【文档说明】浙江省精诚联盟2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题答案和解析.pdf，共(29)页，1.424 MB，由小赞的店铺上传

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学科网（北京）股份有限公司试题解析第1页2022学年第二学期浙江省精诚联盟3月联考高二年级数学学科参考答案考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无

效。4．考试结束后，只需上交答题纸。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知)2,0,2(=a，)0,0,3(=b分别是平面，的法

向量，则平面，交线的方向向量可以是（）A.)0,0,1(B.)0,1,0(C.)1,0,0(D.)1,1,1(答案：B0)0,1,0()2,0,2()0,1,0(==a0)0,1,0()0,0,3()0,1,0(==b2.已知双曲线13222=−yax的两条渐近线的夹角为

3，则双曲线的焦点到渐近线的距离是（）A.1B.3C.2D.1或3答案：B点)0,(c到0=aybx的距离3022==+=bababcd3.如图，在空间直角坐标系Oxyz中，正方体1111DCBOOBCD−的棱长为1，且1OCDE⊥于点E则

=OE（）A.)21,21,21(B.33C.321OCD.31OB+31BC−31OO1答案：D11BDOOC面⊥于E)(313111OOODOBOCOE++===31OB+31BC−31OO14.若点

),(aaA,),(bebB),(Rba，则A、B两点间距离AB的最小值为（）A.1B.22C.2D.2zB1C1D1O1DBCxyOE学科网（北京）股份有限公司试题解析第2页答案：B点),(aaA在直线xy=，点),(beb

B在xey=上，xey=在点)1,0(处的切线为1+=xy直线xy=与1+=xy之间的距离22111=+为AB的最小值5.如图4个圆相交共有8个交点，现在4种不同的颜色供选用，给8个交点染色，要求在同一圆

上的4个交点的颜色互不相同，则不同的染色方案共有（）种A.0B.24C.48D.96答案：D.96共有962121234=BCADDC12BA1212346.已知直线l：02=−−yx与抛物线E：xy22=交于A、B两点，抛物线E分

别在点A、B处的两条切线交于点P，则点P在直线l上的投影的坐标为（）A.)35,31(−B.)23,21(−C.)0,2(D.)1,3(答案：B.)23,21(−设点P),(ba，A),(11yx，B),(22yx，抛物线E在点A),(

11yx处的切线为11xxyy+=过点P),(ba11xaby+=抛物线E在点B),(22yx处的切线为22xxyy+=过点P),(ba22xaby+=所以直线AB：xaby+=与xy+−=2相同得点P)1,2(−点P在直线l上的投影的坐标为)2,(−xx，11)

2(12−=−−−−xx得21=x，23−=y7.已知递增数列na的前n项和nS满足)1(2+=nnanS，*Nn，设21211nnnnnaaaab++−=，若对任意学科网（北京）股份有限公司试题解析第3页*Nn，不等式41321++++nbbb

b恒成立，则2023a的最小值为（）A.2023B.2024C.4045D.8089答案：C.4045)1(2+=nnanS，当1=n时，)1(1211+=aS11=a当2n时，)1(2+=nnanS，)1)(1(211+−=−−nnanS

相减得01)1()2(1=+−−−−nnanan又01)1(1=+−−+nnnaan相减得112−++=nnnaaa所以dnan)1(1−+=，0d21211nnnnnaaaab++−=)11(11121++−==nnnnaaddaa=++++nbbbb

321)11(1112+−naad411)11(1212−=+dadn2d4045220221)12023(12023=+−+=da8.已知a，x均为正实数，不等式0)ln(1+−−a

axaex恒成立，则a的最大值为（）A.1B.eC.eD.2e答案：C.eaaxaeyx+−=−)(ln1xaeyx−=−1又a，x均为正实数，所以xaeyx−=−1在),0(+单增−→→yx,0，→+

→yx,*0Rx，0010＝xaeyx−=−，x),0(0x0x),(0+xy−0+y单减最小值单增axaaaeaaxaeyxx+−−=+−=−−0101lnln)ln(000学科网（北京）股份有限公司试题解析第4页又010xaex=−，得00lnln1xax−=−所以1lnl

n00+−=xax0)1(lnlnlnln)ln(00010100++−−−=+−−=+−=−−axaaaaxaaxaaaeaaxaeyxx即：0ln2100−+axx0ln22−aea二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.关于直线与圆，下列说法正确的是（）A.对任意实数a，直线l：02=−+ayax恒过定点)0,1(B.直线m：01=−+y

x与直线n：01=−−yx垂直C.直线l：01sincos=−+yx与圆O：122=+yx相切D.圆M：422=+yx与圆N:9)sin()cos(22=−+−yx相交答案：ABCA.直线l：02=−+ayax)1(2−−=xay恒过定点)0,1(B.1−=mk

，1=nk1−=nmkkC.rd==+−+=1sincos1sin0cos022D.2122231)sin0()cos0(rrd−=−==−+−=内切10.已知数列na的前n项和为nS，则下列说法正确的是（）A.

若22−=nnS，则12−=nnaB.若nan221−=，则nS的最大值为100C.若naann+=+1，则82798−+=SSSD.若nnnnnnCnCCCa++++=321321，则2321

321++++nanaaa答案：BCDA.02211=−=S12111==−aB.若nan221−=，0,10nan0,11nan学科网（北京）股份有限公司试题解析第5页nS的最大值10S=100102119=+=C.若naann+=+1，则−+=+−=−−+−+nSSSnS

SSSnnnnnnn1111282798−+=SSSD.若nnnnnnnnnnnnnCCCCnCnCCCa221)(21321210321=++++=++++=，则222221121121212132111110321−=−−=+++=++++−−−nnnnanaa

a11.已知椭圆E：1162522=+yx的右焦点为2F，直线03=+−yx与椭圆交于A、B两点，则（）A.2ABF的周长为20B.2ABF的面积为412960C.线段AB中点的横坐标为4175−D.线段AB的长度为41320答案：ACDA.直线03=+−yx过左焦点1F，2ABF

的周长为204=a由：1162522=+yx和03=+−yx得0725150412=−+xx设A),(11yx，B),(22yx4115021−=+xx4172521−=xx线段AB中点的横坐标为=−=+214115

0221xx4175−线段AB的长度为=+=−++417254)41150(24)(11221221xxxx413202ABF的面积为==045sin221cABS41248012.已知函数xaxxfcos)(+=的定义域为,0，则下列说法正确的

是（）A.若函数)(xf无极值，则1aB.若1x，2x为函数)(xf的两个不同极值点，则axfxf=+)()(21C.存在Ra，使得函数)(xf有两个零点D.当1=a时，对任意,0x，不等式xexxf+221)(恒成立学科网（北京）股份有限公司试

题解析第6页答案：BCDA.若函数)(xf无极值，xaxfsin)(−=，,0x则0)(xf或0)(xf恒成立1a或0aB.若1x，2x为函数)(xf的两个不同极值点，0sinsin)()(2121=

−=−==xaxaxfxf,0x，=+21xx，axaxxaxxfxf=+++=+221121coscos)()(C.存在Ra，使得函数)(xf有两个零点，axx−=cosxycos=与axy−=有两个交点43.532.521.510.50.511.522

.54π3π2π3π3π32π3π4π35π32π7π38π3xycos=在)1,(−处的切线平行于x轴，过原点的切线在)1,(−的左侧稍微旋转后可得两个交点D.当1=a时，对任意,0x，不等式xexxf+221)(恒成立xexxx++221cos02

1cos)(2−−+=xexxxxg00210cos0)0(02=−−+=egxexxxg−−−=sin1)(000sin1)0(0=−−−=eg01cos)(−−−=xexxg对任意,0x恒成立，xexxxg−−−=sin1)(在,

0上单减，000sin1)0(0=−−−=eg0sin1)(−−−=xexxxg对任意,0x恒成立，学科网（北京）股份有限公司试题解析第7页xexxxxg−−+=221cos)(在,0上单减，00210cos0)

0(02=−−+=eg021cos)(2−−+=xexxxxg对任意,0x恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在6221+xx的展开式中，常数项为________.答案：16151615)21()(42246=xxC14.习近平总书

记在党史学习教育动员大会上讲话强调，“要抓好青少年学习教育，着力讲好党的故事､革命的故事､英雄的故事，厚植爱党､爱国､爱社会主义的情感，让红色基因､革命薪火代代传承.”为了深入贯彻习近平总书记的讲话精神，我校积极开展党史学习教育

，举行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲.现安排7名教师到高中3个年级进行宣讲，每个年级至少2名教师，教师甲和乙去同一个年级，教师丙不去高一年级，则不同的选派方案有________种（用数字作答）答案：100种类)(233142224221314331422242213142224CCCCCC

CCCCCCCCCC++++++=100)461246126(2=++++++=15.直线l：01=−+−ayax与曲线E：023=−−−yxxx相切，则=a_________.答案：0或4直线l：01=−+−

ayax过点)1,1(−−高一高二高三种数AA丙甲乙AA2224CC甲乙A丙AAA221314CCC甲乙丙AAAA2224CC甲乙丙AAAA3314CCAA丙A甲乙A221314CCCAA丙A

A甲乙2224CCAAA丙A甲乙3314CC学科网（北京）股份有限公司试题解析第8页设切点),(020300xxxx−−，123020−−=xxy切线))(123()(002002030xxxxxxxy−−−=−−−过点)1,1(−−)1)(123()(1002002030xxx

xxx−−−−=−−−−得10=x0==ya或416.已知1222=++zyx，1663=++cba，则222)()()(czbyax−+−+−的最小值为_________.答案：法一：1222=++zyx1)0()0()0(222=−+−+−zy

x),,(zyxP在以)0,0,0(O为球心，1为半径的球面上1663=++cba0)0(6)0(3)16(1=−+−+−cba),,(cbaQ在过点)0,0,16(A且法向量为)63,1(=n的平面上)0,0,0(O到平面的距离4==nnOAd222)()()(czbyax−+

−+−的最小值为=2minPQ9)14(2=−法二：()22222222236161364abcabcabc++=++++=++2224abc++()222222()()()12xaybzcxabycza

bc−+−+−=−+++++2222222222222221212xyzabcabcabcabc−+++++++=−+++++()222219abc=++−学科网（北京）股份有限公司试题解析第9页四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆E

经过)3,2(A,)2,3(B,)3,4(C三点，且交直线l：01843=−+yx于M,N两点.（1）求圆E的标准方程；（2）求CMN的面积.【答案】（1）圆E：1)3()3(22=−+−yx；（2）1625824525CMNS==（1）解：设圆E：2

22)()(rbyax=−+−则=−+−=−+−=−+−222222222)3()4()2()3()3()2(rbarbarba===133rba…………3分圆E：1)3()3(22=−+−yx…………5分（2）解：)3,4

(C到直线l：01843=−+yx的距离为564318344322＝－++)3,3(E到直线l：01843=−+yx的距离为534318343322＝－++22321()855MN=−=…………8分1625824525CMNS==…………10分评分细则说明：第

（1）（2）小题满分均为5分第（1）小题有列方程过程不管答案都给2分，若用几何法确定圆心位置，有求中垂线方程给2分；第（2）小题若求出25MN=得到124425525CMNS==，只扣答案分2分。学科网（北京）股份有限公司试题解析第10页1

8.在长方体1111DCBAABCD−中，E为棱BC上的点，2=AB，221=AA，33==BEBC.（1）求点1B到平面DEC1的距离；（2）求二面角DACE−−1的余弦值.【答案】（1）点1B到平面DEC1的距离为5103；（2）二面角DACE−−1的余弦值为0

几何法：（1）设点1B到平面DEC1的距离为1d，点C到平面DEC1的距离为2d；连CB1交EC1于G，CGGB231=则1d223d=过C作DECO⊥于O，连OC12=EC，2=CD，CDEC⊥，22=DEDECO⊥=CO2=CO

2，221=CCCOCC⊥1101=OC222221311=−CDECV2211022213121311ddOCDEVDECC==−…………2分=−CDECV1DECCV1−…………4分=2d104=1d223d==10423==1065103点1B到平面

DEC1的距离为5103…………6分(2)证明：过C作DCCN1⊥于N，在线段1AC上取点M使得AMMC21=连结MN,EMDCCN1⊥，CNAD⊥得⊥CN面DAC1…………8分CDCC21=，CDCC⊥1，DCCN1⊥得DNNC21=B

1A1C1D1DBCAEB1A1C1D1GDBCAEO学科网（北京）股份有限公司试题解析第11页DNNC21=，AMMC21=得ADMN//且232==ADMNADMN//且2=MNADEC//且2=ECECMN//且ECMN=所

以四边形ECNM为平行四边形，…………10分CNEM//⊥CN面DAC1所以⊥EM面DAC1EM面1EAC面DAC1⊥面1EAC二面角DACE−−1的余弦值为0…………12分解析法：（1）分别以AB,AD，1AA为x，y，z轴如图建系则)0,0,0(A)22,0,2(1B)22,

3,2(1C)0,3,0(D)0,1,2(E)0,2,2(−=DE)22,0,2(1=DC…………2分设面DEC1的法向量为),,(zyxn==+=−==0222022001zxyxnDCnDE设1−=z则)1,2,2(−=n…………4分(

0,-3,0)11=BC点1B到平面DEC1的距离510352311===nnBCd…………6分（2）同理：面1EAC的法向量)2,2,1(1−=n面DAC1的法向量)1,0,2(2−=n0)1,0,2()2

,2,1(21=−−=nn二面角DACE−−1的余弦值为0…………12分评分细则说明：第（1）小题满分为6分，第（2）小题满分为6分第（1）小题：只要出现=−CDECV1DECCV1−就给2分；第（2）小题

每个法向量2分，没有求法向量过程只给1分。B1A1C1D1DBCAENMyzxB1A1C1D1DBCAE学科网（北京）股份有限公司试题解析第12页19.已知等差数列na的前n项为nS，满足32=a，255=S.（1）求数列na的通项公式.（2）若对任意*Nn

，不等式1)31(1aa+maaananaa++)31()31()31(3232恒成立，求m的最小值.【答案】（1）12−=nan；（2）m的最小值为3215（1）=+=+==25245532531152dadaS

a==211da12−=nan…………4分（2）1253)31()12()31(5)31(3311−−++++=nnnT121253)31()12()31()32()31(3)31(191+−−+−+++=nnnnnT………6分相减得121253)31()1

2(])31()31()31[(23198+−−−++++=nnnnT121)31()12(911)911(27123198+−−−−−+=nnnnT121)31()12(911)911(27123198+−−−−

−+=nnnnT12121333119158515(21)832329383232332nnnnnTn−+−+=+−−−=−………12分m的最小值为3215评分细则说明：第（1）小题满分为4分，第（2）小题满分为8分第（1）小题有将两个条件转化为1,ad就给2分第（2）小题对n

T有乘公比19就给2分，求对nT给4分，m求对给2分，若用裂项法，正确裂项给4分，求对nT给2分，m求对给2分学科网（北京）股份有限公司试题解析第13页20.若一个学期有3次数学测试，已知甲同学每次数学测试的分数超过90分的概率为13，乙同学每次数学测

试的分数超过90分的概率为12.（1）求事件：“甲同学在3次测试中恰有1次超过90分且第2次测试的分数未超过90分”的概率；（2）若这个学期甲同学数学测试的分数超过90分的次数为X，乙同学数学测试的分数超

过90分的次数为Y，求随机变量XY−的方差.【答案】（1）827；（2）1712【解析】【分析】（1）记所求事件为事件A，甲同学第i次测试的分数超过90分记事件iA，则321321AAAAAAA+=，因为123,,AAA

相互独立，所以278)()()()()()()()(321321321321=+=+=APAPAPAPAPAPAAAAAAPAP…………4分（2）记XY=−，由题意可得的可能取值有3,2,1,0,1,2,3−−

−，X∽)31,3(B，Y∽)21,3(B，…………6分()()()3303332113033227PPXPYCC=−=====，()()()()()332130213333321211120213323326PPXPYPXPYCCCC=−=

==+===+=()11136P=−=，()7024P==，()11172P==，()1224P==，()13216P==，所以的分布列为()11133322EE

XYEXEY=−=−=−=−222221111111171113210122726236224272D=−++−++−+++++2211111723224221612++++=…………1

2分3−2−1−0123P12716113672411721241216学科网（北京）股份有限公司试题解析第14页法二因为随机变量X与Y相互独立，则()DXYDXDY−=+，13,3XB，13,2YB，1221133,33332

24DXDY====，()1712DXYDXDY−=+=评分细则说明：第（1）小题满分为4分，第（2）小题满分为8分第（1）小题：只有答案没有过程给3分第（2）小题：法一中写对的取值就给2分；求分布列过程满分4

分，若没有求对，求对1个概率就给1分；求方差过程2分；法二中指出随机变量X与Y服从二项分布每个1分，求对,DXDY每个2分，()DXY−2分学科网（北京）股份有限公司试题解析第15页21.已知曲线13:222=−byxC，焦点12,FF,)0,3(),0,3(

21AA−,P是左支上任意一点（异于点1A），且直线1PA与2PA的斜率之积为31.（1）求曲线C的方程；（2）直线1l为过P点的切线，直线2l与直线1PF关于直线1l对称，直线2l与x轴的交点D，过点D作直线1l的平行线与曲线C交于BA,两点，求

PAB面积的取值范围。【答案】（1）曲线C的方程1322=−yx；（2）),3321(++解：（1）设),(00yxP()01-33133-030020202020000021==−=−+−=yyxxyxyx

ykkPAPA…………2分所以曲线C的方程为22-13xy=……4分（2）（i）法一:设),(11yxQ，且Q与1F关于直线1l对称，QF中点−2,2211yx过P点的切线方程13:001=−yyxxl,即00

013yxyxy−=………5分直线)(3:00002xxxyyyl−−=−,即00043yxxyy+−=由=+=−−=0011010013-1122321xyxykyxyxyQF解得()+−=−++=23941864-10012

00201xxyyxxxx设直线)(:001010xxxxyyyyPQ−−−=−即0101010101xxxyyxxxxyyy−−+−−=())(949124-012000000300101xxxxyyxyxxxyyk−−−−=−−=学

科网（北京）股份有限公司试题解析第16页())(941824801200000020011001xxxxyyxyxxxyxyxb−−++=−−=即()2,2−=+=−=xkbkxykb，所以直线2l过定点)0,2(，即点D是定点，且是点2F…8分法二：结

合模型可知，该题考察双曲线的光学性质，故反射光线必经过另一个焦点，即点2F，下证直线2l经过定点)0,2(……………………6分由图可得，若定点为2F,则必有直线PM平分角21PFF.则要证直线2l经过定点)0,2(,即证直线PM为21PFF的角平分线。由双

曲线焦半径公式可得：3332001−−=−−=xaexPF，3332002+−=+−=xaexPF设直线与x轴的交点为)0,3(0xMM，，则23,230201+−=+=xMFxMF21000021323233323332MFMFxxxxPFPF=

+−−−=+−−−=得,由角平分线定理可知直线PM为21PFF角平分线，故直线2l过定点经过定点()0,2.………………8分（ii）设直线),(),,(23443300yxByxAyxyxAB，：+=联立方程=−+=33232200yxyxyx，化简

得01129-00220=++yxyyx由韦达定理可得9-,3420430043xyyyxyy==+……………………9分()−=−+=−33494420204324343xxyyyyyy−+=−+=3349431312020

20043200xxxyyyxyAB,20003123+−=xyxd学科网（北京）股份有限公司试题解析第17页dABS=21化简得2736163163103040−+−=xxxS…………………10分令)3(,273616316)(03040−−+−=xxxxxf，36

48364)(2030'+−=xxxf()单调递减，单调递增)(0)3()()(,3,'''xffxfxfyx−=−−,31221)3()(+=−fxf,33213122131+=+S++，3321S……………………12分评

分细则说明：第（1）小题满分为4分，第（2）小题满分为8分第（1）小题：利用圆锥曲线第三定义得到答案给2分第（2）小题：出现直线2l过定点)0,2(给2分，有求弦长和面积过程给2分，不管答案正确与否学科网（北京）股份有限公司试题解析第18页22.已知函数

)ln1()(xxxf−=.（1）求)(xf的单调区间；（2）设a，b为两个不相等的正数，且babaab−=−lnln，证明：eba+112.【答案】（1）()fx的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断

其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,xxab==，原不等式等价于122xxe+，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21xtx=，从而把12xxe+转化为()()1ln1ln0tttt−+−在()1,+上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义

域为()0,+，又()1ln1lnfxxx=−−=−，……………………2分当()0,1x时，()0fx，当()1,+x时，()0fx，故()fx的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+.……………………4分（2）因为lnlnbaabab−=−，故()()

ln1ln+1baab+=，即ln1ln+1abab+=，故11ffab=，……………………5分设1211,xxab==，由（1）可知不妨设1201,1xx.因为()0,1x时，()

()1ln0fxxx=−，(),xe+时，()()1ln0fxxx=−，故21xe.先证：122xx+，若22x，122xx+必成立.若22x，要证：122xx+，即证122xx−，而2021x−

，故即证()()122fxfx−，即证：()()222fxfx−，其中212x.学科网（北京）股份有限公司试题解析第19页设()()()2,12gxfxfxx=−−，则()()()()2lnln2gxfxfxxx=+−=−−−()ln2xx=−−，因为12x，

故()021xx−，故()ln20xx−−，所以()0gx，故()gx在()1,2为增函数，所以()()10gxg=，故()()2fxfx−，即()()222fxfx−成立，所以122xx+成立，综上，122xx+成立.……………………8

分设21xtx=，则1t，结合ln1ln+1abab+=，1211,xxab==可得：()()11221ln1lnxxxx−=−，即：()111ln1lnlnxttx−=−−，故11lnln1tttxt−−=−，要证：12xxe+，即证()1

1txe+，即证()1ln1ln1tx++，即证：()1lnln111ttttt−−++−，即证：()()1ln1ln0tttt−+−，令()()()1ln1ln,1Stttttt=−+−，则()()112ln11lnln111tStttt

tt−=++−−=+−++，先证明一个不等式：()ln1xx+.设()()ln1uxxx=+−，则()1111xuxxx−=−=++，当10x−时，()0ux；当0x时，()0ux

，故()ux在()1,0−上为增函数，在()0,+上为减函数，故()()max00uxu==，故()ln1xx+成立由上述不等式可得当1t时，112ln11ttt++，故()0St恒成立，故()St在()1,+上为减函数，故()

()10StS=，故()()1ln1ln0tttt−+−成立，即12xxe+成立.综上所述，112eab+.……………12分学科网（北京）股份有限公司试题解析第20页2022学年第二学期浙江省精诚联盟3月联考高二年级数学学科参考答案一、选择题：本题共8小题，每

小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BBDBDBCC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部

分选对的得2分，有选错的得0分.9101112ABCBCDACDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.15/1614.10015.0或416.9四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17

.已知圆E经过)3,2(A,)2,3(B,)3,4(C三点，且交直线l：01843=−+yx于M,N两点.（1）求圆E的标准方程；（2）求CMN的面积.【答案】（1）圆E：1)3()3(22=−+−yx；（2

）1625824525CMNS==（1）解：设圆E：222)()(rbyax=−+−则=−+−=−+−=−+−222222222)3()4()2()3()3()2(rbarbarba===133rba…………3分圆E：1)3()3(22=−+−yx…………5分学科网（

北京）股份有限公司试题解析第21页（2）解：)3,4(C到直线l：01843=−+yx的距离为564318344322＝－++)3,3(E到直线l：01843=−+yx的距离为534318343322＝－++

22321()855MN=−=…………8分1625824525CMNS==…………10分18.在长方体1111DCBAABCD−中，E为棱BC上的点，2=AB，221=AA，33==BEBC.（1）求点1B到平面DEC1的距离；（2）求二面角DACE−−1的余弦值.【答案】（1）点1

B到平面DEC1的距离为5103；（2）二面角DACE−−1的余弦值为0几何法：（1）设点1B到平面DEC1的距离为1d，点C到平面DEC1的距离为2d；连CB1交EC1于G，CGGB231=则1d223d=过C作DECO⊥于O，连OC12=EC，

2=CD，CDEC⊥，22=DEDECO⊥=CO2=CO2，221=CCCOCC⊥1101=OC222221311=−CDECV2211022213121311ddOCDEVDECC=

=−…………2分B1A1C1D1DBCAEB1A1C1D1GDBCAEO学科网（北京）股份有限公司试题解析第22页=−CDECV1DECCV1−…………4分=2d104=1d223d==10423==1065103点1B到平面DEC1的距离为510

3…………6分(2)证明：过C作DCCN1⊥于N，在线段1AC上取点M使得AMMC21=连结MN,EMDCCN1⊥，CNAD⊥得⊥CN面DAC1…………8分CDCC21=，CDCC⊥1，DCCN1⊥得DNNC21=DNNC21=，AMMC21=得ADMN//且

232==ADMNADMN//且2=MNADEC//且2=ECECMN//且ECMN=所以四边形ECNM为平行四边形，…………10分CNEM//⊥CN面DAC1所以⊥EM面DAC1EM面1EAC面DAC1⊥面1EAC二面角DACE−−1的余弦值为0………

…12分解析法：（1）分别以AB,AD，1AA为x，y，z轴如图建系则)0,0,0(A)22,0,2(1B)22,3,2(1C)0,3,0(D)0,1,2(E)0,2,2(−=DE)22,0,2(1=DC…………2分设

面DEC1的法向量为),,(zyxn=B1A1C1D1DBCAENMyzxB1A1C1D1DBCAE学科网（北京）股份有限公司试题解析第23页=+=−==0222022001zxyxnDCnDE设1−=z则)1,2,2(−=n…………4分(0,-3,0)11=BC点1B到

平面DEC1的距离510352311===nnBCd…………6分（2）同理：面1EAC的法向量)2,2,1(1−=n面DAC1的法向量)1,0,2(2−=n0)1,0,2()2,2,1(21=−−=nn二面角DACE−−1的余弦值为0…………12分19.已知等差数列n

a的前n项为nS，满足32=a，255=S.（1）求数列na的通项公式.（2）若对任意*Nn，不等式1)31(1aa+maaananaa++)31()31()31(3232恒成立，求m的最小值.【答案】（1）12−=nan；（2）m的

最小值为3215（1）=+=+==25245532531152dadaSa==211da12−=nan…………4分（2）1253)31()12()31(5)31(3311−−++++

=nnnT121253)31()12()31()32()31(3)31(191+−−+−+++=nnnnnT………6分相减得121253)31()12(])31()31()31[(23198+−−−++++=nnnnT121)31()12(911

)911(27123198+−−−−−+=nnnnT121)31()12(911)911(27123198+−−−−−+=nnnnT12121333119158515(21)832329383232332nnnnnTn−+−+=+−−−=−………12分m的最小值

为3215学科网（北京）股份有限公司试题解析第24页20.若一个学期有3次数学测试，已知甲同学每次数学测试的分数超过90分的概率为13，乙同学每次数学测试的分数超过90分的概率为12.（1）求事件：“甲同学在3次测试中恰有1次超过90分且第

2次测试的分数未超过90分”的概率；（2）若这个学期甲同学数学测试的分数超过90分的次数为X，乙同学数学测试的分数超过90分的次数为Y，求随机变量XY−的方差.【答案】（1）827；（2）1712【分析】（1）记所求事件为事件A，甲同学第i次测试的分数超过90分记事件iA，则

321321AAAAAAA+=，因为123,,AAA相互独立，所以278)()()()()()()()(321321321321=+=+=APAPAPAPAPAPAAAAAAPAP…………4分（2）记XY=−，由题意可得的可能取值有3,2,1,0,1,2,3−

−−，X∽)31,3(B，Y∽)21,3(B，…………6分()()()3303332113033227PPXPYCC=−=====，()()()()()332130213333321211120213323326PPXPYPXPYCCCC=

−===+===+=()11136P=−=，()7024P==，()11172P==，()1224P==，()13216P==，所以的分布列为()1113332

2EEXYEXEY=−=−=−=−222221111111171113210122726236224272D=−++−++−+++++2211111723

224221612++++=…………12分法二因为随机变量X与Y相互独立，则()DXYDXDY−=+，3−2−1−0123P12716113672411721241216学科网（北京）股份有限公司试题解析第

25页13,3XB，13,2YB，1221133,3333224DXDY====，()1712DXYDXDY−=+=21.已知曲线13:222=−byxC，焦点12,FF,)0,3(),0,3(21AA−,P是左支上任意一点（异于点1A

），且直线1PA与2PA的斜率之积为31.（3）求曲线C的方程；（4）直线1l为过P点的切线，直线2l与直线1PF关于直线1l对称，直线2l与x轴的交点D，过点D作直线1l的平行线与曲线C交于BA,两点，求PAB面积的取值范围。【答案】（1）曲线C

的方程1322=−yx；（2）),3321(++解：（1）设),(00yxP()01-33133-030020202020000021==−=−+−=yyxxyxyxykkPAPA…………2分所以曲线C的方程为22-13x

y=……4分（2）（i）法一:设),(11yxQ，且Q与1F关于直线1l对称，QF中点−2,2211yx过P点的切线方程13:001=−yyxxl,即00013yxyxy−=………5分直线)

(3:00002xxxyyyl−−=−,即00043yxxyy+−=由=+=−−=0011010013-1122321xyxykyxyxyQF解得()+−=−++=23941864-1001200201xxyyxxxx设直线)(:0

01010xxxxyyyyPQ−−−=−即0101010101xxxyyxxxxyyy−−+−−=学科网（北京）股份有限公司试题解析第26页())(949124-012000000300101xxxxyyxyxxxyyk−

−−−=−−=())(941824801200000020011001xxxxyyxyxxxyxyxb−−++=−−=即()2,2−=+=−=xkbkxykb，所以直线2l过定点)0,2(，即点D是定点，且是点2F…8分法二：结合模型可知，该题考察双曲线的光学性质

，故反射光线必经过另一个焦点，即点2F，下证直线2l经过定点)0,2(……………………6分由图可得，若定点为2F,则必有直线PM平分角21PFF.则要证直线2l经过定点)0,2(,即证直线PM为21PFF的角平分线。由双曲线焦半径公式可得：3332001−−=

−−=xaexPF，3332002+−=+−=xaexPF设直线与x轴的交点为)0,3(0xMM，，则23,230201+−=+=xMFxMF21000021323233323332MFMFxxxxPFPF=+−−−=+−−−=得,由角平分线定理可知直线PM为21PFF

角平分线，故直线2l过定点经过定点()0,2.………………8分（ii）设直线),(),,(23443300yxByxAyxyxAB，：+=联立方程=−+=33232200yxyxyx，化简得01129-00220=++yxyyx由韦达定理可得9-,3420430043xyyyx

yy==+……………………9分()−=−+=−33494420204324343xxyyyyyy学科网（北京）股份有限公司试题解析第27页−+=−+=334943131202020043200xxxyyyxyAB,20003123

+−=xyxddABS=21化简得2736163163103040−+−=xxxS…………………10分令)3(,273616316)(03040−−+−=xxxxxf，3648364)(2030

'+−=xxxf()单调递减，单调递增)(0)3()()(,3,'''xffxfxfyx−=−−,31221)3()(+=−fxf,33213122131+=+S++，3321S……………………12分22.

已知函数)ln1()(xxxf−=.（1）求)(xf的单调区间；（2）设a，b为两个不相等的正数，且babaab−=−lnln，证明：eba+112.【答案】（1）()fx的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函

数的单调区间；（2）设1211,xxab==，原不等式等价于122xxe+，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21xtx=，从而把12xxe+转化为()()1ln1ln0tttt−+−在()1,

+上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为()0,+，又()1ln1lnfxxx=−−=−，……………………2分当()0,1x时，()0fx，当()1,+x时，()0fx，故()fx的递增区间为()0,

1，递减区间为()1,+.……………………4分学科网（北京）股份有限公司试题解析第28页（2）因为lnlnbaabab−=−，故()()ln1ln+1baab+=，即ln1ln+1abab+=，故11ffab=，……………………5分设1211,xxab

==，由（1）可知不妨设1201,1xx.因为()0,1x时，()()1ln0fxxx=−，(),xe+时，()()1ln0fxxx=−，故21xe.先证：122xx+，若22x，12

2xx+必成立.若22x，要证：122xx+，即证122xx−，而2021x−，故即证()()122fxfx−，即证：()()222fxfx−，其中212x.设()()()2,12gxfxfxx=−−，则()()()()2lnl

n2gxfxfxxx=+−=−−−()ln2xx=−−，因为12x，故()021xx−，故()ln20xx−−，所以()0gx，故()gx在()1,2为增函数，所以()()10gxg=，故()()2fxfx−，即()()222fxfx−成立，所以122x

x+成立，综上，122xx+成立.……………………8分设21xtx=，则1t，结合ln1ln+1abab+=，1211,xxab==可得：()()11221ln1lnxxxx−=−，即：()111ln1lnlnxttx−=−−

，故11lnln1tttxt−−=−，要证：12xxe+，即证()11txe+，即证()1ln1ln1tx++，即证：()1lnln111ttttt−−++−，即证：()()1ln1ln0tttt−+−，令()()()1

ln1ln,1Stttttt=−+−，学科网（北京）股份有限公司试题解析第29页则()()112ln11lnln111tStttttt−=++−−=+−++，先证明一个不等式：()ln1xx

+.设()()ln1uxxx=+−，则()1111xuxxx−=−=++，当10x−时，()0ux；当0x时，()0ux，故()ux在()1,0−上为增函数，在()0,+上为减函数，故()()max00uxu==，

故()ln1xx+成立由上述不等式可得当1t时，112ln11ttt++，故()0St恒成立，故()St在()1,+上为减函数，故()()10StS=，故()()1ln1ln0tttt−+−成立，即12xxe+成立.综上所述，112eab+

.……………………12分命题人：丰红平（13868817920）