【文档说明】上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高一下学期线上期中数学试题 含解析.docx，共(14)页，568.749 KB，由小赞的店铺上传

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复旦大学附属中学2021学年第二学期高一数学线上教学阶段性评估（评估时间90分钟，满分120分，所有答案均应写在答题纸相应位置）一、填空题（每题4分，共40分）1.已知向量,ab，则2()(2)abab+−+=______

_____．【答案】a【解析】【分析】根据向量的运算法则，即可求解.【详解】根据向量的运算法则，可得2()(2)222ababababa+−+=+−−=.故答案为：a.2.已知i为虚数单位，则复数2i+的虚部是___

________．【答案】1【解析】【分析】根据虚部的定义得到答案.【详解】复数2i+的虚部是1，故答案为：13.已知πtan24x+=，则tanx=__________．【答案】13【解析】【详解】∵πtantanπtan14tan2π41tan1tantan

4xxxxx+++===−−，∴可得1tan3x=，故答案为13．4.函数3cos4yx=+的严格减区间为___________．【答案】32,2,44kkkZ−+【解析】【分析】根据余弦函数的性质计算可得.【详解】余弦函数的减区间为

：[2k，2]()kkZ+函数3cos4yx=+减区间满足[2,2]()4xkkkZ++即224kxk++，kZ解得32244kxk−+，kZ即函数3cos4yx=+

的单调递减区间为32,2,44kkkZ−+，kZ故答案为：32,2,44kkkZ−+，kZ5.已知||2,||1,1abab===，则|2|ab+=__________．【答案】21【解

析】【分析】由()2|2|2abab+=+，结合数量积的运算律即可得出答案.【详解】因为||2,||1,1abab===，则()222|2|244161421abababab+=+=++=++=.故答案为：21.6.将函数()yfx=图象上的点保持纵坐标不

变，横坐标变为原来的两倍后得到函数1()yfx=的图象，再将1()yfx=的图象向上平移1个单位后得到函数sinyx=的图象，则()yfx=的函数表达式是y=________．【答案】sin21x−【解析】【分析】根据三角函数图象的

变换规律，即可得到答案.【详解】由题意可知将函数sinyx=的图象向下平移1个单位后得到函数sin1yx=−的图象，再将sin1yx=−的图象横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到sin21yx=−的图象，即()sin21fxx=−，故答案为：sin21x−7.设平行四边形

ABCD中，BCD△的重心为H，AHABAD=+，则3=____________．【答案】49【解析】【分析】根据向量的加法运算以及三角形重心定理，表示出向量2()3AHABAD=+,结合条件得到,的值，求得答案.【详解】设平行四边形ABCD中

对角线交点为O,则1111223263AHAOACOCACCAOHAC=+==++=2()3ABAD=+,又AHABAD=+，故22,33==，故3224()39==，故答案为：498.已知i为虚数单位，||1z=，则Re[(3)

(3)]iziz+−++=_______．【答案】9【解析】【分析】设出izab=+，化简得到()()()3i3=26ii9zzab+++−+−，从而求出实部.【详解】设izab=+，则221ab+=，()()3i

31izab+−=−+−，()()33ii1zab=+−+++，则()()()()()()33i3i131iizzabab=+−+−+++−+−()()()221026i=926iababab=−−+−+−，所以Re[(3)(3)]9iziz+−++=故答案为：99.设

函数()sin()fxx=+，其中0．且1(0),0263fff=+=，则的最小值为________．【答案】23【解析】【分析】由1(0)2f=，求得126k=+或11

52,6kkZ=+，根据063ff+=，得到函数()fx关于(,0)4对称，结合sin()04+=，所以22,4kkZ+=，结合0，分类讨论，即可求解.【详解】由题意，函数()sin()f

xx=+，因为1(0)sin2f==，可得126k=+或1152,6kkZ=+，因为063ff+=，要使得取得最小值，且1()2634+=，所以函数()fx关于(,0)4对称，可得sin()04+=，所以22,4kkZ

+=，若112,6kkZ=+时，可得12246kk+=+，其中12,kkZ，所以211(2)46kk=−+−，其中12,kkZ，所以2124(2)3kk=−+−，其中12,kkZ

，因为0，当2121kk−=时，可得min210433=−+=；若1152,6kkZ=+时，可得125246kk+=+，其中12,kkZ，所以215(2)46kk=−+−，其中12,kkZ，所以21104(2)3kk=−+

−，其中12,kkZ，因为0，当2121kk−=时，可得min102433=−+=.故答案为：23.10.设锐角ABC的外心为O，且，1coscos04cossinsinBCOAABACACB++=，则tancotAA+=__________．【答案

】8【解析】【分析】设外接圆的半径为R；平面向量数量积的运算律及三角形外心的性质得到12sincos4AA=，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，从而得解；【详解】解：因为点O为ABC外接圆的圆心，设外接圆的半径为R；所以1coscos04cossinsinBCOAABACACB

++=，整理得1coscos()()04cossinsinBCOAOBOAOCOAACB+−+−=，所以2221coscos()()04cossinsinBCOAOBOAOAOCOAOAACB+−+−=，故2221coscos(cos21)(cos21

)04cossinsinBCRRCRBACB+−+−=，则1coscos(cos21)(cos21)04cossinsinBCCBACB+−+−=，所以12sincos2sincos2sin()2sin4cosCBBCBCAA=+=+=，所以12sincos4AA=，即222s

incos1sincos4AAAA=+所以22tan11tan4AA=+，所以2114tantanAA=+，则1tan8tanAA+=，即tancot8AA+=．故答案为：8二、选择题（每题5分，共20分）11.①

加速度是向量；②若//ab且//bc，则//ac；③若ABCD=，则直线AB与直线CD平行．上面说法中正确的有（）个．A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】由由向量的定义可判断①；当0b=，②不成立；ABCD=，则直线AB与

直线CD平行或在一条直线上，可判断③.【详解】由向量的定义知，加速度是向量，所以①正确；当0b=，满足//ab且//bc，但,ac不一定平行，所以②不正确；若ABCD=，则直线AB与直线CD平行或在一条直线上，所以③不正确.故选：B.12.在ABC中，下列说法中

错误的是（）．A.sin0AB.coscos0AB+C.sinsinsinABC+D.cos2cos2cos21ABC+−，则ABC为锐角三角形【答案】D【解析】【分析】对于A，在三角形ABC中，0A，所以sin0A，可判断A；对于B，根据内角和余弦定

理得单调性判断即可；对于C，根据正弦定理和三角形中的两边之和大于第三边可判断；对于D，化简cos2cos2cos21ABC+−为2220abc+−，则222cos02abcCab+−=，所以角C为锐角，即可判断.【详解】对于A，在三角形ABC中，0A，所以sin0A

，故A正确；对于B，AB+，则AB−，且(),0,AB−，cosyx=在()0,上递减，所以()coscoscosABB−=−即coscos0AB+，故B正确；对于C，在三角形ABC中，abc+，由正弦定理得：2sin2sin2RARBR

sinC+，所以sinsinsinABC+，故C正确；对于D，cos2cos2cos21ABC+−得：()22212sin12sin12sin1ABC−+−−−，则222sinsinsin0ABC−−+，则2220abc+−，则222cos02abcCab+−=，所以

角C为锐角，三角形不一定是锐角三角形，所以D错误.故选：D.13.设函数()tan33yfxxx==+−，则()fx在[,7]−上所有零点的和为（）．A36B.39C.72πD.75【答案】D【解析】【分析】将函数()tan33yfxxx=

=+−的零点问题，转化为函数图象的交点问题，根据对称性，可求得答案.【详解】令()tan330yfxxx==+−=，则tan33xx=−，故()fx在[,7]−上所有零点问题，即为函数tan3,3yxyx==−的图象的交点问题；.

作出函数tan3yx=在[,3]−上的大致图象，如图示：由于tan3yx=的最小正周期3T=,故在517[,]66−上正好有tan3yx=的11个周期，每个周期内图象和直线3yx=−都有一个交点，故在[,3)−上共有11112+=个交点，由于点(3,0

)为tan3,3yxyx==−的对称中心，故在(3,7]上，tan3,3yxyx==−图象的交点也有12个，且[,3)−和(3,7]上的交点两两关于(3,0)对称，因此tan3,3yxyx==−图象所有交点的横坐标之和为126375+=，即()fx在[,7]−上所

有零点的和为75，故选：D14.有下面两个命题：①若()yfx=是周期函数，则(())yffx=是周期函数；②若(())yffx=是周期函数，则()yfx=是周期函数，则下列说法中正确的是（）．A.①②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①②都错误【答案

】B【解析】【分析】由周期函数的定义判断两个命题即可.【详解】若()yfx=是周期函数，设周期为T，则()()fxTfx+=，则(())(())ffxTffx+=也是周期函数，故①正确；若(())yffx=是周期函数，设周期为T，则(())(())ffxTffx+=，()()fxTfx+=不一定

成立，故②错误.故选：B.三、解答题（共60分）15.已知向量()2(2,1),2,2abmmm==−−++，（1）若0ab=，求实数m的值；（2）若,ab可以构成平面上的一个基底，求实数m的取值范围．【答案】（1）1m=或2（2）2

m且32m−【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算得到方程求解；（2）根据基底的定义，利用向量共线的坐标表示求解.【小问1详解】22420mmm−−++=得到1m=或2【小问2详解】由已知得,ab不平行，得到222

24mmm−−++，所以2m且32m−.16.设m是实数，关于x的方程22(2)310xmxmm−++++=有两根12,xx，（1）若12xx=，求m的取值范围；（2）若122xx−=，求m的取值范围．【答案】（1）8,[0,)3−−+；（2）{,23−2,−

427427,}33−−−+．【解析】【分析】(1)由题可知，0，解不等式即可得m的范围；(2)分方程有两个实根和两个虚根分别求出m的取值即可﹒当方程有两个不等实根时，根据韦达定理和122xx−=即可求解；当方程有两个虚根时，设两个虚根为1ixab=+，2xabi=−，根据

韦达定理求出关于a、b、m的方程组，再结合122xx−=求出2b的值即可求出m的值．【小问1详解】∵12xx=，∴方程有两个相等实根或一对共轭虚根，∴≤0，即()22(2)431mmm+−++≤0，即m(3m＋8)≥0，解得8,[0,)3m−−+；【小问2详解】若方程有

两个不等实根，由(1)可知＞0解得m8,03−，()()()22212121224424314xxxxxxmmm−=+−=+−++=，即23840mm++=，解得23m=−或2−均满足＞0；若方程有两个虚根，则＜0，()8,0,3m−−+，设两个虚根为1i

0xababRb=+，，，，则2ixab=−，根据韦达定理得，122222mxxama++==+=，2221231xxabmm=+=++(*)由21222i2221xxbbb−====，将21b=

、22ma+=代入(*)得，2221312mmm++=++，化简得23840mm+−=，解得4273m−=均满足＜0，综上，m取值的集合为{,23−2,−427427,}33−−−+．17.在工厂实习中

，小宋拿到材料是一块顶角A为4的扇形铝板（足够大），现在需要将铝板放在切割机上，加工成一个内角为A的三角形工件ABC．（1）小宋的师傅拿出了一个工件样品ABC，其中3sincos4BB=，求sin,sinBC的值；（2）师傅在小宋的扇形铝板的顶角A的角平分线上打了一个点D，且1A

D=，并要求小宋加工的工件ABC的BC边经过点D，则①用角B表示工件ABC的面积S；②求S的最小值，以及取得最小值时角B的大小．【答案】（1）1sin2B=或32，62sin4C+=（2）①2sin284sinsin4BSBB+=+；

②38B=时，S取到最小值21−【解析】【分析】（1）由题意，得到3sin22B=，求得6B=或3和512C=或712，即可求解；（2）①利用正弦定理，求得sinsin88,sinsin4BBcbBB++==+，结合面

积公式，即可求解；②利用二倍角公式和积化和差公式，得到212214coscos244SB−=+−+，结合三角函数的性质，即可求解.小问1详解】解：因为3sincos4BB=，可得3sin22B=，又因为(0,)B，

可得23B=或223B=，所以6B=或3，的【由4A=，可得512C=或712，所以1sin2B=或3sin2B=，75232162sinsin()sin()sin()12124622224C+===+=+=．【小问2详解】解：①在A

BD△和ACD△中使用正弦定理，可得sinsin88,sinsin4BBcbBB++==+于是2sin128sin24sinsin4BSbcABB+==+

．②利用二倍角公式和积化和差公式可得：21cos212242144coscos2coscos24444BSBB−+−==+−+−+，由题意可得30

,4B，所以2cos21,42B+−，当cos214B+=−，即38B=时，S取到最小值21−．18.已知函数(),yfxxD=．若存在0a使得()()gxfxax=+是严格增函数，那么称()fx为“

缓降函数”．（本题可以利用以下事实：当0,2x时，sinxx．）（1）判断以下函数是否是“缓降函数”①210yx=−−②3yx=−（无需写出理由）；（2）求证：()cosygxx==是“缓降函数”；（3）已知0m，求证：1()sin,(,)yhxxmx==+是

“缓降函数”充要条件是0m．【答案】（1）①是；②不是；的（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）直接判断得解；（2）取211,axx，利用“缓降函数”定义证明；（3）先证明充分性，再利用反证法证明必要性得证.【小问1详解】解：①是；②不是.小问2详解】证明：当,

2x+时，我们显然有sin2xx，所以再结合所给事实可得：当,()0x+时，sinxx．令()cosgxxax=+，再取211,axx，于是()()()212121cos

cosgxgxxxaxx−=−+−()()212121212sinsin(1)022xxxxaxxaxx+−=−+−−−这说明cosyx=是“缓降函数”．【小问3详解】证明；令1()singxaxx=+充分性：已知0m，取2121,xxmam则()()

()()21212121212111111111sinsin2cossin22gxgxaxxaxxxxxxxx−=−+−=+−+−()()212112121111202axx

axxxxxx−−+−=−−于是1sin,(,)yaxxmx=++是严格增函数，所以1sin,(,)yxmx=+是缓降函数．必要性：用反证法，当0m=时，若存在0a使()()gxfxax=+是严格增函数，令[]1ka=+，这里[]a代表不大于a的最大整

数【取1211222xxkk==+．此时()()21211111111224222gxgxaxaxaakkkk−=−−=−−=−++我们知道101,011422akk+

，这说明()()210gxgx−与严格增函数矛盾．此即说明1sin,(0,)yxx=+不是缓降函数．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com