【文档说明】天津市南开区南大奥宇培训学校2020届高三下学期第三次月考数学试卷【精准解析】.doc，共(21)页，1.771 MB，由小赞的店铺上传

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2020届南大奥宇第三次月考数学试卷温馨提示，本试卷分为I卷和II卷，I卷40分，II卷110分.请在规定的时间内将I卷和II卷的答案填写在答题卡上，写在试卷上的答案无效.本场考试时间为120分钟，满分150分.祝同学们考试顺利

.第I卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z满足(34i)25iz−+=，其中i为虚数单位，则z=（）A.43i−B.34i+C.53i−+D.43i+【答案】D【解析】【分析

】由复数的除法求出z，进而可求得结果.【详解】因为(34i)25iz−+=，所以()()()25i34i25i4334i34i34izi−−===−−+−+−−，所以43zi=+，故选：D.2.“直线10axy+−=的倾斜角大于π4”是“1a−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.

充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由已知求得1a−或>0a，再由充分必要条件的定义可得选项．【详解】∵直线10axy+−=的倾斜角大于4，∴>1a−,或0a−，∴1a−或>0a，∴“直线10axy+−=的倾斜角大于4”是“1a−”的必要不充

分条件，故选：B．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既

不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含．3.设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（）A.a＜c＜bB.b＜c＜aC.a＜b＜cD.b＜a＜c【答案】D【解析】【分析】【详解】∵a＝log54＜log55＝1，b＝（lo

g53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大单调增，所以又因为所以b<a所以b<a<c.故选D．4.设抛物线28yx=上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是()A.6B.4C.8D.12【答案】A【解析】试题分析：由抛

物线28yx=知，点P到y轴的距离是4，那么P到抛物线准线距离为6，又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”，所以点P到该抛物线的焦点的距离是6，故选A．考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质．点评：简单题，涉及抛物线上的到焦点距离问题，一般要考虑应用抛物线定义“到

准线距离与到焦点距离相等”．5.设函数()lg(1)fxx=−，则函数(())ffx的定义域为（）A.(9,)−+B.(9,1)−C.[9,)−+D.[9,1)−【答案】B【解析】分析：先列出满足

条件的不等式，()1x0,1lg1x0−−−，再求解集．详解：复合函数()()ffx的定义域满足1x0−且()1fx0−，即是()1x0,1lg1x0−−−，解得()x9,1−，故选B点睛：在抽象函数中，若已知()fx的定义域

()xa,b，那么复合函数(())fgx的定义域指的是()gxa,b（）关于x的解集．若已知复合函数(())fgx的定义域()xa,b，()gx的值域为()fx的定义域．6.已知数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且

a1＝12，那么a5＝（）A.132B.116C.14D.12【答案】A【解析】【分析】根据递推关系式求出数列的第2、3项，即可求出5a.【详解】因为数列{an}满足：∀m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝12，所以a2＝a1a1＝1

4，a3＝a1·a2＝18.那么a5＝a3·a2＝132.故选：A【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，由递推关系求数列的项，属于中档题.7.已知函数()22sincos23sin3222fxxxx=+−（0）的图象与x轴的两个

相邻交点的距离等于π2，若将函数()yfx=的图象向左平移π6个单位得到函数()ygx=的图象，则()ygx=是减函数的区间为（）A.()π,03−B.ππ(,)44−C.(0,π3)D.ππ(,)43【答案】D【解析】【分析】首先对()fx的表达式进行化简，再根据()

fx的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于π2，求出()fx的周期，进而求出的值；然后再求出()gx的解析式，进而求出其单调递减区间，然后再结合选项得出答案即可.【详解】解：因为()fx的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于π2，()22sincos23sin3sin

3cos2sin()2223fxxxxxxx=+−=−=−（0），所以()fx的周期为22T==，又因为2T=，所以2=；所以()2sin2()2sin263gxxx=+−=，

所以()gx的单调递减区间为：3(,)()44kkkZ++，所以ππ(,)43为()gx的一个减区间；故选：D.【点睛】本题主要考查正余弦函数的二倍角公式，三角函数的平移以及单调区间的求解；解题的方法是根据正弦函数的图像性质求出()fx的表达

式，然后再求出()gx的表达式和单调递减区间，进而得出答案；解题的关键点是参数的求解和函数()gx的表达式及单调递减区间的求解；本题还考查了学生的运算求解能力，属于基础题型.8.设1F，2F为双曲线221169xy−=的左、右焦点，以12FF为直径的圆与

双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M，N，则1112FNFMFF−的值（）A.54B.52C.45D.25【答案】C【解析】【分析】根据题意得到12FF两点的坐标，再根据双曲线的性质分别得到11FNFM−和12FF的值，进而求得答案.【详解】解：由题意知：12(5,0),(5,0)FF

−，128FNNF−=，由双曲线的对称性得到12FMNF=；118FNFM−=；则111284105FNFMFF−==；故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的性质和应用；解题的方法是数形结合，分别求出11FNFM−和12FF的值，然后运算求解；解题的关键点是根

据双曲线的对称性，得到1FMNA=，进而求得11FNFM−的值；本题还考查了学生运算求解能力，属于基础题型.9.如图，在边长为2的正三角形ABC中，D，E分别为边BC，CA上的动点，且满足CEmBD=（m为定常数，且(0,1m），若ADDE的最大值为34−，则m=（）A.12B.32

C.45D.14【答案】A【解析】【分析】以BC中点为坐标原点O，OC方向为x轴正方向，OA方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，设BDtBC=，其中01t，根据题中条件，表示出ADDE，结合二次函数最值

，即可求出结果.【详解】解：以BC中点为坐标原点O，OC方向为x轴正方向，OA方向为y轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系，因为正三角形ABC边长为2，所以(1,0)B−，(1,0)C，(0,3)A，则(2,0)BC

=，(1,3)CA=−，因为D为边BC上的动点，所以设BDtBC=，其中01t，则(2,0)BDt=，所以(21,0)Dt−；又CEmBDtmBC==，所以(,3)CEtmCAtmtm==−，因此(1,3)Etmtm−，所以(21,3)ADt=−−，(22,3)DEtm

ttm=−−，故2(21)(22)32(2)2(3)2ADDEttmttmmtmt=−−−−=−++−−2223332(2)22(2)222424mmmmttmtmmm−−−=−+−−=−+−−−+++()223

101222424mmmmtmm−−+=−+−+++，因为(0,1m，所以31513,2422434mmm−=−+++，又01t，所以当且仅当324mtm−=+时，ADDE取得最大值，即21013244mmm−+

=−+，整理得221780mm−+=，解得12m=或8m=（舍）；故选：A.【点睛】本题主要考查由向量数量积求参数；解题方法是建立直角坐标系，将各向量用坐标表示出来，进行向量数量积坐标运算，最后运用二次函数的性质求解即可；解题的关键点是求出向量AD、DE的坐标，然后对向量积进行坐标运算；本题还考

查了运算求解和构造的能力，属于中等题型.第II卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．10.设全集为R，集合{|13}Axx=−Z，集合1,2B=，则集合()RAB=ð_______

_.【答案】0,3【解析】【分析】首先求出集合A包含的元素，再求出集合RBð所包含的元素，然后再根据交集的定义求出集合()RABð即可.【详解】解：集合{|13}0,1,2,3Axx=−=Z；集合1,2B

=，R|12BxRxx=且ð；()R0,3AB=ð.故答案为：0,3.【点睛】本题主要考查交集的求解、补集的求解等知识点；解题方法是先分别求出集合A和集合RBð所包含的元素，然后根据交集的定义求解即可

；解题的关键点是熟练掌握补集和交集的求解；本题还考查运算求解能力，属于基础题型.11.曲线()3ln1yxx=+在点()1,1处的切线方程为________.【答案】43yx=−【解析】【分析】求函数()3ln1yxx=+的导数，令1x=，可得在(

)1,1处切线斜率，再利用点斜式求切线方程.【详解】由()3ln1yxx=+，得33ln13ln4yxxxx=++=+，令1x=，得4ky==，又直线过()1,1，故直线方程为14(1)yx−=−，即43yx=−，故答案为

：43yx=−.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是

曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.12.已知,abR，函数()()()2fxxaxb=−+为偶函数，且在(0,)+上是减函数，则2ab−=________；关于x的不等式()2

0fx−的解集为________.【答案】(1).0(2).()0,4【解析】【分析】由函数()()()2fxxaxb=−+为偶函数，可求出,ab的关系，再根据函数在(0,)+的单调性可得出a的符号，即可得出答案.【详解】由()()()()2222fxxaxbaxba

xb=−+=+−−为偶函数，则20ba−=，即2ba=，所以()()()224fxxaxbaxa=−+=−，由()fx在(0,)+上单调递减，则0a，所以()()()()222440fxaxaaxx−=−−=−−，解得04x，所以不等式()20fx−的解集为：()0,4

故答案为：①0；②()0,4.【点睛】方法点睛：本题考查二次函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，关键点是一元二次函数为偶函数时一次项系数为零，考查了函数与方程、数形结合思想，属于中档题.13.圆心在直线20xy−=上的圆C与x轴的正半轴相切，圆C截y轴所得

的弦的长23，则圆C的标准方程为______.【答案】()()22124xy−+−=【解析】【分析】由题画出大致图像，设圆心为(),2,2aara=，结合圆的几何性质由勾股定理可得()22232aa+=，即可求解【详解】如图，设圆心为(),2,2aara=

，由圆的几何性质可得()22232aa+=，解得1a=，则圆的标准方程为：()()22124xy−+−=故答案为：()()22124xy−+−=【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，属于基础题14.若存在实数[1,)x+，使40xax−

+−成立，则实数a的取值范围是________.【答案】2,4−【解析】【分析】根据绝对值的性质，分类讨论，结合存在的定义、构造函数进行求解即可.【详解】由40xax−+−，可得4xax−−，显然当(4,)x+时，不等式恒不成立

，因此[1,4]x，由2224()(4)(82)160xaxxaxaxa−−−−−+−，因此问题转化为：存在实数[1,4]x，2(82)160axa−+−成立，设2()(82)16fxaxa=−+−，当820a−时，即4a时

，只需2(1)08216024faaa−+−−，所以24a−；当820a−时，即4a时，只需22(82)4160(4)04aaaa−+−−=，而4a，故舍去，综上所述：24a−故答

案为：2,4−15.已知函数22,(),xxafxxxa=…若()fx是单调函数，则实数a的取值范围是_________；若存在实数b，使函数()()gxfxb=−有三个零点，则实数a的取值范围是________.【答案】(1).[2,4](2).(,0)−【解析】【分析】根

据分段函数在定义域上单调递增，即可得到0a且22aa，再数形结合法求出实数a的取值范围，函数()()gxfxb=−有三个零点等价于函数()yfx=与yb=的图象有三个交点，数形结合即可得解；【详解】解：因为函数2x

y=在定义域内是单调递增函数，所以函数()fx为单调递增函数，所以0a且22aa，在同一坐标系下作出函数2xy=与2yx=的图象，由图可知，实数a的取值范围为[2,4].函数()()gxfxb=−有三个零点等价于函数()yfx=与yb=的图象有三个交点，在同一坐标系下

作出函数()yfx=与yb=的图象，由图可知，当a在y轴的左方时，存在实数b，使得两函数图象有三个交点，所以要使函数()gx有三个零点，实数a的取值范围为(,0)−.故答案为：[2,4]；(,0)−【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答题：本大

题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（16）（本小题满分15分）16.在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且cos3coscosbCaBcB=−(1)求cosB的值;(2)若2BABC

=,且22b=,求a和c的值.【答案】（1）1cos3B=；（2）6ac==．【解析】【分析】【详解】（1）由正弦定理得2sinaRA=，2sinbRB=，2sincRC=又cos3coscosbCaBcB=−，∴sincos3sincossincosBCABCB=−

，即sincossincos3sincosBCCBAB+=，∴()sin3sincosBCAB+=，∴sin3sincosAAB=,又sin0A，∴1cos3B=.(2）由2BABC=uuruuur得cos2acB=，又1cos3B=，∴6.ac=由2222cosb

acacB=+−，22b=,可得2212ac+=，∴()20ac−=，即ac=，∴6ac==．考点：本题主要考查平面向量的数量积，两角和与差的三角函数，正弦定理、余弦定理的应用。点评：典型题，近些年来，将平面向量、三角函数、三角形问题等结

合考查，已成较固定模式。研究三角函数问题时，往往要利用三角公式先行“化一”。本题（2）通过构建a，c的方程组，求得a,c。17.如图，直二面角DABE−−中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AEEB=

，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角BACE−−的大小；（3）求点D到平面ACE的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）6arcsin3；（3）233.【

解析】【分析】要证明AE⊥平面BCE，需要在平面BCE内找两条相交直线都垂直于AE，而易证BF⊥AE，CB⊥AE；(2)求二面角BACE−−的余弦值，需要先作角，连接BD交AC交于G，连接FG，可证得B

GF是二面BACE−−的平面角，在BFG中求解即可；(3)求点D到平面ACE的距离，可以转化为求三棱锥D−ACE的高用等体积法求出即可．【详解】证明：∵BF⊥平面ACE，平面ACE平面BCECE=,∴BFAE⊥

，∵二面角DABE−−为直二面角，∴平面ABCD⊥平面ABE，又BCAB⊥，∴BC⊥平面ABE，∴BCAE⊥，又BF平面BCE，BFBCB=，∴AE⊥平面BCE；(2)连结AC、BD交于G，连结FG，∵ABCD为正方形，∴BDA

C⊥，∵BF⊥平面ACE，∴FGAC^，FGB为二面角BACE−−的平面角，由(1)可知，AE⊥平面BCE，∴AEEB⊥，又AEEB=，2AB=，2AEBE==，在RtBCE中，226CEBCBE=+=，22263BCBEBFCE===，在正方形中，2BG=，在直角

三角形BFG中，263sin32BFFGBBG===，∴二面角BACE−−为6arcsin3；(3)由(2)可知，在正方形ABCD中，BGDG=，D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点

B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离，∴D到平面ACE的距离为22333=.【点睛】思路点睛：：本题考查求证线面垂直，求二面角和体积，解答本题的关键是作出二面角BACE−−的平面角，用定义法求二面角的步骤,一作二证三求解:作出二面角的平面角证明作出的角即为所求二面角的平面

角.（2）将角归结到三角形中，利用余弦定理求解（3）得出答案.18.在等比数列na中，已知12a=，且2a，13aa+，4a成等差数列.（I）求数列na的通项公式na；（II）设数列2nnaa−的前n项和为nS，

求证：1232knkkS=.【答案】（I）2nna=；（II）证明见解析.【解析】【分析】（I）根据等差中项以及等比数列的通项公式可解得结果；（II）分组后利用等比数列的求和公式求出nS，再根据()()1222212

13nnnnnS+=−−131122121nn+=−−−进行裂项求和求出12knkkS=，再放缩可证不等式成立.【详解】（I）设等比数列的公比为q，由已知得：()13242aaaa+=+，即()2311112aa

qaqaq+=+，因为10a，所以222(1)(1)qqq+=+，解得2q=，又∵12a=，∴111222nnnnaaq−−===.（II）由（I）得：2222123123()()nnnSaaaaaaaa=++++−++

++2323(4444)(2222)nn=++++−++++()()4142121412nn−−=−−−()4412223nn−=−+()24222233nn=−+()22223213nn=−+(

)()2221213nn=−−()12(21)213nn+=−−，所以()()122221213nnnnnS+=−−131122121nn+=−−−∴12knkkS=1223341131111111111221212121212121212121nnnn−+=−+

−+−++−+−−−−−−−−−−−131312212n+=−−.【点睛】关键点点睛：第二问根据()()122221213nnnnnS+=−−131122121nn+=−−−进行裂项求和是解

题关键.19.已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的离心率为12，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为22.（I）求椭圆C的方程；（II）若P，Q，M，N为椭圆C上四点，

已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且0PFMF=，求四边形PMQN面积的最小值.【答案】（I）22143xy+=；（II）28849.【解析】【分析】（I）设(),0Fc，则直线l方程为0xyc−−=.，根据O到l的

距离为22，求得c，再由离心率为12求解.（II）易知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点()1,0F，且PQMN⊥，不妨设PQ的斜率为k，再由PQ过点()1,0F，设PQ方程为()1ykx=−，与椭圆方程联立求得PQ，若

0k，则MN的斜率为1k−，可得MN，然后由四边形的面积12SPQMN=求解；若0k=PQ为椭圆长轴，4PQ=，3MN=，易得6S=再比较即可.【详解】（I）设(),0Fc，则直线l方程为0xyc−−=.因为O到l的距离为

222c=，解得1c=.又∵12cea==，∴2a=，3b=，∴椭圆C的方程为22143xy+=.（II）由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点()1,0F，且PQMN⊥，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.又PQ过点()1,0F，

故PQ方程为()1ykx=−，将此式代入椭圆方程得()22224384120kxkxk+−+−=设P、Q两点的坐标分别为()11,xy、()22,xy，则2122843kxxk+=+，212241243k

xxk−=+，从而()()()()2222212122214411443kPQkxxxxk+=++−=+，∴()2212143kPQk+=+.当0k时，MN的斜率为1k−，同上可推得22112143kMNk+

=+.故四边形的面积()()2222222211721172214124331225kkkkSPQMNkkkk++++===++++令221ukk=+，得()72216112251225uSuu+==−++

因为2212ukk=+，当1k=时，2u=，28849S=，且S是以u为自变量的增函数，所以28849S.当0k=时，PQ为椭圆长轴，4PQ=，3MN=，162SPQMN==.综合（1），（2）知，四边形PMQN面积的最小值为28849.【点睛

】方法点睛：1、解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2、解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，

y2)，则()()2121222121221(1)(1)44ABkxxxxyyyyk=+=+−+−+(k为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．20.设函数()()1lnaf

xxaxx=−−R．（1）当2a=时，求()fx的单调区间；（2）若()fx有两个极值点1x和2x，记过点()()11,Axfx，()()22,Bxfx的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得2ka=−?若存在，求出a的值，若不

存在，请说明理由；（3）证明：()()*2212ln,2121nkknknnnnn=−−−++N.【答案】（1）()fx在()0,+上单调递增；（2）不存在，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()fx的定义域，求得()0fx

，由此可得出结论；（2）分析得出当2a时，函数()fx有两个极值点1x和2x，设21x，利用斜率公式求得1212lnln2xxkaxx−=−−，由2ka=−可得出1212lnln1xxxx−=−，结合121=xx可得出()222212ln01xxxx−−=，利用函

数()12lnhxxxx=−−的单调性推出矛盾，进而可得出结论；（3）分析得出原不等式等价于证明不等式()()212ln221nnnnnn++−+，设()112nnx+=，则进一步得出要证不等式()12ln01xxxx−−，利用函数()12lnfxxxx=−−的单调性可证得结

论成立.【详解】（1）当2a=时，()12lnfxxxx=−−，()fx的定义域为()0,+.()()22211210xfxxxx−=+−=，故()fx在()0,+上单调递增；（2）()222111axaxfxxxx−+=+−=.①当0a时，对任意的0x，()

210xaxfxx−+=，()fx在()0,+上单调递增，故()fx无极值；②当02a时，对于方程210xax−+=，240a=−，对任意的0x，()0fx恒成立，()fx在()0,+上单调递增，故()fx无

极值；③当2a时，令()0fx=，得2142aax−−=，2242aax+−=，当10xx时，()0fx；当12xxx时，()0fx；当2xx时，()0fx.故()fx分别在()10,x，2(,)

x+上单调递增，在()12,xx上单调递减.所以，当2a时，()fx有两个极值点1x和2x，且21x.由韦达定理可得12xxa+=，121=xx.因为()()()()1212121212lnlnxxfxfxxxaxxxx−−=

−+−−，所以()()12121212121lnln1fxfxxxkaxxxxxx−−==+−−−，于是1212lnln2xxkaxx−=−−，若存在a，使得2ka=−，则1212lnln1xxxx−=−.即1212lnl

nxxxx−=−，亦即()222212ln01xxxx−−=，④由（1）知，函数()12lnhxxxx=−−在()0,+上单调递增，而21x，则()()210fxf=，所以222112ln12ln101xxx−−−−=这与④式矛盾.故不存在a，使

得2ka=−；（3）()()()2123112lnlnln134511nknkknnn=−−==+++，()()()()()2221112222lnlnln112212121nknnk

nnnnnnknnnnnnnn=+−−−−−+−+++++，令()112nnx+=，则()()2221211lnln2ln0221nnnnxxxxxxnn++−−−−+.由（1）知，函数()

12lnfxxxx=−−在()1,+为增函数，1xQ，可得()()10fxf=，即12ln0xxx−−成立，所以()2212ln121nkknnknn=−−−++.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()(

)fxgx（或()()fxgx）转化为证明()()0fxgx−（或()()0fxgx−），进而构造辅助函数()()()hxfxgx=−；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构

构造辅助函数.