【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》5.4 三角函数的图象与性质 含答案【高考】.docx，共(10)页，177.917 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第五章三角函数5.4.2正弦函数、余弦函数的性质本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.2正弦函数、余弦函数的性质。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象，由先前学习函数的经验，通过函数图像，观察总结函

数性质，并应用函数性质解决问题。是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义．2.掌握y＝sinx

(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．4.通过作正弦函数与余弦函数的性质探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。a.数学抽象：函数性质的总

结；b.逻辑推理：由正余弦函数性质解决y＝Asin(ωx＋φ)的性质；c.数学运算：运用函数性质解决问题；d.直观想象：运用函数图像归纳函数性质；e.数学建模：正余弦函数的性质及应用；教学重点：y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性

和最值．教学难点：会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值．多媒体-2-教学过程设计意图核心教学素养目标-3-（一）创设问题情境提出问题类比以往对函数性质的研究，你认为

应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？问题探究根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的．观察正弦函数的图象，可以

发现，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式sin(𝑥+2𝑘π)=𝑠𝑖𝑛𝑥（k∈Z）中得到反映，即自变量𝑥的值增加2π整数倍时所对应的函

数值，与𝑥所对应的函数值相等．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．（二）问题探究1.周期性一般地，对于函数𝑓(𝑥),如果存在一个非零常数T，使得当𝑥取定义域内的每一个值时，都有𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥)那么

函数𝑓(𝑥)就叫做周期函数（periodicfunction）．非零常数T叫做这个函数的周期（period）．周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上∀𝑘∈𝑍，且𝑘≠０，常数2𝑘𝜋都是它的周期．如果在周期函数𝑓(𝑥

)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做𝑓(𝑥)的最小正周期（minimalpositiveperiod）．根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函

数也是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．典例解析例2．求下列三角函数的周期：(1)y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos2x，x∈R；（3）𝑦=2sin(12𝑥−𝜋6),

x∈R;通过对函数学习的回顾，提出研究正弦与余弦函数性质的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。通过对正弦-4-分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式𝑓(𝑥+𝑇)=𝑓(𝑥)而求出相应的周期．对于（２），应从余弦函数的周期性出发，

通过代数变形得出cos2(x+T)=cos2x，x∈R；对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin(12(𝑥+𝑇)−𝜋6)=sin(12𝑥−𝜋6),x∈R；【解】(1)xR"?，有3

sin(x＋π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.(2)令2zx=，由xRÎ，得zRÎ，且cosyz=的周期为2π.即因为cos(z＋2π)＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos2x，所以cos2(x＋π)＝cos2x，xRÎ由周期函数的定义知，y＝cos

2x的周期为π.令𝑧=12𝑥−𝜋6,由𝑥∈𝑅得Z∈𝑅且𝑦=2𝑠𝑖𝑛𝑧的周期为即周期为2π.即，2𝑠𝑖𝑛(𝑧+2π)=2𝑠𝑖𝑛𝑧,于是，2𝑠𝑖𝑛(12𝑥−𝜋6+2π)=2𝑠𝑖𝑛（12𝑥−𝜋6）所以，2𝑠𝑖

𝑛(12（𝑥+4π）−𝜋6)=2𝑠𝑖𝑛（12𝑥−𝜋6）由周期函数的定义知，原函数的周期为4π.回顾例２的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？归纳总结求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．(2)公式法：对形如y＝As

in(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2π|ω|.(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．2.奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点犗对称，余弦曲线关于x轴对称．这个事实，也可由诱导公式sin(−𝑥)=−sin𝑥；𝑐𝑜�

�(−𝑥)=cos𝑥得到．所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；-5-知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与

性质有什么帮助?做一做1．(1)函数f(x)＝2sin2x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数(2)判断函数f(x)＝sin34x＋3π2的奇偶性．【答案】

A【解析】(1)∵f(x)的定义域是R，且f(－x)＝2sin2(－x)＝－2sin2x＝－f(x)，∴函数为奇函数．(2)∵f(x)＝sin34x＋3π2＝－cos34x，∴f(－x)＝－cos－34x＝－cos34x，∴函数f

(x)＝sin34x＋3π2为偶函数.归纳总结1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．3.单调性由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区

间（如[-𝜋2,3𝜋2]）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域．观察图5.4-8，可以看到：当𝑥由-𝜋2增大到𝜋2时，曲线逐渐上升，𝑠𝑖𝑛𝑥的值由-1增大到1；当

𝑥由𝜋2增大到3𝜋2时，曲线逐渐下降，𝑠𝑖𝑛𝑥的值由1减小到-1．通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；-6-𝑠𝑖𝑛𝑥的值的变化情况如表5.4

.2所示：就是说，正弦函数𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥在区间[-𝜋2,𝜋2]上单调递增，在区间[𝜋2,3𝜋2]上单调递减，有正弦函数的周期性可得；正弦函数在每一个闭区间[-𝜋2+2𝑘𝜋,𝜋2+2𝑘𝜋]（k∈Z）上都单调递增,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[�

�2+2𝑘𝜋,3𝜋2+2𝑘𝜋]（k∈Z）上都单调递减,其值从1减小到-1．类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如[-𝜋,𝜋]）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表5.4.3由此可得，余弦函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥,𝑥∈[−𝜋,

𝜋],在区间上单调递增，其值从-1增大到1；上单调递增，在区间上单调递减，其值从1减小到-1．由余弦函数的周期性可得，余弦函数在每一个闭区间,上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间,上都单调递减，其值从1减小到-1．函数名递增区间递减区间y=sinx[2,2]22kk−++

3[2,2]22kk++-7-y=cosx[(21),2]kk−[2,(21)]()kkkz+４.最大值与最小值从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，正弦函数当且仅当𝑥＝时,取得最大值１，当且仅当𝑥＝时,取得最小值－１；余弦函数

当且仅当𝑥＝时,取得最大值１，当且仅当𝑥＝时,取得最小值－１．例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量𝑥的集合，并求出最大值、最小值．（１）𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥+1，𝑥∈R；（２）y=−3sin2𝑥，𝑥∈R．解：容易知道，这两个函数都有最

大值、最小值．（１）使函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥+1，𝑥∈R取得最大值的𝑥的集合，就是使函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑥∈R，取得最大值的𝑥的集合｛𝑥｜𝑥＝2kπ，k∈Z｝；使函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥+1，𝑥∈R，取得最小值的

狓的集合，就是使函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑥∈R取得最小值的𝑥的集合｛𝑥｜𝑥＝（2k+1）π，k∈Z｝．函数𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥+1，𝑥∈R的最大值是１＋１＝２；最小值是－１＋１＝０．(2)解：令z＝2𝑥，使函数）y=−3sin2𝑥，z∈R取得最大值的z的集合

，就是使y=sinz，z∈R取得最小值的z的集合｛z｜𝑧＝-𝜋2+2kπ，k∈Z｝由z＝2𝑥＝-𝜋2+2kπ，得𝑥＝-𝜋4+kπ．所以，使函数y=−3sin2𝑥，𝑥∈R取得最大值的𝑥的集合是｛𝑥｜𝑥＝-𝜋4+kπ,k∈Z｝．同理，使函数y=−3s

in2𝑥，𝑥∈R取得最小值的𝑥的集合是｛𝑥｜𝑥＝𝜋4+kπ,k∈Z｝．函数y=−3sin2𝑥，𝑥∈R的最大值是３，最小值是－３．例4.不通过求值，指出下列各式的大小：通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、

逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；-8-(1)𝒔𝒊𝒏(−𝝅𝟏𝟖);𝒔𝒊𝒏(−𝝅𝟏𝟎)分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，

然后再比较大小．解：（１）因为-𝝅𝟐<𝝅𝟏𝟎<−𝝅𝟏𝟖<𝟎，正弦函数y=sinx在[-π2,π2]上是增函数，所以𝒔𝒊𝒏(−𝝅𝟏𝟖)<𝒔𝒊𝒏(−𝝅𝟏𝟎)(2)cos(−𝟐𝟑𝝅

𝟓);cos(−𝟏𝟕𝝅𝟒)解：cos(−𝟐𝟑𝝅𝟓)=cos(𝟐𝟑𝝅𝟓)=cos𝟑𝝅𝟓；cos(−𝟏𝟕𝝅𝟒)=cos(𝟏𝟕𝝅𝟒)=cos𝝅𝟒因为𝟎<𝝅𝟒<𝟑𝝅𝟓<𝝅，且余弦函数

y=cosx在[0,π]上单调递减，所以cos3𝜋5>cos𝜋4；即cos(−𝟏𝟕𝝅𝟒)>cos(−𝟐𝟑𝝅𝟓)例5.求函数𝒚=𝒔𝒊𝒏(𝟏𝟐𝒙+𝝅𝟑),𝒙∈［－２π，２π］的单调递增区

间．分析：令𝒛=𝟏𝟐𝒙+𝝅𝟑当自变量𝒙的值增大时，𝒛的值也随之增大，因此若函数𝒚=𝒔𝒊𝒏𝒛在某个区间上单调递增，则𝒚=𝒔𝒊𝒏(𝟏𝟐𝒙+𝝅𝟑)在相应的区间上也一定单调递增．解：令𝒛=𝟏𝟐𝒙+𝝅

𝟑，𝒙∈［-２π，２π］，则𝒛∈[−𝟐𝝅𝟑,𝟒𝝅𝟑]因为𝒚=𝒔𝒊𝒏𝒛，𝒛∈[−𝟐𝝅𝟑,𝟒𝝅𝟑]的单调递增区间是𝒛∈[−𝝅𝟐,𝝅𝟐]，且由−𝝅𝟐≤𝟏𝟐𝒙+𝝅𝟑≤𝝅𝟐，得−𝟓𝝅𝟑≤𝒙≤𝝅𝟑．所以，函数𝒚=𝒔𝒊𝒏(

𝟏𝟐𝒙+𝝅𝟑),，𝒙∈［-２π，２π］的单调递增区间是[−𝟓𝝅𝟑,𝝅𝟑]三、当堂达标1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sin(60°＋60°)＝sin60°，则60°为正弦函数y＝sinx的一个周期．()(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是

函数f(x)的周期．()(3)函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．()通过练习巩固本节所学知识，巩固对正余弦函性质的理解，增强-9-1．【解析】(1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin40°，所以60°不是正弦函数y＝sinx的一个周期．(2)√.根据周

期函数的定义知，该说法正确．(3)×.因为定义域不关于原点对称．【答案】(1)×(2)√(3)×2.函数f(x)＝3sinx2－π4，x∈R的最小正周期为()A.π2B．πC．2πD．4π2.【解析】因为3sin12x

＋4π－π4＝3sin12x－π4＋2π＝3sin12x－π4，即f(x＋4π)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4π.【答案】D3.函数f(x)＝sinx＋π6的一个递减区间是()A.－π2，π2B．[－

π，0]C.－23π，23πD.π2，23π3.【解析】令x＋π6∈π2＋2kπ，32π＋2kπ，k∈Z，得x∈π3＋2kπ，43π＋2kπ，k∈Z，k＝0时，区间π3，4π3是函数f(x)的一个单调递

减区间，而π2，23π⊆π3，4π3.故选D.【答案】D4．比较下列各组数的大小：(1)cos150°与cos170°；(2)sinπ5与sin－7π5.4．【解】(1)因为9

0°<150°<170°<180°，函数y＝cosx在区间[90°，180°]上是减函数，所以cos150°>cos170°.(2)sin－7π5＝sin－2π＋3π5＝sin3π5＝sinπ－2π5＝sin2π5

.因为0<π5<2π5<π2，函数y＝sinx在区间0，π2上是增函数，所以sinπ5<sin2π5，即sinπ5<sin－7π5.学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。四、小结1.

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性2.求函数的单调区间：学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在-10-（1）.直接利用相关性质；（2）复合函数的单调性；（3）利用图象寻找单调区间五、作业1.课时练2.预习下节课内容学习中的易错点；