【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第25讲 简单的三角恒等变换（讲） Word版含解析.docx，共(11)页，739.011 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-c84396ac64bdf8724ea48356b5f5b18d.html

以下为本文档部分文字说明：

第25讲简单的三角恒等变换思维导图知识梳理题型归纳题型1三角函数式的化简【例1-1】（2020春•临渭区期末）已知(0,)，化简：(1sincos)(cossin)2222cos++−=+．【分析】由条件利用二倍角公式

、以及三角函数在各个象限内的符号，化简要求的式子，可得结果．【解答】解：(0,)，22(1sincos)(cossin)(12sincos2cos1)(cossin)222222222cos22(2cos1)2++

−++−−=++−2cos(sincos)(cossin)2coscos222222cos|2cos|2cos22+−===，故答案为：cos．【跟踪训练1-1】（2019秋•淮安期末）设42x剟，则1sin21sin2(xx++

−=)A．2sinxB．2cosxC．2sinx−D．2cosx−【分析】由221sin21sin2(sincos)(sincos)xxxxxx++−=++−，然后结合已知角的范围进行化简即可．【解答】解

：42x剟，则221sin21sin2(sincos)(sincos)xxxxxx++−=++−，sincossincos2sinxxxxx=++−=．故选：A．【跟踪训练1-2】（2019秋•徐州期末）若为第四象限角，则1si

n1sin1sin1sin−+−+−可以化简为()A．2sin−B．2cosC．2tan−D．2tan−【分析】由a为第四象限角，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解．【解答】解：为第四象限角，22

221sin1sin(1sin)(1sin)1sin1sin2sin2tan1sin1sin11coscoscossinsin−+−+−+−−=−=−==−+−−−．故选：D．【名师指导】1．三角函数式的化简要遵循“3看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，

异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．题型2三角函数式的求值【例2-1】（2020春•青羊区校级期中）2cos4823sin36cos36(cos27sin27−

=−)A．22B．1C．1−D．22−【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解．【解答】解：2cos4823sin36cos36cos27sin27−−2cos(9042)3sin72222(cos27sin27)22−−=−2sin423sin

722cos(2745)−=+2sin(7230)3sin722cos72−−=312(sin72cos72)3sin72222cos72−−=cos722cos72−=22=−．故选：D．【例2-2】（2020•辽宁模拟）若sin11c

os3=−，则22cos3sin2sin2+−=．【分析】由已知可得3sin1cos=−，代入所求利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解．【解答】解：sin11cos3=−，3sin1cos=−，22cos3

sin22(2cos1cos2)21cossin2+−+−−==−−．故答案为：2−．【例2-3】（2020春•天心区校级月考）若为锐角，且(4cos50tan40)tan1−=，则(=)A．60B．50C．40D．30【分析】先利用三角函数公式化简4cos50t

an403−=，则3tan3=，从而求出的值．【解答】解：4cos50tan40−4sin40tan40=−4sin40cos40sin40cos40−=2sin80sin(3010)cos40−+=132

cos10cos10sin1022cos40−−=33cos10sin1022cos40−=cos(3010)3cos40+=3=，13tan33==，又为锐角，030=，故选：D．【跟踪训练2-1】（2020春•雨花区校级月考）cos104cos

10(sin10−=)A．1B．2C．3D．2【分析】由已知结合二倍角公式及和差角公式对已知进行化简即可求值．【解答】解：原式cos102sin20cos102sin(3010)3sin103sin10sin10sin10−−−====．故选：C．【跟踪

训练2-2】（2020春•开江县校级月考）化简：2255sin40sin50cossin−的结果为．【分析】利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解．【解答】解：2255cos10cos10sin80211sin40sin50sin40co

s40sin80sin8022cossin−====．故答案为：2．【跟踪训练2-3】（2020春•驻马店期末）化简求值：（Ⅰ）sin7sin8cos15cos7sin8sin15+−；（Ⅱ）4

cos70tan20+．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解；（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解．【解答】解：（Ⅰ）31sin7sin8cos15sin(158)sin8cos15sin1

5cos8tan45tan303tan(4530)23cos7sin8sin15cos(158)sin8sin15cos15cos81tan45tan303113−+−+−===−===−−−−++．（Ⅱ）33sin50cos504cos70cos

20sin202sin40sin202cos50sin(5030)3sin(5060)224cos70tan203cos20cos20cos20cos20cos20++++−++======．【跟踪

训练2-4】（2020•金凤区校级模拟）若3sin()5+=，是第三象限角，则cossin22cossin22+=−．【分析】根据题意可得3sin5=−，4cos5=−，再化简coss

in1sin22coscossin22++=−，代值计算即可．【解答】解：2cossin(cossin)1sin2222coscossin(cossin)(cossin)222222

+++==−−+，3sin()sin5+=−=，3sin5=−，为第三象限角，4cos5=−，1sin1cos2+=−故答案为：12−【跟踪训练2-5】（2019秋•辽源期末

）已知sin是方程25760xx−−=的根，则233sin()sin()tan(2)22cos()cos()cos()22−−−−=−+−．【分析】解一元二次方程求得sin的值，在老鹰利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，化简所给的三角函数式，

可得结果．【解答】解：sin是方程25760xx−−=的根，3sin5=−，22233sin()sin()tan(2)cos(cos)tan11522sin(sin)(cos)cos41sincos()cos()cos()22−−−−−=

=−=−=−−−−+−，故答案为：54．【跟踪训练2-6】（2020春•辽宁期中）已知02x−，1sincos5xx+=．（1）求sincosxx−的值；（2）求2sin221tanxsinxx+−的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的

基本关系，求得2sincos(sincos)xxxx−=−−的值．（2）由题意利用三角函数的恒等变换及化简所给的式子，结合（1）的结论，可得结果．【解答】解：（1）已知02x−，cossinxx，1sin

cos5xx+=，平方可得112sincos25x+=，242sincos25x=−，2247sincos(sincos)12sincos1255xxxxxx−=−−=−−=−+=−．（2）22241sin222sincos2sin2sincos(

cossin)2425571tan1tancossin1755xsinxxxxxxxxxxxx−+++====−−−−．【跟踪训练2-7】（2020•石家庄模拟）若cos(13tan10)1+=，则的一个可能值为()A．70B．50C．40D．10【分析】利用

三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得coscos40=，比较各个选项即可得解．【解答】解：cos(13tan10)1+=，1cos13tan10=+cos10cos103sin10=+cos1

02sin40=sin802sin40=cos40=，的一个可能值为40．故选：C．【跟踪训练2-8】（2020春•浦东新区校级期中）已知角,(0,)4，3sinsin(2)=+，24tan1tan22=−，则+=．【分析】从24t

an1tan22=−．中解出tan，利用配角法化简3sinsin(2)=+，即将其中的2+用()++，用()+−代换，从而求出tan()+，利用三角函数值求解得+的值．【解答】解：24tan1tan22=−，2tan1=，1tan2=

．3sinsin(2)=+，3sinsin()coscos()sin=+++．3sin()cos3cos()sin+−+sin()coscos()sin=+++．sin()cos2cos()sin+=+．tan()2tan1

+==．又,(0,)4，4+=．故答案为：4．【跟踪训练2-9】（2020春•利通区校级期末）已知43sin()7−=，13cos()14−=，02．（1）求sin()3+的值；（2）求角的大小．【分析

】（1）直接利用三角函数的诱导公式的应用和同角三角函数的变换的应用求出结果．（2）利用三角函数的角的变换的应用求出结果．【解答】解：（1）已知43sin()sin7−==，由于02．所以21cos1sin7=−=，故4311353sin(

)sincoscossin333727214+=+=+=．（2）02．所以02−，由于13cos()14−=，所以33sin()14−=，故：11343331coscos[()

]coscos()sinsin()7147142=−−=−+−=+=．由于02．所以3=．【名师指导】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：(1)已知正

切函数值，则选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数，若角的范围是0，π2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，则选正弦较好．题型3三角恒

等变换与三角函数的综合应用【例3-1】（2020春•田家庵区校级期末）已知ABC中，sin()sin()sin2BABAA++−=，则ABC的形状为()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．无法确定【分析】利用和角与差角的三角

函数公式化简，进而分类讨论即可判断ABC的形状．【解答】解：因为sin()sin()sin2BABAA++−=，sincoscossinsincoscossin2sincosBABABABAAA++−=，可得：sincossincosBAAA=，当cos0A=时，2A=，

ABC为直角三角形，当cos0A时，得sinsinBA=，由正弦定理得ab=，所以ABC是等腰或直角三角形．故选：C．【例3-2】（2020春•常熟市期中）已知函数2()sin(2)cos(2)2cos136fxxxx=−+−+−．（1）求函数()f

x的最小正周期；（2）若[,]42，且32()5f=，求cos2．【分析】（1）用正、余弦的差角公式展开，再用和角公式合并化简，用周期公式得到答案；（2）先计算角的范围，判断余弦的符号，求出cos(2)4+的值，再

用角变换得cos2cos[(2)]44=+−求解；【解答】解：（1）函数2()sin(2)cos(2)2cos136fxxxx=−+−+−sin2coscos2sincos2cossin2sincos23366xxxxx=−+++sin2cos22sin(2)4xxx

=+=+；所以函数()fx的最小正周期22T==；（2）32()5f=，即322sin(2)45+=，3sin(2)45+=[,]42，352444+剟，4cos(2)45+=−；2cos2cos[(2)]cos(2)cossin(2)sin44444

410=+−=+++=−；故2cos210=−．【跟踪训练3-1】（2020•青岛模拟）在ABC中，如果cos(2)cos0BCC++，那么ABC的形状为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形【分析】结合ABC++=和余弦的两角和差公式，可将原不

等式化简为2coscos0BA−，即coscos0BA，又A，(0,)B，所以cosB与cosA一正一负，故而得解．【解答】解：ABC++=，cos(2)cosBCC++cos[()]cos[()]BABA=+−+−+cos()cos()BABA=−−−+coscossinsinc

oscossinsinBABABABA=−−−+2coscos0BA=−，coscos0BA，即cosB与cosA异号，又A，(0,)B，cosB与cosA一正一负，ABC为钝角三角形．故选：A．【跟踪训练3-2】（2019秋•

和平区校级期末）已知2()sinsincosfxxxx=+，[0x，]2（1）求()fx的值域；（2）若5()6f=，求sin2的值．【分析】（1）首先，化简函数解析式：21()sin(2)242fxx=−+，然后，根据[0x，

]2，求解()fx的值域；（2）根据（1）的函数解析式，因为sin2sin(2)44=−+，先求解7cos(2)43−=，然后求解．【解答】解：（1）2()sinsincosfxxxx=+1cos2sin222xx−=+21sin(2)242x=−

+21()sin(2)242fxx=−+．[0x，]2，2[44x−−，3]4，当244x−=−，即0x=时，()fx有最小值0．当242x−=时，()fx有最大值212+．()fx值域：[0，

21]2+．（2）215()sin(2)2426f=−+=，得2sin(2)43−=，[0，]2，2[44−−，3]4，又220sin(2)432−=，2(0,)44−，得227cos(2)1()433−=−=，sin2sin(2)

44=−+2[sin(2)cos(2)]244=−+−2146+=．sin2的值2146+．【名师指导】解决三角恒等变换与三角函数综合问题的一般步骤第一步：将f(x)化为asinx＋bcosx的形式；第二步：构造f(x)

＝a2＋b2·aa2＋b2·sinx＋ba2＋b2·cosx；第三步：和角公式逆用，得f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；第四步：利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质；第五步：反思回顾，查看关键点、

易错点和答题规范．