【文档说明】重庆市开州中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题（教师版定稿3）.docx，共(16)页，1.451 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市开州中学高2026届高二上期第一次月考试题（数学）本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置。2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上

对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分

，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线310xy−+=的倾斜角是（）A.6B.3C.23D.561．【答案】A【解析】依题意，直线310xy−+=的斜率为1333=，对应的倾斜角为6.故选：A2．已知()()0,1,1,0,0,1ab==，则a在b

上的投影向量为（）A．()1,0,0B．()0,0,1C．()0,1,0D．110,,222．【答案】B【解析】因为()()0,1,1,0,0,1ab==，所以2,1ab==，所以2cos,2ababab==，所以a在b上的投影向量为()()2cos,20

,0,10,0,12baabb==故选：B3．“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2，∴“m＝3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．4．如图所示，在平行六面体1111ABCDAB

CD−中，ABa=，ADb=，1AAc=，点M是11AD的中点，点N是1CA上的点，且1:1:4CNCA=，则向量MN可表示为（）A．12abc++B．1144abc++C．131484abc−−D．313444abc+−4．【答案】D【解析】因为在平行六面体1111AB

CDABCD−中，ABa=，ADb=，1AAc=，点M是11AD的中点，点N是1CA上的点，且1:1:4CNCA=，所以()111113132424MNMAANADACADACAA=+=−+=−+−()111331331324444

444ADABADAAABADAAabc=−++−=+−=+−，故选：D.5．已知在平面直角坐标系Oxy中，A(－2，0)，B(4，0).点P满足||PA||PB＝12，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是()A．曲线C的方程为22(4)16xy−+=

B．曲线C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为10C．曲线C上存在点M，使得||MO＝2||MAD．曲线C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为9【答案】D【解析】由题意可设点P(x，y)，由A(－2，0)，B(4，0)，||PA||PB＝12，得()

x＋22＋y2()x－42＋y2＝12，化简得x2＋y2＋8x＝0，即22(4)16xy++=，故A错误；点(1，1)到圆上的点的最大距离()－4－12＋()0－12＋4<10，故不存在点D符合题意，故B错误；设M(x0，y0)，由||MO＝2||MA，得x20＋y20＝2(

)x0＋22＋y20，又(x0＋4)2＋y20＝16，联立方程消去y0得x0＝2，解得y0无解，故C错误；C的圆心(－4，0)到直线3x－4y－13＝0的距离为d＝||3×()－4－135＝5，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离d＋r＝5＋4＝9，故D正

确．故选D.6．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()1110,0,0,1,1,0,1,0,1,,1,12DBAF

，故()11111,1,0,,0,12DBBF==−，()10,1,1BA=−，设平面DBF的法向量为(),,nxyz=，则0102xyxz+=−+=，取2x=，则2,1yz=−=，故(

)2,2,1n=−，故A到平面11DBF的距离为1111313BAnBAndBABAnn====，故选：A.7．广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是

一个圆形区域224xy+．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数1,0sgn()0,01,0xxxx==−，则当224xy+时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）A．()22(sg

n())10xxyx+−−B．()22(sgn())10yxyy−+−C．()22(sgn())10xxyx+−−D．()22(sgn())10yxyy−+−【答案】C【解析】对于A选项，当0x时，()2222(sgn())1110xyxxy+−−=+−−，即表

示圆()2211xy+−=内部及边界，显然不满足，故错误；对于C选项，当0x时，()2222(sgn())1110xyxxy+−−=+−−，即表示圆()2211xy+−=外部及边界，满足；当0x时

，()2222(sgn())1110xyxxy+−−=++−，即表示圆()2211xy++=的内部及边界，满足，故正确；对于B选项，当0y时，()2222(sgn())1110xyyxy−+−=−+−，即表示圆()2211xy−+=内部及边界，显然不满足，故错误；对于D选项，当0y

时，()2222(sgn())1110xyyxy−+−=−+−，即表示圆()2211xy−+=外部及边界，显然不满足，故错误；故选：C8．在平面直角坐标系xoy中，已知A、B为圆22:9Oxy+=上两动点及定点(1,1)P，且PAPB⊥，则||AB的最大值为（

）A．32−B.32+C.42−D.42+【答案】D二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知圆()()22:1225Cxy−+−=，直线()():211740lmxmym+++−−=.则以下几个命题正确的有（）A．直线l恒过定点()3,1B．圆C被y轴截得的弦长为46C．直线l与圆C恒相交D．直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为250xy+−=【答案

】ABC【解析】直线l方程整理得(27)40mxyxy+−++−=，由27040xyxy+−=+−=，解得31xy==，∴直线l过定点(3,1)P，A正确；在圆方程中令0x=，得21(2)25y+−=，226y

=，∴y轴上的弦长为46，B正确；22(31)(12)525−+−=，∴(3,1)P在圆内，直线与圆一定相交，C正确；直线l被圆C截得弦最短时，直线lCP^且121,2312CPlkk-==-\=-，则直线l方程为12(3)yx−=−，即250xy−−=．D错．故选：AB

C．10．下列四个命题是真命题的是（）A．经过点()1,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xy+−=B．已知(0,2),(3,1)AB−，点P为x轴上一动点，则PAPB−的最大值是10C．已

知()1,1A，()2,3B−，()1,2C−−，过A作直线l与线段BC相交，则直线l斜率的取值范围为23,32−D．经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线

x＋2y－1＝0平行的直线方程为x＋2y－7＝010．【答案】BCD【解析】对于A：当直线经过原点时，所求直线为：0xy−=；当直线不经过原点时，用截距式方程表示：1xyab+=，因为在x轴和y轴上截距都相等，所以a=b，把（1，1）代入解得：a=b=2，所以所求直

线为20xy+−=.故A错误；对于B：由已知点A关于x轴的对称点为(0,2)C−，121303BCk−+==−，直线BC方程为123yx=−，令0y=得6x=，所以直线BC与x轴交点为(6,0)Q，PAPB−PCPBCB=

−22(30)(12)10=−+−+=，当且仅当P是BC与x轴交点Q时等号成立．.故B正确；对于C：对选项C，312213ABk−==−−−，213112ACk−−==−−则过点A作直线l与线段BC相交时，则直线l斜率的取值范围为：23,

32−故C正确；对于D：由x＋y－4＝0，x－y＋2＝0，得x＝1，y＝3即l1与l2的交点为(1，3)．设与直线x＋2y－1＝0平行的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.则所求直线方程为x＋2

y－7＝0；故D正确故选BCD11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱11,BBCC的中点，G是棱11BC上的一个动点，M为侧面11BBCC上的动点，则下列说法正确的是（）A．点G到平面AEF的距离为定值B．若1DMMC⊥，则BM的最小值为2

C．若11111=++AGxAAyAEzADuuuruuuruuuruuuur，且1xyz++=，则点G到直线AF的距离为173D．直线AG与平面AEF所成角的正弦值的取值范围为1510,1510【答案】ACD【分析】

利用平行线的传递性与平行线共面判断A，利用线面平行的判定定理判断B，利用空间向量推得1,,,AEDG四点共面，结合面面平行的性质定理判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D，从而得解.【详解】对于A，在正方体1111ABCDABC

D−中，E，F分别为棱11,BBCC的中点，所以11//BCEF，又EF平面AEF，11BC平面AEF，所以11//BC平面AEF，又点G是棱11BC上的一个动点，所以点G到平面AEF的距离为定值，故A正确；对于B，连接111CM

DC⊥，面11BBCC，1CM是1DM在平面11BBCC上的射影，要使1DMMC⊥，则1CMMC⊥，所以点M的轨迹是平面11BBCC上以F为圆心，1为半径的半圆，所以BM的最小值为51BFr−=−，故B错误；对于C，对于C，连接111,,,ADDGGEBC，

因为11111=++AGxAAyAEzADuuuruuuruuuruuuur，且1xyz++=，所以1,,,AEDG四点共面，因为在正方体1111ABCDABCD−中，平面11//ADDA平面11BC

CB，又平面11ADDA平面11AEGDAD=，平面11BCCB平面1AEGDGE=，所以1//ADGE，在正方体1111ABCDABCD−中，1111//,ABCDABCD=，所以四边形11ABCD是

平行四边形，则11//ADBC，则1//GEBC，因为E为棱1BB的中点，所以G为棱11BC的中点，故以D为原点，建立空间直角坐标系，如图，则()()()()2,0,0,2,2,1,0,2,1,1,2,2AEFG，所以()()2,2,1,1,2,2|3|||3AFAGAFAG=−=−

==，，，故点G到直线AF距离22173AGAFdAGAF=−=故C正确；对于D，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图，设()102CGxx=，则()()()()2,0,0,2,2,1,0,2,1,,2,2AEFGx，所以(

)()()0,2,1,2,0,0,2,2,2AEEFAGx==−=−，设平面AEF的法向量为𝑛⃗=(𝑎,𝑏,𝑐)，则2020AEnbcEFna=+==−=，令1b=，则0,2ac==−，故()0,1,2n=−，设直线AG与平面AEF所成角为π02

，则()()22242sincos,24414528AGnAGnAGnxx−====−+++−+，因为02x，所以()2024x−，则()2222823x−+，所以()215222101510523522528x

==−+，所以直线AG与平面AEF所成角的正弦值的取值范围为1510,1510，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12．已知圆1C：()()

22225xay−++=，圆2C：()()2214xya+++=，若圆1C与圆2C内切，则实数a的值是；【答案】1−或2【解析】由题可知圆心()1,2Ca−，半径15r=，圆心()21,Ca−−，半径22r=，因为圆

1C与圆2C内切，所以()()221212123CCaarr=++−+=−=，解得1a=−或2a=．13.已知直线1l：10xay++=，2l：()1220axya+++=，当12//ll时，直线1l

与2l之间的距离是_________．13．【答案】355【解析】因为12//ll，所以()121aa=+，解得1a=或2a=−.当1a=时，1l与2l重合，不符合题意；当2a=−，直线1l：210xy−+=,2l：240xy−+−=,即240xy−+=，满足12//l

l，故直线1l与2l之间的距离是()224135512−=+−.故答案为:355.14．现有四棱锥PABCD−（如图），底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD.1==PAAB，3AD=，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角

的余弦值为___________.【答案】15##0.2将PAB△沿AB旋转到平面ABCD内，如下图所示，设点D关于CB对称的点为1D，线段1PD与,ABBC的交点为,EF，此时空间四边形PEFD的周长最小，因为1//AEDD，所以111242AEPAAEAEDDPD=

==，同理可得：1112113BEBFBFBFCDCFBF−===−，因为底面ABCD是矩形，所以ABAD⊥，又因为PA⊥平面ABCD，,ABAD平面ABCD，所以,PAABPAAD⊥⊥，所以可以建立如下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(0,0,1),(0,3,0),(1,1

,0),(,0,0)2APDFE，1(,0,1),(1,2,0)2PEDF=−=−，异面直线PE与DF所成角的余弦值为：2222111251()(1)1(2)2PEDFPEDF==+−+−，故答案为：15四、解答题：本题共6小题

，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知圆C的圆心为()1,0，直线10xy++=与圆C相切.(1)求圆C的方程；(2)若直线l过点()2,2，被圆C所截得的弦长为2，求直线l的方程.【答案】（1）()2212xy−+=；（2

）2x=或3420xy+=−.【解析】【分析】（1）由题意，根据点到直线距离公式，求出半径，进而可得圆的方程；（2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程2x=；再考虑斜率存在的情况，设l的方程为()22

ykx−=−，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程.【详解】(1)因为直线10xy++=与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即圆心()1,0到直线

10xy++=的距离为1122dr+===∴圆C的方程为：()2212xy−+=；(2)当l斜率不存在时，l的方程为2x=，易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以2x=；当l斜率存在时，设l的方程为()22220ykxkxyk−=−−+−=，则221kd

k−=+.又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以2222222rdd=−=−，则1d=，所以2121kk−=+，解得34k=，所以直线l的方程为()32234204yxxy−=−−+=.综上：l的方程为

2x=或3420xy+=−.16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．(1)证明：EF∥平面PCD(2)若PD⊥平面ABCD，120ADC=，且24PDAD==，求直线AF与平

面DEF所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)43535(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，因为E，F分别为PA，BC的中点，所以1//,2EGADEGAD=，又底面ABCD为菱形，所以1//,2CFADCFAD=，所以//,EGCFEGCF=，所以四边形EGCF为平行四边形，所

以//.EFCG又CG平面PCD．EF平面PCD，所以EF//平面PCD．(2)解：连接BD，因为PD⊥平面ABCD，,DFDA平面ABCD，所以,PDDFPDDA⊥⊥，因为四边形ABCD为菱形，120ADC=，所以B

CD△为等边三角形，因为F为BC的中点，所以DFBC⊥，因为BC∥DA，所以DFDA⊥，所以,,DFDADP两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．因为2ADPD==，所以D（0，0，

0），F(3，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），则(0,1,2),(3,0,0),(3,2,0)DEDFAF===−．设平面DEF的法向量(,,)mxyz=，则2030mDEyzmDFx=+===，令1z=，得(0,2,1)m=−．设直线AF与

平面DEF所成的角为θ，则|||4|435sincos,35||||57mAFmAFmAF====，所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为4353517.（本小题满分15分）过点(4,2)P作直线l分别交x轴、y轴正半轴于,AB

两点。(1)当AOB面积最小时，求直线l的方程.(2)当||||PAPB取到最小值时，求直线l的方程.【解析】过点(4,2)P的直线l与x轴、y轴正半轴相交，所以直线l的斜率0k设直线l的方程为2(4)(0)ykxk−=−，则2(4,0)(0,24)ABkk−−，

(1)1122||||(4)(24)8(8)()22AOBSOAOBkkkk==−−=+−+−282(8)()16kk+−−=当且仅当218(0)2kkkk−=−=−时取“=”成立，则直线l的方程为：280xy+−=(2)222222411||||416168(1)

(1)8216PAPBkkkkkk=++=++=++当且仅当221(0)1kkkk==−时取“=”成立，则直线l的方程为：60xy+−=18.（本小题满分17分）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，60DAB=，点M，N分别是边BC，CD的中点，1AC

BDO=，ACMNG=．沿MN将CMN△翻折到PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥PABMND−．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；(2)当四棱锥PMNDB−体积最

大时，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角QMNP−−余弦值的绝对值为1010？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．【解析】(1)在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG，证明如下：∵点M，N分别是边CD，CB的中点，又60

DAB=，∴BDMN∥，且PMN是等边三角形，∵G是MN的中点，∴MNPG⊥，∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BDAC⊥，∴MNAC⊥，∵ACPGG=，AC平面PAG，PG平面PAG，∴MN⊥平面PAG，∴BD⊥平面PAG，∵BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAG．(2)由题

意知，四边形MNDB为等腰梯形，且4DB=，2MN=，13OG=，所以等腰梯形MNDB的面积()243332S+==，要使得四棱锥PMNDB−体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可，∴当PG⊥平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为3，此时四棱锥PMNDB

−体积的最大值为133333V==，假设符合题意的点Q存在．以G为坐标原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()33,0,0A，()0,1,0M，()0,1,0N−，()0,0,3P，由（2）知，AGPG⊥，又AGMN⊥，且MNPGG=，MN

平面PMN，PG平面PMN，AG⊥平面PMN，故平面PMN的一个法向量为()11,0,0n=ur，设AQAP=（01≤≤），∵()33,0,3AP=−，()33,0,3AQ=−，故()()331,0,3−，∴()0,2,0N

M=，()()331,1,3QM=−−，平面QMN的一个法向量为()2222,,nxyz=，则20nNM=，20nQM=，即()222220,33130,yxyz=−+−=，则平面QMN的一个法向量()(),0,31n=−，设二

面角QMNP−−的平面角为，则()122110cos1091nnnn===+−，解得：12=，故符合题意的点Q存在且Q为线段PA的中点．19．（本小题满分17分）已知圆W经过(3,3),(2,22),(2,22)ABC−三点．(1)求圆W的方程．

(2)已知直线l与圆W交于M，N（异于A点）两点，若直线,AMAN的斜率之积为2，试问直线l是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】(1)2260xyx+−=(2)直线l经过定点，该定点的

坐标为(3,9)−【分析】（1）设出圆W的一般方程，代入,,ABC的坐标，由此求得正确答案.（2）根据直线l的斜率是否存在进行分类讨论，由直线,AMAN的斜率之积列方程，化简求得定点坐标.【详解】（1）设圆

W的方程为220xyDxEyF++++=，则33180222120222120DEFDEFDEF+++=+++=−++=，解得600DEF=−==则圆W的方程为2260xyx+−=．（2）若直线

l的斜率不存在，则设直线l的方程为()()00000,,,,xxMxyNxy=−，则000033233AMANyykkxx−−−==−−，整理得()2200239xy−+=．又()220039xy−+=，解得03x=，所以直线l的方程为3x=，此时l经过点(3,3)A，

不符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为()()1122,,,,ytxbMxyNxy=+，联立方程组2260ytxbxyx=++−=，整理得()2221(26)0txtbxb++−+=，则2212122262424360,,11tbbbtbxxxxtt−=−−+

+==++．()()()()1212121233333333AMANtxbtxbyykkxxxx+−+−−−==−−−−()()2212121212(3)6939txxtbtxxbbxxxx+−++−+=−++2222

9618692969tbtbtbtbtb++−−+==++−，则2296186270tbtbtb++++−=，整理得2(3)6(3)27(39)(33)0tbtbtbtb+++−=+++−=，解得39bt=−−或33bt=−+．当33bt=−+时，直线2l的方程为33yt

xt=−+，此时直线l经过点(3,3)A，不符合题意，故舍去．所以39bt=−−，故直线l的方程为39ytxt=−−，即(3)9ytx=−−，经过定点(3,9)−．综上所述，直线l经过定点，且该定点的坐标为(3,9)−．