【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》5.4 三角函数的图象与性质 含答案【高考】.pdf,共(9)页,1.367 MB,由小赞的店铺上传
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-1-第五章三角函数5.4.2正弦函数、余弦函数的性质本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本(A版)》第五章的5.4.2正弦函数、余弦函数的性质。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象,由先前学习函数的经验,通过函数图像,观察总结函数性质,并应用函数性质解决问题。是学
生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发,本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.2.掌握y=s
inx(x∈R),y=cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.3.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期,单调区间及最值.4.通过作正弦函数与余弦函数的性质探究,培养学生
数形结合和类比的思想方法。a.数学抽象:函数性质的总结;b.逻辑推理:由正余弦函数性质解决y=Asin(ωx+φ)的性质;c.数学运算:运用函数性质解决问题;d.直观想象:运用函数图像归纳函数性质;e.数学建模:正余弦函数
的性质及应用;教学重点:y=sinx(x∈R),y=cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.教学难点:会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期,单调区间及最值.多媒体-
2-教学过程设计意图核心教学素养目标(一)创设问题情境提出问题类比以往对函数性质的研究,你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质?观察它们的图象,你能发现它们具有哪些性质?问题探究根据研究函数的经验,我们要研究正弦
函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小)值等.另外,三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型,与此对应的性质是特别而重要的.观察正弦函数的图象,可以发现,在图象上,横坐标每隔2π个单位长度,就会出现
纵坐标相同的点,这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.实际上,这一点既可从定义中看出,也能从诱导公式sin���+2���π=������������(k∈Z)中得到反映,即自变量���的值增加2π整数倍时所对应的函数值,与���所对应的函数值相等.数学上,用周期性这个概念来定量地刻
画这种“周而复始”的变化规律.(二)问题探究1.周期性一般地,对于函数������,如果存在一个非零常数T,使得当���取定义域内的每一个值时,都有������+���=������那么函数������就叫做周期函数(per
iodicfunction).非零常数T叫做这个函数的周期(period).周期函数的周期不止一个.例如,2π,4π,6π,…以及-2π,-4π,-6π,…都是正弦函数的周期.事实上∀���∈���,且���≠0,常数2������都是它的周期.如果
在周期函数������的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做������的最小正周期(minimalpositiveperiod).根据上述定义,我们有:正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它
的周期,最小正周期是2π.类似地,余弦函数也是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.典例解析通过对函数学习的回顾,提出研究正弦与余弦函数性质的方法,培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。-3-例2.求下列三角函数的周期:(1)y=3sinx,x∈R;(2)y
=cos2x,x∈R;(3)���=2sin12���−���6,x∈R;分析:通常可以利用三角函数的周期性,通过代数变形,得出等式������+���=������而求出相应的周期.对于(2),应从余弦函数的
周期性出发,通过代数变形得出cos2(x+T)=cos2x,x∈R;对于(3),应从正弦函数的周期性出发,通过代数变形得出sin12(���+���)−���6=sin12���−���6,x∈R;【解】(1)xR"Î,有3sin(x
+π)=3sinx,由周期函数的定义知,y=3sinx的周期为2π.(2)令2zx=,由xRÎ,得zRÎ,且cosyz=的周期为2π.即因为cos(z+2π)=cosz,于是cos(2x+2π)=cos2x,所以cos2(x+π)=cos2x,xRÎ由周期函
数的定义知,y=cos2x的周期为π.令���=12���−���6,由���∈���得Z∈���且���=2������������的周期为即周期为2π.即,2������������+2π=2������������,于是,2���������12���−���6+2π=2���������
(12���−���6)所以,2���������12(���+4π)−���6=2���������(12���−���6)由周期函数的定义知,原函数的周期为4π.回顾例2的解答过程,你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗?归纳总结
求三角函数周期的方法:(1)定义法:即利用周期函数的定义求解.(2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A≠0,ω≠0)的函数,T=2π|ω|.(3)图象
法:即通过观察函数图象求其周期.2.奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线,可以看到正弦曲线关于原点犗对称,余弦曲线关于x轴对称.这个事实,也可由诱导公式通过对正弦函数图像的分析,归纳总结周期性、奇偶性、单调性
和最值,发展学生,直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养;-4-sin−���=−sin���;���������−���=cos���得到.所以正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.知道一个函数具有周期性和奇偶性,对研究它的图象与性质有什么帮助?做一做1.(1)函数f(x)=2sin2x的
奇偶性为()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数(2)判断函数f(x)=sin34x+3π2的奇偶性.【答案】A【解析】(1)∵f(x)的定义域是R,且f(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-f
(x),∴函数为奇函数.(2)∵f(x)=sin34x+3π2=-cos34x,∴f(-x)=-cos-34x=-cos34x,∴函数f(x)=sin34x+3π2为偶函数.归纳总结1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面:一看函数的定义域是否关于原点对称;二看f(x)与f(-x)的关系.2.
对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.3.单调性由于正弦函数是周期函数,我们可以先在它的一个周期的区间(如[-���2,3���2])上讨论它的单调性,再利用它的周期性,将单调性扩展到整个定义域.观察图5.4-8,可以看到:当���由-���2增大到���2时,曲线
逐渐上升,������������的值由-1增大到1;当���由���2增大到3���2时,曲线逐渐下降,������������的值由1减小到-1.通过对正弦函数图像的分析,归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值,发展学生,直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养
;-5-������������的值的变化情况如表5.4.2所示:就是说,正弦函数���=������������在区间[-���2,���2]上单调递增,在区间[���2,3���2]上单调递减,有正弦函
数的周期性可得;正弦函数在每一个闭区间[-���2+2������,���2+2������](k∈Z)上都单调递增,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[���2+2������,3���2+2������](k∈Z)上都单调递减,其值从1减小到-1.类似地,观察余弦函数在一个周期区
间(如[-���,���])上函数值的变化规律,将看到的函数值的变化情况填入表5.4.3由此可得,余弦函数���=������������,���∈[−���,���],在区间上单调递增,其值从-1增大到
1;上单调递增,在区间上单调递减,其值从1减小到-1.由余弦函数的周期性可得,余弦函数在每一个闭区间,上都单调递增,其值从-1增大到1;在每一个闭区间,上都单调递减,其值从1减小到-1.函数名递增区间递减区间-6-y=sinx[2,2]22kk3[2,2]22kky=co
sx[(21),2]kk[2,(21)]()kkkz4.最大值与最小值从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到,正弦函数当且仅当���=时,取得最大值1,当且仅当���=时,取得最小值-1;余弦函数当且仅当���
=时,取得最大值1,当且仅当���=时,取得最小值-1.例3.下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时自变量���的集合,并求出最大值、最小值.(1)���=������������+1,���∈R;(2)y=−3sin2���,���∈R.解:容易知道,这两个函数都有最大
值、最小值.(1)使函数���=������������+1,���∈R取得最大值的���的集合,就是使函数���=������������,���∈R,取得最大值的���的集合{���|���=2kπ,k∈Z};使函数��
�=������������+1,���∈R,取得最小值的狓的集合,就是使函数���=������������,���∈R取得最小值的���的集合{���|���=(2k+1)π,k∈Z}.函数���=������������+1,���∈R的最大
值是1+1=2;最小值是-1+1=0.(2)解:令z=2���,使函数)y=−3sin2���,z∈R取得最大值的z的集合,就是使y=sinz,z∈R取得最小值的z的集合{z|���=-���2+2kπ,k∈Z}由z=2���=-���2+2kπ,得���=-���4+kπ.所以,使
函数y=−3sin2���,���∈R取得最大值的���的集合是{���|���=-���4+kπ,k∈Z}.同理,使函数y=−3sin2���,���∈R取得最小值的���的集合是{���|���=���4+
kπ,k∈Z}.通过对典型问题的分析解决,提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理,直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养;-7-函数y=−3sin2���,���∈R的最大值是3,最小值是-3.例4.不通过求值,指出下列各式的大小:(1)���������(−������
���);���������(−���������)分析:可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此,先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.解:(1)因为-������<���������<−���������<���,正弦函
数y=sinx在[-π2,π2]上是增函数,所以���������−���������<���������(−���������)(2)cos(−������������);cos(−������������)解
:cos−������������=cos������������=cos���������;cos−������������=cos������������=cos������因为���<������<������
���<���,且余弦函数y=cosx在[0,π]上单调递减,所以cos3���5>cos���4;即cos(−������������)>cos−������������例5.求函数���=���������(���������+������),�
��∈[-2π,2π]的单调递增区间.分析:令���=���������+������当自变量���的值增大时,���的值也随之增大,因此若函数���=������������在某个区间上单调递增,则���=���������
(���������+������)在相应的区间上也一定单调递增.解:令���=���������+������,���∈[-2π,2π],则���∈−���������,���������因为���=������������,���∈−���������,���������的单调递
增区间是���∈−������,������,且由−������≤���������+������≤������,得−���������≤���≤������.所以,函数���=���������(���������+������),,���
∈[-2π,2π]的单调递增区间是−���������,������三、当堂达标1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若sin(60°+60°)=sin60°,则60°为正弦函数y=sinx的一个周期.()通过练习巩固本节所学知识,巩-8-(2)若T是函数f
(x)的周期,则kT,k∈N*也是函数f(x)的周期.()(3)函数y=sinx,x∈(-π,π]是奇函数.()1.【解析】(1)×.举反例,sin(40°+60°)≠sin40°,所以60°不是正弦函数y=sinx的一个周期.(2)√.根据周期函数的定义知,该说法正确.(3)
×.因为定义域不关于原点对称.【答案】(1)×(2)√(3)×2.函数f(x)=3sinx2-π4,x∈R的最小正周期为()A.π2B.πC.2πD.4π2.【解析】因为3sin12x+4π-π4=3sin1
2x-π4+2π=3sin12x-π4,即f(x+4π)=f(x),所以函数f(x)的最小正周期为4π.【答案】D3.函数f(x)=sinx+π6的一个递减区间是()A.-π2,π2B.[-π,0]C.-23π,23πD.π2,23π3.【解析】令x+π6∈π2
+2kπ,32π+2kπ,k∈Z,得x∈π3+2kπ,43π+2kπ,k∈Z,k=0时,区间π3,4π3是函数f(x)的一个单调递减区间,而π2,23π⊆π3,4π3.故选D.【答案】D4.比较下列各组
数的大小:(1)cos150°与cos170°;(2)sinπ5与sin-7π5.4.【解】(1)因为90°<150°<170°<180°,函数y=cosx在区间[90°,180°]上是减函数,所以cos150°>cos170°.(2)sin-7π
5=sin-2π+3π5=sin3π5=sinπ-2π5=sin2π5.因为0<π5<2π5<π2,函数y=sinx在区间0,π2上是增函数,所以sinπ5<sin2π5,即sinπ5<sin-7π5.固对正余弦函性质的理解,增强学生的直观想象、数学抽象、
数学运算、逻辑推理的核心素养。-9-四、小结1.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性2.求函数的单调区间:(1).直接利用相关性质;(2)复合函数的单调性;(3)利用图象寻找单调区间五、作业1.课时练2.预习下节课内容学生根据课堂学习,自主总结
知识要点,及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点;