【文档说明】浙江省（湖州、丽水、衢州）三地市2022-2023学年高三上学期11月份教学质量检测（一模）数学试题 含解析.docx，共(26)页，3.094 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-d778191c67628a612aed1726b7df93b9.html

以下为本文档部分文字说明：

丽水、湖州、衢州2022年11月三地市高三教学质量检测数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2．作答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对

应题目选项的答案信息点涂黑.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.1.已知集合3|01xAxx−=−，|2Bxx=，则AB=（）A.|23xxB.|12xxC.|13xxD.|12xx【答案】A【解析】【分析】根据分式不等式的解法解出集合A，根据交

集的定义和运算即可求解.【详解】(3)(1)03{|0}{|13}101xxxAxxxxxx−−−===−−，又{2}Bxx=，所以{|23}ABxx=.故选：A2.设复

数11iz=−（其中i为虚数单位），z是z的共轭复数，则zz+=（）A.1−B.1C.iD.1i2+【答案】B【解析】【分析】利用共轭复数的定义及复数的除法法则，结合复数加法法则即可求解.【详解】()()11i11i1i1i1i22z+==

=+−−+,所以11i22z=−所以111111ii=1222222zz+=++−+=.故选：B.3.已知点P为ABC所在平面上的一点，且13APABtAC=+，其中t为实数，若点P落在ABC的内部（不含边界），则t的取值范围是()A.104tB.103tC.

102tD.203t【答案】D【解析】【分析】延长AP交BC于D，设ADmAP=(1m)，(0)BDDC=，求出1(1)(1)APABACmm=+++，根据平面向量基本定理得到()()11131mtm=

+=+，根据1,0m可求出203t.【详解】如图，延长AP交BC于D，设ADmAP=(1m)，(0)BDDC=，则1()()11ADABACADADABAC−=−=+++，∴1111(1)(1)mAPABACAPABACmm

=+=+++++，又∵13APABtAC=+，∴()()11131mtm=+=+，∴113tm=−，因为0，所以1113(1)mm=+，所以13m，所以203t.故选：D.4.已知函

数()()sinfxAx=+（0,0,πA）的部分图像如图，当π0,2x时，满足()1fx=的x的值是（）A.π2B.5π12C.π3D.π6【答案】B【解析】【分析】利用函数的部分

图像求出()fx的解析式，结合三角方程即可求解.【详解】由题意可知，2A=,周期5ππ2π63T=−=,所以2π2T==,则()()2sin2fxx=+，由π03f=，得π2sin203+=，又π

，所以π3=或2π3=−，所以()π2sin23fxx=+，或()2π2sin23fxx=−，当0x=时，()π02sin20303f=+=，不满足题意舍去，故()

2π2sin23fxx=−.由π0,2x，得2π2ππ2,333x−−，由()1fx=即2π2sin213x−=，得2π1sin232x−=，所以2ππ236x−=，解得5π12x=，故选：

B.5.在正三棱锥−PABC中，M，N分别是棱PC，BC的中点，且AMMN⊥，设三棱锥−PABC外接球的体积和表面积分别是V和S．若2AB=，则（）A.66V=B.126V=C.6S=D.24S=【答案】C【解析】【分析

】如图，根据题意，利用线面垂直的判定定理和性质证明PBPA⊥，PBPC⊥，PCPA⊥，将三棱锥−PABC补成以PAPBPC、、为棱的正方体，则正方体的外接球即为三棱锥−PABC的外接球，求出外接球的半径，结合球的体积和表面积公式计算即可求解.【详解】如图，取A

C的中点D，连接PD、BD，则//MNPB，由MNAM⊥，得PBAM⊥，因为三棱锥−PABC为正三棱锥，所以,PAPCBABC==，而D是AC的中点，所以,PDACBDAC⊥⊥，又,PDBDDPDBD=、平面PBD，所以AC⊥平面PBD，由PB平面PBD，

得AC⊥PB，又PBAM⊥，,ACAMAACAM=、平面PAC，所以PB⊥平面PAC，由PAPC、平面PAC，所以PBPA⊥，PBPC⊥，根据正三棱锥的特点可得PCPA⊥，故可将三棱锥−PABC补成以PAPBPC、、为棱的正方体，如图，所以正方体的外接球即为三棱锥−PABC

的外接球.由2AB=，可得正方体的棱长为2，所以222(2)2(2)R=+，即正方体的外接球的半径为62R=，即三棱锥−PABC的外接球半径为62R=，所以外接球的体积为33446()6332VR===，表面积为22

644()62SR===.故选：C6.若函数()sinfxaxx=+的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数a的值是（）A.2B.1C.0D.1−【答案】C【解析】【分析】求导，由导数的几何意义和直线垂直的

性质，以及余弦函数进行求解.【详解】因为()sinfxaxx=+，所以()cosfxax=+，因为函数()sinfxaxx=+的图象上存在两条相互垂直的切线，不妨设函数()sinfxaxx=+在1xx=和2xx=切线互相垂直

，则()()12coscos1axax++=−，即()22121coscos1coscos0aaxxxx++++=①，因为a一定存在，即方程①一定有解，所以()()22121coscos41coscos0xxxx=+−+

，即()212coscos4xx−，解得12coscos2xx−或12coscos2xx−−，又|cos|1x，所以12cos1,cos1xx==−或12cos1,cos1xx=−=，Δ0=，所以方程①变为20a=，所以0a=，故A，B，D错误.的故选：C.7.如

图，已知抛物线22yx=，过点()10P，和()3,0Q分别作斜率大于0的两平行直线，交抛物线于A，B和C，D，连接AD交x轴于点3,02M，则直线AB的斜率是（）A.1B.2C.3D.2【答案】D【解析】【分析】由题知3DAyy=

−，进而设直线AD的方程为()302xmym=+，与抛物线联立方程得2,3ADADyymyy+==−，进而可得113ADmyy==−=，1,12A−，再求斜率即可.【详解】解：因为()10P，，()3,0Q，3,02M，所以13,22P

MQM==，因为//ABCD，所以AMP∽DMQ△，所以13ADPMAMyMQMQy===，即3DAyy=−，因为过点()10P，和()3,0Q两平行直线,ABCD斜率大于0所以，直线AD斜率大于0，故设直线AD的方程为()302xmym=+，联立方程23

22xmyyx=+=得2230ymy−−=，所以2,3ADADyymyy+==−所以，233ADADADyymyyyy+==−−=，解得113ADmyy==−=所以1,12A−，所以102112ABAPkk−−===−，即直线AB的斜率是2.故选：

D8.设14a=，1sin8e1b=−，9ln7c=，则（）A.abcB.acbC.cabD.bca【答案】C【解析】【分析】根据题意构造函数()sin(0)2fxxxx=−和2(1)()ln(0)1xgxxxx−=−+，利用导数研

究函数()fx的单调性可得sinxx，进而11sin888888(+1)=(e)<(e)e<3<(+1)ba=，则ba；利用导数研究函数()gx的单调性可得当1x时()0gx，即991()ln0774g=−，则ca，进而

得出结果.【详解】由1sin8e1b=−，得1sin81eb+=；由14a=，得880011881888811111(1)(1)()C()C()C)1C344444a+=+=++++=.设函数()sin(0)2fxx

xx=−，则()cos10fxx=−，所以函数()fx在(0,)2上单调递减，故()(0)0fxf=，即sinxx，所以11sin88，有11sin88e<e，得11sin8888(e)<(e)e=，所以11sin888888(+1)=(e)<(e)e<3<(+1)ba=，所以b

a；由92(1)179417−=+，可设函数2(1)()ln(0)1xgxxxx−=−+，则214()0(1)gxxx=++，所以函数()gx在(0,)+单调递增，且(1)=0g，所以当1x时，()0gx，即92(1)997()ln097717g−=

−+，即91ln74，所以ca.综上，cab.故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为了增强学生体育锻炼的

积极性，某中学需要了解性别因素与学生对体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行普查.得到下表：性别合计男性女性喜欢280p280+p不喜欢q120120+q合计280+q120+p400+p+q附：()()()()()22nadbcKabcd

acbd−=++++，nabcd=+++．()20PKk0.150.100.050.0250.0100.00l0k2.0722.70638415.0246.63510.828已知男生喜欢该项运动的人数占男生人数的710，女生喜欢该项运动的人数占女生人数的35，则下列说法正确

的是（）A.列联表中q的值为120，p的值为180B.随机对一名学生进行调查，此学生有90%的可能喜欢该项运动C.有99%的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系.D.没有99.9%的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系【答案】ACD【解析】

【分析】根据题意求出q、p，补全22列联表，分析数据，利用卡方计算公式求出2K，结合独立性检验的思想依次判断选项即可.【详解】A：由题意知，男生喜欢该项运动的人数占男生人数的710，女生喜欢该项运动的人数

占女生人数的35，则7280(280)10q=+，3(120)5pp=+，解得120,180qp==，故A正确；B：补全22列联表如下：男性女性合计喜欢280180460不喜欢120120240合计400300700所以随机抽一名学生进行调查，喜欢该项运动的概率约为46065.7%700

P=，故B错误；C：222()700(280120180120)7.609()()()()460240400300nadbcKabcdacbd−−==++++，而6.6357.60910.828，所以有99%

的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系，故C正确；D：由选项C知，没有99.9%的把握认为学生的性别与其对该项运动的喜好有关系，故D正确.故选：ACD10.已知函数()1e1,1ln,01xxfxxx−−=，()()gxfxaxb=−−，则（）A.对于任意,R

ab，函数()gx有零点B.对于任意Rb，存在0a，函数()gx恰有一个零点C.对于任意0a，存在Rb，函数()gx恰有二个零点D.存在,Rab，函数()gx恰有三个零点【答案】ABD【解析】【分析】A选项：将()()gxfxaxb=−−的零

点个数可以转化为()fx与yaxb=+图象的交点个数，根据图象即可得到当0a时一定有零点，当0a时，利用零点存在性定理判断即可；BCD选项：根据()fx切线斜率的范围来判断直线()1yax=−与()fx图象的交点情况即可.【详解】A选项：上图为()fx

的图象，由题意知，()()gxfxaxb=−−的零点个数可以转化为()fx与yaxb=+图象的交点个数，当0a时，函数()fx和yaxb=+的图象一定有交点；当0a，0x→时，()gx→−，当x→+时，()gx→+，，则由零点存在性

定理得()gx有零点，故A正确；B选项：当1x时，()11xfx−=e，当01x时，()11fxx=，所以()fx切线的斜率都大于或等于1，当01a时，直线()1yax=−与()fx有一个交点，即()g

x有一个零点，故B正确；C选项：由B选项得，当01a时，对于任意的Rb，()gx只有一个零点，故C错；D选项：当1a时，()11f=，所以()fx在()1,0的切线方程为1yx=−，所以当1a时，直线()1yax=−与()f

x有三个交点，即()gx有三个零点，故D正确.故选：ABD.11.已知点A，B分别为圆1C：2228160xyxy+−++=与圆2C：22650xyx+−+=上的两个动点，点P为直线l：20xy−+=上一点，则（）A.PAPB−的最大值为253+B.PAPB−的最小值为253−−C.PAP

B+的最小值为3103−D.PAPB+的最小值为13373+−【答案】AC【解析】【分析】根据题意，作出图形，当1CPC、、三点共线时PAPB+最小，即PAPB+2112112PCPCrrCCrr=+−−=−−；由PAPBA

B−知当AB取到最大即1212maxABMNCCrr==++时PAPB−最大，结合两点坐标求距离公式计算即可.【详解】由221:28160Cxyxy+−++=，得22(1)(4)1xy−++=，所以圆心1(1,4)C−，半径为11r=；由222:650C

xyx+−+=，得22(3)4xy−+=，所以圆心2(3,0)C，半径为22r=；设点2C关于直线20xy−+=对称的对称点为(,)Cab，有1332022baab=−−+−+=，解得25ab=−=，，即(2,5)C−，连接1CC，交直线

l于点P，即当1CPC、、三点共线时，21PCPC+最小，且PAPBAB−，连接12PCPC、，此时PAPB+最小，当AB取到最大时，PAPB−取到最大值，如图，由图可知，1212max253ABMNCCrr==++=+

，所以PAPB−的最大值为253+，故A正确，B错误；()minPAPB+21121123103PCPCrrCCrr=+−−=−−=−，故C正确，D错误.故选：AC12.定义在(0,)+上的函数()fx的导函数为()fx，且2()()()0fxxxfx

++恒成立，则（）A.4(2)3(1)ffB.8(2)9(3)ffC.3(3)2(1)ffD.15(3)16(4)ff【答案】AD【解析】【分析】设函数()()1xfxgxx=+，0x，利用导数可得()gx在(0,)

+上单调递减，从而(1)(2)(3)(4)gggg，即可得出答案.【详解】设函数()()1xfxgxx=+，0x，则222[()()](1)()()()()()(1)(1)fxxfxxxfxfxxxfxgxxx++−++==++，因为2()()()0fxx

xfx++恒成立，所以()0gx，所以()gx在(0,)+上单调递减，所以(1)(2)(3)(4)gggg，即(1)2(2)3(3)4(4)2345ffff，则必有4(2)3(1)ff，8(2)9(3)ff，3(3)2(1)ff，15(

3)16(4)ff，故AD正确，BC错误.故选：AD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在61xx+的展开式中，常数项为_____．【答案】20【解析】【分析】根据展开式的通

项公式求解即可.【详解】在61xx+的展开式的通项公式为6621661kkkkkkTCxCxx−−+==，所以令620k−=，解得3k=，所以常数项为3620C=故答案为：20．14.从数字1,2,3,4,5中任意取出两个

数字，这两个数字不是连续的自然数的概率是__．【答案】35##0.6【解析】【分析】根据题意可得所有的可能结果有10种，满足条件的有6种，利用古典概型的计算公式计算即可求解.【详解】从1,2,3,4,5中任意取出2个数共有25C10=种结果，数字是不连续自然数的情况有(1,3)(1,4)(1,

5)(2,4)(2,5)(3,5)，，，，，，共6种结果.所以数字是不连续自然数的概率为63105P==.故答案为：35.15.已知函数()fx（xR）满足()()22fxfx−+=，若函数1xyx=−与()yfx=的图象的交点为(),iixy（1,2,,2022

i=），则()20221iiixy=+=__．【答案】4044【解析】【分析】根据已知条件求出函数1xyx=−与()yfx=的图象关于点()1,1对称，进而得两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点()1,1对称，从而得出结论.【详解】因为函数()fx（xR）满足()()22fx

fx−+=，所以()fx（xR）关于点()1,1对称，因为函数1111xyxx==+−−的图象关于点()1,1对称，即对每一组对称点(),iixy，(),iixy（1,2,,2022i=），有2,2iiiixxyy+=+=，故()202212022202211202

2202222404422iiiiiiiyxyx===+==+=+.故答案为：4044.16.设F是椭圆22221xyab+=（0ab）的右焦点，O为坐标原点，过F作斜率为15的直线l交

椭圆于A，B两点（A点在x轴上方），过O作AB的垂线，垂足为H，且HBHF=，则该椭圆的离心率是__．【答案】()21517−【解析】【分析】结合图形，利用几何性质以及椭圆定义、勾股定理、离心率公式进行求解.【详解】由题可知，OHAB⊥，且HBHF=

，所以OBOF=，又因为O是FF的中点，所以OH是FBF的中位线，所以FBFB⊥，且2OHFB=，又直线l的斜率为15，所以tan15FFB=，设FBm=，FBn=，所以2mna+=，15mn=，联立解得21511

5am=+，2115an=+，由勾股定理有：222OFOHHF=+，即()2222222642244115mnmnac+=+==+，所以4115ac=+，所以()4215141157115aceaa−+==

==+.故答案为：()21517−.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在数列na中，113a=，112nnnnaaaa++−=（*Nn）．（1）求数列na的通项公式；（2）求满足不等式122

3117kkaaaaaa++++（*Nk）成立的k的最大值．【答案】（1）121nan=+（2）8【解析】【分析】（1）根据111112nnnnnnaaaaaa+++−−==，可知数列1na为等差数列，从而可求数列1na的通项

公式，即可求得数列na的通项公式；（2）利用裂项相消法可求得12231kkaaaaaa++++，解不等式即可.【小问1详解】由条件得111112nnnnnnaaaaaa+++−−==，所以数列1na

是以113a=为首项，公差2d=的等差数列．故()131221nnna=+−=+，即121nan=+．【小问2详解】由（1）知()()11111212322123nnaannnn+==−++++，故122311111111235572123kkaaaaaakk+

+++=−+−++−++1112323k=−+,所以111123237k−+，解得9k，结合*Nk得，k的最大值是8.18.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc,已知()sin22cosAC

B+=−．（1）求tanB的值；（2）若ABC的面积为2，求ABC周长L的最小值．【答案】（1）43（2）252+【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理及诱导公式，结合二倍角的余弦公式及正切公式即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，再利用基本不等式及

余弦定理，结合三角形的周长公式即可求解.【小问1详解】由()sin22cosACB+=−得，()2sin21cos4sin2sincos222BBBBB=−==，因为sin02B，解得1tan22B=．所以22tan42tan31tan2BBB==−．【小问2

详解】由22sincos1sin4cos3BBBB+==可知4sin5B=，3cos5B=．由ABC的面积为2，得12sin225ABCSacBac===，故5ac=．所以252acac+

=，即25ac+．（等号成立当且仅当ac=）又()2222226162cos55acacbacacBacac=+−=+−=+−()()222161525acacac++−=+（等号成立当且仅当ac=）所以()525bac+．故ABC周长

()252Labcacb=++=+++（等号成立当且仅当5ac==）．因此ABC周长L的最小值为252+．19.如图，在三棱台111ABCABC−中，三棱锥111CABC−的体积为33，1ABC△的面积为4，112ABAB=，且1AA⊥平面ABC．（1）求点B到平

面1ABC的距离；（2）若1BBBA=，且平面1ABC⊥平面11ABBA，求二面角11ABCA−−的余弦值．【答案】（1）3（2）21919【解析】【分析】(1)根据等积转化法求点B到平面1ABC的距离；(2)几何法：由平面1ABC⊥平面11ABBA，可作出二面角11ABCA−−的平面角，在

直角三角形求解；空间向量法：先证明1ABACAA，，两两垂直后建系，用法向量求二面角11ABCA−−的余弦值【小问1详解】设点B到平面1ABC的距离为h．因为112ABAB=，三棱锥111CABC−的体积为33，所以三棱锥1BAB

C−的体积为433，又由11BABCBABCVV−−=，得114333ABChS=，解得3h=.【小问2详解】由已知设11ABx=，11ACy=，则12BBABx==，2ACy=，取1AB的中点M，连接BM

，则1BMAB⊥，由平面1ABC⊥平面11ABBA知BM⊥面1ACB，故BMAC⊥，又1ACAA⊥，从而AC⊥平面11AABB.故ACAB⊥，1ACAB⊥，取AB中点N，则11ABANx==，四边形11ABNA是平行四边形，1BNAB⊥，从而1ABB为正三角形，故12ABx=，113

BNAAx==，又111122422ABCSACAByx===，1111133323CABCVxyx−==得1,2xy==.在平面11ABBA内作11AGAB⊥于G，则132AG=，在平面1ABC内，作1GHB

C⊥于H，连接1AH，因为平面1ABC⊥平面11ABBA，平面1ABC平面111ABBAAB=，所以1AG⊥平面1ABC，又1BC平面1ABC，所以1AG⊥1BC，又1AGGHG=，1AG平面1AGH，GHÌ平面1AGH，所以1BC⊥平面1AGH，又1AH平面1AGH，所以1BC⊥1A

H，则二面角11ABCA−−平面角为1AHG.在直角1GHB中，15GH=，故1115tan2AGAHGGH==，1219cos19AHG=.即所求二面角的余弦值为21919.法二：取1AB的中点M，连接BM，则1BMAB⊥，由平面1

ABC⊥平面11ABBA知BM⊥面1ACB，故的BMAC⊥，又1ACAA⊥，从而AC⊥平面11AABB.故ACAB⊥，以A为原点，分别以1,,ABACAA所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，设11ABx=，11ACy=，则12BBABx==，2ACy=，取AB中点N，则11AB

ANx==，四边形11ABNA是平行四边形，1BNAB⊥，从而1ABB为正三角形，故12ABx=，113BNAAx==，又111122422ABCSACAByx===，1111133323CABCVxyx−==得1,2xy==，则(0,0,0)A1(1,0,3)B，1

(0,0,3)A，(0,4,0)C，设面1ABC的法向量(,,)nxyz=，由100nABnAC==得(3,0,1)n=−，设面11ABC法向量(,,)mabc=，由11100mABmAC

==得(0,3,4)m=，故4219cos,19219mnmnmn===，即所求二面角的余弦值为21919.20.自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节.自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.2020年1月，教育部决定2020年起不

再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.下表是某高校从2018年起至2022年通过自主招生或强基计划在部分专业的招生人数：年份数学物理化学总计20184761720

1958518的202069520202187621202298623请根据表格回答下列问题：（1）统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系.记x为年份与2017的差，y为当年数学、物理和化学的招生总人数，试用最小二乘法建立y关于x的线性回归方程，并以此预测2023年的数学、物理和化学

的招生总人数（结果四舍五入保留整数）；（2）在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对2020年强基计划录取结果进行抽检.此次抽检从这20名学生中随机选取3位学生进行评审.记选取到数学专业的学生人数为X，求随

机变量X的数学期望()EX；（3）经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占0076，五年毕业的占0016，六年毕业的占008.现从2018到2022年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取1名，若该生是

数学专业的学生，求该生恰好在2025年毕业的概率.附：ˆˆybxa=+为回归方程，()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，ˆˆaybx=−．【答案】（1）ˆ1.515.3yx=+，24（2）910

（3）93400【解析】【分析】（1）根据表中数据利用回归方程公式即可求解；（2）利用超几何分布模型即可求解；（3）由条件概率公式即可求解.【小问1详解】由题意，x的取值集合为{1,2,3,4,5}，y的取值集合为{17,18,20,21,23}，1234535x+++

+==,171820212319.85y++++==直接根据公式求得()()()121ˆ1.5niiiniixxyybxx==−−==−，ˆˆ15.3ayxb=−=，因此回归方程为：ˆ1.515.3y

x=+，当6x=时，可得ˆ24.3y=，因此预测2023年的招生总人数为24人.【小问2详解】由已知，X可取0,1,2,3.314320C(0)CPX==，21146320CC(1)CPX==，12146320CC(2)CPX==，36320C(3)CPX==，故()EX=211463

20CC1C12146320CC2C+36320C3C+910=.【小问3详解】因为2025年毕业，则入学年份可能为2021年，2020年，2019年,由条件概率公式可知，该生被数学系录取的条件下，其在第k年入学的概率为：()()()()(),,PknkPkPn==第年入学数学系

第年入学数学系第年入学数学系数学系数学系，故()8202132P=年入学数学系，()6202032P=年入学数学系，()5201932P=年入学数学系，由全概率公式：()8659320250.760.160.08323232400P=

++=年毕业数学系.21.已知点()3,2A在离心率为233的双曲线C上，过点()1,0M的直线l交曲线C于D，E两点（D，E均在第四象限），直线AD，AE分别交直线1x=于P，Q两点.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若APQ的面积为42，求直线l的方程.【答

案】（1）2213xy−=（2）132111xy=−+【解析】【分析】(1)讨论焦点在x轴、y轴上的情况，设出对应的双曲线方程，根据题意列出方程组，解之即可；(2)设直线l方程为1xty=+和1111(,),(,)Dxy

Exy，联立双曲线方程，利用韦达定理表示出1212yyyy+、，由直线点斜式方程求出直线AD、AE方程，解得Py、Qy，利用点到直线距离公式和三角形的面积可得22244232tt−=−，解方程即可.【小问1详解】①若焦点在x轴上，设双曲线C方程为22221x

yab−=（0,0ab）.由题意得22233921caab=−=，解得31ab==，所以双曲线C的标准方程为2213xy−=.②若焦点在y轴上，设双曲线C方程为22221yxab−

=（0,0ab）.由题意得22233921caab=−=，此时无解.综上所述双曲线C的标准方程为2213xy−=.【小问2详解】设直线l方程为1xty=+，1111(,),(,)DxyExy，联立221330xtyxy=+−−=得()223220tyty−+−=，故()2

21221223012202323tttyytyyt−=−−+=−−=−，又因为直线()112:233yADyxx−−=−−，取1x=得()111112222232Ptyxyyxty−

−−==−−，同理()22222Qtyyty−=−，由题意点A到直线l距离是2d=，所以12422APQSPQ==，解得42PQ=.又()()()()()()1212212122222224224222232PQtytytyytPQyytytyt

ytyt−−−−−=−=−==−−−−−故22244232tt−=−，化简可得21122260tt+−=，得13211t=−或2t=，易知0t，故13211t=−，即直线l方程为132111xy=−+.方法二：1212121212(22)(22)22()(22)022(2)(2)PQ

tytytyyyyyyttytytyty−−−++=+=−=−−−−，故MPMQ=，又42S=，得42PQ=，故22MPMQ==，由11(22)2Ptyyty−=−22=−，22(22)2Qtyyty−=−22=得142322yt

=−，24222yt=+，代入12223yyt−=−，得13211t=−或2t=，易知0t，故13211t=−，即直线l方程为132111xy=−+.22.已知函数()ln1eaxxfxxax=+−−（Ra）.

（1）当1a=时，求()fx的单调区间；的（2）若函数()fx有两个不同的零点1x，2x，证明：1212elnxxa+．（其中e2.71828是自然对数的底数）【答案】（1）()fx在()0,1单调递增，在()1,+单调递减；（2）证明见解析.【解析】【分

析】（1）通过对函数求导，利用导数来研究函数的单调性.（2）利用导数，通过构造函数，研究函数的单调性以及最值，再结合对数均值不等式、不等式放缩进行证明.【小问1详解】已知函数()ln1eaxxfxxax=+−−，定义域为()0,+，当1a=时，()ln1exxfxxx

=+−−，得()()111exfxxx=−+，所以当01x时，()0fx¢>，当1x时，()0fx，因此()fx在()0,1单调递增，在()1,+单调递减.【小问2详解】先证明122xxa+，已知函数()ln1eaxxfxxax=+−−，定义域为(

)0,+，所以()()111eaxfxaxx=−+，当0a时，()0fx，()fx在()0,+单调递增，不满足题意；当0a，可知()fx在10,a单调递增，在1,a+单调递减.又当0x+→时，()fx→−；当

x→+时，()fx→−，若函数()fx有两个不同的零点1x，2x，不妨设21xx，则11ln20efaaa=−−，即1111ln20efaaa=+−，令1ln2e()hxxx+−=，则1

10e()xxh+=，所以1ln2e()hxxx+−=在()0,+上单调递增，又(e)0h=，所以由1111ln20efaaa=+−，解得10ea，所以1210xxa，因

为()()lnln1eln1exaxaxxfxxaxxax−=+−−=+−−，设lntxax=−，则由于()e1tgtt=+−单调递增，则1122lnlnxaxxax−=−，即()1212lnlnxxaxx−=−，12121lnlnxx

xxa−=−，利用对数均值不等式有1212121lnln2xxxxxxa−+=−，可证得122xxa+.所以要证明1212elnxxa+，只要证明22eln0aa+.设()22elnaaa=+（10ea），则()2212e22ee0aaaaa−=−+=，所以()a

在10,e单调递减，则()10ea=.因此有1212elnxxa+.对数均值不等式lnln2ababab−+−证明如下：不妨设0ab，要证lnln2ababab−+−，即证112lnaabbab−+，令1amb=

，即证11ln2mmm−+，即2(1)ln1mmm−+，即证：2(1)ln01mmm−−+，令2(1)()ln1mhmmm−=−+，则22214(1)()0(1)(1)mmmmmhm−=−=++，所以2(1)()ln1mhmmm−=−+在()1,

+上单调递增，所以()(1)0hmh=，所以lnln2ababab−+−结论得证.