【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》5.4 三角函数的图象与性质 （1） 含答案【高考】.docx，共(9)页，309.771 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第五章三角函数5.4.1正弦函数、余弦函数的图像本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.1正弦函数、余弦函数的图像。本节的主要内容是正弦函数的图象，过去学生已经学

习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦函数y=sinx的图象，为今后正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的

地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。课程目标学科素养1.理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法。2.利用单位圆中的三角函数线作出y=sinx,x∈R的图象，明确函数的图象；根据关系cosx=sin(x+π／2)作出y=co

sx,x∈R的图象。渗透数形结合和化归的数学思想。3.通过作正弦函数与余弦函数的图象，培养认真负责，一丝不苟的学习精神和勇于探索，勤于思考的科学素养。a.数学抽象：由五点作图法；b.逻辑推理：由正弦函数图像得出余弦函数图像；c.数学运算：特殊三角函数的求解；d.直观想象：运

用函数图像分析问题；e.数学建模：正弦函数图像及其变换；教学重点：理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法。-2-教学难点：理解作余弦函数的图象的方法。多媒体-3-教学过程设计意图核心教学素养目标-4

-（一）创设问题情境下面先研究函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈R的图象，从画函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈［０，２π］的图象开始．在［０，２π］上任取一个值𝑥0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值𝑠𝑖𝑛𝑥0并画出

点T（𝑥0，𝑠𝑖𝑛𝑥0）？（二）问题探究如图5.4.1，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A（１，０）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转𝑥0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标𝑦0=𝑠𝑖

𝑛𝑥0．由此，以𝑥0为横坐标，𝑦0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（𝑥0，𝑠𝑖𝑛𝑥0）.若把x轴上从０到２π这一段分成１２等份，使𝑥0的值分别为0,𝜋6,𝜋3,𝜋2,…2π，它们所对应的角的终边与单位圆的

交点将圆周12等分，再按上述画点T（𝑥0，𝑠𝑖𝑛𝑥0）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图5.4.2）．事实上，利用信息技术，可使𝑥0在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T（𝑥0，𝑠𝑖𝑛𝑥0）,将这些点用光滑的曲线连接起来，

可得到比较精确的函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈［0,2π］的图象.通过对三角函数定义的回顾，提出新的问题，提出运用三角函数定义做正弦函数图像的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。-5-根据函数𝑦=𝑠𝑖𝑛�

�，𝑥∈［0,2π］的图象，你能想象函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈R的图象吗？由诱导公式一可知，函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈［２kπ，２（k＋１）π］，k∈Z且k≠０的图象与𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈［0,

2π］的图象形状完全一致．因此将函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈R的图象（图5.4.4）．正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲

线．思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？观察图5.4.3，在函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈［0,2π］的图象上，以下五个点：(0,0)，(𝜋2，1)，(𝜋，0)(3𝜋2，−1)，（2𝜋，0）在

确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种近似的“五点（画图）法”是非

常实用的．由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象．思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？对于函数𝑦=𝑐𝑜𝑠�

�，由诱导公式𝑐𝑜𝑠𝑥=sin⁡(𝑥+𝜋2)得，𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥=sin(𝑥+𝜋2),𝑥∈R．而函数𝑦=sin(𝑥+𝜋2),𝑥∈R的图象可以通过正弦函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥

∈R通过对正弦函数图像的分析，归纳总结五点作图法，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对正弦函数图像，推导出余弦函数图像的方法，发展学生，逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算-6-的图象向左平移𝜋2个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移𝜋2个单位长度，就

得到余弦函数的图象，如图5.4.5所示．你能说明理由吗？余弦函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑥∈R的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦

函数在区间［－π，π］上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表5.4.1，然后画出𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑥∈［－π，π］的简图（三）典例解析例1、用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝-cosx，x∈[0,2π].【精彩点拨】在[0,2

π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可．在直角坐标系中描出五点，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象．x0π2π3π22πsinx010－101＋sinx12101【解析】(1)列表

：(2)列表：x0π2π32π2πcosx10－101-cosx-1010-1等核心素养；通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；-7-描点连线，如图你能利用函数y＝sinx，x∈[0,2π]的

图象，通过图象变换得到y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cosx，x∈[0,2π]图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-cosx，x∈[0,2π]的图象？方法与规律1．“五点

法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点与x轴的交点．2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点．三、当堂达标1．以下对于正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是()A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形

状相同，只是位置不同B．关于x轴对称C．介于直线y＝1和y＝－1之间D．与y轴仅有一个交点【解析】观察y＝sinx的图象可知A，C，D正确，且关于原点中心对称，故选B.【答案】B2．用“五点法”作函数y＝cos2x，x∈R的图象时，首

先应描出的五个点的横坐标是()A．0，π2，π，3π2，2πB．0，π4，π2，3π4，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π2，2π3【解析】令2x＝0，π2，π，3π2和2π，得x＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.【答案】B通过练习巩

固本节所学知识，巩固对正余弦函图像的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。-8-3．点Mπ2，－m在函数y＝sinx的图象上，则m等于()A．0B．1C．－1D．2【解析】由题

意－m＝sinπ2，∴－m＝1，∴m＝－1.【答案】C4．函数y＝cosx与函数y＝－cosx的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【解析】作出函数y＝cosx与函数y＝－cosx的简图(略)，易

知它们关于x轴对称，故选C.【答案】C5．方程x2－cosx＝0的实数解的个数是__________．【解析】作函数y＝cosx与y＝x2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解．【答案】26．用“五点法”画出y＝cos7π

2－x，x∈[0,2π]的简图．【解】由诱导公式得y＝cos7π2－x＝－sinx，(1)列表：x0π2π3π22π－sinx0－1010(2)描点：在坐标系内描出点(0,0)，π2，－1，(π，0)，3π2，1，(2π，0)．(3)作图

：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来．-9-四、小结1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.五、作业

1.课时练2.预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；