【文档说明】北京市海淀区北京理工大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(14)页，1.232 MB，由小赞的店铺上传

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2023—2024学年度第二学期高一年级数学期中练习出题人：崔广平审题人：何拓程审核人：金永涛考试时间90分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求

的一项．）1.sin120的值等于（）A.12−B.12C.32−D.32【答案】D【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到32，从而可求解.【详解】由题意可得3sin1202=，故D正确.故选：D.2.已知平面向量()()3,1,3abx==−，，且ab，则x=（）A.9−B.1−C.1

D.3【答案】A【解析】【分析】由两向量平行坐标间的关系可求解.【详解】由题意知ab，所以()33x−=，解得9x=−，故A正确.故选：A.3.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间0,2上为增函数的是（）A.sin2yx=B.cos2yx=C.tanyx=D.sin2xy=

【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】解：在区间0,2上，()20,x，sin2yx=没有单调性，故排除A.在区间0,2上，()

20,x，cos2yx=单调递减，故排除B.在区间0,2上，tanyx=单调递增，且其最小正周期为，故C正确；根据函数以为最小正周期，sin2xy=的周期为2412=，可排除D.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的

关键，属于基础题.4.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，E是CD的中点，那么AEDC=（）A.4B.2C.3D.1【答案】B【解析】【分析】利用AEADDE=+化简AEDC，再结合数量积的定义可求该式的值.详解】()ADDEAEDCDCDCDCA

DDE=+=+,因为ADDC⊥，故0ADDC=.而E为CD的中点，故12cos02DCED==，故2AEDC=.故选：B.5.已知abc，，是非零向量，则“ab=”是“acbc=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件【C.充分必要条件D.既不充分也不必要条

件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】充分性：由题意知a，b，c为非零向量，当ab=时，可得··acbc=，故充分性满足；必要性：当··acbc=时，即()·0abc−=，解得ab=或()abc−⊥，故必要性不满足；所以“

ab=”是“··acbc=”的充分不必要条件，故A正确.故选：A.6.已知函数()sin()fxx=+(0,||)2的部分图象如图所示，则()fx的表达式为（）A.()sin(2)6fxx=+B.()sin(2)6fxx=−C.

()sin()6fxx=+D.()sin()3fxx=+【答案】A【解析】【分析】先由两相邻最值点与周期关系求解，再代入最值点求解.【详解】由图象知，22362T==−=，解得2=，将最大值点(,1)6代入()sin(2)fxx=+得，sin(

)13+=，解得26k=+，又||2，则6=，即()sin(2)6fxx=+.故选：A【点睛】已知函数sin()(0,0)yAxBA=++图象，确定其解析式的步骤：（1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则,22MmMmA

B−+==.（2）求，确定函数的周期T，则2T=..（3）求，将图象上的已知点代入解析式，求解时注意点在上升区间还是下降区间.如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.7.若函数()πsin26fxx=−在区间0,a上有且仅有两个零点，则实数a的最小值是（）A.π12B.

π3C.7π12D.13π12【答案】C【解析】【分析】由()πsin26fxx=−在区间0,a上有且仅有两个零点，可得πππ2,2666xa−−−，从而得【详解】由题意知()πsin26fxx

=−在区间0,a上有且仅有两个零点，当0,xa时，πππ2,2666xa−−−，则π2π6π22π6aa−−，解得7π13π1212a，所以实数a的最小值为7π12，故C正确.故选：C.8.如图，在平面直角坐标系xOy中，角和的

顶点都与原点重合，始边都与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于,AB两点.若()43π,,1,0,553ACBOC−=，则()cos−=（）A.43310−−B.43310−C.43310−+D.43310+【答案】C【

解析】【分析】由题意并根据π3BOC=可得()2π2π3kk=+Z，由三角函数定义知34sin,cos55==，然后应用差角余弦公式计算求值即可.【详解】由题意，设()π2π2ππ2π33kkk=+−=+Z，由已知A的坐标并结合三角函数的定义得34sin,cos55

==，则()1433433coscoscossinsin252510−+−=+=−+=.故选：C9.已知向量()()1,sincos,3ab==，，其中R，则ab−的最大值是（）A.4B.3C.2

D.1【答案】B【解析】【分析】先求()1cos,sin3ab−=−−，然后求解2π54sin6ab−=−+，又由π1sin16−+，从而可求解.【详解】由题意得()1cos,sin3ab−=−−，所以()()2221cossin3ab

−=−+−22π12coscossin23sin354sin6=−++−+=−+，又因为π1sin16−+，所以π154sin96−+，所以ab−的最大值

为3，故B正确.故选：B.10.一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示.在0=t时刻，粒子从点()0,1A出发，沿着轨迹曲线运动到()1,1B−，再沿着轨迹曲线途经A点运动到()1,1C−−，之后便沿着轨迹曲线在B，C两点之间循环往复运

动.设该粒子在t时刻的位置对应点(),Pxy，则坐标x，y随时间()0tt变化的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据粒子的运动轨迹得到周期，进而得到()xft=和()ygt=的周期，

观察图象即可.【详解】由题知，粒子从()()()()()0,11,10,11,10,1ABACA→−→→−−→为一个周期，对应x由01010→→→−→为一个周期，对应y由11111→−→→−→为两个周期，函数()xft=的周期是函数()ygt=的周期的2倍.对于A，()xft=的周期为2π，

()ygt=的周期为2π，故A错误；对于B，()xft=的周期为2π，()ygt=的周期为π，故B正确；对于C，()xft=的周期为π，()ygt=的周期为2π，故C错误；对于D，()xft=的周期为π，()ygt=

的周期为π，故D错误.故选：B.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11.已知向量,ab满足2,4,,60abab===，则=ab______．【答案】4【解析】【分析】利用向量数量积公式即可求解.【详解】由题知2,4,,60abab==

=，所以1·cos602442abab===.故答案为：4.12.已知1sin3=，且为第二象限角．则sin2=______．【答案】429−##429−【解析】【分析】由为第二象限角可求出22cos3=

−，再利用正弦函数二倍角公式即可求解.【详解】由题意知1sin3=且α为第二象限角，所以2122cos133=−−=−，所以12242sin22sincos2339−===−.故答案为：429−.13.已知π2cos122x−=−，()π,πx−

，则x=______．【答案】5π6或2π3−【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，结合已知条件中x的范围，直接求解即可.【详解】因为π2cos122x−=−，故可得π3π2π,124xkk

−=+Z，或π3π2π,124xkk−=−Z，解得5π2π,6xkk=+Z或2π2π,3xkk=−Z，又()π,πx−，故5π6x=或2π3−.故答案为：5π6或2π3−.14.若(cos,sin)P与(cos(),sin()

)66Q++关于y轴对称，写出一个符合题意的值______．【答案】512（答案不唯一）【解析】【分析】先由关于y轴对称得出关系式，再由诱导公式求解即可.【详解】由题意得，coscos(),sinsin()66=−+=+，

由诱导公式coscos(),sinsin()=−−=−知，6++=显然满足题意，解得512=故答案为：512（答案不唯一）.15.已知函数()sincos2fxxx=−（其中R）．给出下列四个结论：①若1=，则π2−是函数的一个()fx零点；②若1=，函数()

fx的最小值是98−；③若2=，函数()fx图象关于直线3π8x=对称；④若2=，函数()fx图象可由2sin2yx=图象向右平移π4个单位长度得到．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②③【解析】【分析】

当1=，得()2192sin48fxx=+−，从而可对①②判断；当2=，()π2sin24fxx=−，从而可对③判断；由()fx图象向左平移π4可对④判断；【详解】对①②：当1=，()2219sincos22sinsin12sin

48fxxxxxx=−=+−=+−，因为1sin1x−，所以当1sin4x=−时，()min98fx=−，故②正确；.当π2x=−时，2ππ192sin02248f−=−+−=，故①正确；对③④：当2=，()πsin2cos2

2sin24fxxxx=−=−，当3π8x=，3π3ππ2sin22884f=−=，故③正确；将()fx图象向左平移π4得ππππ2sin222sin22sin24444fxxxx

+=+−=+，故④错误.故答案为：①②③.三、解答题16.某同学用五点法作函数()()sinfxAx=+（0A，0，π2）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x+0π2π3π

22πxπ37π12()fx0202−0（1）请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数()fx的图象；（2）将()fx的图象向右平移（0）个单位，得到()gx的图象，若()gx的图象关于y轴对称，求的最小值．【答案】（1）答案见解析；（2）π6.

【解析】【分析】（1）根据已知数据求得,,A，再填表以及画图即可；（2）根据（1）中所求函数解析式，结合三角函数图象变换求得()gx的解析式，再根据其为偶函数，即可求得的最小值.【小问1详解】易知，2A=，再根据表格中已知数据可知，ππ

7π,π3212+=+=，故可得π2,6==−；令π206x−=，解得π12x=；令π3π262x−=，解得5π6x=；令π22π6x−=，解得13π12x=；故填表如下：x+0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12()f

x0202−0根据五点作图法，结合表格中数据，画图如下所示：【小问2详解】由（1）可知，()π2sin26fxx=−，根据题意可得()()ππ2sin22sin2266gxxx=

−−=−−，由题可知，()gx为偶函数，故ππ2π,62kk+=+Z，故可得ππ,26kk=+Z，又0，故当0k=时，取得最小值π6.17.已知函数(sin-cos)sin2(

)=sinxxxfxx（Ⅰ）求()fx的定义域及最小正周期（Ⅱ）求()fx的单调递增区间．【答案】2==2T单调递增区间为[,)8kk−和3(,]8kk+（Zk）【考点定位】本题考查三角函数

知识，此类型题在平时练习时练的较多，考生应该觉得非常容易入手．【解析】【详解】（1）只需sin0x，∴xk∴()fx定义域为{|}xxRxkkZ且，(sin-cos)sin2()=sinxxxfxx(sin-cos)2sincos=sinxxxxx=2(sin-cos)cosxxx

2=2sincos-2cosxxx=sin2-(1+cos2)xx=2sin(2-)-14x∴最小正周期为2==2T（2）22-2242kxk−+，xk∴3+88kxk−，xk∴()fx的单调递增区间为[,)8kk

−和3(,]8kk+（Zk）18.已知函数()sin(2)cos2fxxx=++，其中π||2．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使()fx存在，并完成下列两个问题．（1）求的值；（

2）当ππ,63x−时，若曲线()yfx=与直线ym=恰有一个公共点，求m的取值范围．条件①：π16f=−；条件②：π12−是()fx的一个零点；条件③：π(0)3ff=．注：

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）答案见解析（2）11,122−【解析】【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解π6=−，（2

）由和差角公式以及辅助角公式化简()πsin(2)6fxx=+，由整体法即可代入求解.【小问1详解】的选条件①：ππππ3sincos1si63332fn=++=−+=−

无意义，所以选条件①时()fx不存在，故不能选①，选条件②．由题设πππ()sin()cos()01266f−=−++−=，所以π3sin()62−=−．因为ππ22−，所以2πππ363−−，所以ππ63−=−．所以π6=−．选

条件③，由题设2π2πsincos0sin()cos33+=++．整理得π3sin()62−=−．以下同选条件②．【小问2详解】由（1）π()sin(2)cos26fxxx=−+31πsin2cos2sin2226xxx=+=+

因为ππ63x−，所以ππ5π2666≤≤x−+．于是，当且仅当ππ262x+=，即π6x=时，()fx取得最大值1；当且仅当ππ266x+=−，即π6x=−时，()fx取得最小值12−．又π5π266x+=，即π3x=时，π5π1()si

n362f==．且当πππ2666x−+时，()fx单调递增，所以曲线()yfx=与直线ym=恰有一个公共点，则1122m-或1m=m的取值范围是11,122−．19.对于数集{}12,,1,nXxxx=

-，其中120nxxx，2n，定义向量集(),,,YaastsXtX==，若对任意1aY，存在2aY使得120aa=，则称X具有性质P．（1）判断1,1,2−是否具有性质P；（2）

若2x，且{}1,1,2,Xx=-具有性质P，求x的值；（3）若X具有性质P，求证：1X且当1nx时，11x=．【答案】（1）具有性质P（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合新定义判断即可；（2）在Y中

取()1,2ax=，根据数量积的坐标表示，求出可能的2a，再根据2x求出符合条件的值即可；（3）取()111,axxY=，()2,astY=，由120aa=，化简可得0st+=，所以,st异号，而1−是X中的唯一

的负数，所以,st中之一为1−，另一个为1，从而得到1X，最后通过反证法得出1nx时，11x=.小问1详解】1,1,2−具有性质P.因为1,1,2X=−，所以()()()()()()()()()1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,2,2Y=−−−−

−−，若对任意1aY，存在2aY使得120aa=，所以X具有性质P.【小问2详解】因为2x，且1,1,2,Xx=−具有性质P，所以可取()1,2ax=，又Y中与()1,2ax=垂直的元素必有形式

()()()1,1,1,2,1,x−−−中的一个，当()21,1a=−时，由120aa=，可得202xx-+=?，不符合题意；当()21,2a=−时，由120aa=，可得404xx-+=?，符合题意；当()21,ax=−时，由120aa=，可得200xxx-+=?，不符合题意；所以4x=.【

小问3详解】证明：取()111,axxY=，设()2,astY=，满足120aa=，所以()100stxst+=+=，所以,st异号，因为1−是X中的唯一的负数，所以,st中之一为1−，另一个为1

，【所以1X，假设1kx=，其中1kn，则101nxx，选取()11,nbxx=，并设()2,bpq=，满足120bb=，所以10npxqx+=，则,pq异号，从而,pq之中恰有一个为1−，若1p=−，则1nxqx=，显然矛盾；若1

q=−，则1nnxpxpx=，矛盾，所以当1nx时，11x=，综上，得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.