【文档说明】安徽省高二名校阶段检测联考2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.366 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-d065f61351ab56af0795c5365e668ca0.html

以下为本文档部分文字说明：

数学考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在

答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：必修一，必修二，选择性必修一第一章至第二意2.3.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合

题目要求的.1.在空间直角坐标系Oxyz中，点()2,3,1M−关于平面yOz对称的点的坐标是（）A.()2,3,1−−B.()2,3,1−−C.()2,3,1D.()2,3,1−−【答案】A【解析】【分析】根据空间点关于坐标平面的对称直接求解.【详解】根据空间直角坐标系中点的对称的

性质，()2,3,1M−关于平面yOz对称的点的坐标为(2,3,1)M−−，故选：A2.直线240xy−−=的一个方向向量为（）A.()1,2-B.()2,1−C.()3,1−D.()1,2【答案】D【解析】【分析】变形后得到240xy−−

=的方向向量是()1,2m，0m，求出答案.【详解】240xy−−=变形为24yx=−，故240xy−−=的方向向量是()1,2m，0m，当1m=时，一个方向向量为()1,2，其他选项均不合要求.故选：D3.已知直线

l的方向向量()1,2,2e=−−，平面的法向量()2,,1n=−，若l∥，则=（）A.12B.12−C.2D.2−【答案】C【解析】【分析】根据l∥得到e与n垂直，进而得到方程，求出2=.【详解】因为l∥，故()1,2

,2e=−−与()2,,1n=−垂直，故()()1,2,22,,12220en=−−−=−+=，解得2=.故选：C4.已知,abR，则“直线()1310axy−−−=与直线()120axay−−+=垂直”是“1a=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条

件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先计算出两直线垂直得到3a=−或1，故得到答案.【详解】直线()1310axy−−−=与直线()120axay−−+=垂直，则()()1310aaa−+−=，解得3a

=−或1，故“直线()1310axy−−−=与直线()120axay−−+=垂直”是“1a=”的必要不充分条件.故选：B5.已知边长为2的菱形ABCD中，π3DAB=，点E是BC上一点，满足3BEEC=，则

AEBD=（）A.12B.12−C.43−D.3−【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，得到点的坐标，根据3BEEC=求出1133,44E，从而利用平面向量数量积公式求出答案.【详解】

以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则()()()()1,3,2,0,3,3,0,0DBCA，设(),Emn，则()()2,,3,3BEmnECmn=−=−−，因为3BEEC=，所以()()23333mmnn−

=−=−，解得114334mn==，故1133,44E，则()11331191,1,344442AEBD−=−+=−=.故选：B6.设函数()2112xfxx+=−，则使得()()223fxfx+−的x的取值范围是（）A.(),5

−B.1,3+C.1,53D.()1,5,3−+【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再由函数在(0,)+上的单调性，脱去“f”建立不等式求解.【详解】()2112xfxx+=−的

定义域为xR，22||1||111()()()22xxfxxxfx−++−=−−=−=，()fx为偶函数，且当0x时，()2112xfxx+=−单调递增，由()()223fxfx+−可得()()|2||23|fxfx+−，再由单调性可得，|2||23|xx+−，即22

(2)(23)xx+−，化简可得231650xx−+，解得153x.故选：C7.空间直角坐标系Oxyz−中，()1,2,0A，()0,1,2B，()1,0,2C，点P在平面ABC内，且OP⊥平面ABC，则BP=（）A.2B.3C.263D.423【答案】A【解析】

【分析】利用向量法求出||OP的长，再由勾股定理求解BP即可.【详解】由()1,2,0A，()0,1,2B，()1,0,2C，得()()2,1,2,10,2,ABAC=−=−−，设平面ABC的法向量(),,nxyz=r，则20220n

ABxyznACyz=−−+==−+=，令1y=，则1,1xz==，故(1,1,1)n=，又(0,1,2)OB=，OP⊥平面ABC，所以222|||011121|||3||111OBnOPn++===++，又222||0125OB=++=，所以22||||53

2OBOBPP==−=−故选：A8.在长方体1111ABCDABCD−中，2ABAD==，13AA=，O是AC的中点，点P在线段11AC上（包含端点），若直线OP与平面1ABC所成的角为，则sin的取值范围是（）A

.23,33B.26,33C.33,43D.3222,1111【答案】D【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，结合线面角的计算公式，即可得到结果.【详解】以D为原点，分

别以1,,DADCDD为,,xyz轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为2ABAD==，13AA=，则()()()()112,0,0,0,2,0,2,2,3,2,0,3ACBA,()10,2,3C，因为O是AC的中点，则()1,1,0O，则()()110,2,3,2,0

,3ABCB==，()112,2,0AC=−，设111APAC=，01≤≤，则()12,2,0AP=−，所以()22,2,3P−，则()12,21,3OP=−−，设平面1ABC的法向量为(),,nxyz=，则11230230nAByznCBxz

=+==+=，解得3232yzxz=−=−，取2z=，则3xy==−，所以()3,3,2n=−−，则()()226sincos,2212219nOPnOPnOP====−+−+()261222219=−+，其中01≤

≤，当0=或1时，sin有最小值为6132112211=；当12=时，sin有最大值为612231122=；所以2s2in32,1111.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中

，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知一组数据：3，4，4，6，7，8，10，则这组数据的（）A.极差为7B.众数为4C.方差为407D.第60百分位数为7【答案】ABD【解析】【分析】A选项，根据极差定义进行计算；B选项，根据众数的定义进行

计算；C选项，计算出平均数，进而求出方差；D选项，根据百分位数的定义进行计算.【详解】A选项，极差为1037−=，A正确；B选项，4出现了2次，其他数均出现了1次，故4为众数，B正确；C选项，平均数为3446781067++++++=，故方差为()()()()()(

)222222362466676861063877−+−+−+−+−+−=，C错误；D选项，60%74.2=，故从小到大，选择第5个数据作为数据的第60百分位数，即第60百分位数为7，D正确.故选：ABD10.直线l过点()1,2-，且在两坐标轴上的截距之和为2−，则直线l的方程为（）A.37

0xy−−=B.240xy−−=C.10xy++=D.480xy−−=【答案】C【解析】【分析】根据直线方程的截距式求解.【详解】由题意直线在两坐标轴上有截距且截距不为0，故设所求直线方程为1xyab+=，则1212abab−+=+=−，解得1,1ab=−=

−，故直线方程为10xy++=，故选：C11.在空间直角坐标系Oxyz中，()2,0,0A，()1,1,2B−，()2,3,1C，则（）A.5ABBC=−B.23AC=C.异面直线OB与AC所成角的余弦值为

1530D.点O到直线BC的距离是34214【答案】AC【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答.【详解】对于A，()2,0,0A，()1,1,2B−，()2

,3,1C，依题意，(1,1,2),(1,2,3)ABBC=−−=，1265ABBC=−+−=−，故A正确；对于B，(0,3,1)AC=，222||03110AC=++=，故B错误；对于C，()1,1,2OB=−，6OB=,因为1cos,||||6153001OBA

COBACOBAC===，则异面直线OB与AC所成角的余弦值为1530，故C正确；对于D，因为()1,1,2OB=−，(1,2,3)BC=，OB在BC上的投影为3||14OBBCBC=−，所以点O到直线BC的距离是2239542||6141414OB−−=−=，故D

错误.故选：AC.12.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，E为11AB的中点，P为棱BC上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A.存在点P，使11DPAC⊥B.存在点P，使1PEDE=C.四面体11EPCD的体积为定值83D.二面角11PDEC−−的

余弦值的取值范围是26,33【答案】AB【解析】【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设()02CPaa=，则(),2,0Pa，()2,1,2E，()()12,0,

0,0,2,2AC，()10,0,2D，则()12,2,2AC=−，()1,2,2DPa=−，112442DACaaP=−+−=−，当0a=时，即P点与C点重合时，11DPAC⊥，故A正确.由1PEDE=知(

)222222212102a−++=++，解得2a=，此时P点与B点重合，故B正确.111111111422223323EPCDPCDECDEVVS−−====为定值，故C错误.又()12,1,0DE=，()1,2,2DPa=−，设平

面1DEP的法向量()1,,nxyz=，由11112002200DEnxyDPnaxyz=+===+−==，令1x=则=2y−，22az=−，11,2,22an=−−，又平面11DEC的法向量()20,0,2n=，

122221cos,51255224222222naaaana===+++−−−−−，又02a，1262cos,,63nn，故D错误.故选：AB三、填空题

：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数1i2iz−=+（i为虚数单位），则z=___________.【答案】1355i+【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z，再求出其共轭复数.【详解】因为()()()()21i2i1i2i2ii13i2i2i2i555z−−−−−+

====−++−，所以13i55z=+.故答案为：1355i+14.已知()1,1,2=−ar，()2,2,3b=−，则b在a方向上的投影向量为___________.【答案】()1,1,2−−【解析】【分析】根据投影向量公式求出答案.【详解】b在a方向上的投影向量为()()()

()()1,1,22,2,31,1,21,1,261,1,211411466abaaa−−−−−===−−++++.故答案为：()1,1,2−−15.若两条平行直线1l：340xym−+=（0m）与2l：660xny+−=之

间的距离是2，则mn=___________.【答案】56−【解析】【分析】根据两直线平行求出n的值，再由平行线之间的距离公式求出m，即可得解.【详解】因为直线1l：340xym−+=（0m）与2l：660xny+−=平行，所以346n=−，解得8n=−，所以2l：3430xy−−=

，又两平行线之间的距离()223234md+==+−，解得7m=或13m=−（舍去），所以56mn=−.故答案为：56−16.如图，四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PBC是等边三角形，M，N分别为AB和PC的

中点，则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为___________.【答案】38【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【详解】连接,ACBD相交于点O，O点为底面ABCD的中心，取BC中点为E，连接,EO

EP，则EPBC⊥，因为平面PBC⊥平面ABCD，则EP⊥平面ABCD，以点E为原点，分别以,,EOECEP为,,xyz轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，且底面ABCD边长为2，PBC等边三角形，则()()()2,1,0,1,1,0,0,1,0DMC−，()

0,0,3P，则130,,22N，()1,0,0O，则331,,22MN=−，()132,,,1,1,022DNOD=−−=，设平面DMN的法向量为(),,nxyz=，则33022132

022nMNxyznDNxyz=−++==−−+=，解得237xyzy=−=−，取7z=，则3y=−，是23x=，所以()23,3,7n=−，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为

点O到平面DMN的距离，则33864ODndn===.故答案为：38.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，四棱锥PABCD−中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，120ABC=，F为CD的中点，2PB=，以B为坐标原点，

BA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）写出B，D，P，F四点的坐标；（2）求cos,PDBF.【答案】（1）()()()()0,0,0,1,3,0,0,0,2,0,3,0BDPF（2）64【解析】【分析】（

1）求出1,3DFBF==，写出()()()()0,0,0,1,3,0,0,0,2,0,3,0BDPF；（2）利用空间向量夹角余弦公式求出答案.【小问1详解】因为底面ABCD是边长为2的菱形，且120ABC=，F为CD的中点，所以1,3DFBF==

，又2PB=，()()()()0,0,0,1,3,0,0,0,2,0,3,0BDPF；【小问2详解】()()1,3,20,3,036cos,4134326PDBFPDBFPDBF−====++.18.已知ABC的三个顶点是()2,3A，()1,2

B，()4,4C−.（1）求BC边上的高所在直线1l的方程；（2）若直线2l过点C，且点A，B到直线2l的距离相等，求直线2l的方程.【答案】（1）240xy−+=（2）80xy−−=或135320xy+−=【解析】【分析】（1）求出直线BC的斜率，则可求出直线1l的斜率，再利

用点斜式可求出直线1l的方程；（2）由题意分直线2l与AB平行和直线2l通过AB的中点两种情况求解.【小问1详解】因为4642213BCk−=−−==−−，所以BC边上的高所在直线1l的斜率为12k=，所以BC边上的高所在直线1l的方程13(2)2yx−=−，即240xy−+=.【小问2

详解】因为点A,B到直线2l的距离相等，所以直线2l与AB平行或通过AB的中点，①当直线2l与AB平行，因为232121ABlkk−===−，且2l过点C，所以2l方程为44yx+=−，即80xy−−=.②当直线2l通过AB的中点35(,)22D，所以541323542CDk−−

==−−，所以2l的方程为134(4)5yx+=−−，即135320xy+−=.综上：直线2l的方程为80xy−−=或135320xy+−=.19.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ABAC⊥，14AAAC==，3AB=，点D是线段BC中点.

请的用空间向量的知识解答下列问题：（1）求证：1ABAC⊥；（2）求平面1ACD和平面11ABBA夹角余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33434【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可得证；（2）求出平面的法向量，利用向量夹角公式计算即可.【小问1详解】直三棱柱中，1AA⊥

平面ABC，又ABAC⊥，所以1,,ACABAA两两互相垂直，以A为原点，以1,,ACABAA为坐标轴建立空间直角坐标系Axyz−，如图所示，则()()()()10,0,0,0,3,0,4,0,0,0,0,4ABCA，()()10,3,0,4

,0,4ABAC==−，10ABAC=，的即1ABAC⊥.【小问2详解】由点D是线段BC中点，可得32,,02D，则()14,,,,340202,ACCD=−=−，设平面1ACD的法向量(,,)nxyz=，则1440

3202nACxznCDxy=−==−+=，令1x=，则4,13yz==，所以4(1,,1)3n=，又平面11ABBA的一个法向量可取(1,0,0)m=，所以221334cos,||||3416119mn

mnmn===++.所以平面1ACD和平面11ABBA夹角的余弦值为33434.20.已知函数()223sincos2cosfxxxx=−.（1）求()fx的单调递增区间；（2）在ABC中，02Af

=，2AB=，求ABC周长的取值范围.【答案】（1）πππ,π,Z63kkk−++（2）()4,+【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得到()π2sin216fxx=−−

，整体法求出单调递增区间；的（2）根据02Af=，求出π3A=，由正弦定理得到32sin,sinsinBabCC==，从而得到31tan2abC+=+，结合2π0,3C，求出ab+的取值范围，进而得到周长的取值范围.【小问1详解】()π3sin21cos22

sin216fxxxx=−−=−−，令πππ2π22π,Z262kxkk-+???，解得ππππ,Z63kxkk-+＃+?，故()fx的单调递增区间为πππ,π,Z63kkk−++；【小问2详解】π2sin1026Af

A=−−=，故π1sin62A−=因为()0,πA，所以ππ5π,666A−−，故ππ66A−=，π3A=，又2AB=，由正弦定理得sinsinsinabcABC==，即2πsinsinsin3abBC

==，故32sin,sinsinBabCC==，所以32sin32sin33cossinsiπnsinsinsi3nBCCabCCCCC+++++=+==()223cos3cos31cos3221111sin2sincossintan2222CCCCCCCC+=+=+=+=

+，因为π3A=，所以2π0,3C，32π0,C，由于tanyx=在π0,3x上单调递增，故()tan0,32C，故()312,tan2abC+=++，()4,abc+++.所以ABC周长的取值范

围是()4,+.【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用

三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.21.在如图所示的斜三棱柱111ABCABC-中，12BCBABB===.（1）设BAa=，BCb=，1

BBc=，用a，b，c表示1BC，1ACuuur；（2）若3cos4ABC=，111coscos4ABBCBB==−，求1AC的长.【答案】（1）bc+，bca+−（2）6【解析】【分析】（1）根据向量运算的几何表示求解；（2）根据

向量模的公式及数量积运算求解.【小问1详解】在三棱柱111ABCABC-中，侧面11BCCB为平行四边形，则11BCBCBBbc=+=+，所以111ACBCBABBBCBAbca=−=+−=+−.小问2详解】由3cos4ABC=，111coscos4ABBCBB==−，12BCBABB

===，【所以322cos434abABC===，12214bcac==−=−，所以()22222211||222ACACbcabcabcabac==+−=+++−−()()2222222123216=+++−−−−=，即1||6AC=，所以1A

C的长为6.22.如图，已知四棱锥PABCD−的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，24BCAB==，ABAC⊥，PBAC⊥.请用空间向量的知识解答下列问题：（1）求PD与平面PAB所成角的大小；（2）设Q为侧棱PD

上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且//AC平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF与平面PAD夹角的余弦值为3535？若存在，求DQDP的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）π4（2）45或12【解析】【分析】（1）证明出,,MGABPM两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线

面角的求解公式得到答案；（2）证明出//ACEF，求出平面PAD的法向量，设PEPA=，则PFPC=，01，设平面BEQF的法向量为33,0,11u−=+，根据两平面夹角列出方程，求出13=或23，设

DQDP=，进而根据BQu⊥求出答案.【小问1详解】因为ABAC⊥，PBAC⊥，ABPBB=，,ABPB平面PAB，所以AC⊥平面PAB，又AC平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAB，取AB的中点M，连接PM，因为PAB是等边三角形，所以

PM⊥AB，又平面ABCD⊥平面PAB，两平面交线为AB，PM平面PAB，所以PM⊥平面ABCD，取BC的中点G，连接MG，则//MGAC，因为AC⊥平面PAB，所以MG⊥平面PAB，因为,ABPM平面PAB，所以MG⊥AB，MG⊥PM，故,,MGABPM两两垂直，以M为原点

，,,MBMGMP所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，因为24BCAB==，由勾股定理得2216423ACBCAB=−=−=，所以()()()()1,0,0,0,0,3,3,23,0,1,0,0BPDA−−，平面PAB的

法向量为()0,1,0m=，设PD与平面PAB所成角的大小为，则()()3,23,30,1,0232sincos,2912326PDmPDmPDm−−=====++，因为π0,2

，所以π4=；【小问2详解】设平面PAD的法向量为()111,,xnyz=，则()()()()111111111111,0,3,,303,23,3,,32330PAnxyzxzPDnxyzxyz=−−=−−=

=−−=−+−=，令11z=得113,1xy=−=−，则()3,1,1n=−−，连接EF，因为//AC平面BEQF，平面BEQF平面PAC=EF，所以//ACEF，不妨设PEPA=，则PFPC=，01，设(),,Eqwe，则()(),,3

1,0,3qwe−=−−，即,0,33qwe=−==−，故(),0,33E−−，设(),,Frty，则()(),,31,23,3rty−=−−，即,23,33rty=−==−，故(),23,33F−−，设平

面BEQF的法向量为()222,,uxyz=，则()()()()()()()()222222222221,0,33,,13301,23,33,,123330BEuxyzxzBFuxyzxyz=−−−=−−+−==

−−−=−−++−=，解得20y=，设21z=，则2331x−=+，故33,0,11u−=+，故()2233333,1,1,0,1111c5os,333331115111353nunun

u−−−−+++====−−++++++，化简得233421117−−+=++，两边平方得，2233421711−−+=++，化简得()22444716161

−+=−+，解得13=或23，设DQDP=，则DQDP=，设(),,Qjkl，则()()3,23,3,23,3jkl+−=−，解得33,2323,3jkl=−=−=，故()34,2323,3BQ=−−，当13=时，3,0,12u=

，因为BQu⊥，所以()334,2323,3,0,102−−=，解得532302−=，解得45=，满足要求，当23=时，3,0,15u=，因为BQu⊥，所以()334,2323

,3,0,105−−=，解得8343055−=，解得12=，满足要求，故存在点Q，使得平面BEQF与平面PAD夹角的余弦值为3535，此时DQDP的值为45或12.【点睛】立体几何二面角求解方法：（1）作出辅助线，找到二面角的平面角

，并结合余弦定理或勾股定理进行求解；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com