【文档说明】河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考理科数学试题 含解析.docx，共(13)页，904.774 KB，由管理员店铺上传

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高三理科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔

把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写．．．．．．．．的答案无效．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。4．本试卷主要命题范围：高考范围。一、选择题：本题共12小题，每小题5分

，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合1,4A=，集合2230Bxxx=−−Z，则AB等于（）A．1,2,4B．0,1,2,4C．0,1,2,3,4D．1,0,1,2,3,4−2．若复数z满足(

)1i3iz+=−（i是虚数单位），则z等于（）A．55B．255C．5D．253．《九章算术》中方田篇有如下问题：“今有田广十五步，从十六步．问为田几何？答曰：一亩．”其意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步．问这块田的面积是多少

？答：一亩．”如果百亩为一顷，今有田宽480步，长600步，则该田有（）A．12顷B．13顷C．14顷D．16顷4．函数()()ln322fxxx=−−的图象在点()()1,1f处的切线方程是（）A．10

xy++=B．230xy++=C．230xy−−=D．30xy−−=5．若点F是抛物线C：22yx=的焦点，点A，B分别是抛物线C上位于第一、四象限的点，且AFx⊥轴，2BFAF=，则点B的坐标为（）A．3,32−B．()2,22−C．()3,23−D．1,22

−6．函数()()221,1,,1axxfxxx−+=−是定义在R上的减函数的一个充分不必要条件是（）A．0,2aB．)0,1aC．1,2aD．)2,a+7．已知函数()sincosfxxx=+（R）的图象关于直线π6x=−对称，则函数()fx

的最大值为（）A．1B．2C．2D．58．已知平面向量PA，PB满足1PAPB==，PA，PB的夹角为2π3，若1BC=，则AC的最小值为（）A．21−B．21+C．31−D．31+9．如图，网格纸上

小正方形的边长为1，图中画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥中最长的棱长为（）A．4B．42C．25D．610．从1，2，3，0这四个数中取三个组成没有重复数字的三位数，则这些三位数的和为（）A．1332B．2544C．3560D．386411．已知双曲线C：22221xyab

−=（0a，0b）的渐近线方程为340xy=，且焦距为10，过双曲线C中心的直线与双曲线C交于M，N两点，在双曲线C上取一点P（异于M，N），直线PM，PN的斜率分别为1k，2k，则12kk等于（）A．34B．916C．45D．162512．已知函数()()2lg241fxxx=++，若对

于任意的(1,2x时，()2106mfxfx−+−恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(,0−B．()12,+C．(),0−D．)4,+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若实数x，y满足约束条件0,20,02,xyxyy−+则2zxy=+的最小值为______．14．已知倾斜角为的直线l与直线210xy++=垂直，则sin3cossincos+=−_____

_．15．已知边长为3的正ABC△的三个顶点都在球O（O为球心）的表面上，且OA与平面ABC所成的角为30°，则球O的体积为______．16．如图，在RtABC△中，90A=，D，E分别是AC，BC上的点，满足30ADBCDE==，4BECE=．若3CD=，则BE的长为____

__．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等比数列na的各项均为正数，126aa

+=，38a=．（1）求数列na的通项公式；（2）若12lognnnbba++=，数列nb的前n项和为nT，求2nT．18．（12分）甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班选出3人组成甲、乙两支代表队，每队初始分均为4分，首

轮比赛每人回答一道必答题，答对则为本队得2分，答错或不答扣1分．已知甲队3人每人答对的概率分别为23，12，14，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示首轮甲队总分．（1）求随机变量X的分布列及其数学期望()EX；（2）求在甲队和乙队总分之和为14的条

件下，甲队与乙队得分相同的概率．19．（12分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面,90ABCACB=，13BB=，2ACBC==，D为AB的中点，F为1BB上靠近B的三等分点．（1）求证：平面CD

F⊥平面11ABBA；（2）求二面角1CCDF−−的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的离心率为22，且过点()2,2P．（1）求椭圆C的方程；（2）过点()1,0M−作直线l与椭圆C交于A，B两点，且椭圆C的左、右焦点分别为1F，2F，12FAF△

，12FBF△的面积分别为1S，2S，求12SS−的最大值．21．（12分）已知函数()ln1afxxx=++，a为正实数．（1）若()fx在()1,+上为单调函数，求a的取值范围；（2）若对任意的1x，(20,2x，且12xx，都有()()21211fxfxxx−−−，

求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C的参数方程为2cos,22sinxtyt==+（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，曲线2C的极坐标

方程为cos3=−．（1）求曲线1C的极坐标方程；（2）求曲线1C与曲线2C的交点的极坐标．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()22fxxxa=++−，aR．（1）当2a=时，求不

等式()6fx的解集；（2）当4a−时，若存在2x−，使得()4fxx−成立，求a的取值范围．高三理科数学参考答案、提示及评分细则1．B2230130,1,2xxxB−−−=，又1,4A=，所以0,1,2,4AB=．2．C

由()1i3iz+=−，得()()3i1i3i12i1i2z−−−===−+，所以5z=．3．A依题可得该田有480600121615100=顷．4．D()3232fxx=−−，则切线的斜率是()11f=，()12f=−，切

线方程是()()211yx−−=−，即30xy−−=．5．A由题知1,02F，故1AF=，122BBFx==+，所以32Bx=，所以3,32B−．6．B由题知20,02211aaa−−+−．7．C由()π03ff=−，可得3=−，所以()

πsin3cos2sin3fxxxx=−=−，所以()fx的最大值为2．8．C由题意，不妨设()0,0P，()1,0A，13,22B−，(),Cxy，又1BC=，C在以B为圆心，1为半径的圆上，所以A

C的最小值为131AB−=−．9．D该四棱锥如图所示，观察可知，最长的棱是AD，长为2222446++=．10．D分三种情况：（1）所有不含0的三位数的和为()()22123A1001011332++++=；（2）含0且0在十位上的三位数的和为()()12123A10011

212+++=；（3）含0且0在个位上的三位数的和为()()12123A100101320+++=．那么可得符合条件的这些三位数之和为1332121213203864++=．11．B双曲线C的两条渐近线方程

为340xy=，所以34ba=，因为焦距为10，所以5c=，又222cab=+，所以216a=，29b=，故双曲线的方程为221169xy−=．设点()11,Mxy，则根据对称性可知()11,Nxy−−，点()00,Pxy，01101yykxx−=−，01201yykxx+=

+，所以2201122201yykkxx−=−，且22111169xy−=，22001169xy−=，两式相减可得，22012201916yyxx−=−．12．A()()2lg241fxxx=++的定义域为R，且()()()()()222222412

411lg241lglg241241xxxxfxxxfxxxxx−++++−=−++===−++++，所以()fx为奇函数，且当0x时，()fx单调递增，所以()fx在R上单调递增．()2106mfxfx

−+−，即()216mfxfx−−−，所以()216mfxfx−−，可得216mxx−−，所以()()216mxx−−，设()()()2321666hxxxxxx

=−−=−++−，()()2231213213hxxxx=−++=−−+，因为(1,2x，所以()0hx，()hx单调递增，()10h=，所以()()02hxh，所以0m．13．6−约束条件0,20,02xyxyy−+

所表示的平面区域如图阴影部分所示，则当4x=−，2y=时，2zxy=+取得最小值为6−．14．5直线210xy++=的斜率为12−，则tan2=．则sin3costan35sincostan1++==−−．15．32π3设正ABC△的外接圆圆心为1O，易知13

AO=，在1RtOOA△中，1122cos303OAOAOA===，即球O的半径2r=，故球O的体积为3432ππ233=．16．4315设DEC=，则180DEB=−，又由已知可得12

0BDE=，在DEC△中，由正弦定理可得sin30sinCECD=①；在DEB△中，由正弦定理可得()sin120sin180sinBEBDBD==−②．①÷②得sin120sin30CECDBEBD=，又4BECE=，3CD=，所以4BD=，2AB=，所以23AD=

，33AC=，31BC=，所以443155BEBC==．17．解：（1）设等比数列na的公比为q，因为38a=，126aa+=，所以2886qq+=，解得2q=或23q=−（舍去），所以332nnnaaq−==

．（2）因为122loglog2nnnnbban++===，所以()()()()2212342121321nnnTbbbbbbnn−=++++++=+++−=．18．解：（1）X的可能取值为1，4，7，10，()113113

248PX===；()2131131115432432432412PX==++=；()213111211373243243248PX==++=；()21111032412PX===．所以X的分布列为X1471

0P1851238112()153121147108128124EX=+++=．（2）设“甲队和乙队得分之和为14”为事件A，“甲队与乙队得分相同”为事件B，则()3223213335232112125CCC12383312

3381PA=++=，()233211C8336PAB==，所以()()()1276255081PABPBAPA===．19．（1）证明：因为1CC⊥平面ABC，CD平面AB

C，所以1CCCD⊥，因为11BBCC∥，所以1BBCD⊥，因为ACBC=，D为AB中点，所以CDAB⊥．又1ABBBB=，所以CD⊥平面11ABBA，因为CD平面CDF，所以平面CDF⊥平面11ABBA．（2）解：由（1）及题意知，AC，BC，1CC两两

互相垂直，故以点C为原点，CA，CB，1CC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C，()10,0,3C，()1,1,0D，()0,2,1F，所以()1,1,0CD=，()0,2,1CF=，()10,0,3CC=．设平面CD

F的一个法向量为()1111,,nxyz=，则110,0,nCDnCF==所以11110,20,xyyz+=+=令11y=−，所以11x=，12z=，()11,1,2n=−，设平面1CCD的一个法向量为()2222,,nxyz=，则2210,0,nCDnCC

==所以2220,30,xyz+==令21x=−，则21y=，所以()21,1,0n=−．设二面角1CCDF−−的平面角为，易知为锐角，所以()1212111103cos362nnnn−+−+===，所以二面角1CCDF−−的余

弦值为33．20．解：（1）由椭圆C的离心率为22，且过点()2,2P得22222222,212,441,6,caaabbacb==+===+椭圆C的方程为221126xy+=．（2）当直线l的斜率不存在时，12SS=，则120SS−=；当直线l斜率存在

且不等于零时，设直线l：()1ykx=+，联立()2211,126ykxxy=++=可得()22221242120kxkxk+++−=，设()11,Axy，()22,Bxy，则2122412kxxk+=−+，212221212kxxk−=+，111262Sy=，22126

2Sy=显然A，B在x轴两侧，1y，2y异号，所以()()1212126611SSyykxkx−=+=+++22242262663112122kkkkkkkk=−+==+++，当且仅当12kk=，22k=时，取等号．所以12SS−的最大值为3．21．解：（1）1x时

，()ln1afxxx=++，()()()()22221111xaxafxxxxx+−+=−=++，因为函数()fx在()1,+上为单调函数，当1x时，()2210xax+−+，所以12axx++，所以4a，即a的取值范围为(,4−．（2）因为()()21211fxfxxx−

−−，所以()()2211210fxxfxxxx+−+−，所以()()Fxfxx=+在区间(0,2上是减函数．①当12x时，()()()21ln111aaFxxxFxxxx=++=−+++．由()()()222110133

xFxaxxxxx+++=+++在1,2x上恒成立．设()2133mxxxx=+++，所以()21230mxxx=−+（12x），所以()mx在1,2上为增函数，所以()2722am=．②当01x时，()()()21ln111aaFxx

xFxxxx=−++=−−+++．由()()()22211011xFxaxxxxx+−++=+−−在()0,1x上恒成立．令()()22111210txxxtxxxx=+−−=++，所以()tx在()0,1上为增函数，所以()10a

t=，综上：a的取值范围为272a．22．解：（1）2cos,22sinxtyt==+（t为参数）化为普通方程为()2224xy+−=，即221:40Cxyy+−=，把cos,sinxy==代入2240xyy+−=，可得4sin=，即1C的极坐

标方程为4sin=．（2）曲线2C的直角坐标方程为3x=−，由223,40xxyy=−+−=得3,3xy=−=或3,1.xy=−=则1C与2C的交点的极坐标为2π23,3和5π2,6．（也可直接用极坐标计算

得到）23．解：（1）当2a=时，()3,2,2214,21,3,1,xxfxxxxxxx−−=++−=−−则由36x−，2x−得2x−；由46x−，21x−得无解；由36x，1x得2x

．所以不等式()6fx的解集为{2xx−∣或2}x．（2）当4a−时，()42,,22,2,2axaxfxxaax−+−−=−−−若存在2x−，使()4fxx−成立，则24a−−，6a−，所以a的取值范围为)6,4−−．获得更多

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