【文档说明】2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点测试24 同角三角函数的基本关系与诱导公式 含解析【高考】.doc，共(13)页，136.000 KB，由小赞的店铺上传

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1考点测试24同角三角函数的基本关系与诱导公式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，低、中等难度考纲研读1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα2．能推导出π2±α，π±α的正

弦、余弦、正切的诱导公式一、基础小题1．cos－17π4－sin－17π4的值是()A．2B．－2C．0D．22答案A解析原式＝cos－4π－π4－sin－4π－π4＝cos－π4－sin

－π4＝cosπ4＋sinπ4＝2，故选A.2．若x是第四象限角，且sinx＝－45，则cosx＝()A．15B．－15C．35D．－35答案C解析因为x是第四象限角，所以cosx＞0，所以cosx＝1－sin2x＝1－－452

＝35.故选C.3．直线y＝2x绕原点顺时针旋转45°得到直线l，若l的倾斜角为α，则cos2α的值为()A．8＋1010B．8－10102C．－45D．45答案D解析由题意可知，tan(α＋45°)＝tanα＋11－tanα＝2，∴tanα＝13，∴cos2α＝cos2α－si

n2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝45，故选D.4．已知sinθ＝－13，θ∈－π2，π2，则sin(θ－5π)·sin3π2－θ的值是()A．229B．－229C．－19D．19答案B解析因为sinθ＝－13，θ∈

－π2，π2，所以cosθ＝1－sin2θ＝223，所以原式＝－sin(π－θ)·(－cosθ)＝sinθcosθ＝－13×223＝－229.故选B.5．若tanα＝2，则sin2α＋3sinαcosαcos2α

＋1＝()A．53B．54C．52D．2答案A解析∵tanα＝2，∴sin2α＋3sinαcosαcos2α＋1＝sin2α＋3sinαcosα2cos2α＋sin2α＝tan2α＋3tanα2＋tan2α＝53.故选A.6．若tanα＝cosα，则1

sinα＋cos4α的值为()A．2B．2C．22D．4答案B解析由题意知，tanα＝cosα，则sinαcosα＝cosα，故sinα＝cos2α，故1sinα＋cos4α＝sin2α＋cos2αsinα＋sin2α＝sinα＋c

os2αsinα＋1－cos2α＝sinα＋sinαsinα＋1－sinα＝2.故选B.37．已知sinθ＋cosθ＝430<θ≤π4，则sinθ－cosθ＝()A．23B．－23C．13D．－13答案B解析由(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝169，得2sin

θcosθ＝79，则(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝29，又由于0<θ≤π4，知sinθ－cosθ≤0，所以sinθ－cosθ＝－23.8．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π

2，则θ＝()A．－π6B．－π3C．π6D．π3答案D解析∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－3cosθ，∴tanθ＝3，∵|θ|<π2，∴θ＝π3.故选D.9．(多选)若sinα＝45，且α为锐角，则下列结论中正确的有()A．tanα＝43B．cosα＝35C．sin

α＋cosα＝85D．sinα－cosα＝－15答案AB解析∵sinα＝45，且α为锐角，∴cosα＝1－sin2α＝1－452＝35，故B正确；∴tanα＝sinαcosα＝4535＝43，故A正确；∴sinα＋cosα＝45＋35＝75≠8

5，故C错误；∴sinα－cosα＝45－35＝15≠－15，故D错误．故选AB.410．(多选)已知θ∈(0，π)，且sinθ＋cosθ＝m，m∈(0，1)，则tanθ可能的取值为()A．－3B．－2C．－13D．13答案AB解析由m∈(0，1)，

得sinθ＋cosθ>0，所以θ∈0，3π4.又因为(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝m2，m∈(0，1)，从而得2sinθcosθ<0，得θ∈π2，π.综上可得θ∈π2，3π4，则tanθ<－1，

所以tanθ可能的取值为－3和－2，故选AB.11．化简：sin2（α＋π）cos（π＋α）cos（－α－2π）tan（π＋α）sin3π2＋αsin（－α－2π）＝________．答案1解析原式＝sin2α（－cosα）cosαtanαcos

3α（－sinα）＝sin2αcos2αsin2αcos2α＝1.12．若tanα＋1tanα＝3，则sinαcosα＝________，tan2α＋1tan2α＝________．答案137解析∵tanα＋1tanα＝1cosαsinα＝3，∴sinαcosα＝13.又tan2α＋1ta

n2α＝tanα＋1tanα2－2＝9－2＝7，∴tan2α＋1tan2α＝7.二、高考小题13．(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则sinθ（1＋sin2θ）sinθ＋cosθ＝()A．

－65B．－25C．25D．65答案C解析解法一：因为tanθ＝－2，所以sinθ（1＋sin2θ）sinθ＋cosθ＝5sinθ（sinθ＋cosθ）2sinθ＋cosθ＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝sin2θ＋sinθcosθsin2θ

＋cos2θ＝tan2θ＋tanθ1＋tan2θ＝4－21＋4＝25.故选C.解法二：sinθ（1＋sin2θ）sinθ＋cosθ＝sinθ（sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ）sinθ＋cos

θ＝sinθ(sinθ＋cosθ)＝cos2θ(tan2θ＋tanθ).由tanθ＝sinθcosθ＝－2，sin2θ＋cos2θ＝1，解得cos2θ＝15.所以sinθ（1＋sin2θ）sinθ＋cosθ＝cos2θ(tan2θ

＋tanθ)＝15×(4－2)＝25.故选C.14．(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A．53B．23C．13D．59答案A解析由3cos2α－8cosα＝5，得6cos2α－8cosα－8＝0，

解得cosα＝－23或cosα＝2(舍去).∵α∈(0，π)，∴sinα＝1－cos2α＝53.故选A.15．(2019·全国Ⅰ卷)tan255°＝()A．－2－3B．－2＋3C．2－3D．2＋3答案D解析tan

255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋3.故选D.16．(2020·浙江高考)已知tanθ＝2，则

cos2θ＝________；tanθ－π4＝________．6答案－3513解析cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ

＝1－221＋22＝－35，tanθ－π4＝tanθ－11＋tanθ＝2－11＋2＝13.三、模拟小题17．(2021·河北省级联测高三第一次考试)若cosα－π7＝437，则sinα＋5π14＝()A．－17B．17C．－437D

．437答案D解析sinα＋5π14＝sinα－π7＋π2＝cosα－π7＝437.故选D.18．(2021·兴安县兴安中学高三期中)若sin2θ＋4cosθ＋1＝2，则(cosθ＋3)(sinθ＋1)的值为()A．

0B．2C．4D．0或4答案C解析sin2θ＋4cosθ＋1＝2，则sin2θ＋2＝2cosθ，即1－cos2θ＋2＝2cosθ，即(cosθ－1)(cosθ＋3)＝0，解得cosθ＝1或cosθ＝－3(舍

去)，故有cosθ＝1，sinθ＝0.∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4×1＝4.故选C.19．(2021·淮北市树人高级中学月考)若sin(π＋α)＝35，且α是第三象限角，则sinπ2＋α－cosπ2＋αsinπ2－

α－cosπ2－α＝()A．1B．7C．－7D．－1答案B7解析由sin(π＋α)＝－sinα＝35，则sinα＝－35.又α是第三象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－45，所以sinπ2＋α－cosπ2＋

αsinπ2－α－cosπ2－α＝cosα＋sinαcosα－sinα＝－45＋－35－45－－35＝7.故选B.20．(2021·广东茂名五校高三第一次联考)已知A是△ABC的内角，且sinA＋3cosA＝－2，则tanA的值为()A．－

1或7B．－23或1C．－1D．－23答案C解析∵sinA＋3cosA＝－2，∴sin2A＋6sinAcosA＋9cos2A＝2⇒8cos2A＋6sinAcosA＝1⇒8cos2A＋6sinAcosA

sin2A＋cos2A＝1⇒8＋6tanAtan2A＋1＝1⇒tan2A－6tanA－7＝0⇒tanA＝－1或tanA＝7.∵0<A<π，且sinA＋3cosA＝－2，∴tanA<0，∴tanA＝－1.故选C.21．(多选

)(2021·湖南郴州高三模拟)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，则下列结论正确的是()A．θ∈π2，πB．cosθ＝－35C．tanθ＝－34D．sinθ－cosθ＝75答案ABD解析∵sinθ＋cosθ＝15①，∴(s

inθ＋cosθ)2＝152，即sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝125，∴2sinθcosθ＝－2425，∵θ∈(0，π)，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴θ∈π2，π，∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925，∴sinθ－cosθ＝7

5②，由①＋②得sinθ8＝45，①－②得cosθ＝－35，∴tanθ＝sinθcosθ＝45－35＝－43.综上可得，正确的有A，B，D.22．(多选)(2021·山东济南模拟)在△ABC中，给出下列四个式子，其中为常数的是()A．sin(A＋B)＋sinCB．cos(A＋B)＋cos

CC．sin(2A＋2B)＋sin2CD．cos(2A＋2B)＋cos2C答案BC解析sin(A＋B)＋sinC＝2sinC；cos(A＋B)＋cosC＝－cosC＋cosC＝0；sin(2A＋2B)＋sin2C＝sin[2(A＋B)]＋sin2C＝sin[2(π－C)]＋sin2C＝sin

(2π－2C)＋sin2C＝－sin2C＋sin2C＝0；cos(2A＋2B)＋cos2C＝cos[2(A＋B)]＋cos2C＝cos[2(π－C)]＋cos2C＝cos(2π－2C)＋cos2C＝cos2C＋cos2C＝2cos2C.故选BC.23．(2022·金华

市江南中学月考)已知sinx＋cosxsinx－cosx＝2，则tanx＝________，sinxcosx＝________．答案3310解析将sinx＋cosxsinx－cosx＝2左端分子分母同除以cosx，得tanx＋1tanx－1＝2，解得

tanx＝3，sinxcosx＝sinxcosxsin2x＋cos2x＝tanxtan2x＋1＝332＋1＝310.24．(2021·珠海模拟)若方程cos2x－sinx＋a＝0在0，π2内有解，则a的取值范围是________．答案(－

1，1]解析方程cos2x－sinx＋a＝0，即sin2x＋sinx－a－1＝0.由于x∈0，π2，所9以0<sinx≤1.设sinx＝t∈(0，1]，则问题转化为方程t2＋t－a－1＝0在(0，1]上有解．设y＝f(

t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴直线t＝－12在区间(0，1]的左侧，图象如图所示．因此f(t)＝0在(0，1]上有解，当且仅当f（0）<0，f（1）≥0，即－1－a<0，1－a≥0，解得－1<a≤1，故a的取值范围是(－

1，1].一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2021·河南三模)已知角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0).(1)求sin（α＋π）＋cos（α－π）sinα＋π2＋2cos

α－π2的值；(2)若α是第二象限角，求sin2α＋3π2＋sin(π－α)cosα－cosπ2＋α的值.解(1)∵m≠0，∴cosα≠0，即sin（α＋π）＋cos（α－π）sin

α＋π2＋2cosα－π2＝－sinα－cosαcosα＋2sinα＝－tanα－11＋2tanα.又角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)，∴tanα＝－6m3m＝－2，故sin（α＋π）＋cos（α－π）sin

α＋π2＋2cosα－π210＝－tanα－11＋2tanα＝2－11＋2×（－2）＝－13.(2)∵α是第二象限角，∴m<0，则sinα＝－6m（3m）2＋（－6m）2＝－6m35|m|＝255，cosα＝3m（3m）2＋（－6m）2＝3m35|m|＝－55，

∴sin2α＋3π2＋sin(π－α)cosα－cosπ2＋α＝cos2α＋sinαcosα＋sinα＝－552＋255×－55＋255＝－1＋255.2．(2021·河南安阳林州市校级月考)已知函数f(x)＝cos

x－π2cos（－x）sin3π2＋xtan（π＋x）.(1)若角x的终边经过点(3，－4)，求f(x)的值；(2)若f(x)fx＋π2＝－18，且角x为第三象限角，求fx＋π2－f(x)的值．解(1)f(x)＝cosx－π2cos（

－x）sin3π2＋xtan（π＋x）＝sinxcosx－cosxtanx＝－cosx.∵角x的终边经过点(3，－4)，∴cosx＝332＋（－4）2＝35，∴f(x)＝－35.(2)∵f(x)fx＋π2＝－cosxsinx＝－18，11∴sinxcosx＝18，

∵fx＋π2－f(x)＝sinx＋cosx，∴(cosx＋sinx)2＝cos2x＋sin2x＋2cosxsinx＝1＋14＝54，又角x为第三象限角，∴sinx＋cosx<0，∴sinx＋cosx＝－52，即fx＋π2－f(x)的值为－5

2.3．(2022·调兵山市第一高级中学月考)已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根为sinθ，cosθ，θ∈(0，2π).求：(1)cos23π2－θcosπ2－θ＋cos（－π－θ）＋sinπ2＋θ1＋tan（π－θ）；(2)m

的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解由根与系数的关系可得sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθcosθ＝m2.(1)原式＝sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ＝sin2θsinθ－cosθ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋cosθ＝3＋12.(2)由sinθ＋cosθ

＝3＋12，两边平方可得：1＋2sinθcosθ＝4＋234，∵sinθcosθ＝m2，∴1＋2×m2＝1＋32，m＝32.12(3)由m＝32可解方程2x2－(3＋1)x＋32＝0，得两根12和32.∴sinθ＝12，cosθ＝32．或

sinθ＝32，cosθ＝12．∵θ∈(0，2π)，∴θ＝π6或π3.4．(2021·浙江宁波二模)已知tanα＝－32，α为第二象限角.(1)求sin－α－π2cos3π2＋αta

n（π－α）tan（－α－π）sin（－π－α）的值；(2)求1cosα1＋tan2α＋1＋sinα1－sinα＋1－sinα1＋sinα的值．解(1)原式＝－sinα＋π2sinα（－tanα）tan（－α）[－sin（π＋α）]＝－cosαsinα（－tanα）（－tanα

）sinα＝－cosα.因为tanα＝－32，α为第二象限角，所以sinαcosα＝－32.又因为sin2α＋cos2α＝1，解得cosα＝－21313，故原式＝21313.(2)原式＝1cosα1＋sin2αcos2α＋（1＋s

inα）2（1－sinα）（1＋sinα）＋（1－sinα）2（1－sinα）（1＋sinα）＝1cosα·1|cosα|＋1＋sinα|cosα|＋1－sinα|cosα|13＝|cosα|cosα＋2|cosα|，因为α为第二象限角，所以上式＝－1－2cosα＝－1－2－21313＝13－

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