=，解得11,42mn=

=，所以双曲线标准方程为22142xy−=.故答案为：22142xy−=15.已知抛物线光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线2:2(0)Cypxp=，一条光线从点()3,1P沿平行于x轴的方向射出

，与拋物线相交于点M，经点M反射后与C交于另一点N.若3OMON−=，则MN､两点到y轴的距离之比为__________.【答案】116##0.0625【解析】【分析】设出直线MN的方程，联立抛物线方程，用韦达定理和3OMON−=得出

p的值和M、N的坐标，然后可得MN､两点到y轴的距离之比．【详解】依题意，由抛物线性质知直线MN过焦点(,0)2pF，设1(Mx,1)y，2(Nx,2)y，直线MN的方程为2pxty=+，由222pxtyypx=+=，得：2220yptyp−−=，所以212yyp=−，22212122

24yypxxpp==，则21212334OMONxxyyp=+=−=−，又0p，所以2p=，故抛物线方程为24yx=而11y=，故24y=−，所以2212121,4444yyxx====所以MN､两点到y轴的距离之比为12116xx=．故答案为：116．16.已知

四棱锥,PABCDPA−⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，1,2,5PAABAD===，点,EF分别在,ABBC上，当空间四边形PEFD的周长最小时，则三棱锥PADF−外接球的体积为__________.【答案】273π2【解析】【分析】把平面PAB展开到与底面ABCD共面的PA

B的位置，根据图形可知当,,,PEFD四点共线时，空间四边形PEFD的周长最小，进而求得各边长，由正弦定理可求得ADF△外接圆的半径r，在三棱锥PADF−中确定球心位置根据勾股定理即可求得外接球半径，可

得其体积.【详解】把平面PAB展开到与底面ABCD共面的PAB的位置，延长DC到D¢，使得1CD=，则DFDF=（如下图所示），因为PD的长度为定值，故只需PEEFFDPEEFFD++=++最小，即,,,PEFD四点共线，易知6

,4PDDD==，PDDDCFCD=，可得3CF=，所以2,22,13BFABDF===，45DAF=，由正弦定理可得ADF△外接圆的半径113262sin452r==，设ADF△外接圆圆心为O，则三棱锥P

ADF−外接球的球心O一定在过O且与平面ADF垂直的直线上，如下图所示：因为O到点,PA的距离相等，所以222733242PAOAr=+==，即三棱锥PADF−外接球的半径为332R=，

所以外接球的体积为34273ππ32VR==.故答案为：273π2【点睛】关键点点睛：本题关键在于将PAB展开到与底面ABCD共面的PAB的位置，确定出空间四边形PEFD的周长最小时F点的具体位置，求得三棱锥PADF−的各边长进而求出外接球半

径即可求出体积.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,,7abccb=且2cos2acAb+=.（1）求C的值；（2）若ABC的面积为33，求BC边上的高.【答案】（1

）π3C=（2）3【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可得1cos2C=，可求出π3C=；（2）利用余弦定理以及边的比例关系可求出3ab=，再由面积计算可得6a=，即可求得BC边上的高为3.【小问1详解】利用正弦定理由2cos2acAb+=可得sin2

sincos2sinACAB+=，又在ABC中，易知πABC++=，可得πACB+=−，所以()()sinsinπsinACBB+=−=；即()sin2sincos2sin2sincos2cossinACAA

CACAC+=+=+，可得sin2sincosAAC=，显然sin0A，所以12cosC=，所以1cos2C=，又()0,πC，可得π3C=；【小问2详解】由余弦定理可得2221cos22abcCab+−==，代入7cb=整理可得2260aabb−−=，解得3ab=或2ab=−（舍）

；所以ABC的面积为1sin332SabC==，解得2b=，所以6a=；设BC边上的高为h，则113322ShBCah===，可得3h=，即BC边上的高为3.18.已知圆()()222:40Cxyrr−+=，两点()30A−,、()5,0B−.（1）若6r=，

直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，求直线l的方程；（2）若圆C上存在点P，使得2210PAPB+=，求圆C半径r的取值范围.【答案】（1）25222yx=+或25222yx=−−（2）6,10【解析】【分

析】（1）计算出圆心C到直线l的距离为33d=，对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线l的方程，利用点到直线的距离公式可求出直线l的方程；（2）设点(),Pxy，利用平面内两点间距离公式结合2210PAPB+

=可得知点P在圆()2244xy++=，可知圆C与圆()2244xy++=有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于r的不等式，即可解得r的取值范围.【小问1详解】的解：当6r=时，圆C的标准方程为()22436xy−+=，圆心为()4,0C

，因为直线l过点B且被圆C所截的弦长为6，则圆心C到直线l的距离为222236333dr=−=−=，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为5x=−，此时，圆心C到直线l的距离为9，不合乎题意；所以，直线l的斜率存在，设直线l的方程为()5ykx=+，即

50kxyk−+=，则29331kdk==+，解得22k=，所以，直线l的方程为25222yx=+或25222yx=−−.【小问2详解】解：设点(),Pxy，则()()2222223510PBxyPAxy+=+++++=，整理可得(

)2244xy++=，因为点P在圆C上，则圆C与圆()2244xy++=有公共点，且圆()2244xy++=的圆心为()4,0E−，半径为2，则22rCEr−+，且8CE=，故282rr−+，因为0r，解得610r，故r的取值范围是6,10.19.已知正三棱台11

1ABCABC-中，11AA=，1122BCBC==，D、E分别为1AA、11BC的中点.（1）求该正三棱台的表面积；（2）求证：DE⊥平面11BCCB【答案】（1）732（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将正三棱台111A

BCABC-补成正三棱锥−PABC，分析可知正三棱锥−PABC是棱长为2的正四面体，结合三角形的面积公式可求得正三棱台111ABCABC-的表面积；（2）设点P在底面ABC的射影为点O，则O为正ABC的中心，取AB的中点M，连接CM，则CMAB⊥，以点CO、AB、OP的

方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，证明出DECP⊥，DECB⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.【小问1详解】解：将正三棱台111ABCABC-补成正三棱锥−PABC，如图所示：因为11//

BCBC，且1122BCBC==，则1A、1B分别为PA、PB的中点，则122PAAA==，2PCPBPA===，故PBC是边长为2的等边三角形，由此可知，PAB、PAC△都是边长为2的等边三角形，易知ABC是边长为2的等边三角形，111ABC△是边长为1的等边三角形，故正三棱台111AB

CABC-的表面积为11122239333733221444442PABABCABCSSS++=++=△△△.【小问2详解】解：设点P在底面ABC的射影为点O，则O为正ABC的中心，取AB的中点M，连接CM，则CMAB⊥，π3sin2332CMAC===，则22333COC

M==，因为PO⊥平面ABC，CO平面ABC，则OPCO⊥，所以，22222326233POPCOC=−=−=，以点O为坐标原点，CO、AB、OP的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如图所示

的空间直角坐标系，则23,0,03C−、3,1,03B、260,0,3P、3,1,03A−、336,,446D−、316,,1243E−，则36,1,36DE=−，23

26,0,33CP=，()3,1,0CB=，所以，22033DECP=−+=，110DECB=−+=，所以，DECP⊥，DECB⊥，因为CPCBC=，CP、CB平面11BCCB，故DE⊥平面11BCCB.2

0.已知函数()2,01,02xmxxxfxmx+−=−，Rm（1）当4m=时，求函数()fx的值域；（2）讨论函数()fx的零点个数.【答案】（1）(),32,−−+（2）

答案见解析【解析】【分析】（1）代入4m=分别利用基本不等式和函数单调性求出两段函数值域即可得出结论；（2）对参数m的取值进行分类讨论，利用基本不等式以及指数函数单调性分别对两函数的最值的符号作出判断，结合图象特征即可得函数()fx的零点个数.【小问1详解

】当4m=时可得()42,041,02xxxxfxx+−=−；显然当0x时，442222xxxx+−−=，当且仅当2x=时，等号成立，当0x时，易知函数412x−在(,0−上单调

递增，所以可得04411322x−−=−，即0x时，(41,32x−−−；综上可知，函数()fx的值域为(),32,−−+；【小问2详解】①当0m时，函数2myxx=+−在()0,+上单调递增，且当x趋近于0

时，0y，当x趋近于+时，0y，即函数2myxx=+−在()0,+上存在一个零点；而函数12xmy=−在(,0−上单调递减，且当(,0x−时，0y恒成立，即函数12xmy=−在(,0−上无零点；所以当0m时，函数()fx仅有1个零点；②当0

1m时，易知2myxx=+−在()0,m上单调递减，在(),m+上单调递增，此时最小值为220m−，即函数2myxx=+−在()0,+上存在两个零点；而函数12xmy=−在(,0−上单调递增，且当x趋近于−时，0y，其最大值为10m−，即函数12xmy=−在(,0−

上有一个零点；所以当01m时，函数()fx仅有3个零点；③当1m=时，易知12yxx=+−在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增，此时最小值为0，即函数12yxx=+−在()0,+上存在一个零点；而函数112xy

=−在(,0−上单调递增，且当x趋近于−时，0y，其最大值为0，即函数112xy=−在(,0−上有一个零点；即当1m=时,函数()fx仅有2个零点；④当1m时，易知2myxx=+−在()0,m上单调

递减，在(),m+上单调递增，此时最小值为220m−，即函数2myxx=+−在()0,+上无零点；而函数12xmy=−在(,0−上单调递增，且当x趋近于−时，0y，其最大值为10m−，即函数12xmy=−在(,0−上无零点；所以当1m时，函数()fx没有零

点；综上可知，当0m时，函数()fx仅有1个零点；当01m时，函数()fx仅有3个零点；当1m=时,函数()fx仅有2个零点；当1m时，函数()fx没有零点；21.已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面FBC⊥平面ABCD，2FBFCBC===

，4AB=，G是棱CF上一点.（1）证明：AE平面BCF；（2）当BG平面AEF时，求BG与平面DEG所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解（2）46767【解析】【分析】（1）先证平面ADE//平面BCF，再证明AE平面BC

F即可；（2）设出G的坐标，求出平面AEF的法向量，由BG平面AEF的向量关系求出G点坐标，再用向量法求线面角即可.【小问1详解】因为底面ABCD为矩形，所以//ADBC；AD平面BCF，BC平面BCF，所以//AD平面BCF，又四边形BDEF为平行四边形

，所以//DEBF，又DE平面BCF，BF平面BCF，所以//DE平面BCF，因为ADDEE=，且AD平面ADE，DE平面ADE，所以平面ADE//平面BCF，因为AE平面ADE，所以AE平面BC

F；【小问2详解】如图，连接AF，EG，取BC的中点N，AD的中点M，因为FBC是等边三角形，所以FNBC⊥，又平面FBC⊥平面ABCD，FN平面FBC，平面FBC平面ABCDBC=，所以FN⊥平面ABCD，又底面A

BCD为矩形，所以MNNB⊥，以N为坐标原点，,,NMNBNF分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，由题意得，()()()()()4,1,0,0,1,0,0,1,0,4,1,0,0,0,3ABCDF−−，则()0,1,3CF=，设(01)CGtCFt=，则(

)0,1,3Gtt−，可知()()()0,2,3,4,1,3,4,2,0BGttAFBD=−=−−=−，由底面是平行四边形，得()0,3,3AEAFFEAFBD=+=+=−，设平面AEF的法向量为()111,,xny

z=，则11111430330xyzyz−−+=−+=，取13z=，得1111,2yx==，则平面AEF的法向量为1,1,32n=，由题意//BG平面AEF，则()10213302BGntt=+−+=，解得12t=，所以12CGCF=，即G是CF中点，因为()0,3

,3AE=−，所以()4,2,3E−，所以()130,1,3,4,,22DEDG=−=−，设平面DEG的法向量为()222,,mxyz=，则2222230134022yzxyz−+=

−++=，取21z=，得2233,4yx==，所以平面DEG的法向量为3,3,14m=，330,,22BG=−，设直线BG与平面DEG所成的角为，则333046722sincos,6767316BGmBGmBGm−+====

.所以BG与平面DEG所成角的正弦值为46767.22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为32，且过点13,2D，点,AB分别是椭圆C的左､右顶点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点()4,0E的直线l与椭圆C交于,PQ两点（P在,EQ之间），直线,APB

Q交于点M，记,ABMPQM的面积分别为12,SS，求12SS的取值范围.【答案】（1）2214xy+=（2）()0,1【解析】【分析】（1）利用离心率以及椭圆过的点联立解方程组即可求得椭圆方程;（2）设出直线方程4xmy=+并与椭圆联立并利用韦达定理得出关系

式，解出直线PA与QB的交点12121221212262,33myyyyyyMyyyy++−−，利用弦长公式以及点到直线距离公式可求得面积12,SS的表达式，即可得2122124SmSm−=+，再由212m即可求

得()120,1SS.【小问1详解】由题意可知离心率为32cea==，将点13,2D代入椭圆方程可得223114ab+=，又222abc=+，解得2224,1,3abc===；所以椭圆方程为2214xy+=【小问

2详解】易知()()2,0,2,0AB−，设直线l的方程为4xmy=+，()()1122,,,PxyQxy，且12xx，联立直线和椭圆方程22144xyxmy+==+，整理可得()2248120mymy+++=，()()22841240mm=−

+，可得212m，且121222812,44myyyymm+=−=++可得直线PA的方程为()()11112226yyyxxxmy=+=+++，直线QB的方程为()2222yyxmy=−+，解得12121221212262,33myyyyyyMyyy

y++−−()()222222222228128411241211444444mmPQmmmmmmmmm−−−−+−=+=+=+++++；M点到直线PQ的距离为()12212631yyyyd

m−−=+所以PQM的面积为()()()()1222221121222216112311212224431yymmyyyymSPQdmmyym−+−−−−===++−+ABM的面积为12122121

2231432SyyyyByAyyy=−=−；所以22221222212212221212412331216444112444mmmyySmmmmyymmmS−−−−−+++====−+++，又2

12m可得()21610,14m−+，即可得12SS的取值范围是()0,1.【点睛】方法点睛：在求解圆锥曲线面积范围问题时，往往根据题目已知条件写出面积的表达式，进而求得两面积比值的表达式，再由参数范围利用函数单调性或者基本不等式即可限定出要求的结果.获得更多资源请

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