【文档说明】黑龙江省齐齐哈尔三立高级中学有限公司2020-2021学年高二6月月考数学（理）试题 含答案.doc，共(25)页，1.214 MB，由管理员店铺上传

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三立高级中学2020-2021学年度下学期第二次月考试题高二数学（理科）时间：120分钟满分：150分2021.6第I卷（选择题）一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．若纯虚数z满足()3i12iaza+=−R，则z=（）A．3i−B．2i−C．2

iD．3i2．极坐标系中，点2,6到极轴和极点的距离分别为（）A．1,1B．2,1C．1,2D．2,23．712xx−展开式中2x−的系数为（）A．14−B．14C．84−D．844．从甲、乙等5位同学中任选2人

参加志愿者服务，则选中的2人中甲、乙至少有1人的情况有（）A．4种B．5种C．6种D．7种5．若函数()yfx=的图象在点(2,(2))f处的切线方程是1yx=−，则(2)(2)ff+=（）A．1B．2C．

3D．46．计算定积分22112xdxx−=（）姓名：班级：考场：座位号：A．32B．52C．92D．1127．设01a，nR，随机变量X的分布列是（）Xn1n+P1a−a则方差()DX（）A．既与n有关，也与a有关

B．与a有关，但与n无关C．与n有关，但与a无关D．既与n无关，也与a无关8．设随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，则()3P的值为（）(参考数据：()0.6526,(22)0.9544PuuPuu−+=−+=)A．0.1737B．0.3474

C．0.6837D．0.82639．下列关于回归分析的说法中错误的是（）A．回归直线一定过样本中心(),xyB．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适C．甲、乙两个模型的2R分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好D

．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好10．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办．为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下22列联表．男女合计关注冰雪运动352560不关注冰雪运动152540合计5050100根据列联表

可知（）参考公式：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．附表：()20PKk0.1000.0500.0100.0010k2.7063.8416.63510.828A．该市女性居民中大约有5%的人关注冰雪运动B．该市男性届民中大约有

95%的人关注冰雪运动C．有95%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关D．有99%的把握认为该市居民是否关注冰雪运动与性别有关11．同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有（）A．24种B．48种C

．72种D．96种12．若函数()lnxfxxexxa=−−−存在零点，则a的取值范围为（）A．(0,1)B．[1,]+C．1[,]eeD．1(,]ee第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小

题，每小题5分，共20分）13．某班班会准备从含甲、乙、丙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为______．1

4．i表示虚数单位，则220201...iii++++=______．15．()4211xx−+的展开式中常数项为___________.16．设随机变量ξ服从二项分布16,2B，则()2P等于__________三、解答题（本大题共6个

小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．为了解某小区业主对物业满意度情况之间的关系，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全小区中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的居民分别对物业服务进行评分，满分为100分.调查结果显示：最

低分为40分，最高分为90分.随后，兴趣小组将男、女居民的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：男居民评分结果的频数分布表分数区间频数[40,50)3[50,60)3[60,70

)16[70,80)38[80,90]20为了便于研究，兴趣小组将居民对物业服务的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：分数[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]满意度情况不满意一般比较满意满意非常

满意（1）求m的值；（2）为进一步改善物业服务状况，从评分在[40,60)的男居民中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对物业服务“不满意”的人数为X，求X的分布列与数学期望；（3）以调查结果的频率估计概率，从该小区所有居民中随机抽取一名居

民，求其对物业服务“比较满意”的概率.18．高一某学生参加学校的数学竞赛选拔考试，本次考试共有12道选择题组成.得分规定：做对一道题得1分，做错一道题得1−分，不做得0分，9分及格.该学生的目标至少得9分，且确定该学生前8道题的均正确，而剩下的4道题每道题做对的概率均为34

.（1）若该学生12道题全都做，求得分X的分布列和数学期望；（2）该学生做多少道题时及格的概率最大？19．中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，对中国工农业生产和人民生活带来严重影响．随着综合国力逐步增强，西

北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年沙漠治理经费投入x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据如下表所示：（

1）通过绘制散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）（2）建立y关于x的回归方程；（3）若保持以往的沙漠治理经费增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积突破100万亩．参考数据：()42121.4iiyy=−，52.2；年

份2017201820192020x2345y26394954参考公式：相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−，()()()121niiiniixxyyb

xx==−−=−，aybx=−．20．某小区准备在小区广场安装运动器材，为了解男女业主对安装运动器材的意愿情况，随即对该小区100名业主做了调查，得到如下2×2列联表：愿意不愿意合计男业主301545女业主451055合计7525100（Ⅰ）判断能否有0095的把握认为“是否愿意安装运动器材

与业主性别有关”；（Ⅱ）从不愿意安装运动器材的业主中按性别用分层抽样的方法抽取5人，了解不愿意安装运动器材的原因，再从这5人中选2人参观其他小区的运动场所，求这2人中恰好有1人为女业主的概率.参考公式：()()()()()22nadbcKabcdacbd−

=++++，其中nabcd=+++.参考数据：()20PKk0.100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.82821．已知函数()cosxfxex=.（Ⅰ）求()fx的单调递减区间；（Ⅱ）若当0x

＞时，()()()2cos111xfxexxax−++−+恒成立，求实数a的取值范围.22．已知函数()()()222ln02afxxxxa=−−+．（1）讨论()fx的单调性；（2）是否存在实数a，使得()fx有两个零点？说明理由．参考答案1．A【分析】设=zbi，代入()12iz−即

可,【详解】设izb=.则()12i2i3ibazb−=+=+，所以3iz=，3iz=−.故选：A2．C【分析】根据极坐标的定义求解.【详解】点2,6到极轴的距离2sin16d==，到极点的距离2d=.故选：C3．

B【分析】求得二项展开式的通项，结合通项公式，确定r的值，代入即可求解.【详解】由题意，二项展开式的通项公式为()()()()31227771772112rrrrrrrrrTCxxCx−−−−+=−=−，令3722r−=−，得6r=，所以2x−的系数为6721

4C=.故选：B.4．D【分析】列举法写出所有情况即可.【详解】设这五位同学分别是甲、乙、丙、丁、戊，则从这5人中任选2人且选中的2人中甲、乙至少有1人的情况有：甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊，共7种情况.故选：D．5．B【分析】由切点在切线上可得，可得(2)2

11f=−=，根据导数的几何意义，导数值就是该点处的切线的斜率(2)1f=，即可得解.【详解】函数()yfx=的图象在点(2,(2))f处的切线方程是1yx=−，可得(2)211f=−=，(2)1f=，则(2)(2)2f

f+=.故选：B.6．B【分析】利用微积分的基本定理求解.【详解】22222111112||xdxxxx−=+，221521122=−+−=，故选：B7．B【分析】根据方差公式求出方差，再判断即可.【详解】

由分布列可得()(1)(1)EXnanana=−++=+，故222()(1)[()][1()]DXannaannaaa=−−+++−+=−.故选：B【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握期望和方差的公式.8．D【分析】由已知得1=，2=，再根据正态分布密度函数的对称性和参考数据可得选

项.【详解】因为随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，所以214==，，即2=，所以()113()+0.65260.8263211+222PPuu−=+==，故选：D.9．C【分析】根据回归直线过样本

中心点可判断A选项的正误；利用残差图与模型的拟合效果的关系可判断B选项的正误；利用相关指数与模型拟合效果的关系可判断C选项的正误；利用残差平方和与模型拟合效果之间的关系可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，回归直线一定过样本中心(),xy，A选项正确；对于B选项，残差图中残差点比

较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，B选项正确；对于C选项，甲、乙两个模型的2R分别约为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好，C选项错误；对于D选项，两个模型中残差平方和越小的模型拟合

的效果越好，D选项正确.故选：C.10．C【分析】计算出2K的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】由22列联表中的数据可得()22352515251004.1673.84160405050K−=，因此，有95%的把握认为该市居

民是否关注冰雪运动与性别有关.故选：C.11．C【分析】根据题意分3步进行分析：将除A，B，C之外的三人全排列，A必须安排在D相邻的两个空位中，将B，C安排在剩下的3个空位中，利用分步计数原理可得.【详解】根据题意分3步进行分析：第一步，将除A，B，C之

外的三人全排列，有336A=种情况，第二步，由于AD必须相邻，则A必须安排在D相邻的两个空位中，有2种情况，第三步，将B，C安排在剩下的3个空位中，有236A=种情况，则共有62672=种不同的安排方法.故选：C.12．B【分析】函数

()lnxfxxexxa=−−−存在零点，即lnxxexxa=++有根，构造同构的形式，利用换元法转化为taet=−，利用导数研究函数()tyettR=−的值域即可.【详解】方法一：函数()lnxfxxexxa=−

−−存在零点，即lnxxexxa=++有根.因为lnxxxxee+=，所以lnlnxxexxa+=++有根.设lntxx=+，则teta=+，即()taettR=−令()tyettR=−，则1tye=−，当0

x时，0y，所以tyet=−在()0+，上单增；当0x时，0y，所以tyet=−在()0−，上单减；所以当=0x时，y有最小值1.要使taet=−有解，只需1a.故选：B.方法二：11'()1(1)()xxxfxex

exexx=+−−=+−因为0x，所以10x+.令1()xxex=−，因为()gx在(0,)+上单调递增，所以00(0,),()0xgx+=，即00ln0xx+=.当0(0,)xx时，'()0fx;当0(,)xx+时，'()0fx.所

以()x在0(0,)x上单调递减，在0(,)x+上单调递增.所以0min0000()()ln1xfxfxxexxaa==−−−=−.要使代()fx存在零点，只需min()0fx，即1a.故选：B.【点睛】思路点睛：利用导数硏究函数零点

或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.13．322【分析】根据题意利用排列组合首先求出基本事件总数，再求出要求的条件所包含的基本事件个数，利用古典概型即可求得结果.【详解】某班班会准备从含

甲、乙、丙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，所以基本事件总数()1322424234264nCCCCA=+=，甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻包含的基本事件个数2222232336mCCAA==，所以甲、乙两人

都发言且发言顺序不相邻的概率为36326422mpn===.故答案为：322.14．1【分析】根据虚数单位i的运算性质求解出原式的结果.【详解】解：因为12345,1,,1,,......iiiiiiii==−=−==，所以4342414,1,,1nnn

niiiiii−−−==−=−=且()4342414*0nnnniiiinN−−−+++=，所以220202020202020201...104iiiii++++===+，故答案为：1.【点睛】结论点睛：虚数单位i的常见运算性质：（1）()4342414*,1,,1nn

nniiiiiinN−−−==−=−=；（2）()4342414*0nnnniiiinN−−−+++=.15．7−【分析】直接利用二项展开式的通项公式即可求解.【详解】()()()4442211=11xxxxx−++−+，故

展开式中常数项为：00114421247CxCxx−=−=−.故答案为：7−【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．16．1132【分析】将(2)P„转化为求(0)(1)(2)PPP=+=+=，即可得到答案；【详解】(2)(0)(1)(2)PPPP

==+=+=„06152401266611111116151122222264646432CCC=++=++=，故答案为：1132.17．（1）0.015；（2）分布列见

解析，32；（3）15.【分析】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和为1求解即可；（2）根据题意，随机变量X服从超几何分布，进而求解即可；（3）由频率分布直方图得女居民对物业服务“比较满意”的人数共

有24人，由频率分布表得男居民对物业服务“比较满意”的共有16人，进而得答案.【详解】（1）因为(0.0050.0200.0400.020)101m++++=，所以0.015m=.（2）依题意，随机变量X

的所有可能取值为0，1，2，3.则()0333361020CCPXC===，()1233369120CPCXC===，()2133369220CCPXC===，()3033361320CCPXC===.所以随机变量X的分布列为X0123P120920920120

故X的分布列与数学期望()199130123202020202EX=+++=.（3）设事件M={随机抽取一名居民，对物业服务“比较满意”}因为样本人数200人，其中男居民共有80人，所以样本中女居民共有120人.由频率分布直方图可知，女居民对物业服务“比较

满意”的人数共有：1200.0201024=人.由频数分布表，可知男居民对物业服务“比较满意”的共有16人，所以随机抽取一名居民，对物业服务“比较满意”的概率为()241612005PM+==.【点睛】本题考查频率分布直方图中的数据计算，超几何分布，频率估计概率

等问题，考查数据处理能力，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于认真阅读试题，理清数据，合理的进行数据处理，求解.18．（1）分布列见解析，数学期望()10EX=；（2）该学生解答11道题时及格的概率最大.【分析

】（1）首先确定X所有可能的取值，利用二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此得到分布列；利用数学期望的计算公式可求得()EX；（2）分别计算出该学生再做对14时及格的概率，由此可得结果.【详解】（1）由题意知：X可能取值为4,6,8,10,1

2，()0404311444256PXC===；()131431364464PXC===；()22243127844128PXC===；()31343127104464PXC===

；()404431811244256PXC===；X的分布列为：X4681012P125636427108276481256()132727814681012102566410864256EX=++++=.

（2）该学生前8道题的均正确，再做1道题及格的概率为13p4=；再做2道题及格的概率为2239416p==；再做3道题及格的概率为3223333154274446432pC=+==；再做4道题及格的概率为43334331

189444256pC=+=.173189932425616，该学生解答11道题时及格的概率最大.【点睛】方法点睛：求解离散型随机变量分布列的步骤为：1.首先确定随机变量X的所有可能取值；2.计算X取得每一个值的概率，可通过所有概率和为1来检

验是否正确；3.进行列表，画出分布列的表格；4.最后扣题，根据题意求数学期望或者其它．19．（1）答案见解析；（2）ˆ9.49.1yx=+；（3）到2025年沙漠治理面积可突破100万亩．【分析】（1）根据数据

，求得,xy，再分别求得()()41iiixxyy=−−、()421iixx=−，代入公式，即可求得相关系数r，分析即可得答案.（2）将数据代入公式，即可求得b，进而可得a，即可得答案.（3）当9x=，求得ˆ93.7100y=，当10x=时，ˆ103.1100y=，即

可得答案.【详解】（1）由已知数据和参考数据得23453.54x+++==，26394954424y+++==，()()41(1.5)(16)(0.5)(3)0.571.51247iiixxyy=−−=−−+−−++=，()4222221(1.5)(

0.5)0.51.55iixx=−=−+−++=，则()4212.2iixx=−所以470.9982.221.4r=．因为y与x的相关系数近似为0.998，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）()

()()121479.45niiiniixxyybxx==−−===−，429.43.59.1aybx−=−==．所以回归方程为ˆ9.49.1yx=+．（3）当9x=时，ˆ9.499.193.7100y=+=，当10x=时，ˆ9.4109

.1103.1100y=+=，所以到2025年沙漠治理面积可突破100万亩．20．（Ⅰ）没有；（Ⅱ）35.【分析】（Ⅰ）由已知求得2K的值，与临界值比较可得结论；（Ⅱ）分别列举从5人中选2人的事件，得到2人中恰好有1人为女业主的事件，再由古典概型概率计算可得

．【详解】（Ⅰ）由表中数据可得2K的观测值()2100301045153.0303.84145557525k−=＜，∴没有0095的把握认为“是否愿意安装运动器材与业主性别有关”.（Ⅱ）∵不愿意安装运动器材的业主中，男业主与女业主的人数之比为3:2，∴抽

取的5人中男业主有3人，女业主有2人.设这3名男业主分别为A，B，C，这2名女业主分别为a，b，从5人中选2人有,,,,,,,,,ABACAaAbBCBaBbCaCbab，共10种选法，其中恰有1名女业主的选法有,AaAbBaBbCaCb，，，，，共6种，∴所求概率为63105P==.21．（Ⅰ

）单调递减区间为52,2,44kkkZ++；（Ⅱ）(,1ae−−.【分析】（Ⅰ）求函数()fx的导函数，求()'0fx＜的区间即为所求减区间；（Ⅱ）化简不等式，变形为11xeaxxx−−+，即求min1(1)xeaxxx−−+，令()()1

10xehxxxxx=−−+＞，求()hx的导函数判断()hx的单调性求出最小值，可求出a的范围.【详解】（Ⅰ）由题可知()'cossin2sin4xxxfxexexex=−=−−.令()'0fx＜，得sin04x−＞，

从而522,44kxkkZ++＜＜，∴()fx的单调递减区间为52,2,44kkkZ++.（Ⅱ）由()()()2cos111xfxexxax−++−+可得21xaxexx−+−，即当0x＞时，11x

eaxxx−−+恒成立.设()()110xehxxxxx=−−+＞，则()()()()2221111'xxxexexxhxxx−−−−−+==.令()1xxex=−−，则当()0,x+时，()'10

xxe=−＞.∴当()0,x+时，()x单调递增，()()00x=＞，则当()0,1x时，()'0hx＜，()hx单调递减；当()1,x+时，()'0hx＞，()hx单调递增.∴()()min11==−hxhe

，∴(,1ae−−.【点睛】思路点睛：在函数中，恒成立问题，可选择参变分离的方法，分离出参数转化为()minahx或()maxahx，转化为求函数()hx的最值求出a的范围.22．（1）答案不唯一

，具体见解析；（2）存在；答案见解析．【分析】（1）首先求出函数的定义域，再求出导函数()()()21xaxfxx−−=，令()0fx=，则12x=，21xa=，再对参数a分类讨论，即可求出得到函数的单调区间

；（2）结合（1）的结论，求出函数的极值，即可得到函数的零点，从而求出参数的取值范围；【详解】解：（1）函数()fx的定义域为()0,+，()()()()21221xaxfxaxxx−−=−−+=，令()0fx=，则12x=，21xa=．

（ⅰ）若12a=，则()0fx恒成立，所以()fx在()0,+上是增函数．（ⅱ）若102a，则12a，当()10,2,xa+时，()0fx；当12,xa时，()0fx．（ⅲ）若12a，则102a

，当()10,2,xa+时，()0fx；当1,2xa时，()0fx．综上所述；当12a=时，()fx在()0,+上是增函数；当102a，()fx在()0,2，1,a+

上是增函数，在12,a上是减函数；当12a时，()fx在10,a，()2,+上是增函数，在1,2a上是减函数．（2）由（1）知（ⅰ）当12a=时，()fx在()0,+上是增函数，()fx至多一个零点．（ⅱ）当102a

，()fx在()0,2，1,a+上是增函数，在12,a上是减函数．此时()()222ln20fxf==−+极大值，所以()fx至多一个零点．（ⅲ）当12a时，()fx在10,a

，()2,+上是增函数，在1,2a上是减函数．此时()()222ln20fxf==−+极小值，由()()2166262ln61662ln62ln62024af=−−+−+=−，所以存在一个()02,6x，使()00fx=．2

11111()22ln22ln222afxfaaaaaaa==−−+=−−−极大值，若()fx存在两个零点，则()0fx=极大值有解即可．设()1122ln22gafaaaa==−−−，()()222222112441

20222aaagaaaaa−−+==+−=，所以()ga在1,2+上是增函数，由()1102g=−，()12402geee=−−，所以存在一个()01,ae，使得()00ga=，()0fx=极大值，综上，存在()01,ae，使得()fx有两个零点

．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．