【文档说明】四川省仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.177 MB，由管理员店铺上传

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仁寿一中南校区高2022级高二上学期十月月考数学试题一、单选题1.若向量()2,0,1a=−，向量()0,1,2b=−，则2ab−=（）A.()4,1,0−B.()4,1,4−−C.()4,1,0−D.()4,1,4−−【答案】C【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示计算.【详解】向

量()2,0,1a=−，向量()0,1,2b=−，则()()()20,1,24,1,022,0,1ab−−−=−=−.故选：C2.从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.至少有一本政治与都是数学B.至少有一本政治

与都是政治C.至少有一本政治与至少有一本数学D.恰有1本政治与恰有2本政治【答案】D【解析】【分析】总的可能的结果为“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，然后写出各个事件包含的事件，结合互斥事件与对立事件的概念，即可得出答案.【详解】从装有2本数学和2本政治的四本书内任取2本书，可能的

结果有：“两本政治”，“两本数学”，“一本数学一本政治”，“至少有一本政治”包含事件：“两本政治”，“一本数学一本政治”.对于A，事件“至少有一本政治”与事件“都是数学”是对立事件，故A错误；对于B，事件“至少有一

本政治”包含事件“都是政治”，两个事件是包含关系，不是互斥事件，故B错误；对于C，事件“至少有一本数学”包含事件：“两本数学”，“一本数学一本政治”，因此两个事件都包含事件“一本数学一本政治”，不是互斥事件，故C错误；对于D，“恰有1本政治”表示事件“一本数学

一本政治”，与事件“恰有2本政治”是互斥事件，但是不对立，故D正确.故选:D.3.已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN，设向量OAa=，OBb=，OCc=，则OP=（）A.111666ab

c++B.111333abc++C.111633abc++D.111366abc++【答案】C【解析】【分析】由空间向量的线性运算，22()33OMMPOMMNOOMONOMP=+=+=+−，再转化为用,,abc

表示即得解【详解】由题意，22()33OMMPOMMNOOMONOMP=+=+=+−=23ON+13OM=23×12(OB+OC)+13×12OA=111633abc++故选：C4.已知()2,3,1a=，()1,2,2b=−−，则a在b上的投影向量

为（）A.2bB.2b−C.23bD.23b−【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的投影向量公式进行求解.【详解】()()()()22222,3,11,2,2262293122abb−−−−===−+−+−，故a在b上的投影向量为()223abbbb

=−.故选：D5.设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若mn⊥，m⊥，n⊥，则⊥B.若//mn，m⊥，//n，则⊥C.若mn⊥，//m，//n，则//D.若//mn，m⊥，n⊥，则//【答案】C【解析】【分析】A选

项，分n和n两种情况，结合线面垂直得到面面垂直；B选项，作出辅助线，得到线面垂直，得到面面垂直；C选项，举出反例；D选项，证明出n⊥，结合n⊥，所以//，D正确.【详解】A选项，如图1，当n，时，因为n

⊥，所以⊥，如图2，当n时，因为m⊥，mn⊥，设mO=，过点O作//OAn，则OA，且OAm⊥因为n⊥，所以OA⊥，所以⊥，A正确；B选项，如图3，若//mn，m⊥，所以n⊥，因为//n，故存在，使得n，且c=，则//nc，因

为n⊥，所以c⊥，因为c，故⊥，B正确；则⊥C选项，如图4，满足mn⊥，//m，//n，但不满足//，C错误；D选项，如图5，因为//mn，m⊥，所以n⊥，又n⊥，所以//

，故D正确.故选：C6.某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）2+（物理、历史）选14+（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择物化生组合的概率是（）A.310B.35

C.710D.112【答案】D【解析】【分析】列举法求得选物理和历史的所有种数，再利用古典概型求解【详解】在2（物理，历史）选14+（化学、生物、地理、政治）选2中，选物理的有6种，分别为：物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，同时，选历史的也有6种，共计1

2种，其中选择物化生的有1种，某考生选择物化生的概率是112P=.故选：D7.在四棱锥PABCD−中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，PDAB=，60DAB=，点E为PD的中点，则异面直线CE与PB所成角的余弦值为（）A.255B.105C.105−D.255−【

答案】B【解析】【分析】连接,ACBD交于点O，连接EO，得到CEO（补角）是异面直线CE与PB所成角求解．【详解】解：如图所示：连接,ACBD交于点O，连接EO，因为//EOPB,所以CEO（补角）是异面直线CE与PB所成角

．因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC⊥，又因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC⊥，又BDPDD=，所以AC⊥平面PBD，又EO平面PBD，所以ACEO⊥，则EOC△为直角三角形，设2PDABa

==，在EOC△中，2,3EOaOCa==，5ECa=所以10cos5EOCEOEC==，故选：B．8.如图，在边长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足11BPDE⊥，则线段1BP的长度的最大

值为（）A.455B.2C.22D.3【答案】D【解析】【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点(),,0Pxy，根据110BPDE=得出x、y满足的关系式，并求出y的取值范围，利用二次函数的基本性

质求得1BP的最大值.【详解】如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz−，则点()12,2,2B、()10,0,2D、()1,2,0E，设点()(),,

002,02Pxyxy，()11,2,2DE=−，()12,2,2BPxy=−−−，11DEBP⊥，()112224220BPDExyxy=−+−+=+−=，得22xy=−，由0202xy，得022202yy−，得01y，()()2221224

548BPxyyy=−+−+=−+，01y，当1y=时，1BP取得最大值3.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.二、多选题9.下面四个结论正确的是（）A

.向量(),0,0abab，若ab⊥，则0ab=．B.若空间四个点,,,PABC，1344PCPAPB=+，则,,ABC三点共线．C.已知向量()1,1,ax=，()3,,9bx=−，若310x，则,ab为钝角．D.

已知,,abc是空间的一组基底，若mac=+，则,,abm也是空间的一组基底；【答案】ABD【解析】【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断AC，由空间向量的基本定理与共线定理以及向量基底可判断

BD.【详解】对于A：因为0,0ab，ab⊥，则0ab=，故A正确；对于B：因为1344PCPAPB=+，则11334444PCPAPBPC−=−，即3ACCB=，又AC与CB有公共点，所以,,ABC三点共线，故B正确；对于C：若,ab为钝角：则0ab，且a与b不共

线，由0ab得310x，当时a与b平行时，11339xxx===−−，由a与b不共线得3x−，于是得当310x且3x−时，,ab为钝角，故C错误；对于D：,,abc是空间的一组基底，则向量,,abc不共面，由mac=+，所以,,abm也不共面，故,,abm

也是空间的一组基底，故D正确，故选：ABD10.2.5PM是空气质量的一个重要指标,我国2.5PM标准采用世卫组织设定的最宽限值,即2.5PM日均值在335μg/m以下空气质量为一级,在3335μg/m~75μg/m之间空气质量为二级,在375μg/m以上空气质量为超标.如图是

某地11月1日到10日2.5PM日均值（单位:3μg/m）的统计数据,则下列叙述不正确的是（）A.从5日到9日,2.5PM日均值逐渐降低B.这10天中2.5PM日均值的平均数是49.3C.这10天的2.5PM日均值的中位数是45D.从这10天的日均2.5PM监测数据中随机抽

出一天的数据,空气质量为一级的概率是25【答案】C【解析】【分析】根据折线图可知选项A正确,根据平均数的计算公式可知选项B正确,将10天的日均值从小到大排列,取中间两数的平均数可知选项C错误,数出2.5PM日均值在335μg

/m以下的天数,根据概率计算公式可知选项D正确.【详解】解:由图可知从5日到9日,2.5PM日均值逐渐降低，故选项A正确;由图平均数为30323334454957587498.31032=+++++++++，故选项B正确;由图可知这10

天的数据从小到大排列为：30,32,33,34,45,49,57,58,73,82，故中位数为:4549472+=，故选项C错误;由数据可知,10天中2.5PM日均值335μg/m以下有4天，故空气质量为一级的概率是42105=，故选项D正确.故选：C11.下

列叙述正确的是（）A.互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B.甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率为12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为56C.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不

对立的事件D.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为710【答案】ABD【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AC选项，根据概率的基本性质求BD选项.【详解】对于A选项：互斥事件是不可能同时发生的

两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，A正确；对于B选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，则甲不输的概率为115236+＝，B正确；对于C选项：由给定条件知

，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，C错误；对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，从而所求概率为3711010−=，D正

确.故选：ABD.12.已知三棱柱111ABCABC-为正三棱柱，且12AA=，23AB=，D是11BC的中点，点P是线段1AD上的动点，则下列结论正确的是（）A.正三棱柱111ABCABC-外接球的表面积为20

B.若直线PB与底面ABC所成角为，则sin的取值范围为71,72C.若12AP=，则异面直线AP与1BC所成的角为4D.若过BC且与AP垂直的截面与AP交于点E，则三棱锥PBCE−的体积的

最小值为32【答案】AD【解析】【分析】选项A：先求ABC外接圆的半径，根据勾股定理求外接球的半径，从而求表面积；选项B：确定出点P与1A重合时，最小；点P与D重合时，最大，然后在直角三角形中求其正弦值；选项C：

将正三棱柱补成直四棱柱，然后找异面直线AP与1BC所成角；选项D：把三棱锥PBCE−的体积最小，转化为三棱锥EABC−的体积最大，然后根据E到平面ABC距离的最大值求三棱锥PBCE−的体积的最小值.【详解】选项A：因为ABC外接圆的半径32323r=

=，12AA=，所以正三棱柱111ABCABC-外接球的半径415R=+=，所以外接球的表面积为2420R=，故A项正确；选项B：取BC的中点F，连接DF，AF，BD，1AB，由正三棱柱的性质可知平面1AADF⊥平面ABC，所以当点P与

1A重合时，最小，当点P与D重合时，最大，所以127sin,27，故B错误；选项C：将正三棱柱补成如图所示的直四棱柱，则GAP(或其补角)为异面直线AP与1BC所成的角，易得4AGGP==，22AP=，所以4GAP，故C项错误；选项D：如图所示，因为(

)2132232334PABCV−==，所以要使三棱锥PBCE−体积最小，则三棱锥EABC−的体积最大，设BC的中点为F，作出截面如图所示，因为AP⊥，所以E在以AF为直径的圆上，的的所以点E到底面ABC距离的最大值为31323222=，所以三棱锥PBCE−的体积的最小

值为()2133323233242−=，故D项正确.故选：AD.【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，

作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条

异面直线所成的角．三、填空题13.用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了15人.则该校高中学生总数是________人.【答案】1800【解析】【分析】利用比例

求出学生总数.【详解】45600180015=，故该校高中学生总数是1800人.故答案为：180014.已知事件A，B，C两两互斥，且()0.3PA=，()0.6PB=，()0.2PC=，则()PABC=_

_____．【答案】0.9##910【解析】【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解【详解】由题意得()1()0.4PBPB=−=，则()()()()0.9PAPPABCBPC=++=．故答案为：0.9

15.在△ABC中，N是AC边上一点，且12ANNC=，P是BN上的一点，若29APmABAC=+，则实数m的值为__________．【答案】13【解析】【详解】分析：根据向量的加减运算法则，通过12ANNC=，把AP用AB和AN表示出来，可得m的值．详解：

如图：∵12ANNC=，∴13ANAC=，则2293APmABACmABAN=+=+，又∵B，P，N三点共线，∴213m+=，故得m=13．故答案为13．点睛：点O是直线l外一点，点A，B是直线l上任意两点，求证：直线上任意一点P

，存在实数t，使得OP关于基底{OA,OB}的分析式为(1)OPtOAtOB=−+反之，若(1)OPtOAtOB=−+则A，P，B三点共线（特别地令t=12,1122OPOAOB=+称为向量中点公式）16.如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与

正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a＜2）．则下列结论：①当a＝12时，ME与CN相交；②MN始终与平面BCE平行；③异面直线AC与BF所成

的角为45°；④MN的最小值为22．正确的序号是_____．【答案】②④【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】由题意，以B为坐标原点，,,BABEBC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，由正方形ABC

D，ABFE边长1，所以()()()()()()1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,1,0,ABCDEF因为CMBNa==，所以(,0,1),(,,0)2222aaaaMN−，若ME与CN相交，则四点共面，又MCE、、在平面ACE，所以当且仅当N

在平面ACE时，ME与CN相交，此时22a=，故①错误；平面BCE的法向量为(1,0,0)BA=，(0,,1)22aaMN=−，0BAMN=，ABMN⊥，所以MN始终与平面BCE平行，故②正确；(1,0,1),(1,1,0)ACBF=−=，设异面直线AC与BF所成的角为，

的||11cos2|C|||22ACBFABF===，所以异面直线AC与BF所成的角为60，故③错误；222221021022222MNaaaaa−−=+−+=−+−22，故④正确.故答案为：②④四、解答题17.设A，B，C

，D为平面内的四点，且(1,3),(2,2),(4,1)ABC−.（1）若ABCD=，求D点的坐标；（2）设向量,==aABbBC，若向量kab−与3ab+平行，求实数k的值.【答案】（1）4(5,)D−；（2

）13−.【解析】【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.（2）求出,ab的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答.【小问1详解】设(,)Dxy，因为ABCD=

，于是(2,2)(1,3)(,)(4,1)xy−−=−，整理得(1,5)(4,1)xy−=−−，即有4115xy−=−=−，解得54xy==−，所以4(5,)D−.【小问2详解】因为(1,5),(4,1)(2,2)(2,3)aABbBC==−==−−=ruu

urruuur，所以(1,5)(2,3)(2,53)kabkkk−=−−=−−−rr，3(1,5)3(2,3)(7,4)ab+=−+=rr，因为向量kab−与3ab+平行，因此7(53)4(2)0kk−−−−=，解得13k=−，所以实数k的值为13

−.18.三棱台111ABCABC-中，若1AA⊥面111,,2,1ABCABACABACAAAC⊥====，,MN分别是,BCBA中点.（1）求证：1//AN平面1CMA；（2）求点C到平面1CMA的距离．【答案】（1）证明见解析（2）43【解析】【分析】

（1）连接MN、1CA，即可得到四边形11MNAC是平行四边形，从而得到11//ANMC，即可得证；（2）方法一：几何法，过1C作1CPAC⊥，垂足为P，作1CQAM⊥，垂足为Q，连接,PQPM，过P作1PRCQ⊥，垂足为R

，由线面垂直的性质得到1CPAM⊥，再由1CQAM⊥，从而得到AM⊥平面1CPQ，再证明PR⊥平面1CMA，从而求出PR，最后由点C到平面1CMA的距离是P到平面1CMA的距离的两倍，即可得解；方法二：利用

等体积法计算可得.【小问1详解】连接MN、1CA，由,MN分别是,BCBA的中点，根据中位线性质，//MNAC，且12ACMN==，由棱台性质，11//ACAC，于是11//MNAC，又由111MNAC==可知，四边形11

MNAC是平行四边形，则11//ANMC，又1AN平面1CMA，1MC平面1CMA，于是1//AN平面1CMA.【小问2详解】方法一：过1C作1CPAC⊥，垂足为P，作1CQAM⊥，垂足为Q，连接,PQPM，过P作1PRCQ⊥，垂足为R.由

题干数据可得，115CACC==，22115CMCPPM=+=，221122222AMBC==+=，根据勾股定理，21232522CQ=−=，因为1AA⊥面ABC，AC面ABC，所以1AAAC⊥，所以11//CPAA，所以1CP⊥平面AMC，又

AM平面AMC，则1CPAM⊥，又1CQAM⊥，111CQCPC=，11,CQCP平面1CPQ，于是AM⊥平面1CPQ.又PR平面1CPQ，则PRAM⊥，又1PRCQ⊥，1CQAMQ=，1,CQAM平面1CMA，故PR⊥平

面1CMA，在1RtCPQ中，1122223322PCPQPRQC===，又2CAPA=，故点C到平面1CMA的距离是P到平面1CMA的距离的两倍，即点C到平面1CMA的距离是43.方法二：过1C作1CPAC⊥，垂足为P，作1CQAM⊥，垂足为Q，因为1AA⊥

面ABC，AC面ABC，所以1AAAC⊥，所以11//CPAA，所以1CP⊥平面ABC，由题干数据可得，115CACC==，22115CMCPPM=+=，221122222AMBC==+=，根据勾股定理，21232522CQ=−=，设点C到平面1

CMA的距离为h，则()1211112223323CAMCAMCVCPS−===，1111132233222CCMAAMChVhSh−===，由11223CAMCCCMAhVV−−==，解得43h=.19.某校从高二年级学生中随机

抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：)40,50，)50,60，90,100后得到如图的频率分布直方图.（1）求抽取的40名学生同学的成绩的中位数；（2）若该

校高二年级共有学生560人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；（3）若从数学成绩在)40,50与90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不

小于10的概率.【答案】（1）75分；（2）196；（3）815.【解析】【分析】（1）由各组的频率和为1，求出a，再利用中位数的定义可求得结果；（2）根据频率分布直方图求出成绩不低于80分的频率，再乘以560可乘以所求的人

数；（3）根据频率分布直方图求出数学成绩在)40,50与90,100两个分数段内的学生的频率，从而可求出各段上的人数，然后列出所有的情况，以及两名学生的数学成绩之差的绝对值不小于10的情况，再利用古典概型的概率公式求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图可得10(

0.00520.0100.0200.025)1a++++=，解得0.030a=，因为前3组的频率和10(0.0050.0100.020)0.350.5++=，前4组的频率和10(0.0050.0100.0200.030)0.650.5+++=，所以

中位数在第4组，设中位数为x，则0.350.03(70)0.5x+−=，解得75x=，所以中位数为75分；【小问2详解】由频率分布直方图可得成绩不低于80分的频率为10(0.0250.01)0.35+=，因为该校高二年级共有学生560人，所以该校高二年级期中考试数学成绩不低于80分的人数

约为0.35560196=（人）；【小问3详解】由频率分布直方图可得成绩在)40,50内的人数为40100.0052=人，记为,AB，成绩在90,100内的人数为40100.0104=人，记为,,,CDEF，若从数学成绩在)40

,50与90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生的所有情况有：(,),(,),(,),(,),(,)ABACADAEAF，(,),(,),(,),(,)BCBDBEBF，(,),(,),(,)CDCECF，(,),(,),(,)DEDFEF，共15种情况

，其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不小于10的有：(,),(,),(,),(,)ACADAEAF，(,),(,),(,),(,)BCBDBEBF，共8种，所以所求概率为815.20.某高校自主招生考试分笔试与面试两

部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为0.5,0.6，在面试中“通过”的概率依次为0.4,0.3，笔试和面试是否“通过

”是独立的，那么（1）甲､乙两人都参加此高校自主招生考试，谁获得录取的可能性大？（2）甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.【答案】（1）甲获得录取的可能性大；（2）0.308.【解析】【

分析】（1）利用独立事件的乘法公式求出甲､乙两人被录取的概率并比较大小，即得结果.（2）应用对立事件、独立事件的概率求法，结合互斥事件的加法公式求恰有一人获得录取的概率.【小问1详解】记“甲通过笔试”为事件1A，“甲通过面试”为事件2A，“甲获得

录取”为事件A，“乙通过笔试”为事件1B，“乙通过面试”为事件2B，“乙获得录取”为事件B，则()()12()0.50.40.2PAPAPA===，()()12()0.60.30.18PBPBPB===，即()()PAPB，所以甲获得录取的可能性大.【小问2详解】记“

甲乙两人恰有一人获得录取”事件C，则()()()PCPABPAB=+()()()()PAPBPAPB=+0.20.820.80.180.308=+=.21.如图所示，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面AB

CD，//ADBC，ABBC⊥，且2ABAP==，1BC=，5AD=，E为PC上一点.的为（1）求证：AECD⊥；（2）若E为PC的中点，求CD与平面AED所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1010.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定

定理分析证明；（2）建系，求出CD及平面AED的法向量，利用线面角的计算公式计算即可.【小问1详解】因为2ABAP==，1BC=，所以22521AC=+=，222425CD=+=，又因为5AD=，则222

ACCDAD+=，所以ACCD⊥，因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD⊥，且ACPAA=，,ACPA平面PAC，所以CD⊥平面PAC，由AE平面PAC，所以AECD⊥.【小问2详解】以点A为坐标原点，分别以,,ABADAP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系，则()0,0,0A，()0,5,0D，()2,1,0C，()002P,,，11,,12E，可得()2,4,0CD=−，11,,12AE=，()0,5,0AD=，设平面AE

D的法向量为(),,nxyz=，则10250nAExyznADy=++===，令1z=，则1,0xy=−=，可得平面AED的一个法向量为()1,0,1n=−，设CD与平面AED所成角为，则210sincos,10252CDnCDnCDn====uuur

ruuurruuurr，所以CD与平面AED所成角的正弦值为1010.22.如图，在四棱锥SABCD−中，四边形ABCD是矩形，SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，1AB=，P为棱AD的中点，四棱锥SABCD−的体积为233．（1）若E为棱SB

的中点，求证：//PE平面SCD；（2）在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为235？若存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在点M，位于AS靠近点S的三等分点处满足题意.【解析】

【分析】（1）取SC中点F，连接,EFFD，得到//PEFD，然后利用线面平行的判定定理得到//PE平面SCD；（2）假设在棱SA上存在点M满足题意，建立空间直角坐标系，设()01AMAS=，根据平面PMB与平面SAD的夹角的余弦值

为235，则两平面法向量所成角的余弦值的绝对值等于235，求出，即可得出结论.【小问1详解】取SC中点F，连接,EFFD，,EF分别为,SBSC的中点，//EFBC，12EFBC=底面四边形ABCD是矩形，P为棱AD的中点，//PDBC，12PDBC=．//EF

PD，EFPD=，故四边形PEFD是平行四边形，//PEFD\．又FD平面SCD，PE平面SCD，//PE平面SCD．【小问2详解】假设在棱SA上存在点M满足题意，在等边SAD中，P为AD的中点，所以SPAD⊥，又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD

＝，SP平面SAD，SP⊥平面ABCD，则SP是四棱锥SABCD−的高．设()0ADmm=，则32SPm=，ABCDSm=矩形，113233323ABCDSABCDVSSPmm矩形四棱锥−===，所以2m＝.以点P为原点，PA，PS的方向分别为,xz轴

的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0P，()1,0,0A，()1,1,0B，()0,0,3S，故()1,0,0PA=，()1,1,0PB=uur，()1,0,3AS=−．设()(),0,301A

MAS==−，()1,0,3PMPAAM=+=−．设平面PMB的一个法向量为()1,,nxyz=，则11(1)300nPMxznPBxy=−+==+=取()13,3,1n=−−．易知平面SAD的一个法向量为()20,1,0n=

uur，1212212323cos,7215nnnnnn-l×\===l-l+uvuuvuvuuvuvuuv，01，23=获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com