【文档说明】江西省南昌市八一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题【精准解析】.doc，共(17)页，1.254 MB，由小赞的店铺上传

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2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高一期中考试数学试卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.1.已知,,xyz为非零实数，且(01)xyaaa，则下列不等式恒成立的是（）A.22xyB.22xzyzC.||||xyD.11xy【答案】B【解析】【分析】由条件

可得xy，再结合0z，可得22xzyz，即可选出答案.【详解】因为(01)xyaaa，所以xy因为0z，所以20z，所以22xzyz当3,1xy=−=时，22xy、||||xy、11xy都不成立故选：B【点睛】本题考查的是指数不等式的

解法及不等式的性质，属于基础题.2.已知集合2{|230}AxRxx=−−，1{|1}BxRx=，则RCAB=（）A.[1,0)[1,3]−B.[1,0][1,3]−C.[1,3]D.(0,1]【答案】A【解析】【分析】解出集合A和

B中的不等式即可.【详解】由2230xx−−可得3x或1x−，所以1,3RCA=−因为()10111000xxxxxxx−−或1x，所以()),01,B=−+所以RC

AB=[1,0)[1,3]−故选：A【点睛】本题考查的是分式不等式、一元二次不等式的解法和集合的运算，属于基础题.3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c,若coscosacAC=，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C

.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理sinsinacAC=，可将coscosacAC=变形为sinsincoscosACAC=，即tantanAC=，因为,AC为三角形内角，所以AC=，

则ac=．故此三角形为等腰三角形．故A正确．考点：正弦定理．4.设1234,,,aaaa成等比数列，其公比为2，则123422aaaa++的值为（）A.18B.14C.12D.1【答案】B【解析】121123233411222224122288164aaaaqqaaaqa

qqq++++=====++++，选B.5.在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝()A.18B.99C.198D.297【答案】B【解析】【分析】由题设条件结合等差数列的通项公式知先求出a6，再由等差数

列的前n项和公式求出S11．【详解】∵a3+a9=27﹣a6，∴3a6=27，a6=9，∴11111611a+as==11a=992（）．故选B．【点睛】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意等差数列的通项公式和

前n项和公式的灵活运用．6.在ABC中，π4C=，2AB=，6AC=，则cosB的值为（）A.12B.32−C.12或32−D.12或12−【答案】D【解析】分析：在ABC中，由正弦定理sinsinbcBC=，得3sin2B=，即可得到角B，进而得到结论．详解：由题意,2,64

CcABbAC=====，由正弦定理sinsinbcBC=，则有6sin34sin22B==，因为0B，所以3B=或23，当3B=时，1cos2B=，当23B=时，1cos2B=−，故选D．点睛：本题主要考查了正弦定理解三角形，着重考查了推理与运算能力，试题比

较基础，属于基础题．7.已知正实数a、b满足a+b=ab，则ab的最小值为（）A.1B.2C.2D.4【答案】D【解析】【分析】根据a+b≥2ab，当且仅当a=b=2时取等号，代入计算即可求出ab的最小值．【详解】∵ab=a+

b≥2ab，()2ab≥2ab，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab的最小值为4，故选D．【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不

等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8.已知函数log(1)2myx=−+，（0m且1m）的图像恒过点M，若直

线()20,0xyabab+=经过点M，则+ab的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】利用对数函数过定点(1,0)，得到函数log(1)2myx=−+，（0m且1m）的图象恒过点(2,2)M，由此得到关于a，b的等式，利

用基本不等式求最小值．【详解】解：由已知得到对数函数过定点(1,0)，得到函数log(1)2myx=−+，（0m且1m）的图象恒过点()2,2M，又直线()20,0xyabab+=经过点M，所以1

11ab+=，所以11()()2224babaabababab++=+++=…；当且仅当ab=时等号成立；故选：C．【点睛】本题考查了对数函数的图象以及利用基本不等式求最小值，属于中档题．9.有两个等差数列na，nb，其前n项和分别为nS和nT，若321nnSnT

n=+，则121419271314=aaaabbbb++++++（）A.2719B.107C.5135D.127【答案】C【解析】【分析】设等差数列na，nb的公差分别为12,dd，分析得到1214191727131417aaaaSbbbbT+++=+++,即得解.【详解】设等差数列n

a，nb的公差分别为12,dd，所以12141991111111112713141212121212913188=612138aaaaaaadadadadbbbbbdbdbdbdbdb++++++++++==+++++++++++911

7179117173417()31751=3417()217135aaaSbbbT+====++.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知数列1a，21aa，32aa，，1nnaa−，是首

项为1，公比为2的等比数列，则下列项中是数列na中的项是（）A.16B.128C.32D.64【答案】D【解析】试题分析：，当时，，故选D.考点：等比数列、累乘法求通项公式．11.设等差数列na的前n项

和nS，且1310670,0,0aaaaa+，则满足0nS的最大自然数n的值为（）A.6B.7C.12D.13【答案】C【解析】由3100aa+,利用等差数列的性质可得：310670aaaa+=+,又67aa<0,1

a>0，∴6a>0,7a<0.∴()()()1121131267137121360,13022aaaaSaaSa++==+==，则满足Sn>0的最大自然数n的值为12.故选C.点睛：求解等差数列问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}na为等差数列，若mnpq+=+，则mnpqaa

aa+=+.由此得：1()2nnnaaS+=，当21nk=−为奇数时，21(21)2(21)2kkkkaSka−−==−，当2nk=为偶数时，1212()()2kkkkkkaaSkaa+++==+.12.已知数列na的首项1aa=，其前n项和为nS，且满足()2142,nnSSnn

nN−++=，若对任意1,nnnNaa++恒成立，则a的取值范围是（）A.()3,5B.()4,6C.)3,5D.)4,6【答案】A【解析】试题分析：由()2142nnSSnn−+=得()2141nnSSn++=+．两式相减得

()1842nnaann++=+，故21812nnaan+++=+，两式相减得()282nnaan+−=．又由1aa=得23162,42aaaa=−=+，所以，()()2221381882,81842nnaannaaanna+=+−=+−=

+−=−+．因为对任意1,nnnNaa++恒成立，所以，()162{8828428428182aanananana−+−−+−+++−，解得35a．选A.考点：数列通项，不等式恒成立【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－

1＝an（n≥2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.应用关系式an＝时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.二、填空题：本大题共4

小题，每小题5分，共20分.13.若不等式210xax−+对于一切(0,)x+恒成立，则a的最大值为__________.【答案】2【解析】【分析】参变分离可得1axx+，再根据基本不等式求1yxx=+在(0

,)x+上的最小值即可.【详解】不等式210xax−+对于一切(0,)x+恒成立，即1axx+在(0,)x+上恒成立.又1122yxxxx=+=，当且仅当11xx==时取等号.故2a，即a的最大值为2.故答案为

：2【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值的应用，同时也考查了参变分离求函数最值的方法，属于基础题.14.已知函数1()(3)3fxxxx=+−，则函数()fx的最小值为__________.【答案】5【解析】【分析】由题得1()333fxxx=−++−，再利用基本不等式

求函数的最小值得解.【详解】由题得1()333fxxx=−++−，因为3,30xx−，所以11()332(3)3533fxxxxx=−++−+=−−.当且仅当4x=时取最小值.故答案为：5.【点睛】本题主要考

查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.15.在ABC中,,,abc是角,,ABC所对的边长,若sin:sin:sin4:5:6ABC=,则2cosaAc=__________．【答案】1【解

析】分析：根据正弦定理找到三角形中边之间的关系，再利用余弦定理可计算出cosA的值.详解：由正弦定理得sin:sin:sin::4:5:6ABCabc==，又由余弦定理知2222536163cos22564bcaAbc+−+−===，∴2cos2sincossinaAAAcC=sin432co

s21sin64AAC===.点睛：正弦定理为实现“边角互化”提供了依据，而当已知三边比例关系时，则可利用余弦定理求出任何一个内角的余弦值.16.锐角ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，若2()baac=+，则ba的取值范围是________

__.【答案】(2,3)【解析】【分析】由条件结合余弦定理可得2cosacaB=−，然后可得sinsin2sincosACAB=−，然后可得出2BA=，由ABC是锐角三角形求出A的范围，sinsin22cossinsinbBAAAAa===，即可得到答案.【详解】因为222()2cosb

aacacacB=+=+−，所以2cosacaB=−所以sinsin2sincosACAB=−，所以()sinsin2sincosAABAB=+−所以sinsincoscossin2sincosAABA

BAB=+−，所以()sinsinABA=−所以ABA=−或ABA+−=即2BA=或B=（不符合题意，舍去），所以3CA=−因为ABC是锐角三角形，所以0,02,03222AAA−解得64A

，所以()sinsin22cos2,3sinsinbBAAaAA===故答案为：(2,3)【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定

理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设na为等差数

列，nS为数列na的前n项和，已知33S=−，77S=.（1）求数列na的通项公式；（2）设42nanbn=+，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）3nan=−（2）(1)212nnn+−+【解析】【分析】（1）设等差数

列na的公差为d，由条件建立方程组解出1a和d即可；（2）31422nnnbnn−−=+=+，利用等差等比数列的前n项和公式计算即可.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，∵33S=−，77S=，∴11133232177672adad+=−+=，解得121ad=

−=，∴2(1)13nann=−+−=−；（2）由（1）得31422nnnbnn−−=+=+，∴()01112222(123)nnnTbbbn−=+++=++++++++12(1)(1)211222nnnnnn−++=+=−+−.【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差

等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.18.递增等比数列na的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列.（1）求na的首项和公比；（2）设22212nnSaaa=+++，求nS.【答案】（1）2q=；12a=（2）224nnS

+=−【解析】【分析】（1）根据题意利用等比数列的性质，可得35512a=，解出58a=．设公比为q，得328aq=且278aq=，由等差中项的定义建立关于q的方程，解出q的值，进而可得{}na的首项；（2）由（1）得111(2)nnnaaq−+==，从而得到2121[(2)]2nnna+

+==，再利用等比数列的求和公式加以计算，可得求nS的表达式．【详解】（1）根据等比数列的性质，可得33575512aaaa==，解之得58a=.设数列na的公比为q，则328aq=，278aq=，由题设可得()2281892(83)10qq−+−=−=

，解之得22q=或12.∵na是递增数列，可得1q，∴22q=，得2q=.因此451148aaqa===，解得12a=；（2）由（1）得na的通项公式为112(2)(2)nnna−+==，∴212nna+=，∵2122nnaa+=∴

2na是以4为首项，公比等于2的等比数列.因此()2222124122412nnnnSaaa+−=+++==−−.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项与性质、等差中项的定义和等比数列的前n项之和公式等知识，属于中档题．19.

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南2(cos)10=方向300千米的海面P处，并以20千米/时的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60千米，并以10千米/时的速度不断增大，问几个小时后

该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？【答案】12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.【解析】【分析】设经过t小时台风中心移动到Q点时，台风边沿恰好在O城，由题意得，300,20,r()6010OPPQtOQtt====+，2cos,4510a

==−724sin,cos105a==在POQ中，由余弦定理得：2222cosOQOPPQOPPQa=+−.【详解】解：设经过t小时台风中心移动到Q点时，台风边沿恰好在O城，由题意得，300,20,r()6010OPPQtOQtt====+2cos,4

510a==−724sin,cos105a==由余弦定理得：2222cosOQOPPQOPPQa=+−即2224(6010)300(20)230020t5tt+=+−即2362880tt−+=解得，1212

,24tt==2112tt−=答：12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.【点睛】本题主要考查了余弦定理在实际生活中的应用，需熟记定理内容，属于基础题.20.已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为abc，，，且2sinc

oscosaAbCcB=+.（1）求角A的大小；（2）若23bc=+，求coscosBCbc+的最小值.【答案】（1）6A=（2）23−【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求得sinA，得A角；（2）由余弦定理结合基本不等式得1a，由2sincoscos

aAbCcB=+得coscos2sin23BCaAaabcbcbc+===+，从而可得结论．【详解】（1）因为2sincoscosaAbCcB=+，由正弦定理得：22sinsincossincosABCCB=+，即22sinsin()ABC=+，所以22sinsinAA=.又因为ABC为锐角三角形

，有sin0A，所以1sin2A=，则6A=.（2）由2sincoscosaAbCcB=+，得coscos2sin23BCaAaabcbcbc+===+.又由余弦定理得2222cos236abcbcbcbc=+−−(23)1bc=−=，当且仅当b=c等号成立所以

1a.所以coscos2323BCabc+=−+.即coscosBCbc+的最小值为23−.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，解题关键是由正弦定理进行边角转换后快速求得A角．本题属于中档题．21.如图,在平面四边形ABDC中，3,14

ABCABADAB，=⊥=.(Ⅰ)若5AC=,求ABC的面积；(Ⅱ)若46ADCCD==，，求sinCAD.【答案】（1）12（2）25sin5CAD=【解析】分析：(Ⅰ)由余弦定理求出BC，再用公式1sin2SABBCBC=求得面积；(Ⅱ)设CA

D=，在ACD中用正弦定理表示出AC，然后在ABC中把,BACBCA用表示后，再由正弦定理得的等式，从而可求出sin.详解：(Ⅰ)在ABC中，由余弦定理得，2222cosACABBCABBCABC=+−，即2512BCBC=

++，解得BC2=或22−(舍去)，所以ABC的面积1121sin122222ABCSABBCABC===.(Ⅱ)设CADθ=，在ACD中，由正弦定理得，sinsinACCDADCCAD=,即41sin2AC=，

所以2sinAC=.在ACD中，,24BACBCA=−=−，则sinsinACABABCCAD=，即13sinsin44AC=−，即224sincos2sin22−=，整理得sin2cos=.联立221sincos+=，

解得25sin5=，即25sin5CAD=.点睛：在已知两边和一边对角时一般可用正弦定理求出另一边所对角，从而得三角形的第三角及第三边，也可直接利用余弦定理列出关于第三边的方程，解方程得第三边长.22.已知等差

数列na的前n项和为nS，并且11a=，2(1)nnSna=+，数列nb满足：()2nannabnN+=，记数列nb的前n项和为nT.（1）求数列na的通项公式na及前n项和公式nS；（2）求证：122nT.【答案】(1)nan=，(1)2nnn

S+=；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据题意代入2n=即可求得2a，再求出公差，根据等差数列的通项公式与求和公式求解项公式na及前n项和公式nS即可.(2)易得2nnnb=，再根据错位相减法求解nT，进而证明122nT即可.【详解】(

1)设等差数列na的公差为d，则当2n=时，2223Sa=，即()2222132aaa+==.故211daa=−=，故()11nann=+−=.此时(1)2(1)2nnnnSnnS+=+=.故nan=，(1

)2nnnS+=(2)由nan=可得，()2nnnbnN+=，所以2nnnb=故1231...nnnTbbbbb−=++++12311231...22222nnnnnT−−=++++…①234111231...222222nnn

nnT+−=++++…②①-②：23111111...222222nnnnT+=+++−故111111112221112222212nnnnnnnnnT+++−+=−=−−=−−.故222nnnT+=−.因为02nnnb=，故nT随n的

增大而增大，故1112nTTb==.又22nn+>0，故2222nnnT+=−.综上所述，122nT【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解，同时也考查了等差数列求和公式与错位相减求和的方法，属于基础题.