【文档说明】2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点测试25 三角函数的图象与性质 含解析【高考】.doc，共(14)页，198.000 KB，由小赞的店铺上传

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1考点测试25三角函数的图象与性质高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲研读1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性2．理解正弦函数、余弦函数在R上的性质(如单调性，最大

值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)内的单调性一、基础小题1．函数y＝3cos25x－π6的最小正周期是()A．2π5B．5π2C．2πD．5π答案D解析由T＝2π25＝5π，知该函数的最小

正周期为5π.故选D.2．已知函数y＝2cosx的定义域为π3，π，值域为[a，b]，则b－a的值是()A．2B．3C．3＋2D．2－3答案B解析因为函数y＝2cosx的定义域为π3，π，所

以函数y＝2cosx的值域为[－2，1]，所以b－a＝1－(－2)＝3，故选B.3．若直线x＝aπ(0<a<1)与函数y＝tanx的图象无公共点，则不等式tanx≥2a的解集为()2A．xkπ＋π6≤x＜kπ＋π2，k∈ZB．xkπ＋π4≤x＜kπ＋π2，k

∈ZC．xkπ＋π3≤x＜kπ＋π2，k∈ZD．xkπ－π4≤x≤kπ＋π4，k∈Z答案B解析因为直线x＝aπ(0<a<1)与函数y＝tanx的图象无公共点，所以a＝12，故tanx≥2a即tanx≥1的解集为

xkπ＋π4≤x＜kπ＋π2，k∈Z.4．已知函数f(x)＝sinx＋π6，其中x∈－π3，a，若f(x)的值域是－12，1，则实数a的取值范围是()A．

0，π3B．π3，π2C．π2，2π3D．π3，π答案D解析因为x∈－π3，a，所以x＋π6∈－π6，a＋π6，因为f(x)＝sinx＋π6的值域是－12，1，所以由正弦函数的图象和性质可知π2≤

a＋π6≤7π6，解得a∈π3，π.故选D.5．函数f(x)＝sin2x＋sinx在[－π，π]的图象大致是()答案A3解析显然f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除D；在区间0，π2上，sin2x＞0，sinx＞0，即f(x)＞0，排除B，C.故选A.6．

下列函数中同时具有以下性质的是()①最小正周期是π；②图象关于直线x＝π3对称；③在－π6，π3上是增函数；④图象的一个对称中心为π12，0.A.y＝sinx2＋π6B．y＝sin2x＋π3C．y＝sin2x－π6D．y＝

sin2x－π3答案C解析因为最小正周期是π，所以ω＝2，排除A；当x＝π3时，对于B，y＝sin2×π3＋π3＝0，对于D，y＝sin2×π3－π3＝32，又图象关于直线x＝π3对称，从而排除B

，D，经验证y＝sin2x－π6同时具有性质①②③④，故选C.7．(多选)下列关于函数y＝tanx＋π3的说法，正确的是()A．在区间－5π6，π6上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于π

4，0成中心对称D．图象关于直线x＝π6成轴对称答案AB解析令kπ－π2<x＋π3<kπ＋π2，解得kπ－5π6<x<kπ＋π6，k∈Z，显然－5π6，π6满足上述关系式，故A正确；易知该函数的最小正周期为π，故B正确

；令x＋π3＝kπ2，k∈Z，解得x＝kπ2－π3，k∈Z，任取k值不能得到x＝π4，故C错误；正切曲4线没有对称轴，因此函数y＝tanx＋π3的图象也没有对称轴，故D错误．故选AB.8．(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下

列说法正确的是()A．f(x)的最小正周期为πB．f(x)的最大值为1C．f(x)的图象关于y轴对称D．f(x)在区间π4，π2上单调递减答案ABC解析∵f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos2x

，∴函数f(x)的最小正周期T＝π，最大值为1，A，B正确；∵f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，C正确；∵f1(x)＝cos2x在π4，π2上单调递减，故f(x)＝－cos2x

在π4，π2上单调递增，D错误．故选ABC.9．函数y＝sin2x的图象可由y＝cos2x的图象向左平移φ个单位长度得到，则正数φ的最小值为________．答案π2解析函数y＝sin2x＝1－cos2x2＝1＋cos（2x＋π）2的图象可由y＝cos2x＝1＋cos2x

2的图象向左平移π2个单位长度得到，故正数φ的最小值为π2.二、高考小题10．(2021·北京高考)函数f(x)＝cosx－cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值()A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为98D．偶函数，最大值为985答案D解析因为f(－x)＝cos(－x

)－cos(－2x)＝cosx－cos2x＝f(x)，且函数定义域为R，所以该函数为偶函数，又f(x)＝cosx－cos2x＝－2cos2x＋cosx＋1＝－2cosx－142＋98，所以当cosx＝14时，f(x)取

最大值98.故选D.11．(2020·天津高考)已知函数f(x)＝sinx＋π3.给出下列结论：①f(x)的最小正周期为2π；②fπ2是f(x)的最大值；③把函数y＝sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象．其中所有正确

结论的序号是()A．①B．①③C．②③D．①②③答案B解析因为f(x)＝sinx＋π3，所以最小正周期T＝2π1＝2π，故①正确；fπ2＝sinπ2＋π3＝sin5π6＝12≠1，故②不正确；将函数y＝sinx的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到y＝s

inx＋π3的图象，故③正确．故选B.12．(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B．32C．1D．12答案

A解析由题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，12T＝3π4－π4，∴T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A.13．(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：6①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π单调递增；③f(x)在[－π

，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A.①②④B．②④C．①④D．①③答案C解析①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴

f(x)是偶函数，①正确．②中，当x∈π2，π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数单调递减，②错误.③中，当x＝0时，f(x)＝0，当x∈(0，π]时，f(x)＝2sinx，令f(x)＝0

，得x＝π.又f(x)是偶函数，∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误．④中，∵sin|x|≤|sinx|，∴f(x)≤2|sinx|≤2，当x＝π2＋2kπ(k∈Z)或x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，f(x)能取得最

大值2，故④正确．综上，①④正确．故选C.14．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π

，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4答案B解析根据题意，有f(x)＝32cos2x＋52，所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，且最大值为f(x)max＝32＋52＝4.故选B.15．(2018·全国Ⅲ卷)函数f(

x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A．π4B．π2C．πD．2π答案C7解析由已知得f(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋sinxcosx2＝sinxcosx＝12sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.故选C.16．(2020·全

国Ⅲ卷)关于函数f(x)＝sinx＋1sinx有如下四个命题：①f(x)的图象关于y轴对称；②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于直线x＝π2对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是___

_____．答案②③解析函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称，f(－x)＝sin(－x)＋1sin（－x）＝－sinx－1sinx＝－sinx＋1sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关

于原点对称，命题①错误，命题②正确；对于命题③，因为fπ2－x＝sinπ2－x＋1sinπ2－x＝cosx＋1cosx，fπ2＋x＝sinπ2＋x＋1sinπ2＋x＝c

osx＋1cosx，则fπ2－x＝fπ2＋x，所以函数f(x)的图象关于直线x＝π2对称，命题③正确；对于命题④，当－π＜x＜0时，sinx＜0，则f(x)＝sinx＋1sinx＜0＜2，命题④错误．17．(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin

2x＋3π2－3cosx的最小值为________．答案－4解析∵f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令t＝cosx，则t∈[－1，1]，g(t)＝－2t2－3t＋

1.又函数g(t)图象的对称轴t＝－34∈[－1，1]，且开口向下，∴当t＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，f(x)有最小值－4.818．(2019·北京高考)函数f(x)＝sin22x的最小正周期是_

_______．答案π2解析由降幂公式得f(x)＝sin22x＝1－cos4x2＝－12cos4x＋12，所以最小正周期T＝2π4＝π2.三、模拟小题19．(2021·浙江温州中学高三月考)函数f(x)＝sin

2x＋sin3x的最小正周期为()A．πB．2πC．3πD．6π答案B解析y＝sin2x的最小正周期为π，函数y＝sin3x的最小正周期为2π3，π与2π3的最小公倍数为2π，所以函数f(x)＝sin2x＋sin3x的最小正周期为2π.故选B.20．

(多选)(2021·湖南长沙第一中学模拟)已知函数f(x)＝|sinx|，sinx≥cosx，|cosx|，sinx＜cosx，则下列说法正确的是()A．f(x)的值域是[0，1]B．f(x)是以π为最小正周期的周期函数C．f(x)在区间π，3π2上单调递增D．

f(x)在[0，2π]上有2个零点答案AD解析f(x)＝|sinx|，π4＋2kπ≤x≤5π4＋2kπ（k∈Z），|cosx|，－3π4＋2kπ<x<π4＋2kπ（k∈Z），作出函数f(x)的大致图象如图所示：9由图可知

f(x)的值域是[0，1]，故A正确；因为f(π)＝|sinπ|＝0，f(2π)＝|cos2π|＝1，所以f(2π)≠f(π).所以π不是f(x)的最小正周期，故B错误；由图可知f(x)在区间π，5π4上单调递增，在

5π4，3π2上单调递减，故C错误；由图可知，在[0，2π]上，f(π)＝f3π2＝0，所以f(x)在[0，2π]上有2个零点，故D正确．故选AD.21．(多选)(2021·福建福州高三调研)已知函数f(x)＝sin(sinx)＋cos(cosx)，下列关于该函数的结论中正确的

是()A．f(x)的一个周期是2πB．f(x)的图象关于直线x＝π2对称C．f(x)的最大值为2D．f(x)是区间0，π2上的增函数答案ABD解析f(x＋2π)＝sin[sin(x＋2π)]＋cos[cos(x＋2π)

]＝sin(sinx)＋cos(cosx)＝f(x)，故A正确；f(π－x)＝sin[sin(π－x)]＋cos[cos(π－x)]＝sin(sinx)＋cos(－cosx)＝sin(sinx)＋cos(cosx)＝f(x)，故B正确；由于sinx∈[－1，1]，cosx∈[－1，1

]，所以sin(sinx)＜1，cos(cosx)≤1，故f(x)＝sin(sinx)＋cos(cosx)＜2，C错误；当x∈0，π2时，sinx∈(0，1)且单调递增，故y＝sin(sinx)是区间0，π2上的增函数，同理可判断，y＝cos(cosx)是区间

0，π2上的增函数，故f(x)是区间0，π2上的增函数，D正确．22．(2021·福建厦门高三模拟)用MI表示函数y＝sinx在闭区间I上的最大值，若正数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则M[0，a]＝________；a的取值范围为________．

答案15π6，13π1210解析作出函数y＝sinx的图象，如图所示：显然，M[0，a]的值为1，∵M[0，a]≥2M[a，2a]，∴M[a，2a]的值为12，作出直线y＝12与y＝sinx相交于A，B，C三点，且Aπ6，12，B

5π6，12，C13π6，12，由图象可得5π6≤a，2a≤13π6⇒5π6≤a≤13π12，故a的取值范围为5π6，13π12.一、高考大题1．(2021·浙江高

考)设函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈R).(1)求函数y＝fx＋π22的最小正周期；(2)求函数y＝f(x)fx－π4在0，π2上的最大值．解(1)因为f(x)＝sinx＋cosx，所以fx＋π2＝sinx＋π2

＋cosx＋π2＝cosx－sinx，所以y＝fx＋π22＝(cosx－sinx)2＝1－sin2x.所以函数y＝fx＋π22的最小正周期T＝2π2＝π.(2)因为fx－π4

＝sinx－π4＋cosx－π4＝2sinx，所以y＝f(x)fx－π4＝2sinx(sinx＋cosx)＝2(sinxcosx＋sin2x)＝212sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π

4＋22.11当x∈0，π2时，2x－π4∈－π4，3π4，所以当2x－π4＝π2，即当x＝3π8时，函数y＝f(x)fx－π4在0，π2上取得最大值，且最大值为1＋22.2．(2019·浙江高考

)设函数f(x)＝sinx，x∈R.(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y＝fx＋π122＋fx＋π42的值域．解(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任

意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ，故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0.又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2.(2)y＝fx＋π122＋f

x＋π42＝sin2x＋π12＋sin2x＋π4＝1－cos2x＋π62＋1－cos2x＋π22＝1－1232cos2x－32sin2x＝1－32

cos2x＋π3.因此，所求函数的值域是1－32，1＋32.二、模拟大题3．(2021·荆州模拟)已知函数f(x)＝2sin2x－π4.(1)求函数f(x)的最大值及相应的x的取值的集合；(2)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心．解(1)当sin

2x－π4＝1时，2x－π4＝2kπ＋π2，k∈Z，即当x＝kπ＋3π8，k∈Z12时，函数f(x)取得最大值，为2；则使函数f(x)取得最大值的x的集合为xx＝3π8＋kπ，k∈Z.

(2)由2x－π4＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝3π8＋kπ2，k∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝3π8＋kπ2，k∈Z.由2x－π4＝kπ，k∈Z，得x＝π8＋kπ2，k∈Z，即函数f(x)的图象的对称中心为π8＋kπ2，0，

k∈Z.4．(2021·安徽亳州高三质量检测)已知函数f(x)＝cosx(sinx－3cosx).(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在区间π3，2π3上的单调性．解(1)由题意得f(x)＝cosxsinx－3cos2x＝12

sin2x－32(1＋cos2x)＝12sin2x－32cos2x－32＝sin2x－π3－32.所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，最大值为1－32.(2)令z＝2x－π3，则函数y＝sinz的单调递增区间是－π2＋2

kπ，π2＋2kπ，k∈Z；单调递减区间是π2＋2kπ，3π2＋2kπ，k∈Z.由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z；由π2＋2kπ≤2

x－π3≤3π2＋2kπ，得5π12＋kπ≤x≤11π12＋kπ，k∈Z.设A＝π3，2π3，B＝x－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，C＝x5π12＋kπ≤x≤11π12＋kπ，k∈Z.易知

A∩B＝π3，5π12，A∩C＝5π12，2π3，所以当x∈π3，2π3时，f(x)在区间13π3，5π12上单调递增，在区间5π12，2π3上单调递减．5．(2021·信阳高三阶段考试)已知向量m＝(3sinωx

－cosωx，1)，n＝cosωx，12，设函数f(x)＝m·n，若函数f(x)的图象关于直线x＝π3对称且ω∈[0，2].(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)先列表，再用五点法画出f(x)在区间－5π12，7π12上

的大致图象．解(1)f(x)＝(3sinωx－cosωx，1)·cosωx，12＝3sinωxcosωx－cos2ωx＋12＝32sin2ωx－12cos2ωx＝sin2ωx－π6.∵函数f(x)的图象关于直线x＝π3对称，∴2ωπ3－π6＝kπ＋π2，k∈

Z，∴ω＝32k＋1，k∈Z.又ω∈[0，2]，∴ω＝1，∴f(x)＝sin2x－π6.令2kπ＋π2≤2x－π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得kπ＋π3≤x≤kπ＋5π6，k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为kπ＋π3，kπ＋5π6，k∈Z.(2)列表如下：2x－π6

－π－π20π2πx－5π12－π6π12π37π12f(x)0－1010∴函数f(x)在区间－5π12，7π12上的大致图象如图所示．14