【文档说明】2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点测试28 简单的三角恒等变换 含解析【高考】.doc，共(12)页，117.500 KB，由小赞的店铺上传

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1考点测试28简单的三角恒等变换高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲研读能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式

，但对这三组公式不要求记忆)一、基础小题1．若cosα＋π2＝－33，则cos2α＝()A．－23B．－13C.13D．23答案C解析由cosα＋π2＝－sinα＝－33，得sinα＝33，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×13＝13.故选C.2．已知cos

θsinθ＝3cos(2π＋θ)，|θ|<π2，则sin2θ＝()A.829B．223C.429D．229答案C解析因为cosθsinθ＝3cos(2π＋θ)，所以cosθsinθ＝3cosθ.又|θ|<π2，故sinθ＝13，cosθ＝223，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2×13

×223＝429，故选C.23．已知tan(α＋β)＝12，tanβ＝13，则tanα－π4＝()A.34B．－34C.17D．67答案B解析因为tanα＝tan[(α＋β)－β]＝tan(α＋β)－tanβ1＋tan(α＋β

)tanβ＝12－131＋12×13＝17，所以tanα－π4＝tanα－tanπ41＋tanαtanπ4＝17－11＋17＝－34，故选B.4．已知cosx－π6＝14，则cosx＋cosx－π3＝()A.34B．－

34C.14D．±34答案A解析因为cosx－π6＝14，所以cosx＋cosx－π3＝cosx＋12cosx＋32sinx＝332cosx＋12sinx＝3cosx－π6＝3×

14＝34.故选A.5．已知函数f(x)＝sin2xcosφ＋2cos2xsinφ－sinφ，若对任意x∈R，f(x)＝f5π6－x，则实数φ的取值可以是()A．－π3B．－π6C.π6D．π3答案A解析函数f(x)＝sin2xcosφ

＋2cos2xsinφ－sinφ＝sin2xcosφ＋(2cos2x－1)sinφ3＝sin2xcosφ＋cos2xsinφ＝sin(2x＋φ)，∵对任意x∈R，f(x)＝f5π6－x，∴函数f(x)的图象关于直线x＝5π12对称，故2×5π12＋φ

＝kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝kπ－π3，k∈Z，故选A.6．(多选)下列选项中，值为14的是()A．cos36°cos72°B．sinπ12sin5π12C.1sin50°＋3cos50°D．13－23cos215°答案AB解析cos36°cos72°＝2sin36°cos3

6°cos72°2sin36°＝2sin72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14，故A正确；sinπ12·sin5π12＝sinπ12cosπ12＝12×2sinπ12cosπ12＝12sinπ6＝14，故B正

确；1sin50°＋3cos50°＝cos50°＋3sin50°sin50°cos50°＝232sin50°＋12cos50°12sin100°＝2sin80°12sin100°＝2sin80°12sin80°＝4，故

C错误；13－23cos215°＝－13(2cos215°－1)＝－13cos30°＝－36，故D错误．故选AB.7．cos20°cos40°cos80°的值为________．答案18解析cos20°cos40°cos80°＝8sin20°cos20°cos40°cos80°8sin

20°＝sin160°8sin20°＝18.8．已知sinβ＝35，β∈π2，π，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝________.答案－2解析因为sinβ＝35，β∈π2，π，所以cosβ＝－45.由sin(α＋β)＝cosα

＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，得25sin(α＋β)4＝－45cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.二、高考小题9．(2021·全国甲卷)若α∈0，π

2，tan2α＝cosα2－sinα，则tanα＝()A.1515B．55C.53D．153答案A解析解法一：因为tan2α＝sin2αcos2α＝2sinαcosα1－2sin2α，且tan2α＝cosα2

－sinα，所以2sinαcosα1－2sin2α＝cosα2－sinα，因为α∈0，π2，所以cosα≠0，sinα＝14，所以cosα＝154，tanα＝sinαcosα＝1515.故选A.解法二：因为tan2α＝2tanα1－tan2α＝2sinαcosα1－sin2α

cos2α＝2sinαcosαcos2α－sin2α＝2sinαcosα1－2sin2α，且tan2α＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2sin2α＝cosα2－sinα，因为α∈0

，π2，所以cosx≠0，sinα＝14，所以cosα＝154，tanα＝sinαcosα＝1515.故选A.10．(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B．55C.

33D．255答案B解析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.又α∈0，π2，∴tanα＝12，∴sinα＝55.故选B.511．(2020·江苏高考)已知sin2π4＋α＝23，则sin2α的值是________．答案13解析∵sin2

π4＋α＝22cosα＋22sinα2＝12(1＋sin2α)，∴12(1＋sin2α)＝23，∴sin2α＝13.12．(2020·北京高考)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，则常

数φ的一个取值为________．答案π22kπ＋π2，k∈Z均可解析因为f(x)＝cosφsinx＋(sinφ＋1)·cosx＝cos2φ＋(sinφ＋1)2sin(x＋θ)，所以cos2φ＋(sinφ＋1)2＝2，解得sinφ＝1，故可取φ＝π22kπ＋π2，k

∈Z均可.三、模拟小题13．(2021·福建南平市期中)已知tanα＝－2，则sin4αcos2α－sin2α的值为()A.85B．65C.－65D．－85答案D解析sin4αcos2α－sin2α＝2sin2αcos2αcos2α＝2sin2α＝4sinαcosα＝4sinαcosαsi

n2α＋cos2α＝4tanαtan2α＋1＝4×(－2)(－2)2＋1＝－85.故选D.14．(2022·广东韶关市期末)已知α是第一象限角，且满足sinπ4－α＝－35，则cos2α＝()A.725B．－2425C.2425D．±24256答案B解析∵sin

π4－α＝－35，∴cosπ4＋α＝－35，∵α是第一象限角，∴π4＋α是第二象限角，则sinπ4＋α＝45，∴cos2α＝sin2α＋π2＝2sinα＋π4cosα＋π4＝2×45×

－35＝－2425.故选B.15．(2021·黑龙江大庆市铁人中学高三四模)已知函数f(x)＝sinx＋2cosx，若直线x＝θ是曲线y＝f(x)的一条对称轴，则cos2θ＝()A.35B．45C.55D

．255答案A解析∵f(x)＝sinx＋2cosx＝515sinx＋25cosx＝5sin(x＋φ)其中sinφ＝25＝255，cosφ＝15＝55，且直线x＝θ是曲线y＝f(x)的一条对称轴，∴sin(θ＋φ)＝±1，∴θ＋φ＝π2＋kπ，k

∈Z.∴θ＝－φ＋π2＋kπ，k∈Z.∴2θ＝－2φ＋π＋2kπ，k∈Z，∵cos2φ＝2cos2φ－1＝－35，∴cos2θ＝－cos2φ＝35.故选A.16．(2021·云南西双版纳模拟)已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2

α＝()A.43B．34C.－34D．－43答案C解析52＝(sinα＋2cosα)2＝sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝sin2α＋4sinαcosα＋4cos2αsin2α＋cos2α，再分子、分母同时除以cos2α，整理得tan

2α＋4tanα＋4tan2α＋1＝52⇒3tan2α－8tanα－3＝0，故tanα＝3或tanα＝－13，代入tan2α＝2tanα1－tan2α，得7tan2α＝－34.17．(多选)(2021·湖南省长沙市雅礼中

学高三月考(二))已知函数f(x)＝sinxcosx－cos2x，则()A．函数f(x)在区间0，π8上为增函数B．直线x＝3π8是函数f(x)图象的一条对称轴C．函数f(x)的图象可由函数y＝22sin2x的图

象向右平移π8个单位得到D．对任意x∈R，恒有f(x＋π)＝f(x)答案ABD解析f(x)＝12sin2x－1＋cos2x2＝22sin2x－π4－12，当x∈0，π8时，2x－π4∈－π

4，0，函数f(x)为增函数，故A正确；令2x－π4＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝3π8＋kπ2，k∈Z，显然直线x＝3π8是函数f(x)图象的一条对称轴，故B正确；函数y＝22sin2x的图象向右平移π8个单位得到函数y＝22sin2

x－π8＝22sin2x－π4的图象，故C错误；f(x)的最小正周期为π，故D正确．故选ABD.18．(多选)(2021·重庆巴蜀中学高考适应性第三次月考)已知函数f(x)＝2cos2ωx＋

23sinωx·cosωx－1(ω∈Z*)(x∈R)，且f(x)在区间π12，π3上具有单调性，在区间0，3π8上有且仅有2个极值点，则下列说法正确的是()A．f(x)的最大值为2B．ω＝4C．f(x)的一条对称轴方程为x＝π2

4D．f(x)的单调递增区间为－π6＋kπ2，π12＋kπ2，k∈Z答案AD8解析f(x)＝2·1＋cos2ωx2＋3sin2ωx－1＝2sin2ωx＋π6，∵f(x)在区间

π12，π3上具有单调性，∴π4≤T2⇒ω≤2，∵f(x)在区间0，3π8上有且仅有2个极值点，f′(x)＝4ωcos2ωx＋π6，2ωx＋π6∈π6，3πω4＋π6，则3

π2<3πω4＋π6≤5π2⇒169<ω≤289，故169<ω≤2，又ω∈Z*，∴ω＝2，经检验，ω＝2时，f(x)＝2sin4x＋π6在区间π12，π3上具有单调性，B错误；由上述可知f(x)＝2sin4x＋

π6，故f(x)的最大值为2，A正确；当x＝π24时，f(x)＝2sinπ3＝3，不满足条件，C错误；令－π2＋2kπ≤4x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，则－π6＋kπ2≤x≤π12＋kπ2，k∈Z，D正确．故选AD.19．(2021·辽宁省锦州市黑山中学高三月考)在平面直角坐标系

xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(－3，1)，则sin2θ＋π6＝________.答案4－3310解析cosθ＝－31010，sinθ＝1010，cos2θ＝2cos

2θ－1＝45，sin2θ＝2sinθcosθ＝－35，所以sin2θ＋π6＝cos2θ·12＋sin2θ·32＝4－3310.20．(2021·江苏宿迁沭阳如东中学高三上学期第一次调研)函数f(x)＝cos2x＋|sin

x|(x∈R)的最小值为________．答案0解析f(x)＝－2sin2x＋|sinx|＋1＝－2|sinx|2＋|sinx|＋1，令|sinx|＝t∈[0,1]，y＝－2t2＋t＋1，t∈[0,1]

，当t＝1时，y取最小值为0，故f(x)的最小值为0.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题91．(2021·辽宁省葫芦岛协作校高三第一次考试)已知锐角α满足tan(π＋2α)＝－43.(1)求tanα＋3π4；(2)求sin2α＋3cos

2α.解(1)因为tan(π＋2α)＝－43，所以tan2α＝－43，所以2tanα1－tan2α＝－43，解得tanα＝－12或tanα＝2.又α为锐角，所以tanα＝2.故tanα＋3π4＝tanα－11＋tan

α＝13.(2)因为sin2α＋3cos2α＝2sinαcosα＋3cos2αsin2α＋cos2α，所以sin2α＋3cos2α＝2tanα＋3tan2α＋1＝75.2．(2021·吉林二中高三上学期9月份月考)已知4sin2

α＋3cos2α＝0，π4<α<π2，－π2<β<0.(1)求cos2α的值；(2)若cosβ＝255，求cos(α－β)的值．解(1)∵4sin2α＋3cos2α＝0，∴tan2α＝－34.∵π4<α<π2，∴2α∈π2，π，∴tan2α＝－3

4＝1－cos22αcos2α，且cos2α<0，10求得cos22α＝1625，∴cos2α＝－45.(2)由(1)可得cos2α＝2cos2α－1＝－45，又α∈π4，π2，∴cosα＝1010.再结合sin2α＋cos2α＝1

，可得sinα＝31010.∵cosβ＝255，－π2<β<0，∴sinβ＝－1－cos2β＝－55.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1010×255＋31010×－55＝－210.3．(2021·山东淄博市名校联

考)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx－12，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若f(α)＝26，α∈－π8，3π8，求sin2α的值．解(1)因为f(

x)＝sin2x＋sinxcosx－12＝1－cos2x2＋12sin2x－12＝22sin2x－π4，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，令2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，k∈Z，解得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，k∈Z，11可得函数f(x)的单调递增区间

为kπ－π8，kπ＋3π8，k∈Z.(2)若f(α)＝26，即22sin2α－π4＝26，可得sin2α－π4＝13>0，因为α∈－π8，3π8，2α－π4∈－π2，π2，所以2α－π4∈0，π2，

可得cos2α－π4＝1－sin22α－π4＝223，所以sin2α＝sin2α－π4＋π4＝sin2α－π4cosπ4＋cos2α－π4sinπ4＝13×22＋

223×22＝4＋26.4．(2021·北京清华附中高三上学期10月份月考)已知函数f(x)＝2cos2x－π4＋3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)若函数f(x)

≥0在区间－π4，m上恒成立，求m的取值范围．解(1)由f(x)＝2cos2x－π4＋3cos2x，由二倍角公式得2cos2x－π4＝cos2x－π4＋1＝sin2x＋1，则

f(x)＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin2x＋π3＋1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，由π2＋2kπ≤2x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，所以π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递减区间为π12＋kπ，7π12＋kπ(k

∈Z)．(2)由f(x)≥0，12则2sin2x＋π3＋1≥0，即sin2x＋π3≥－12，所以－π6＋2kπ≤2x＋π3≤7π6＋2kπ，k∈Z，所以－π4＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，当k＝0时，x∈－π4，5

π12，f(x)≥0恒成立，所以－π4<m≤5π12，所以m的取值范围是－π4，5π12.