【文档说明】四川省仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题答案.docx，共(15)页，1.173 MB，由小赞的店铺上传

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仁寿一中南校区高2022级高二上学期十月月考数学试题一、单选题1．若向量()2,0,1a=−，向量()0,1,2b=−，则2ab−=（）A．()4,1,0−B．()4,1,4−−C．()4,1,0−D．()4,1,4−−【答案】C【详解】向量()2,0,1a=−，向量(

)0,1,2b=−，则()()()20,1,24,1,022,0,1ab−−−=−=−.故选：C2．从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一本政治与都是数学B．至少有一本政治与都是政治C．至少有一本政治与至少有一本数学D．恰有1本政治与

恰有2本政治【答案】D【详解】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，可能的结果有：“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，“至少有一本政治”包含事件：“两本政治”，“一本数学一本政治”.对于A，事件“至少有一本政治”与事件“都是数学”是对立事

件，故A错误；对于B，事件“至少有一本政治”包含事件“都是政治”，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B错误；对于C，事件“至少有一本数学”包含事件：“两本数学”，“一本数学一本政治”，因此两个事件都包含事件“一本数学一本政治”，不是互

斥事件，故C错误；对于D，“恰有1本政治”表示事件“一本数学一本政治”，与事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不对立，故D正确.故选:D.3．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN，设向量OAa=，OBb=，OCc=，则OP=

（）A．111666abc++B．111333abc++C．111633abc++D．111366abc++【答案】C【详解】由题意，22()33OMMPOMMNOOMONOMP=+=+=+−=23ON+13OM=23×12(OB+OC)+13×12OA=111633abc++故选：C4

．已知()2,3,1a=，()1,2,2b=−−，则a在b上的投影向量为（）A．2bB．2b−C．23bD．23b−【答案】D【详解】()()()()22222,3,11,2,2262293122abb−−−−===−+−+−，故

a在b上的投影向量为()223abbbb=−.故选：D5．设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A．若mn⊥，m⊥，n⊥，则⊥B．若//mn，m⊥，//n，则⊥C．若mn⊥，//m，//n，则//D．

若//mn，m⊥，n⊥，则//【答案】C【详解】A选项，如图1，当n，时，因为n⊥，所以⊥，如图2，当n时，因为m⊥，mn⊥，设mO=，过点O作//OAn，则OA，且OAm⊥因为n⊥，所以OA⊥，所以⊥，A正确；B选项，

如图3，若//mn，m⊥，所以n⊥，因为//n，故存在，使得n，且c=，则//nc，因为n⊥，所以c⊥，因为c，故⊥，B正确；C选项，如图4，满足mn⊥，//m，//n，但不满足//，C错误；D选项，如图5，因为//mn，m⊥，所以n⊥，又n⊥，所以

//，故D正确.故选：C6．某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）2+（物理、历史）选14+（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择物化生组合的概率是（）A．310B．35C．710D．112【答案】D

【详解】在2（物理，历史）选14+（化学、生物、地理、政治）选2中，选物理的有6种，分别为：物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，同时，选历史的也有6种，共计12种，其中选择物化生的有1种，某考生选择物化生的概率是112P=.故选：D7．在四棱锥PABCD−

中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，PDAB=，60DAB=，点E为PD的中点，则异面直线CE与PB所成角的余弦值为（）A．255B．105C．105−D．255−【答案】B【详解】如图所示：连接,ACBD交于点O，连接EO，因为//EOPB,所以CEO（补角）是异面直线

CE与PB所成角．因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC⊥，又因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC⊥，又BDPDD=，所以AC⊥平面PBD，又EO平面PBD，所以ACEO⊥，则EOC△为直角三角形，设2PDABa==，在EOC△中，2,3EOaOCa==，5EC

a=所以10cos5EOCEOEC==，故选：B．8．如图，在边长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足11BPDE⊥，则线段1BP的长度的最大值为（）A．455B．2C．22D．

3【答案】D【解析】如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz−，则点()12,2,2B、()10,0,2D、()1,2,0E，设点()(),,002,02Pxyxy，()11,2,2DE=−，(

)12,2,2BPxy=−−−，11DEBP⊥，()112224220BPDExyxy=−+−+=+−=，得22xy=−，由0202xy，得022202yy−，得01y，()()2221224548BPxyyy=−+−+=−+

，01y，当1y=时，1BP取得最大值3.故选：D.二、多选题9.下面四个结论正确的是（）A．向量(),0,0abab，若ab⊥，则0ab=．B．若空间四个点P，A，B，C，1344PCPAPB=+，则A，B，C三点共线．C．已知向量()1,1,ax=，()

3,,9bx=−，若310x，则,ab为钝角．D．已知,,abc是空间的一组基底，若mac=+，则,,abm也是空间的一组基底；【答案】ABD10．2.5PM是空气质量的一个重要指标,我国2.5PM标准

采用世卫组织设定的最宽限值,即2.5PM日均值在335μg/m以下空气质量为一级,在3335μg/m~75μg/m之间空气质量为二级,在375μg/m以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日2.5PM日均值（单位:3μg/m）的统计数据,则下列叙述正确的是（）A．从5

日到9日,2.5PM日均值逐渐降低B．这10天中2.5PM日均值的平均数是49.3C．这10天的2.5PM日均值的中位数是45D．从这10天的日均2.5PM监测数据中随机抽出一天的数据,空气质量为一级的概率是25【答案】ABD【解

析】由图可知从5日到9日,2.5PM日均值逐渐降低，故选项A正确;由图平均数为30323334454957587498.31032=+++++++++，故选项B正确;由图可知这10天的数据从小到大排列为：30,32,33,34,45,49,57,58,73,82，故中位数为:454

9472+=，故选项C错误;由数据可知,10天中2.5PM日均值335μg/m以下有4天，故空气质量为一级的概率是42105=，故选项D正确.故选：ABD11．下列叙述正确的是（）A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互

斥事件B．甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率为12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为56C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D．在5件产品中，有3件一等品和2件二

等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为710【答案】ABD【解析】对于A选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，A正确；对于B选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和

，它们互斥，则甲不输的概率为115236＝+，B正确；对于C选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，C错误；对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，其中“至多一件一等

品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，从而所求概率为3711010−=，D正确.故选：ABD12．已知三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，且AA1=2，AB=2√3，D是B1C1的中点，点P是线段A1D上的动点，则下列结论所有正确的命

题是（）A.正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为20πB.若直线PB与底面ABC所成角为θ，则sin?的取值范围为[√77,12]C.若A1P=2，则异面直线AP与BC1所成的角为4D.若过BC且与A

P垂直的截面α与AP交于点E，则三棱锥P-BCE的体积的最小值为32。【答案】AD【解答】对A：因为ΔABC外接圆的半径r=√33×2√3=2，AA1=2，所以正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的半径R=√4+1=√5，所以外接球的表面积为4πR2=20π，故A正确；

对B：法一:取BC的中点F，连接DF，AF，BD，A1B，由正三棱柱的性质可知平面AA1DF?平面ABC，且交线为AF11112PPAFPPABCPPAA⊥⊥==，面，,112sinPPPBPPBPB===，所

以当点P与A1重合时，2212+34PBPA===（2）,PB最大,θ最小，此时21sin42==;当点P与D重合时，222+37PBPD===（）,PB最小,θ最大，此时227sin77==所以127sin27（，），故B错误；法二:点P到底面ABC的距离为正三棱柱的高2,2sinPB

=,1PBAD⊥时,PB最小,111111BBADBCCBDBCCADBD⊥⊥面，面，,当当点P与D重合时，,PB最小,θ最大，此时227sin77==;又2211+BFAADFAADFBFPFPBBFPF⊥⊥=面，PF面，P与A1

重合时，PF最大,即PB最大,θ最小，此时21sin42==;所以127sin27（，），故B错误；法三:（向量法）以BC中点F为空间原点,分别以FA,FB,FD为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设3Pt（t,0,2）,0,(0

,3,0),(,3,2)BBPt=−,(0,0,1)n=为面ABC的法向量,22sin7BPnBPnt=+丨丨=丨丨丨丨当t=0时,sin=最大22777=当t=3时,sin=最大2142=所以127sin27（，），故B错误；对C：法一（割补法）将正三棱柱补成如图所

示的直四棱柱，则?GAP(或其补角)为异面直线AP与BC1所成的角，易得AG=GP=4，AP=2√2，所以?GAP??4，故C错误；法二（向量法）以BC中点F为空间原点,分别以FA,FB,FD为x轴,y轴,z轴建

立空间直角坐标系,设P（1,0,2）,,11(0,3,0),(0,3,2),(2,3,2),(0,23,2),ABCAPBC−=−−=−(3,0,0),1116+412cos,,21116211APBCAPBCAPBC−===丨丨丨丨丨丨丨丨故C错误；对D：如图所

示，因为VP-ABC=13×2×√34×(2√3)2=2√3，所以要使三棱锥P-BCE的体积最小，则三棱锥E-ABC的体积最大，设BC的中点为F，作出截面如图所示，因为AP??，所以E在以AF为直径的圆上，所以点E到底面ABC距离的最大值为31323222=，所以三棱锥P-BCE的体积的最

小值为211333232332222−=（），故D正确..故选AD.三、填空题13．用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是人.【答案】1800【详解】45600180

015=，故该校高中学生总数是1800人.故答案为：180014．已知事件A，B，C两两互斥，且()0.3PA=，()0.6PB=，()0.2PC=，则()PABC=．【答案】0.9/910【详解】由题意得()1()0.4PBPB=−=，则()

()()()0.9PAPPABCBPC=++=．故答案为：0.915．在△ABC中，N是AC边上一点，且12ANNC=，P是BN上的一点，若29APmABAC=+，则实数m的值为．【答案】13【详解】如图：∵12ANNC=，∴13ANAC=，则2293APmABACmABAN=+=+，

又∵B，P，N三点共线，∴213m+=，故得m=13．故答案为13．16．如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a＜2）．则下列结论：①当a＝12时，ME与

CN相交；②MN始终与平面BCE平行；③异面直线AC与BF所成的角为45°；④MN的最小值为22．正确的序号是．【答案】②④【详解】由题意，以B为坐标原点，,,BABEBC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立

如图所示空间直角坐标系，由正方形ABCD，ABFE的边长1，所以()()()()()()1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,1,0,ABCDEF因为CMBNa==，所以(,0,1)

,(,,0)2222aaaaMN−，若ME与CN相交，则四点共面，又MCE、、在平面ACE，所以当且仅当N在平面ACE时，ME与CN相交，此时22a=，故①错误；平面BCE的法向量为(1,0,0)BA

=，(0,,1)22aaMN=−，0BAMN=，ABMN⊥，所以MN始终与平面BCE平行，故②正确；(1,0,1),(1,1,0)ACBF=−=，设异面直线AC与BF所成的角为，||11cos2|C|||22ACBFABF===，所以异面直线AC与BF所

成的角为60，故③错误；222221021022222MNaaaaa−−=+−+=−+−22，故④正确.故答案为：②④四、解答题17．设A，B，C，D为平面内的四点，且(1,3),(2,2),(4,1)ABC−.(1

)若ABCD=，求D点的坐标；(2)设向量,==aABbBC，若向量kab−与3ab+平行，求实数k的值.【答案】(1)4(5,)D−；(2)13−.【解析】（1）设(,)Dxy，因为ABCD=，于是(2,2)(1,3)(,)(4,1)xy−−=−，整理得(1,5)

(4,1)xy−=−−，即有4115xy−=−=−，解得54xy==−，所以4(5,)D−.（2）因为(1,5),(4,1)(2,2)(2,3)aABbBC==−==−−=ruuurruuur，所以(1,5)(2,3)(2,53)kabkkk−=−−=−−−r

r，3(1,5)3(2,3)(7,4)ab+=−+=rr，因为向量kab−与3ab+平行，因此7(53)4(2)0kk−−−−=，解得13k=−，所以实数k的值为13−.18．三棱台111ABCABC-中，若1AA⊥面111,,2,1ABCABACABACAAAC⊥====，

,MN分别是,BCBA中点.(1)求证：1AN//平面1CMA；(2)求点C到平面1CMA的距离．【答案】(1)证明见解析(2)43【解析】（1）连接1,MNCA.由,MN分别是,BCBA的中点，根据中位线性质，MN//AC，且12ACMN==，由棱台性质，11AC

//AC，于是MN//11AC，由111MNAC==可知，四边形11MNAC是平行四边形，则1AN//1MC，又1AN平面1CMA，1MC平面1CMA，于是1AN//平面1CMA.（2）[方法一：几何法]过1C作1CPAC⊥，垂足为P，作1C

QAM⊥，垂足为Q，连接,PQPM，过P作1PRCQ⊥，垂足为R.由题干数据可得，115CACC==，22115CMCPPM=+=，根据勾股定理，21232522CQ=−=，由1CP⊥平面AMC，AM平面AMC，则1CPAM⊥，又1

CQAM⊥，111CQCPC=，11,CQCP平面1CPQ，于是AM⊥平面1CPQ.又PR平面1CPQ，则PRAM⊥，又1PRCQ⊥，1CQAMQ=，1,CQAM平面1CMA，故PR⊥平面1CMA.在1RtCPQ中，1122223322PCPQPRQC===，又2CAPA=，故

点C到平面1CMA的距离是P到平面1CMA的距离的两倍，即点C到平面1CMA的距离是43.[方法二：等体积法]辅助线同方法一.设点C到平面1CMA的距离为h.()1211112223323CAMCAMCVC

PS−===，1111132233222CCMAAMChVhSh−===.由11223CAMCCCMAhVV−−==，即43h=.19．某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，

将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：)40,50，)50,60，90,100后得到如图的频率分布直方图.(1)求抽取的40名学生同学的成绩的中位数；(2)若该校高二年级共有学生560人

，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；(3)若从数学成绩在)40,50与90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不小于10的概率.【答案】(1)75分；(2)196；(3)815.【解析】（1）由频率分布直方

图可得10(0.00520.0100.0200.025)1a++++=，解得0.030a=，因为前3组的频率和10(0.0050.0100.020)0.350.5++=，前4组的频率和10(0.0050.0100.0200.030)0.650.5+++=，所以中位数在第

4组，设中位数为x，则0.350.03(70)0.5x+−=，解得75x=，所以中位数为75分；（2）由频率分布直方图可得成绩不低于80分的频率为10(0.0250.01)0.35+=，因为该校高二年级共有学生560人，所以该校高二年级期中考试数学成绩不低于80分的人数约为0.

35560196=（人）；（3）由频率分布直方图可得成绩在)40,50内的人数为40100.0052=人，记为,AB，成绩在90,100内的人数为40100.0104=人，记为,,,CDEF，若从数学成绩在)40,50与90,100两个分数段内的学生

中随机选取两名学生的所有情况有：(,),(,),(,),(,),(,)ABACADAEAF，(,),(,),(,),(,)BCBDBEBF，(,),(,),(,)CDCECF，(,),(,),(,)DEDFEF，共15种情况，其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不小于10的有：(,),(,),(

,),(,)ACADAEAF，(,),(,),(,),(,)BCBDBEBF，共8种，所以所求概率为815.20．某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“

通过”，并给予录取.甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为0.5,0.6，在面试中“通过”的概率依次为0.4,0.3，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么(1)甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？

(2)甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.【答案】(1)甲获得录取的可能性大；(2)0.308.【解析】（1）记“甲通过笔试”为事件1A，“甲通过面试”为事件2A，“甲获得录取”为事件A，“乙通过

笔试”为事件1B，“乙通过面试”为事件2B，“乙获得录取”为事件B，则()()12()0.50.40.2PAPAPA===，()()12()0.60.30.18PBPBPB===，即()()PAPB，所以甲获得录取的可能性大.记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C，则()()()PCPABP

AB=+()()()()PAPBPAPB=+0.20.820.80.180.308=+=.21．如图所示，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，//ADBC，ABBC⊥，且2ABAP==，1BC=，5AD=，E为P

C上一点.(1)求证：AECD⊥；(2)若E为PC的中点，求CD与平面AED所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)1010.【解析】（1）因为2ABAP==，1BC=，所以22521AC=+=，222425CD=+=，又因为

5AD=，则222ACCDAD+=，所以ACCD⊥，因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD⊥，且ACPAA=，,ACPA平面PAC，所以CD⊥平面PAC，由AE平面PAC，所以AECD⊥.（2）以点A为坐标原点，分别以,,AB

ADAP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()0,5,0D，()2,1,0C，()002P,,，11,,12E，可得()2,4,0CD=−，11,,1

2AE=，()0,5,0AD=，设平面AED的法向量为(),,nxyz=，则10250nAExyznADy=++===，令1z=，则1,0xy=−=，可得平面AED的一个法向量为(

)1,0,1n=−，设CD与平面AED所成角为，则210sincos,10252CDnCDnCDn====uuurruuurruuurr，所以CD与平面AED所成角的正弦值为1010.22．如图，在四棱锥SABCD−

中，四边形ABCD是矩形，SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，1AB=，P为棱AD的中点，四棱锥SABCD−的体积为233．(1)若E为棱SB的中点，求证：//PE平面SCD；(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为235？若存在，指出点M的位置并

给以证明；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在点M，位于AS靠近点S的三等分点处满足题意.【解析】（1）取SC中点F，连接,EFFD，,EF分别为,SBSC的中点，//EFBC，12

EFBC=底面四边形ABCD是矩形，P为棱AD的中点，//PDBC，12PDBC=．//EFPD，EFPD=，故四边形PEFD是平行四边形，//PEFD\．又FD平面SCD，PE平面SCD，//PE平面SCD．（2）假设在棱SA上存在点M满足题意，在等边SA

D中，P为AD的中点，所以SPAD⊥，又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD＝，SP平面SAD，SP⊥平面ABCD，则SP是四棱锥SABCD−的高．设()0ADmm=，则32SPm=，ABCDSm=矩形，113233323ABCDSABCDVSSPmm

矩形四棱锥−===，所以2m＝.以点P为原点，PA，PS的方向分别为,xz轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0P，()1,0,0A，()1,1,0B，()0,0,3S，故()1,0,0PA=，()1,1,0PB

=uur，()1,0,3AS=−．设()(),0,301AMAS==−，()1,0,3PMPAAM=+=−．设平面PMB的一个法向量为()1,,nxyz=，则11(1)300nPMxznPBx

y=−+==+=取()13,3,1n=−−．易知平面SAD的一个法向量为()20,1,0n=uur，1212212323cos,7215nnnnnn-l×\===l-l+uvuuvuvuuvuvuuv，01，23=获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公

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