【文档说明】湖北省郧阳中学、恩施高中、随州二中、襄阳三中2023年5月高二联考数学联考答案和解析.docx，共(22)页，1.349 MB，由小赞的店铺上传

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数学参考答案1.【答案】B【分析】甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，利用倍缩法求解即可.【详解】因为甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，所以不同的上台顺序种数为6633A120A=.故选：B.2【答案】B【分析】根据等比数列的性质得224816aa+=，再结合基本不等式即

可求解．【详解】各项均为正数的等比数列na中，由2651116aaaa+=，则224816aa+=，所以22484882aaaa+=，当且仅当4822aa==时等号成立，故48aa的最大值为8．故选：B．3【答案】A【分析】根据全

概率公式求得正确答案.【详解】设非团员中优秀学生的概率为x，则0.20.0040.80.001x+=，解得0.000250.025%x==.故选：A4【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.【详解】以

E为坐标原点，EB，ED，EI所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设ABBHa==，则()()()(),,0,,0,,0,0,,,,AaaHaaIaGaaa−，()()0,,,,,0AHaaIGaa==，设直线AH与直线IG所成角为，则()()

220,,,,01coscos,2222AHIGaaaaaAHIGaaaAHIG=====，故直线AH与直线IG所成角的余弦值为12.故选：D5【答案】C【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出()PA，

()PAB，根据条件概率公式()()()PABPBAPA=求解即可．【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则422212

114348CCCCC27()C35PA=+=，又1211434282CCCC24()C35PAB==，则()8()()9PABPBAPA==，即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为

89．故选：C．6【答案】A【分析】利用导数可得=1x−是函数()fx的极大值点，再利用题意列出不等式组即解.【详解】由()33fxxx=−得()2333(1)(1)fxxxx=−=+−，∴当1x−或1x时，()0fx¢>，当11x−时，()0fx，故=1x−是

函数()fx的极大值点，(1)132,f−=−+=令()332fxxx=−=，即2(1)(2)0xxx+−−=，∴=1x−，或2x=，又函数()fx在区间()2,8mm−上有最大值，∴222818182mmmmm−−−−

−，解得36m−−.故选：A.7【答案】D【分析】依题意不妨设2MCN=，则PCMPCN==，则根据平面向量数量积的定义得到221CMCNPC=−，再设(),Pxy，根据平面直角坐标系上任意两点的距离公式得到22228333PCy=−−+，最后根据二次函数的

性质计算可得；【详解】解：不妨设2MCN=，则PCMPCN==，所以22212cos2cos22cos1211CMCNCMCNPCPC===−=−=−，设(),Pxy，(1)y−则2214xy+=，可得2244xy=−，点()0,2C−，所以()()2222

2222282442348333PCxyyyyyy=++=−++=−++=−−+，因为11y−，所以当23y=时，2PC取得最大值283，所以CMCN的最小值为211128143−=−；故选：D8【答案】A【分析】相同切线的位置上，设()fx的切点坐标为()11,2l

nxax+，()gx的切点坐标为()222,1xax+，由导数求切点处切线的斜率，有2112xx=，由切点()11,2lnxax+求出切线方程，代入切点坐标()222,1xax+，得121111ln4xax=−−，方程要有两个不同的实数根，设()211ln

4hxxx=−−，利用导数研究单调性，找最值，可得1a的取值范围，即可得实数a的取值范围.【详解】0a=时，()2fx=，()1gx=，不合题意，故0a，()2lnfxax=+，函数定义域为()0,+，()afxx=，()21gxax=+，()2gxax=，相同切线的位置上，设

()fx的切点坐标为()11,2lnxax+，()gx的切点坐标为()222,1xax+，则有212aaxx=，即2112xx=，公切线方程为()111112ln2lnaaxyxxaxaaxxx=−++=−++代入()222,1xax+，得

2221112lnaxaxaaxx+=−++，即1221112ln42aaaaxxx+=−++，整理得121111ln4xax=−−，若存在两条不同的直线与函数()yfx=和()ygx=图像均相切，则方程121111ln4xax=−−有两个不同的实数

根，设()211ln4hxxx=−−，则()233111222xhxxxx−=−=，()0hx，解得202x；()0hx，解得22x，()hx在20,2上单调递增，在2,2+上单调递减，当22x=时函数(

)hx有最大值21ln222h+=，所以11ln22a+，当a<0时，符合条件；当0a时，有21ln2a+，所以实数a的取值范围为()2,0,1ln2−++.故选：A【点睛】方法点睛：证明两曲线恰有两条公切线，一般涉及到曲线的

切线都是利用切点来引入，通过假设切点，求出其中一条曲线的切线方程，利用切线方程与另一条曲线也相切可以得到切点满足的条件（方程），从而把曲线的切线问题转化为方程根的分布问题进而变成函数的零点问题，这就是

转化与化归思想。9【答案】BD【分析】根据二项分布的期望公式判断A；根据对立事件与互斥事件的关系判断B；根据方差公式判断C；根据正态分布的对称性判断D.【详解】对于A：随机变量X服从二项分布14,3B，则

()14433EX==，故A错误；对于B：“A与B是互斥事件”不能推出“A与B互为对立事件”，“A与B互为对立事件”能推出“A与B是互斥事件”，故“A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件，故B正确；对于C：随机变量X的方差为

()DX，则()()234DXDX−=，故C错误；对于D：因为随机变量X服从正态分布()24,N且()60.85PX=，根据对称性可知，()20.15PX=，所以()240.50.150.35PX=−=，故D正确．故选：BD．1

0【答案】AC【分析】直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断AB；分别求点,AB处的切线方程，联立切线方程求点P的坐标，即可判断C；设200,4yMy，利用两点间距离，结合二次函数求最值，即可判断

D.【详解】A.设()11,Axy，()22,Bxy，联立243yxxmy==+，得24120ymy−−=，124yym+=，1212yy=−，()()1212121233OAOBxxyymymyyy=+=+++()()21212139myymyy=++++()2121

3493mmm=−+++=−，故A正确；B.因为()9,6M−，直线AM与BM倾斜角互补，所以12121212666609966AMBMyyyykkxxmymy+++++=+=+=−−−−()()()12122121226672063

6myymyymyymyy+−+−=−++，()()22212664720122436mmmmm−+−−=−−+，得24824720mm−+−=，且221224360mm−−+，即2230mm−−=，且2

1m解得：3m=，故B错误；C.设点A在x轴上方，B在x轴下方，211,4yAy，222,4yBy，x轴上方的抛物线方程为2yx=，x轴下方的抛物线方程为2yx=−，此时在点

A处的切线的斜率1112kyx==，点B处的切线的斜率2212kyx=−=，所以点A处的切线方程为211124yyyxy−=−，点B处的切线方程为222224yyyxy−=−，方程化简为211122yyxy=+，222122yyxy=+，

两式相除化简得1212344yyx−===−，故C正确；D.设200,4yMy，()3,0Q,2222200031844yyMQy=−+=−+，当204y=时，MQ的最小值为

22，故D错误.故选：ABC11【答案】ABC【分析】将正四面体ABCD−放入正方体DEBFGAHC−中，建立空间直角坐标系，对每个选项逐一分析即可．【详解】将正四面体ABCD−放入正方体DEBFGAHC−中，以点D为原点，以DE，DF，DG所在直线为x轴，y轴，z轴，如图所示，对于B：若3

CPPN=，则14NPNC=，所以222(,,)222OP=，因为(0,2,2)BA=−，(2,0,2)BC=−，设平面ABC的一个法向量为1(,,)nxyz=，则220220yzxz−+=−+=，取1x

=，则1(1,1,1)n=，因为122OPn=，所以OP⊥平面ABC，即DP⊥平面ABC，故B正确；对于C：因为点N的坐标为2222(,,)333，点M的坐标为222222(,,)333，所以22(0,,)

33MN=−−，设平面ACD的一个法向量为3(,,)nxyz=，因为(2,0,2)OA=，(0,2,2)OC=，所以220220xzyz+=+=，取1x=，则3(1,1,1)n=−，因为30MNn=，且直线MN平面ACD，所以直线//MN平面ACD，所以点N

到平面ACD的距离就是直线MN到平面ACD的距离，则点N到平面ACD的距离332226393ONndn===，即直线MN到平面ACD的距离为269对于D：因为正四面体ABCD−的长为2，所以正方体的棱长为2，则(2,0,2)A，(2,2,0)B，(0,2,2)C，因为点M，N分别为ABC和A

BD△的重心，所以点N的坐标为2222(,,)333，点M的坐标为222222(,,)333所以222222(,,)333NC=−设NPNC=，则NP=222222(,,)333−，所以2222222222(,,)33

3333OPONNP=+=−++，所以2222222222(,,)333333AP=−−+−+，2222222222(,,)333333BP=−−−++，对于Ａ：因为2222214(2882888168)(21)9

3AP=++++++−+=+，2222214(2888168288)(21)93BP=+++−++++=+，所以2224443(21)(21)21333APBP+=+++=+，当0=

时，即CPCN=，0PN=，取得最小值433，故D错误；故选：ABC．12【答案】BD【分析】利用函数的性质可判断A，观察到()(e)xgfx=，进而找到1234,,,xxxx之间的关系，利用对勾函数的性质求出34xx+的范围，由等比数列的性质及1234,,,xxxx之间的关系将问题转

化为方程解的问题，利用函数单调性及零点存在定理即可判断C，由等差数列的性质及1234,,,xxxx之间的关系即可求出3x的值，即可判断D.【详解】∵()()()()()eeeexxxxfxxaxafx−−−=−−+=−+=，∴()fx为偶函数，∴()fx关于y轴对称，∵

12,xx是函数()()ee−=−+xxfxxa的零点，∴()()120fxfx==，且12xx=−，∵12xx，∴120xx，当0x时，()ee0xxx−−，当0x时，()ee0xxx−−，当0x=时，()ee0xxx−−=，则想要()fx有两个零点，则a<0，故A错误；

∵34,xx是函数1()lngxxxax=−+的零点，∴()()340gxgx==，且34xx，又∵()1(e)elneee()exxxxxxgaxafx−=−+=−+=，∴()11()e0xfxg==，()22

()e0xfxg==，∵12xx，34xx，∴12eexx，且1234e,exxxx==，∴1234exxxx+=，∵120xx+=，∴341xx=，∴3301xx，∴3401xx，∵3a−，∴188(3)3ln3ln31.33103ga

aa=−+=++，()10ga=，()40gx=，∴43x，即34441xxxx+=+，由对勾函数的性质可知441110333xx++=，故B正确；∵124,,xxx成等差数列,且23xx=∴3142xxx=+，∴3123333111

2xxxxxxx=+=−+=−+，∴2331x=，解得3233xx==，此时43x=，则与24exx=矛盾，故C不正确.∵234,,xxx成等比数列,∴2243xxx=,∴22331xxx=，∴323xx

=，∴313xx−=，∴131exx−=，∴131+e0xx=，令()3exhxx=+，()313e0xhx=+，则()hx在(),0−上单调递增，其中()01h=>0，()31110eh−=−+，故()hx在(),0−上存在唯一的零点，即方程131+e

0xx=有解，则存在实数a，使得234,,xxx成等比数列，故D正确；故选：BD.13.51114【答案】cba【分析】构造函数()22lnfxxx=−，()exgxx=−，()()1fag=，()()2fbg=，()()3fcg=，分别利

用导数研究函数()fx在()0,1上的单调性和()gx在()0,+上的单调性，即可比较大小.【详解】设()22lnfxxx=−，()exgxx=−，则()222(1)2xfxxxx−=−=，()e

1xgx=−，由题意知，()()1fag=，()()2fbg=，()()3fcg=，因为()e10xgx=−在()0,+上恒成立，所以()gx在()0,+上单调递增，所以()()()123ggg，即()()()fafbfc，因为()22(1)0xfxx−=在()

0,1上恒成立，所以()fx在()0,1上单调递减，所以cba.故答案为：cba15【答案】102/1102【分析】设BFm=，则3CFm=，由双曲线的定义可得2,23BFamCFam==++，由题意可知四边形A

FBF为矩形，在RtBCF中，由勾股定理解得ma=，在RtFBF中，由勾股定理可求得离心率.【详解】如图所示，设双曲线E的左焦点为点F，连接,,CFAFBF，设BFm=，则3CFm=，由双曲线的定义可得2,23BFamCFam==++，由

于0AFBF=，则AFBF⊥,又,OAOBOFOF==，则四边形AFBF为矩形，在RtBCF中，由勾股定理得222||CFBCBF=+，即2(23)am+=2216(2)mam++，解得,,3maBFaBFa=

==，在RtFBF中，由勾股定理得222||BFBFFF+=，即22294aac+=，221010,42cea==．故答案为：102.16【答案】59111232n+【分析】记事

件iA表示从第i个盒子里取出白球，利用全概率公式可得()()()()()212112159PAPAPAAPAPAA=+=，进而可得()()11133nnPAPA−=−，然后构造等比数列，求通项公式即得.

【详解】记事件iA表示从第()1,2,,iin=个盒子里取出白球，则()123PA=，()()11113PAPA=−=，所以()()()()()()()212121211212211533339PAPAAPAAPAPAAPAPAA=+=

+=+=，()()()()()()()()3232232222211114333327PAPAPAAPAPAAPAPAPA=+=+=+=，()()()()()()()()434334333321113333PAPAPAAPAPAAPAPAPA=+=+=+，进而可

得()()11133nnPAPA−=+，()()1111232nnPAPA−−=−，又()11126PA−=，()211218PA−=，()()21111232PAPA−=−，所以()12nPA−

是首项为16，公比为13的等比数列，所以()11111126323nnnPA−−==，即()111232nnPA=+，故答案为：59；111232n+.17【答案

】(1)21nan=−(2)()12524nnbn−=−+【分析】（1）根据1nnnaSS−=−结合题意可得nS是以11S=为首项，1为公差的等差数列，进而可得na的通项公式；（2）根据累加法与错位相减法求解即可.【详解】（1）由1

nnnaSS−=+，得11nnnnSSSS−−−=+，因为0nS>，所以11nnSS−−=，所以nS是以11S=为首项，1为公差的等差数列，所以1(1)nSnn=+−=，所以，当2n时，1121nnnaSSnnn−=+=+−=−，当1n=时，11a=也满足上式，所以数列na的通项公式

为21nan=−．（2）由1112(21)2nnnnnbban−−+−==−知：当2n时，121321()()()nnnbbbbbbbb−=+−+−++−，01211232(23)2nn−=++++−①，则121221232(23)2nnbn−=++++−②，由−①②

得：2122112(21)2(222)(23)22(23)221nnnnnbnn−−−−−−=+++−−=−−−，化简得：1(25)24(2)nnbnn−=−+，当1n=时，11b=也满足上式，所

以数列nb的通项公式为1(25)24nnbn−=−+．18【答案】(1)分布列见解析，2110(2)答案见解析【分析】（1）由题意Y的可能取值为0，1，2，3．利用超几何分布求出对应的概率，进而可得分布列，结合数学期望公式计算即可求解；（2）利用间接求法和题意中给的

数据求出(6)PX的概率，结合概率的定义和表示意义即可下结论.【详解】（1）Y的可能取值为0，1，2，3．()33310C10C120PY===；()2137310CC211C120PY===；()1237310CC632C120P

Y===；()0337310CC353C120PY===．所以Y的分布列如下：Y0123P1120211206312035120121633521()012312012012012010EY=+++=．（2）(6)1(7)

(8)(9)(10)PXPXPXPXPX=−=−=−=−=()()()()()()()7382911078910101010101C0.90.1C0.90.1C0.90.1C0.9=−−−−001

3．.0.013概率非常小，因此中奖人数不超过6人是小概率事件，在一次试验中几乎不可能发生，而现在发生了，从这个角度，就可以怀疑商场是虚假宣传．换一个角度，因为样本数据较少，中奖人数不超过6人是一个随机事件，在一次试验中可能发生，所以从这个角度也可以不怀疑商场的宣

传.19【答案】(1)证明见解析(2)33【分析】（1）先证明BC⊥平面1ABC,再根据线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，设1CECC=，求出平面1ABE的一个法向量，根据平面1ABE与平面ABC的夹角的余弦值求得

参数，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）连接1AB与1AB相交于点F，连接CF，如图所示：∵四边形11AABB为菱形，∴F为1AB的中点，则11ABAB⊥．1ABCV为等边三角形，有1CFAB⊥，1,ABCF平面1ABC，1ABCFF=，∴1A

B⊥平面1ABC,BC平面1ABC，∴1ABBC⊥，又ACBC⊥，1,ABAC平面1ABC，1ABACA=，∴BC⊥平面1ABC,∵1CB平面1ABC，∴1CBCB⊥．（2）由（1）知1CBCB⊥，CACB⊥，且11,,CBACCCBAC=平面1ABC，故CB⊥平面1ABC，而CB平面

ABC，故平面1ABC⊥平面ABC，分别取,ACAB的中点,OG，连接1,BOOG，则//OGBC，∴OG⊥平面1ABC，1ABCV为等边三角形，1BOAC⊥，而平面1ABC平面ABCAC=，1BO平面1

ABC，故1BO⊥平面ABC，以O为原点，OG，OC，1OB的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,2,0)A−，(0,2,0)C，(4,2,0)B，1(0,0,23)B，设()11(4,2,23)

01CBECBC==−−=，则()4,22,23E−−，∴()4,42,23AE=−−，()10,2,23AB=，设平面1ABE的一个法向量(),,nxyz=，则有()14422302230AEnxyzABnyz=−+−+==+=

，令z=，则=3y−，33x=−，即()33,3,n=−−，又∵平面ABC的法向量为()10,0,23OB=，∴平面1ABE与平面ABC的夹角的余弦值为()122243c13231os,23nOB=−=++,∴23210+−=，

∴13=或1=−（舍），此时2331,,333n=−−，又()4,4,0AB=，∴点B到平面1ABE的距离为：22243332331333nABn==−+−+．20【答案】(

1)分布列见解析，()30772=EX(2)方案二，理由见解析(3)28（万元）【分析】（1）根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式，计算出概率，列分布列即可得出期望；（2）根据方案二，按照（1）的方法计算期望，比较方案一的期望即可；（3）根据正态

分布，利用给定区间的概率计算即可得解.【详解】（1）对于方案一，由条件可知X有可能取值为3，4，5，6，()111132228PX===，()12211211137423322322272PX==++=，()11

5121111152362332233PX==++=，()1111623636PX===，∴X的分布列为：X3456P18377213136期望值()13711307345687233672EX=+++=.（2）对于方案二，由条件可得Y值为3，4，5，6，()3336

C13C20PY===，()123336CC94C20PY===，()123336CC95C20PY===，()3336C16C20PY===，∴Y的期望值()199193456202020202EY=+++=∵()()EYEX所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高.

（3）由（1）（2）可知，平均每位员工获得奖金的数学期望的最大值为()4.5EY=，则给员工颁发奖金的总数为4.510004500=（万元），设每位职工为企业的贡献的数额为，所以获得奖金的职工数约为()()()10001100011

510002PPP−−+=+=.()100010.6826158.71592−=（人）则获奖员工可以获得奖金的平均数值为450028159（万元）.21【答案】(1)方程为24xy=．(2)方程为2(

1)yx=−．【分析】（1）直线AB的方程为(1)2pyx=−−，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式求出p的值，即可得解；（2）设直线AB的方程为(1)(0)ykxk=−，与抛物线联立可得124xxk

=，直线AQ的方程1122yyxx+=−与抛物线联立，设()33,Exy，则318xx=，设()44,Fxy，同理可得428xx=，利用三角形面积公式可得12341||||sin222122||||sin2QABQEFQAQBAQBSyySyyQEQFAQB++==++△△22

21216442xxk===，求解即可.【详解】（1）设()()1122,,,AxyBxy，因为抛物线C的焦点为0,2p，所以当直线l过C的焦点时，直线AB的方程为(1)2pyx=−−，由()2122?pyx

xpy=−−=得2220xpxp+−=．则221212,xxpxxp+=−=−，()()()22224221122214||1114844442pppppABxxxxxxpp+=+−=++=++=

−=，整理得()32416(2)280ppppp+−=−++=，所以2p=，故抛物线C的方程为24xy=．（2）易知直线AB的斜率在且不为零，设直线AB的方程为(1)(0)ykxk=−，由2(1)4ykxxy=−=得244

0xkxk−+=，则216160kk=−，即1k或0k，124xxk=．易知直线AQ的方程为1122yyxx+=−，由112224?yyxxxy+=−=得()1214280yxxx+−+=，

设()33,Exy，则133188,xxxx==，设()44,Fxy，同理可得428xx=，则12341||||sin22||||21||||22||||sin2QABQEFQAQBAQBSyyQAQBSQEQFyyQEQFAQB++===++△△()()2222

121222342212111228844161111112216164488xxxxxxxx++++==++++222212161646442x

xkk====，得22,2kk==，故直线AB的方程为2(1)yx=−．22【答案】(1)ea(2)ex比1exa−+更接近lnx，理由见解析【分析】（1）根据已知条件转化为最值问题，讨论()fx的单调性，从

而求出a的取值范围；（2）根据已知条件转化为比较两个函数的大小，利用函数的单调性，求出ex比1exa−+更接近lnx【详解】（1）因为存在)01,x+，使得()0efxa−成立，即()minefxa−由题设知，()exf

xa=−，①当0a时，()0fx¢>恒成立，()fx在R上单调递增；即()fx在)1,+单调递增，()min(1)efxfa==−，不满足()minefxa−，所以0a舍去.②当0a时，令()0fx=，得lnxa=，当(),lnxa−时()0fx，()fx单调递减，

当()ln,xa+时()0fx¢>，()fx单调递增；当ea时，()fx在)1,+单调递增，()min(1)efxfa==−，不满足()minefxa−，所以ea，舍去.当ea时，ln1a，()fx在()1,lna单调递减，在()ln,a+单调递增，所以()min

(ln)(1)efxfafa==−成立，故当ea时成立.综上：实数a的取值范围ea.（2）令()elnpxxx=−，1x()2e10pxxx=−−，()px在)1,+单调递减．因为()e0p=故当1ex时，()()e0pxp

=；当ex时，()0px；令()1elnxqxax−=+−，1x()11exqxx−=−，令()11exhxx−=−，()121e0xhxx−=+，()hx在)1,+单调递增，故()()10hxh=，所以()(

)0qxhx=，则()qx在)1,+单调递增，所以()()11qxqa=+，由（1）知ea，()()110qxqa=+;①当1ex时，()0px，()0qx,令()()()()()1eexmxpxqxpxqxax−=−=−=−−，

所以()12ee0xmxx−=−−，故()mx在1,e单调递减，所以()()1e1mxma=−−，由（1）知ea，所以()()1e10mxma=−−，即()()()0mxpxqx=−，故()()pxqx，所以ex比1exa−+更接近lnx；②当ex

时，()0px，()0qx，令()()()()()1e(ln)(eln)xnxpxqxpxqxxaxx−=−=−−=−−−+−1e2lnexxax−=−+−−，()12e2exnxxx−=+−，令()12e2expxxx−=+

−，()3122e20expxxx−=−−−，()px在(e,+)上单调递减，所以()e13(e)e0epxp−=−，()()0nxpx=，()nx在(e,)+单调递减，所以()()e1e1enxna−=−−，由（1）知ea，所以()()e1e

1e0nxna−=−−，即()()()0nxpxqx=−，故()()pxqx，所以ex比1exa−+更接近lnx；综上：当ea及1x，ex比1exa−+更接近lnx．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com