【文档说明】宁夏石嘴山市第一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，1.263 MB，由小赞的店铺上传

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石嘴山市第一中学2024-2025学年高二年级9月月考数学试题一、单选题1.已知集合31,12AxxBxx=−=−，则AB=（）A.32xx−B.11xx−C.2,1,0,1−−D.1,0−【答案】A【解析】【分析】利用交集的定义直接求解并判

断即可.【详解】集合31,12AxxBxx=−=−，所以32ABxx=−.故选：A2.已知复数z满足(2i)12iz−=−，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求出

复数z，再利用复数的几何意义求解即得.【详解】依题意，12i(12i)(2i)43i43i2i(2i)(2i)555z−−+−====−−−+，所以复数z在复平面内对应的点43(,)55−在第四象限.故选：D.3.与直线2310xy++=平行且过点()

0,1的直线方程是（）A.2330xy+−=B.3220xy+−=C.2330xy−+=D.3220xy−+=【答案】A【解析】【分析】设所求直线方程为230xyC++=，代入点的坐标求得C，即可得出答案.【详解】设所求直线方程为230xyC++=，

又过点()0,1，则可得30C+=，解得3C=−，则所求直线方程为2330xy+−=故选：A4.圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为()A.2B.22C.1D.【答案】D【解析】【详解】圆心为()1,2−,点到直线10xy−−=的距离为222=.故选D

.5.若直线:3lykx=−与直线2360xy+−=的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A.ππ,63B.ππ,62C.ππ,32D.ππ,62【答案】D【解析】【分析】法一：联立直

线方程求交点，根据所在象限求斜率k范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线2360xy+−=位于第一象限部分的端点，结合直线l与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围.【详解】法一：联立两直线方程，得32360ykxxy

=−+−=，解得3362362323xkkyk+=+−=+，所以两直线的交点坐标为336623(,)2323kkk+−++.因为两直线的交点在第一象限，所以336023623023kkk++−

+，解得33k，设直线l的倾斜角为θ，则3tan3，又[0,π)，所以ππ(,)62.法二：由题意，直线l过定点(0,3)P−，设直线2360xy+−=与x轴、y轴的交点分别为(3,0),(0,2)BA.如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象

限，易知33PBk=，∴PBl的倾斜角为π6，PAl的倾斜角为π2.∴直线l倾斜角的取值范围是ππ(,)62.故选：D6.若圆222610xyxy+−−+=上恰有三点到直线ykx=的距离为2，则k的值为（）A.12B

.34C.43D.2【答案】C【解析】【分析】圆222610xyxy+−−+=的圆心()1,3C，半径3r=，由圆上恰有三点到直线ykx=的距离为2，得到圆心()1,3C到直线ykx=的距离为1，由此能

出k的值．【详解】由222610xyxy+−−+=得()()22139xy−+−=，所以圆心()1,3C，半径3r=，因为圆上恰有三点到直线ykx=的距离为2，所以圆心()1,3C到直线ykx=的距离为1，即2311kdk−==+，解得43k=，的故选

：C．7.已知点P是椭圆22:1164xyM+＝上的动点，过P作圆221Nxy+：＝的两条切线分别为切于点AB、，直线AB与xy，轴分别相交于CD，两点，则COD△（O为坐标原点）的最小面积为（）A.1B.12C.14D.18【答案】D【解析】【分析】根据题意，设112200AxyBxyP

xy（，），（，），（，），由圆的切线方程可得PAPB、的方程而PAPB、交于00（，）Pxy，由此能求出AB的直线方程，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值．【详解】根据题意，设112200AxyBxyPxy（，），（，），（，），PA是

圆的切线且切点为A，则PA的方程为111xxyy+＝，同理PB的方程为221xxyy＝，+又由PAPB、交于点P，则有1010202011xxyyxxyy++＝，＝，则直线AB的方程为001xxyy+＝，则C的坐标为01,0,Dx的坐标为010,,y

00111•,22||OCDSOCODxy＝＝又由点P是椭圆22164xyM：+＝1的动点，则有22001,164xy+=则有2222000000112164644xyxyxy=+=，即004xy，001111•228OMNSOMONxy＝

＝即OMN面积的最小值为18.故选.D【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与圆相切，关键是由圆的切线方程分析得到直线AB的方程．二、多选题8.下列命题中正确的是（）A.若ab，则22acbcB.若ab，则22

abC.若0,0abm，则bmbama++D.若15,23ab−，则43ab−−【答案】CD【解析】【分析】举例说明判断AB；作差判断C；利用不等式的性质推理判断D.【详解】对于A，ab，当0c=时，22acbc=，A错误；对于B，由于23−−，而有22

(2)(3)−−，B错误；对于C，由0,0abm，得()0()bmbmabamaaam+−−=++，即bmbama++，C正确；对于D，由23b，得32b−−−，而15a−，于是43ab−−，D正确.故选：CD9.下列说法正确的有（）A.不等式21131xx−+的

解集是12,3−−B.“11ab，”是“1ab”成立的充分条件C.命题2:0，pxxR，则200:0pxxR，D.“5a”是“3a”的必要条件【答案】ABCD【解析】【分析】逐一判断各

选项正误即可.【详解】对于A，()()21213121100231023131313xxxxxxxxxx−−−−+++−−+++.故A正确；对于B，“11ab，”可以得到“1ab”，故“11ab，”是“1ab”

成立的充分条件，故B正确；对于C，2:0，pxxR的否定为2000xxR，，故C正确；对于D，由“3a”可得“5a”，故“5a”是“3a”的必要条件，故D正确.故选：ABCD10.已知正方形ABCD在平面直角坐标系x

Oy中，且AC：210xy−+=，则直线AB的方程可能为（）A.310xy++=B.310xy−+=C.310xy++=D.310xy−+=【答案】BC【解析】【分析】由正方形的特征可知，直线AB与直线AC夹角为π4，由直线AC斜率利用两角差的正切公式求出直线AB的斜率，对照

选项即可判断.【详解】设直线AB的倾斜角为，直线AC的倾斜角为，直线AC斜率为2，有tan2=，则ππ42.依题意有π4−=或π4−=，当π4−=时，()tantanπtantan1tantan4−−==+，即tan

2112tan−=+，解得tan3=−，即直线AB的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合；当π4−=时，()tantanπtantan1tantan4−−==+，即2tan112tan−=+，解得1t

an3=，即直线AB的斜率为13，B选项中的直线斜率符合.故选：BC11.下列结论正确的是（）A.已知点(),Pxy在圆()()22:112Cxy−+−=上，则xy+的最大值是4B.已知直线10kxy−−=和以()()3,1,3,2MN−为端点的线段相交

，则实数k的取值范围为213k−C.已知(),Pab是圆222xyr+=外一点，直线l的方程是2axbyr+=，则直线l与圆相离D.若圆()()()222:440Mxyrr−+−=上恰有两点到点()1,0N的距离为1，则r的取值范围是()4,6【答案】AD【解析】【分析】利

用三角代换可判断A；求出直线10kxy−−=所过定点，结合图形可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；转化为两圆相交问题可判断D.【详解】A选项，因为点𝑃(𝑥,𝑦)在圆()()22:112Cxy−+−=上，所以π12cos12sin22sin()44xy+=++

+=++，当π4=时，xy+取得最大值4，故A正确；B选项，由()()010kxy−−+=，所以01xy==−，即直线10kxy−−=过点()0,1P−，因直线和线段相交，故只需1PNkk=或23PMk

k=−，故B错误；C选项，圆222xyr+=的圆心()0,0到直线2axbyr+=的距离222rdab=+，而点(),Pab圆222xyr+=外一点，所以222abr+，所以2222rrdrrab==+，所以直线与圆相交，故C错误；D选项，与点()1,0N的距

离为1的点在圆()2211xy−+=上，由题意知圆()()()222:440Mxyrr−+−=与圆()2211xy−+=相交，所以圆心距5dMN==，满足151rdr−=+，解得46r，故D正确.故选：AD三、填空题12.圆心在直线y＝x

上且与x轴相切于点()1,0的圆的方程是______．【答案】()()22111xy-+-=【解析】为是【分析】由条件确定圆心和半径，再求圆的方程.【详解】设圆的圆心(),ab，半径为r，由条件可知1abr===，所以圆的方程是()()22111xy-+-=.故答案为：()()22111

xy-+-=13.若三点()2,2A，(),0Ba，()0,Cb，（0ab）共线，则11ab+的值等于___________.【答案】12##05【解析】【分析】由三点共线，利用斜率的公式可得12abab+=，进而可求目标式的值.

【详解】由题知，直线AC的斜率存在，由三点共线可知2a.由ABACkk=得：202220ba−−=−−，即12abab+=，又0ab，∴1112ab+=.故答案为：1214.如图，平面中两条直线1l和2l相交于点O.对于平面上任意一点M，若p､q分别是M到直线1l和2l的距离，

则称有序非负实数对(,)pq是点M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是___________.【答案】4【解析】【分析】画出到直线1l距离为1的点的轨迹和到直线2l距离为2的点的轨迹，交点即为“距离坐

标”是()1,2的点..【详解】作直线a，b与直线1l平行，且与直线1l的距离为1，作直线c，d与直线2l平行，且与直线2l的距离为2，由图可得，a，b，c，d有4个交点，即“距离坐标”是()1,2的点个数为

4.故答案为：4.四、解答题15.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为33，且过点232,3．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线:1lykx=+与椭圆C交于A，B两点，点P是y轴上的一点，过点A作直线PB的垂线，垂足为M，

是否存在定点P，使得PBPM为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22164xy+=（2）存在定点1(0,)4P，定值为6316−【解析】【分析】（1）根据题意得3,2acbc==，将点代入方程即可解决；（2）1122(0,),(,),(,)PtAxy

Bxy，结合韦达定理得PBPMPBPA=222292(1)(312)23ttkk−+−+−=+，即可解决【小问1详解】由题知，3,3,23cacbca===，所以椭圆C为2222132xycc+=，由点232,3

在椭圆上得2242133cc+=解得22c=，故椭圆方程为22164xy+=【小问2详解】设1122(0,),(,),(,)PtAxyBxy，由221641xyykx+==+，得22222(23)690,3

636(23)144720,kxkxkkk++−==++=+所以12122269,2323kxxxxkk+=−=−++，所以()PBPMPBPAAMPBPAPBAMPBPA=+=+=1122(,)(,)xytx

yt=−−1212(1)(1)xxkxtkxt=++−+−221212(1)(1)()(1)kxxktxxt=++−++−222296(1)()(1)()(1)2323kkkttkk=+−+−−+−++222292(1)(312)23ttkk−+−+−=+，所

以2231292(1)32tt−−+−=，解得14t=，所以存在定点1(0,)4P，使得PBPM为定值6316−.16.已知圆()22:00Cxyaxbya++−=关于直线2yx=−对称，且过点()0,8P．（1）求证：圆C与直线2160xy+−=相切；（2）若直线l过点()1,0与圆C交于A

B、两点，且AB4=，求此时直线l的方程．【答案】（1）证明见解析（2）0y=或247240xy−−=．【解析】【分析】（1）根据圆心在直线2yx=−以及点()0,8在圆上，即可求解8b=，4a=，进而根据点到直线

的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解，（2）利用圆的弦长公式可得4d=，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程.【小问1详解】圆22:0Cxyaxby++−=化为标准方程，即2222224ababxy+++−=

，则因为圆C关于直线2yx=−对称，所以222ba−=−，所以2ba=，因为圆C过点()0,8，所以2880b−=，所以8b=，得4a=，所以圆C方程为22:480Cxyxy++−=，圆心坐标为()2,4−，半径为25，故点C到直线2160xy+−=的距离为2

816255−+−=，所以C与直线2160xy+−=相切，【小问2详解】设直线l方程为()1ykx=−，即kxyk0−−=，设圆心C到直线l的距离为()222524d=−=，所以22441kkk−−−=+，

得27240kk+=，所以240,7kk==，所以直线l的方程为0y=或()2417yx=−．即0y=或247240xy−−=．17.已知点()2,2P，圆22:80Cxyy+−=，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|

|||OPOM=时，求l的方程及POM的面积．【答案】（1）22(1)(3)2xy−+−=；（2）l的方程为1833yx=−+，POM的面积为165.【解析】【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由CM与MP数量积等于0列式得M的轨迹方程；（2）设

M的轨迹的圆心为N，由||||OPOM=得到ONPM⊥．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．【详解】解：（1）由圆2

2:80Cxyy+−=，即𝑥2+(𝑦−4)2=16，圆C的圆心坐标为()0,4C，半径4r=．设(,)Mxy，则(,4)CMxy=−，(2,2)MPxy=−−．由题意可得0CMMP=，即(2)(4)

(2)0xxyy−+−−=．整理得22(1)(3)2xy−+−=．M的轨迹方程是22(1)(3)2xy−+−=．（2）由（1）知M的轨迹是以点(1,3)N为圆心，2为半径的圆，由于||||OPOM=，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM⊥．3ONk=，直线l的斜率

为13−．直线PM的方程为12(2)3yx−=−−，即380xy+−=．则O到直线l的距离为22|8|410513−=+．又N到l的距离为|11338|10510+−=，210410||22()55PM=−=．1

410410162555POMS==△．18.如图，在四棱锥PABCD−中，//BCAD，1ABBC==，3AD=,点E在AD上，且PEAD⊥，2PEDE==．（1）若F为线段PE中点，求证：//BF平面PCD．（

2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3030【解析】【分析】（1）取PD的中点为S，接,SFSC，可证四边形SFBC为平行四边形，由线面平行的判定定

理可得//BF平面PCD.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB和平面PCD的法向量后可求夹角的余弦值.【小问1详解】取PD的中点为S，接,SFSC，则1//,12SFEDSFED==，而//,2EDBCEDBC=，故//,SFBCSFBC=，故四边形SFBC为平行四边形，故//

BFSC，而BF平面PCD，SC平面PCD，所以//BF平面PCD.【小问2详解】因为2ED=，故1AE=，故//,=AEBCAEBC，故四边形AECB为平行四边形，故//CEAB，所以CE⊥平面PAD

，而,PEED平面PAD，故,CEPECEED⊥⊥，而PEED⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2ABCDP−−，则()()()()0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,PAP

BPCPD=−−=−−=−=−设平面PAB的法向量为(),,mxyz=，则由00mPAmPB==可得2020yzxyz−−=−−=，取()0,2,1m=−，设平面PCD的法向量为(),,nabc=，则由00nPCnPD==可

得20220abbc−=−=，取()2,1,1n=，故130cos,3056mn−==−，故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为303019.为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的正东方向设立了两个观测站A和B

（点A在点O､点B之间），它们到平台O的距离分别为1海里和4海里，记海平面上到两观测站的距离,PAPB之比为12的点P的轨迹为曲线E，规定曲线E及其内部区域为安全预警区（如图）.（1）以O为坐标原点，1海里为单位长度，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求曲线E

的方程；（2）海平面上有巡航观察点Q可以在过点B垂直于AB的直线L上运动.（i）若M为PB中点，求PMPQ+的最小值；（ii）过Q作直线,QCQD与曲线E相切于点,CD.证明：直线CD过定点.【答案】（1）224xy+=（2）（i）3；（ii）证明见解析【解析】【分

析】（1）设出(),Pxy，由直接法得到轨迹方程；（2）（i）结合第一问中12PAPB=，数形结合得到PMPQ+的最小值；（ii）设()11,Cxy，()22,Dxy，考虑OC斜率不存在和存在两种情况，当斜率存在时得到过点()11,Cxy的切线方程，代入()4,Qt后得到1

144xty+=，同理得到2244xty+=，故得到直线CD的方程为44xty+=，过定点()1,0A，当OC斜率不存在时，直线CD的方22yx=−+也过点()1,0A，得到答案,的【小问1详解】设(),Pxy，则由题意()()1,0,4,0AB，根据题意可知12PA

PB=，2PAPB=，22222(1)(4)xyxy−+=−+，故曲线E的方程为：224xy+=；【小问2详解】（i）直线L的方程为4x=.若M为PB的中点，则12PMPBPA==，3PMPQPAPQAQAB+=+=，当,,APQ三点共线且,QB重合时，PMPQ+的最小值为3

；（ii）设()4,Qt，()11,Cxy，()22,Dxy，当10x=时，OC斜率不存在，此时过点()11,Cxy的切线方程为=2y−或2y=，不妨设切线方程为2y=，此时()0,2C，故()4,2Q，设过()4,2Q的另一条切线方程为

()24ykx−=−，则22421kk−+=+，解得2340kk−=，解得43k=，联立()4243yx−=−与224xy+=，解得86,55xy==−，此时直线CD为62258005yx−−−=−−，整理得22yx

=−+，当10y=时，OC斜率为0，此时过点()11,Cxy的切线方程为2x=，此时与直线L无交点，不合要求，当10x且10y时，11OCykx=，则过点()11,Cxy的切线方程为()1111xyyxxy−=−−，整

理得221111yyyxxx−=−+，即221111xxyyxy+=+，因为22114xy+=，故切线方程为114xxyy+=，因为()4,Qt在切线方程上，故1144xty+=，设()22,Dxy，同理可得，2244xty+=则直线

CD的方程为44xty+=，过定点()1,0A，显然22yx=−+也过点()1,0A，CD过定点()1,0A.【点睛】内容点睛：过圆()()222xaybr−+−=上一点()00,xy的切线方程为：()()()()200xaxaybybr−−+−

−=，过圆()()222xaybr−+−=外一点()00,xy的切点弦方程为：()()()()200xaxaybybr−−+−−=.过椭圆22221xyab+=上一点()00,Pxy的切线方程为00221xxyyab+=，过双曲线22221xyab−=上一点()00,Pxy的切线方程

为00221xxyyab−=