【文档说明】黑龙江省大庆市肇州县第二中学2022-2023学年高二下学期开学考试 数学 试题含答案.docx，共(15)页，1.695 MB，由小赞的店铺上传

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高二第一次考试数学学科试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知双曲线的一个焦点为()3,0，渐近线方程为20xy=，则该双曲线的标准方程为（）A．2212yx−=B．2212xy−=C．2212yx−=D．221

2xy−=2．已知数列na满足112nnaa+=，若453aa+=，则23aa+=（）A．19B．1C．6D．123．已知抛物线2:4Cyx=−，直线l过定点P（0，1），与C仅有一个公共点的直线l有（）条A．

1B．2C．3D．44．设等差数列na的前n项和为nS，若12345aaaaa++=+，560S=，则5a=（）A．16B．20C．24D．265．P是双曲线2211620xy−=上一点，12,FF是双曲线的两个焦点，且19PF=，则2P

F=（）A．1B．17C．1或17D．2或186．设正项等比数列na的前n项和为nS，若32127Saa=+，则公比q为（）A．2或3−B．3C．2D．3−7．过抛物线C：22ypx=（0p）的焦点F的直线l与抛物线C交于两点A，B，若35AFFB=

，则直线l的斜率k=（）A．15B．22C．5D．38．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，过2F作垂直于实轴的弦PQ，若12PFQ=，则C的离心率e为（）A．21−B．2C．21+D．22+二、多

项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．若方程22142xytt+=−−表示的曲线为C，

则下列说法正确的有（）A．若24t，则曲线C为椭圆B．若曲线C为双曲线，则2t或4tC．若曲线C为椭圆，则椭圆的焦距为2tD．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则23t10．数列na的通项公式为n

aann=+.若数列na单调递增，则实数a的值可以是（）A．-1B．0C．1D．211．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6=8a3，则（）A．数列{an}的公比为2B．数列{an}的公比为8C．63SS=8D．63SS=912．已知抛物线22ypx=()0p的焦点为F，

过点F且倾斜角为4的直线l与抛物线相交于A，B两点，8AB=，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q.下列说法正确的是（）A．QAQB⊥B．AOB（O为坐标原点）的面积为22C．112AFBF+=D．若()1,1M，

P是抛物线上一动点，则PMPF+的最小值为52三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列na，nb均为等差数列，且其前n项和分别为nS和nT．若3221nnSnTn−=+，则33ab=______．14．设等比数列na的前n项和为nS，且()1

2NnnaSn+=+，则na=________．15．设F为抛物线C：216xy=的焦点，直线l：1y=−，点A为C上任意一点，过点A作APl⊥于P，则APAF−=_________．16．已知离心率为1e的椭圆1C：

()2211221110xyabab+=和离心率为2e的双曲线2C：()2222222210,0xyabab−=有公共的焦点，其中1F为左焦点，P是1C与2C在第一象限的公共点.线段1PF的垂直平分线经过坐标原点，则22124ee+的最小值为____________

_四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的步骤或文字说明或证明过程）17．（1）设抛物线22(0)xpyp=上第一象限的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的距离为3p，求抛物线方程；（2）求与双曲线221916xy−=有共同的渐近线，且过点(3,23)−的双曲线标准方程．18．已

知数列na满足11a=，11112nnaan+=+．(1)求数列na的通项公式；(2)求数列nan的前n项和nS．19．设等差数列na的首项为1，数列nb满足：11b=，22b=，且111nnnnnnabbabb+++−=−（nN）．

(1)求等差数列na的通项公式；(2)求数列()111nnab++的前n项和nS．20．已知等比数列na的首项为1a，公比为q，且关于x的不等式21120axqx−−的解集为()(),26,−−+.（1）求na；（2）设4lo

gnnnbaa=+，求数列nb的前n项和nT.21．已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的渐近线方程为yx=，实轴长22.(1)求C的方程；(2)若直线l过C的右焦点与C交于(

)11,Axy，()22,Bxy两点，126xx=，求直线l的方程.22．已知抛物线2:2Cypx=过点(1,1)A，过点(3,1)P−的直线与抛物线C交于,MN两个不同的点（均与点A不重合）.(1)求抛物线C的方程及焦点坐标；(2)设直线,AMAN的斜率分别为1k，2k，求证

：12kk为定值，并求出该定值.参考答案：1．D【分析】先确定焦点位置，再求出22,ab即可.【详解】解：由题意得：双曲线的焦点在x轴上，且3c=，22ba=，再由222cab=+，解得：222,1ab==，该双曲线的标准方程为2212xy−=，故选D

.2．D【分析】由112nnaa+=可知数列na是公比为12q=的等比数列，再由题意结合等比数列的通项公式代入可求出答案.【详解】由112nnaa+=可知数列na是公比为12q=的等比数列，所以()()22245232323134aaaqaqaa

qaa+==+=+=+，解得：2312aa+=.故选：D3．C【分析】过抛物线外一定点(0,1)P的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两种情况分别讨论，一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切，根据这两种情况进而求解.

【详解】过点(0,1)P的直线l与抛物线2:4Cyx=−仅有一个公共点，则该直线l可能与抛物线的对称轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：当直线l与抛物线的对称轴平行时，则直线l的方程为：1y=，满足条件；当直线l与

抛物线相切时，由于点(0,1)P在x轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相切，易知：0x=是其中一条，不妨设另一条直线l的方程为1ykx=+，联立直线l与抛物线方程可得：22(24)10kxkx+++=，则有22(24

)40kk=+−=，解得：1k=−，所以过点(0,1)P的直线l的方程为：1y=或0x=或1yx=−+，故选：C.4．A【分析】利用等差数列通项和求和公式化简已知等式可求得1,ad，由514aad=+可得结果.【详解】设

等差数列na的公差为d，12345aaaaa++=+，113327adad+=+，解得：14ad=，5154530602Sadd=+==，解得：2d=，18a=，51416aad=+=.故选：A.5．B【分析】利用双曲线的定义即可求解.

【详解】由双曲线方程为2211620xy−=可得：4a=，6c=，因为P是双曲线2211620xy−=上一点，12,FF是双曲线的两个焦点，由双曲线的定义可知：2128PFFaP−==，又因为19PF=，所

以21PF=或17，由题意可知：22PFca−=，所以217PF=，故选：B.6．B【分析】根据已知条件列方程求得q.【详解】依题意32127Saa=+，即1232132127,6aaaaaaaa++=+=+，21116aqaqa=+，依题意10a，所以260qq−−=，由于0q，故解得3

q=.故选：B7．A【分析】根据给定条件，设出直线l的方程，与抛物线方程联立，借助韦达定理及向量关系求解作答.【详解】抛物线C：22ypx=的焦点(,0)2pF，显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为2pxty=+，由222pxtyypx=+=消去x并整理得：22

20yptyp−−=，设1122(,),(,)AxyBxy，则212122,yyptyyp+==−，1122(,),(,)22ppAFxyFBxy=−−=−，由35AFFB=得：1253yy=−，而12

2yypt+=，则有125,3yptypt==−，因此2221215yyptp=−=−，解得115t=，则115kt==，所以直线l的斜率15k=.故选：A8．C【解析】首先根据已知条件建立等量关

系，进一步利用通径和焦距间的等量求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线的左右焦点分别为1F、2F，过2F作垂直于实轴的弦PQ，若12PFQ=，则：△1PFQ为等腰直角三角形．由于通径22bPQa=，则：22bca=，解得：2220caac−−=，所以：2210ee−−=，解得

：12e=；由于e＞1，所以：12e=+，故选：C．【点睛】本题考查通径在求离心率中的应用，等腰直角三角形的性质的应用．属于基础题型．9．BD【分析】根据t的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.【详解】对于A，当402042t

ttt−−−−时，即23t或34t，此时曲线C为椭圆，故A错；对于B，若曲线C为双曲线，则(4)(2)0tt−−，即2t或4t，故B对；对于C，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则椭圆的焦距

为()242262ttt−−−=−，若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则椭圆的焦距为()224226ttt−−−=−，故C错；对于D，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则420tt−−，解得23t，故D对.

故选：BD.10．ABC【分析】根据数列na单调递增，即2ann+，*nN恒成立求解.【详解】解：因为数列na单调递增，所以1nnaa+，即11aannnn++++，整理得2ann+，即2ann+，*nN恒成立.因为()2fnnn=+在*n

N时的最小值为2，所以2a.故选：ABC.11．AD【分析】由题意，若等比数列{an}的公比为q，有38q=求q，根据等比数列前n项和公式求63SS，即可判断各选项的正误.【详解】∵等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足638aa=，∴3638aqa==，解得q=2，∴36

6311qSqS−−==1+q3=9.故选：AD.12．AB【分析】对于A：先根据弦长公式求出p得出方程，再分别求出斜率相乘即可验证；对于B：代入面积公式转化为韦达定理即可求解；对于C：通分代入韦达定理所得的式子即可求解；对于D：根据抛物线的定义即可求解.【详解】∵l

过点F且倾斜角π4，∴直线l的方程为2pxy=+，与抛物线方程联立，得2220ypyp−−=，设()11,Axy，()22,Bxy，则122yyp+=，212yyp=−，∴123xxp+=，()221212244yypxxp==，∵1248AB

pxxp=++==，∴2p=，则24yx=，不妨设10y，当0y时，1yx=，∴过点A的切线的斜率为111Axxkyx===，同理可得过点B的切线的斜率为221Bxxkyx==−=，∴12121ABkk

pxx=−=−=−，∴QAQB⊥，故A项正确；()221212121114822222AOBSOFyyyyyyp=−=+−==△，故B正确；12111122ppAFBFxx+=+++()2121242124ppppxxxx===+++，故C错误；设点M到准线的距离为d，若()1,1

M，则122pPFdPM+=+=，故D错误.故选：AB.13．1311【分析】根据等差数列中等差中项的性质，将所求的531315aaabbb=++，再由等差数列的求和公式，转化为55ST，从而得到答案.【详解】因为数列na、nb均为等差数

列，且3221nnSnTn−=+，所以3151533322abaaabbb=++=()()1551555252aaSbbT+==+1521310111−==+故答案为：131114．2n【分析】由题知当2n时，12nnaS−=+，进而结合已知得公比为2，再求得12a

=即可求解.【详解】解：因为()12NnnaSn+=+所以，当2n时，12nnaS−=+，所以11nnnnnaaSSa+−−=−=，即12nnaa+=，所以，等比数列na的公比为2，所以，当1n=时，21122

aSa=+=+，所以1122aa=+，解得12a=，所以1222nnna−==故答案为：2n15．3.【分析】设点A坐标为()00,xy，利用抛物线的焦半径公式可得0||4AFy=+，由点到直线的距离公式可得0||1APy=+，代入APAF−即可得解.【详解】由216xy

=可得焦点坐标为(0,4)F，准线方程为4y=−，设点A坐标为()00,xy，由抛物线的定义可得00||42=+=+pAFyy，因为过点A作APl⊥于P，可得00||(1)1=−−=+APyy，所以()00143FyyAPA+−

+==−．故答案为：3.16．92##4.5【分析】设2F为右焦点，半焦距为c，12,PFxPFy==，由题意，12PFPF⊥，则222124,2,2xycxyaxya+=+=−=，所以()()222122224aac

+=，从而有2212112ee+=，最后利用均值不等式即可求解.【详解】解：设2F为右焦点，半焦距为c，12,PFxPFy==，由题意，12PFPF⊥，则222124,2,2xycxyaxya+=+=−=，所以()()222122224aac+=

，即2212112ee+=，故()222222121212222222122121441145529eeeeeeeeeeee++=+++=…，当且仅当21622ee==时取等，所以2212942ee+…，故答案为：92.17．①210xy=；②2219

44xy−=．【分析】（1）设(),Mxy，根据抛物线上第一象限的点M到y轴的距离为3p，求得M的坐标，再利用抛物线的定义求解；（2）设与双曲线221916xy−=有共同的渐近线的双曲线的方程为22916xy−=，再由双曲线过点(3,23)−求解.【详解

】（1）设(),Mxy，因为抛物线22(0)xpyp=上第一象限的点M到y轴的距离为3p，所以3xp=，则()232ppy=，解得32y=，又因为点M与焦点F的距离为4，由抛物线的定义得3422p+=，解得5p=，所以抛物线方程是210xy=；（2）设与双曲线221916xy−

=有共同的渐近线的双曲线的方程为22916xy−=，因为双曲线过点(3,23)−，所以91219164=−=，所以所求双曲线标准方程是221944xy−=．18．(1)12nnan−=；(2)21nnS=−．【分

析】(1)利用数列递推式中的累乘法求通项.(2)利用等比数列的公式法求和.【详解】(1)由11112nnaan+=+可得12(1)nnanan++=，所以21221aa=，32322aa=，43423aa=，…，12(2)1nnannan−=−…，

以上各式左右两边分别相乘可得1324123123421231nnnaaaanaaaan−−=−，即112nnana−=，所以12(2)nnann−=…，公式对1n=也适合，所以12nnan−=.(2)因为12nnan−=，所以数列n

an为等比数列，且公比为2，首项为1，通项12nnan−=由公式法可得数列nan的前n项和()1122112nnnS−==−−．19．(1)21nan=−(2)()21nnSn=+【分析】(1)根据题意将1n=代入递推公式中，求出2a，进而得出等差数列的公差，利用定义

法求出等差数列的通项公式；(2)由(1)可知na的通项公式，代入递推公式，变形可得11nnbbnn+=+，即nbn为常数列，求出nb，利用裂项相消求和法即可求出nS.(1)因为()*111nnnnnnabbabbnN+++−=−所以当1n=时，12121223abbabba−=−=

，则212aa−=所以等差数列na的公差为2，由等差数列的通项公式可得：21nan=−(2)由（1）可知121nan+=+，代入111nnnnnnabbabb+++−=−中可得：()()11121211n

nnnnnbbnbbnbbnn+++−−=+−=+，故数列nbn为常数列，又111b=，故1nnbbnn==，则：()()11111112121nnabnnnn+==−+++所以()1111111112122232121nnSnnn=−+−++−=

++20．（1）14nna−=；（2）24132nnn−−+.【分析】（1）首先把不等式转换为方程，进一步求出首项和公比，再利用等比数列的定义求出数列的通项公式.（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法

的应用求出数列的和.【详解】（1）等比数列na的首项为1a，公比为q，且关于x的不等式21120axqx−−的解集为()(),26,−−+.则-2和6为21120axqx−−=的两根，所以()12

6qa−+=，()11226a−=−，解得11a=，4q=.所以1114nnnaaq−−==.（2）由（1）得14log41nnnnbaan−=+=+−，所以()1144121nnTn−=+++++++−，()14141

2nnn−−=+−，24132nnn−−=+.【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式，考查了分组求和，属于中档题.21．(1)22:122xyC−=(2)240xy+−=或240xy−−=.【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程求出a，b即可求解.（2）根据直线和双曲线

的联立以及126xx=即可求解.【详解】（1）根据题意，222a=，1ba=，所以2ab==，所以22:122xyC−=.（2）双曲线C的半焦距222cab=+=，显然直线l不垂直于y轴，设直线l方程为2xmy=+，联立直线方程和椭圆方程：221222xyxmy−==+，所以22(1)

420mymy−++=，所以12122242,11myyyymm+=−=−−，所以126xx=，所以()()12226mymy++=，所以212122()20myymyy++−=，所以2222422011mmmmm−+−=−−

，解得12m=.所以直线l的方程为：122xy=+.即240xy+−=或240xy−−=.22．(1)2yx=，焦点坐标为1(,0)4.(2)证明见解析；定值为12−.【分析】（1）由题意可确定12p=，即可得抛物线方程和焦点坐标；（2）设出直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系

，表示出12kk，并化简，即可得结论.【详解】（1）由题意抛物线2:2Cypx=过点(1,1)A，所以12p=,即12p=，所以抛物线的方程为2yx=，焦点坐标为1(,0)4.（2）证明：设过点(3,1)P−的直线l的方程为3(1)xmy−=+，即3xmym=++，代入2yx=得230ym

ym−−−=，22412(2)80mmm=++=++,设1122(,),,)MxyNxy（，则1212,3yymyym+==−−，直线,AMAN的斜率分别为1k，2k，所以12121212121211111(2)(2)()yyyy

yykkxxmymmym−−−==−−++++++1212221212()1(2)()(2)yyyymyymmyym−++=+++++2231(3)(2)(2)mmmmmmmm−−−+=−−++++2(1)1

4(1)2mm−+==−+,即12kk为定值，该定值为12−.