【文档说明】2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点测试27 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 含解析【高考】.doc，共(14)页，134.000 KB，由小赞的店铺上传

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1考点测试27两角和与差的正弦、余弦和正切公式高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲研读1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切

公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系一、基础小题1．已知α∈π2，π，sinα＝35，则tanα＋π4＝()A.17B．7C.－17D．－7答案A解析因为α∈π2，π

，sinα＝35，所以tanα＝－34，所以tanα＋π4＝－34＋11－－34×1＝17.2．已知tanα＝m3，tanα＋π4＝2m，则m＝()A．－6或1B．－1或6C．6D．1答案A2解析由题意，得tanα＝m3，

tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝2m，则m3＋11－m3＝2m，所以m＝－6或1，故选A.3.2cos10°－sin20°sin70°的值是()A.12B．32C.3D．2答案C解析原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin7

0°＝2(cos30°cos20°＋sin30°sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝3.4．已知tanα＋π12＝－2，则tanα＋π3＝()A．－13B．13C.－3D．3答案A解析tanα＋π3＝tanα＋π

12＋π4＝tanα＋π12＋tanπ41－tanα＋π12tanπ4＝－13，故选A.5．已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋7π6＝()A．－235B．235C.－45D．453答案C解析因为cosα－

π6＋sinα＝435，所以32cosα＋12sinα＋sinα＝435，即12cosα＋32sinα＝45，所以sinα＋π6＝45，所以sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45.故选C.6．已知co

s(α－β)＝35，sinβ＝－513，且α∈0，π2，β∈－π2，0，则cosα＝()A.3365B．5665C.－3365D．－5665答案B解析∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β

<π，cosβ＝1213.又cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45，∴cosα＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cosβ－sin(α－β)·sinβ＝5665.7．(多选)已知0＜θ＜π4，若sin2θ＝m

，cos2θ＝n，且m≠n，则下列选项中与tanπ4－θ恒相等的有()A.n1＋mB．m1＋nC.1－nmD．1－mn答案AD解析tanπ4－θ＝1－tanθ1＋tanθ＝cosθ－sinθcosθ＋sinθ＝co

s2θ－sin2θ(cosθ＋sinθ)2＝cos2θ1＋sin2θ＝n1＋m或tanπ4－θ＝1－tanθ1＋tanθ＝cosθ－sinθcosθ＋sinθ＝(cosθ－sinθ)2cos2θ－sin2θ＝1－sin2θcos2θ＝1－mn.故

选AD.8．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点12，32，则cos2θ＋π3＝________.4答案－1解析解法一：由题意，得cosθ＝12，s

inθ＝32，则sin2θ＝2sinθcosθ＝32，cos2θ＝2cos2θ－1＝－12，所以cos2θ＋π3＝cos2θcosπ3－sin2θsinπ3＝－12×12－32×32＝－1.解法二：

由题意，得tanθ＝3，θ为第一象限角，所以θ＝2kπ＋π3(k∈Z)，所以2θ＝4kπ＋2π3(k∈Z)，则cos2θ＋π3＝cos(4kπ＋π)＝－1.二、高考小题9．(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sinx3＋cosx3的最小正周期和最大值分别是()A．3π和2B．3π和

2C．6π和2D．6π和2答案C解析由f(x)＝sinx3＋cosx3可得f(x)＝2sinx3＋π4，故函数f(x)的最小正周期为T＝2πω＝2π13＝6π，最大值为2.故选C.10．(多选)

(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则()A．|OP1→|＝|OP2→|B．|AP1→|＝|AP2→|C.OA→·OP3→＝OP1→·OP2→D.OA→·OP1

→＝OP2→·OP3→答案AC解析对于A，因为|OP1→|＝cos2α＋sin2α＝1，|OP2→|＝cos2β＋(－sinβ)2＝1，5所以A正确；对于B，因为|AP1→|＝(cosα－1)2＋sin2α＝2－2cosα，|AP2→|＝(cosβ－1)2＋

sin2β＝2－2cosβ，所以B错误；对于C，因为OA→·OP3→＝(1,0)·(cos(α＋β)，sin(α＋β))＝cos(α＋β)，OP1→·OP2→＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α

＋β)，所以OA→·OP3→＝OP1→·OP2→，所以C正确；对于D，因为OA→·OP1→＝(1,0)·(cosα，sinα)＝cosα，OP2→·OP3→＝(cosβ，－sinβ)·(cos(α＋β)，sin(α＋β))＝cosβcos(α＋β)－sinβsin(α＋β)＝

cos(2β＋α)，所以D错误．故选AC.11．(2020·全国Ⅲ卷)已知2tanθ－tanθ＋π4＝7，则tanθ＝()A．－2B．－1C.1D．2答案D解析∵2tanθ－tanθ＋π4＝7，∴2tanθ－ta

nθ＋11－tanθ＝7.令t＝tanθ，t≠1，则2t－1＋t1－t＝7，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2，即tanθ＝2.故选D.12．(2019·江苏高考)已知tanαtanα＋π4＝－23，则sin

2α＋π4的值是________．答案210解析解法一：由tanαtanα＋π4＝tanαtanα＋11－tanα＝tanα(1－tanα)tanα＋1＝－23，解得tanα＝2或－13.∵sin2α＋π4＝22

(sin2α＋cos2α)＝22(2sinαcosα＋2cos2α－1)＝2(sinαcosα＋cos2α)－226＝2·sinαcosα＋cos2αsin2α＋cos2α－22＝2·tanα＋1tan2α＋1－22，将tanα＝2和－13分别

代入，得sin2α＋π4＝210.解法二：∵tanαtanα＋π4＝sinαcosα＋π4cosαsinα＋π4＝－23，∴sinαcosα＋π4＝－23cosαsinα＋π

4.①又sinπ4＝sinα＋π4－α＝sinα＋π4cosα－cosα＋π4sinα＝22，②由①②，解得sinαcosα＋π4＝－25，cos

αsinα＋π4＝3210.∴sin2α＋π4＝sinα＋α＋π4＝sinαcosα＋π4＋cosαsinα＋π4＝210.13．(20

18·全国Ⅱ卷)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝________.答案32解析tanα－5π4＝tanα－tan5π41＋tanαtan5π4＝tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.三、模拟小题14．(2021·四川德阳市

高三二模)在平面直角坐标系中，已知点A(2cos80°，2sin80°)，B(2cos20°，2sin20°)，那么|AB|＝()A．2B．22C.23D．47答案A解析|AB|＝(2cos20°－2cos80°)2＋(2sin20°－2sin80°)2＝

4＋4－8(cos20°cos80°＋sin20°sin80°)＝8－8cos(20°－80°)＝8－8×12＝4＝2.故选A.15．(2022·高唐县第一中学月考)已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝15，则tanαtanβ的值为()A.12B．－35C.

－310D．35答案B解析由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝15，联立方程组，可得cosαcosβ＝12，sinαsinβ＝－310，故tanαtanβ＝

sinαsinβcosαcosβ＝－35.16．(2021·广东惠州月考)在△ABC中，sinA＝35，cosB＝－513，则cosC的值为()A.1665B．3365C.5665D．6365答案C解析∵cosB＝－513

<0，∴B为钝角，从而A为锐角，∴cosA＝1－352＝45，sinB＝1－－5132＝1213，cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsi

nB＝－45×－513＋35×1213＝5665.故选C.817．(多选)(2021·福建省南安市侨光中学月考)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，下列各式正确的是()A．A＋B＝2C

B．tan(A＋B)＝－3C．tanA＝tanBD．cosB＝3sinA答案CD解析∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C，∴tan(A＋B)＝3，∴A，B错误；∵tanA＋tanB＝3(1－tanAtanB)＝233，∴tanAtanB＝13.①又tanA＋tanB＝233

，②∴联立①②解得tanA＝tanB＝33，∴cosB＝3sinA，故C，D正确．18．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学高三月考)已知0＜α＜β＜π2，且tanα，tanβ是方程x2－kx＋2＝0的两个不等实根．则下列结论正确的是()A．tanα＋tanβ＝－kB．ta

n(α＋β)＝－kC．k＞22D．k＋tanα≥4答案BCD解析∵0＜α＜β＜π2，且tanα，tanβ是方程x2－kx＋2＝0的两个不等实根，∴tanα＋tanβ＝k＞0，tanαtanβ＝2，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtan

β＝k1－2＝－k，∴k＞2tanαtanβ＝22，k＋tanα＝2tanα＋tanβ≥22tanαtanβ＝4，当且仅当2tanα＝tanβ时，等号成立．故选BCD.19．(2021·浙江嘉兴高中月考)已知α∈0，π2，β－α∈0，π2，sinα＝35，cos(β

－α)＝13，则sin(β－α)＝________，sinβ＝________.答案22382＋3159解析因为β－α∈0，π2，cos(β－α)＝13，所以sin(β－α)＝1－cos2(β－α)＝223.同理可得cosα＝45，所以sinβ＝sin(β－

α＋α)＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝82＋315.20.(2021·江苏镇江三模)《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾

五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形ABC，勾(短直角边)BC长5步，股(长直角边)AB长12步，问该直角三角形能容纳的正方形DEBF的最大边长为多少？在如图所示图形中，求得正方形DEBF的边长后，可求得tan∠ACE＝________.答

案144229解析设正方形DEBF的边长为a，由题知，△AED∽△ABC，所以EDBC＝AEAB，即a5＝12－a12，解得a＝6017.所以tan∠ECB＝60175＝1217，tan∠ACB＝125，故tan∠ACE＝tan(∠ACB－∠ECB)＝12

5－12171＋125×1217＝144229.一、高考大题1．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．10解(1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所

以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，所以cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所

以sin(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan(α＋β)1＋tan2αt

an(α＋β)＝－211.二、模拟大题2．(2021·福建厦门模拟)已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且|AB|＝105.(1)求cos(α－β)的值；(2)若cosα＝3

5，求cosβ的值．解(1)由|AB|＝105，得(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝105，∴2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝25，∴cos(α－β)＝45.11(2)∵cosα＝35，cos(α－β)＝45，α，β为锐

角，∴sinα＝45，sin(α－β)＝±35.当sin(α－β)＝－35时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.当sin(α－β)＝35时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)

＋sinαsin(α－β)＝2425.∵β为锐角，∴cosβ＝2425.3．(2021·北京北大附中高三上学期10月份段考)已知函数f(x)＝4cosx－π6cosx－3.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间

．解(1)f(x)＝4cosx－π6cosx－3＝432cosx＋12sinxcosx－3＝23cos2x＋2sinxcosx－3＝3cos2x＋sin2x＝2sin

2x＋π3，∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)令2x＋π3∈2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z，则x∈kπ－5π12，kπ＋π12，k∈Z，取k＝0，则x∈－5π12，π12；12取k＝1，则x∈

7π12，13π12.∵x∈[0，π]，∴x∈0，π12∪7π12，π，∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间为0，π12和7π12，π.4．(2021·湖南郴州高三开学考试)已知α，β∈0，π2，

且sin(α＋2β)＝75sinα.(1)求证：tan(α＋β)＝6tanβ；(2)若tanα＝3tanβ，求α的值．解(1)证明：由sin(α＋2β)＝75sinα，得sin[(α＋β)＋β]＝75sin[(α＋β)－β]，整理，得6cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β)cosβ.又

α，β∈0，π2，所以tan(α＋β)＝6tanβ.(2)由(1)，知tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝6tanβ，又tanα＝3tanβ，所以43tanα1－13tan2α＝2tanα.又α∈

0，π2，所以tanα＝1，所以α＝π4.5．(2021·云南曲靖模拟)已知函数f(x)＝a＋2cos2x2cos(x＋θ)为奇函数，且fπ2＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值

；(2)若α∈π2，π，fα2＋π8＋25cosα＋π4·cos2α＝0，求cosα－sinα的值．解(1)因为f(x)＝a＋2cos2x2cos(x＋θ)是奇函数，所以a＋2cos2x2cos(x＋θ

)13＝－a＋2cos2x2cos(－x＋θ)，化简整理，得a＋2cos2x2·2cosxcosθ＝0，则有cosθ＝0，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f(x)＝－sinx

a＋2cos2x2.由fπ2＝0，得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－12sin2x，fα2＋π8＋25cosα＋π4cos2α＝0⇒sinα＋π4＝45cos

α＋π4cos2α，因为cos2α＝sin2α＋π2＝sin2α＋π4＝2sinα＋π4cosα＋π4，所以sinα＋π4＝85cos2α＋

π4sinα＋π4.又α∈π2，π，所以α＋π4∈3π4，5π4，所以sinα＋π4＝0或cos2α＋π4＝58.由sinα＋π4＝0⇒α＝3π4，所以cosα－sinα＝cos3π4－sin3π4＝－2；由cos2

α＋π4＝58，3π4<α＋π4<5π4，得cosα＋π4＝－104⇒22(cosα－sinα)＝－104⇒cosα－sinα＝－52.14综上，cosα－sinα＝－2或－52.