【文档说明】2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点测试23 任意角和弧度制、任意角的三角函数 含解析.doc，共(13)页，492.092 KB，由envi的店铺上传

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1第五章三角函数与解三角形考点测试23任意角和弧度制、任意角的三角函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，低等难度考纲研读1.了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义一、基础小题1．若点

sin5π6，cos5π6在角α的终边上，则sinα的值为()A．－32B．－12C．12D．32答案A解析因为角α的终边上一点的坐标为sin5π6，cos5π6，即12，－32，所以由任意角的三角函数的定义，可得sinα＝－32，故选A.2

．一个钟表的分针长为10，经过35分钟，分针扫过图形的面积是()A．35π3B．175π3C．315π3D．175π6答案B解析经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格30°，则分针走过的度数为7×30°＝210°，因为钟表的分针长为10，所以分针扫过图形的面积是210360×π×

102＝175π3，故选B.3．若角α与β的终边关于x轴对称，则有()2A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈ZC．α＋β＝2k·180°，k∈ZD．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z答案C解析因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z，所以

α＋β＝2k·180°，k∈Z.4．已知α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝24x，则x的值为()A．3B．±3C．－2D．－3答案D解析∵cosα＝xr＝xx2＋5＝24x，∴x＝0或2

(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3.∵α是第二象限角，∴x＝－3.故选D.5．如果点P(sinθ＋cosθ，sinθcosθ)位于第二象限，那么角θ的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析由题意

知sinθ＋cosθ＜0，且sinθcosθ＞0，∴sinθ<0，cosθ<0，∴θ为第三象限角．6．下列结论中正确的是()A．sin300°>0B．cos(－305°)<0C．tan－22π3>0D．sin10<0答案D解析300°

＝360°－60°，则300°是第四象限角；－305°＝－360°＋355°，则－305°是第一象限角；因为－22π3＝－8π＋2π3，所以－22π3是第二象限角；因为3π<10<7π2，所以10是第三象限角．故sin30

0°<0，cos(－305°)>0，tan－22π3<0，sin10<0，故D正确．7．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f2

3π6＝()A．12B．32C．0D．－12答案A解析由题意得f23π6＝f17π6＋sin17π6＝f11π6＋sin11π6＋sin17π6＝f5π6＋sin5π6＋sin11π6＋sin17π6＝0＋12－12＋12＝12.故选A.8

.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图

所示，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，则阴影部分的面积约为注：π≈3.14，sin22.5°≈513，1尺＝10寸()A．6.33平方寸B．6.35平方寸C．6.37平方寸D．6.39平方寸答案A解析如图，连接OA，

OB，OC，设半径为r，AD＝5寸，则OD＝r－1，在Rt△OAD中，OA2＝AD2＋OD2，即r2＝52＋(r－1)2，解得r＝13，则sin∠AOC4＝513，所以∠AOC＝22.5°，则∠AOB＝2×22.5°＝45°，所以扇形OAB的面积S1＝45×π×132

360＝169π8≈66.33，△OAB的面积S2＝12×10×12＝60，所以阴影部分的面积为S1－S2≈66.33－60＝6.33平方寸，故选A.9．(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以

x轴的正半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是()A．sinαtanαB．cosα－sinαC．sinαcosαD．sinα＋cosα答案AB解析由题意知sinα＜0，cosα＞0，tanα＜0.选项A，sinαtanα

＞0；选项B，cosα－sinα＞0；选项C，sinαcosα＜0；选项D，sinα＋cosα符号不确定．故选AB.10．(多选)下列结论中正确的是()A．若0<α<π2，则sinα<tanαB．若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角C．若角α的终

边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα＝45D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度答案ABD解析若0<α<π2，则sinα<sinαcosα＝tanα，A正确；若α是第二象限角，即α∈2kπ＋

π2，2kπ＋π，k∈Z，则α2∈kπ＋π4，kπ＋π2，k∈Z，为第一象限或第三5象限角，B正确；若角α的终边过点P(3k，4k)(k≠0)，则sinα＝4k9k2＋16k2＝4k5|k|，不一定等于45，C错误；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长为6－2×2＝2，其圆

心角的大小为22＝1弧度，D正确．故选ABD.11．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．答案(7＋43)∶9解析设扇形的半径为R，其内切圆的半径为r，则(R－r)sin60°＝r，即R＝1＋233r.又S

扇＝12|α|R2＝12×2π3×R2＝π3R2＝7＋439×πr2，所以S扇S内切圆＝7＋439.12．设角α是第三象限角，且sinα2＝－sinα2，则角α2是第________象限角．答案四

解析由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋3π2(k∈Z)，则kπ＋π2<α2<kπ＋3π4(k∈Z)，故α2是第二或第四象限角．由sinα2＝－sinα2知sinα2<0，所以α2只能

是第四象限角.二、高考小题13．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则()A．cos2α>0B．cos2α<0C．sin2α>0D．sin2α<0答案D解析当α＝－π3时，cos2α＝cos

－2π3＜0，A错误；当α＝－π6时，cos2α＝cos－π3＞0，B错误；由α为第四象限角可得sinα＜0，cosα＞0，则sin2α＝2sinαcosα＜0，C错误，D正确．故选D.14．(2020·北京高考)2020年3月14日是全球首个国际

圆周率日(πDay).历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿6尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长

，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是()A．3nsin30°n＋tan30°nB．6nsin30°n＋tan30°nC．3nsin60°n＋tan60°nD．6ns

in60°n＋tan60°n答案A解析单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆心角为360°6n＝60°n，每条边长为2sin30°n，所以单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin30°n.单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan30°n，其周长为12ntan30

°n，所以2π＝12nsin30°n＋12ntan30°n2＝6nsin30°n＋tan30°n，则π＝3nsin30°n＋tan30°n.故选A.15．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与

角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝13，则sinβ＝________．答案13解析由角α与角β的终边关于y轴对称，可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，∵sinα＝13，∴sinβ＝si

n[(2k＋1)π－α]＝sinα＝13.三、模拟小题16．(2021·福建泉州月考)若A＝{θ|θ＝k·360°，k∈Z}，B＝{θ|θ＝k·180°，k∈Z}，C＝{θ|θ＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是()7

A．A＝B＝CB．C⊆B⊆AC．A⊆B＝CD．A⊆B⊆C答案D解析集合A的元素表示终边落在x轴正半轴上的所有角，集合B的元素表示终边落在x轴上的所有角，集合C的元素表示终边落在x轴和y轴上的所有角，故

选D.17．(2021·河南焦作市高三期中)已知角α的终边与300°角的终边重合，则α3的终边不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A解析因为角α的终边与300°角的终边重合，所以α＝300°＋k·360°，k∈Z，所以α3＝100°＋k·120°，

k∈Z，令k＝0，α3＝100°，终边位于第二象限；令k＝1，α3＝220°，终边位于第三象限；令k＝2，α3＝340°，终边位于第四象限；令k＝3，α＝100°＋360°，终边位于第二象限…，所以α3的终边不可能在第一象限．故选A.18.(202

1·福建福州第三中学高三上学期第二次质量检测)如图所示，在直角三角形ABC中，A为直角，以B为圆心，AB为半径作圆弧交BC于点D，若AD将△ABC的面积分成相等的两部分，设∠ABC＝α(弧度)，则()A．

sinα＝2cosαB．2sinα＝cosαC．tanα＝αD．tanα＝2α答案D8解析依题意可得S△ABC＝2S扇形ABD，所以12AB·AC＝212lAD·AB，所以12AB·AB·tanα＝212α·AB·AB，化简

可得tanα＝2α.故选D.19．(2021·江西省上饶市高三阶段测试)已知角α＝2kπ－π5(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sinθ|sinθ|＋cosθ|cosθ|＋tanθ|tanθ|的

值为()A．1B．－1C．3D．－3答案B解析由α＝2kπ－π5(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.所

以y＝－1＋1－1＝－1.20．(2021·江苏南京市第二十九中学高三期中)某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘．将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下

数据：AB＝6.9cm，BC＝7.1cm，AC＝12.6cm.根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间()A．π6，π4B．π4，π3C．π3，5π12D．5π12，π2答案B解析取AB＝BC≈7，

设∠ABC＝2θ，则sinθ≈12.627＝0.9，∴θ∈π3，3π8⇒2θ∈2π3，3π4.设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α，则α9＋2θ＝π，∴α∈π4，π3.故选B.21．(多选)(2021·山东省微山县

第一中学月考)下列结论正确的是()A．－7π6是第三象限角B．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形面积为3π2C．若角α的终边过点P(－3，4)，则cosα＝－35D．若角α为锐角，则角2α为钝角答案BC解析－7π6终

边与5π6相同，为第二象限角，所以A不正确；设扇形的半径为r，π3r＝π，∴r＝3，扇形面积为12×3×π＝3π2，所以B正确；角α的终边过点P(－3，4)，根据三角函数定义，cosα＝－35，所以C正确

；角α为锐角时，0<α<π2，0<2α<π，所以D不正确．22．(多选)(2021·山西太原市高三三模)古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，

阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2(正八边形ABCDEFGH)是由图1(八卦模型图)抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设OA＝1.则下列结论正确的是()A．OA→·OD→＝－2210B．以射线OF为终边的角的集合可以表示为

αα＝5π4＋2kπ，k∈ZC．在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为π4D．正八边形ABCDEFGH的面积为42答案ABC解析由题意可得，正八边形的八个内角相等，则一个内角为18×6π＝3π4，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝

…＝∠HOA＝18×2π＝π4，因为|OA→|＝|OB→|＝…＝|OH→|＝1，∠AOD＝3×π4＝3π4，所以OA→·OD→＝|OA→|·|OD→|cos3π4＝－22，所以A正确；因为∠AOF＝5×π4

＝5π4，所以以射线OF为终边的角的集合可以表示为αα＝5π4＋2kπ，k∈Z，所以B正确；对于C，因为∠AOB＝π4，半径为1，所以弦AB所对的劣弧弧长为π4×1＝π4，所以C正确；对于D，因为S△OAB＝12|OA||OB|·sin∠AOB＝

12×1×1×22＝24，所以正八边形ABCDEFGH的面积为8×24＝22，所以D错误．故选ABC.23.(2021·上海市徐汇区南模中学高三三模)中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画

．如图是书画家唐寅(1470～1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为________cm2.答案704解析如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由弧长公式可得1124＝rθ，64＝（r＋16）θ，解得r＝485，所以S扇面＝S扇形OCD－

S扇形OAB＝12×64×485＋16－12×24×485＝704(cm2).一、高考大题1．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足

sin(α＋β)＝513，求cosβ的值．解(1)由角α的终边过点P－35，－45，得sinα＝－45，所以sin(α＋π)＝－sinα＝45.(2)由角α的终边过点P－35，－45

，得cosα＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－5665或cosβ＝1665.二、模

拟大题2．(2021·湖南湘潭模拟)已知1|sinα|＝－1sinα，且lg(cosα)有意义.(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M35，m，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及12sinα的值．解(1)由1|si

nα|＝－1sinα，得sinα<0，由lg(cosα)有意义，可知cosα>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM|＝1，所以352＋m2＝1，解得m＝±45.又α为第四象限角，故m<0，从而

m＝－45，sinα＝yr＝m|OM|＝－451＝－45.3．(2021·江西九江模拟)已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解设扇形AOB的半径为

r，弧长为l，圆心角为α.(1)由题意可得2r＋l＝8，12lr＝3，解得r＝3，l＝2或r＝1，l＝6，所以扇形的圆心角α＝lr＝23或α＝lr＝6.(2)因为2r＋l＝8，所以S扇形＝12lr＝14l·2r≤14l＋2r22＝14×

822＝4，当且仅当2r＝l，即r＝2，l＝4，α＝lr＝2时，扇形的面积取得最大值4，所以圆心角α＝2，弦长AB＝2sin1×2＝4sin1.4.(2021·洛阳市高三质量监测)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α

的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．13(1)若点B的横坐标为－45，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈0，2π3，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．

解(1)由题意，可得B－45，35，故tanα＝yx＝35－45＝－34.(2)若△AOB是等边三角形，则∠AOB＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为ββ＝π3＋2kπ，k∈Z.(3)若α∈0，2π3，则劣弧A

B︵对应的扇形的面积为12αr2＝12α，易知S△AOB＝12sinα，故弓形AB的面积S＝12α－12sinα，α∈0，2π3.